第3章 滚动训练五(§1～§2)

阶段滚动训练五(范围：§2.1～§2.4)一、选择题1．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b的夹角的余弦值是()A．－13B.13C.23D．－23考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角答案A解析由|a|＝|a＋2b|得a2＝a2＋4b2＋4a·b，即a·b＝－b2，所以cosθ＝a·b|a||b|＝－b23|b|·|b|＝－13.2．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b等于()D．(1,0)考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点已知数量积求向量的坐标答案B解析设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝3x＋y＝ 3.y2＝1，＋y＝3，0，＝12，＝32，即b故选B.3．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为()A．－92B．0C．3 D.152考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点已知向量垂直求参数答案C解析∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)×1＝0，解得k＝3.4．如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM →·AO→等于()A ．4B ．5C ．6D ．7考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值答案B解析取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE (图略)，可知OD ⊥AB ，OE ⊥AC .∵M 是边BC 的中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AO →＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝AD →·AO →＋AE →·AO →.由数量积的定义可得AD →·AO →＝|AD →||AO →|cos 〈AD →，AO →〉，而|AO →|·cos 〈AD →，AO →〉＝|AD →|，故AD →·AO →＝|AD →|2＝4，同理可得AE →·AO →＝|AE →|2＝1，故AD →·AO →＋AE →·AO →＝5，故选B.5．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m ,4)，且a ∥b ，那么2a －b 等于()A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(4，－8)D ．(－4,8)考点平面向量平行与垂直的坐标表示的应用题点已知向量平行求参数答案C解析由a ∥b 知4＋2m ＝0，所以m ＝－2，2a －b ＝(2，－4)－(m ,4)＝(2－m ，－8)＝(4，－8)．6．已知点N 在△ABC 所在平面内，且NA →＋NB →＋NC →＝0，则点N 是△ABC 的()A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心考点平面向量数量积的应用题点数量积在三角形中的应用答案C 解析如图，D 为BC 的中点，因为NA →＋NB →＋NC →＝0，所以NB →＋NC →＝－NA →，依向量加法的平行四边形法则，知NA →＝－2ND →，故点N 为△ABC 的重心．7．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(x ，y )(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(12,12)，6秒后点P 的坐标为(0,18)，则(x ＋y )2019等于()A ．－1B ．1C ．0D ．2012考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案A 解析由题意，(12,12)＋6(x ，y )＝(0,18)，即(12＋6x,12＋6y )＝(0,18)＝－2，＝1，故(x ＋y )2019＝(－2＋1)2019＝－1.二、填空题8．已知|OA →|＝|OB →|＝1，|AB →|＝3，则OA →·OB →＝________，|OA →＋OB →|＝________.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案－121解析由|OA →|＝|OB →|＝1，|AB →|＝3，可知以向量OA →，OB →为邻边的平行四边形是菱形，OA →，OB →的夹角为2π3，∴OA →·OB →＝cos 2π3＝－12，|OA →＋OB →|＝1＋1－1＝1.9．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数答案33解析由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2.同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.10．(2018·广东清远联考)已知O 是边长为6的正三角形ABC 的中心，则|AB →－OB →－AC →|＝________.考点向量加减法的综合运算及应用题点利用向量的加减法运算求向量的模答案23解析如图所示，AB →－OB →－AC →＝(AB →－AC →)－OB →＝CB →＋BO →＝CO →.∵正三角形ABC 的边长为6，∴|CF →|＝32×6＝33，∴|CO →|＝23×33＝2 3.11．关于平面向量有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②已知a ＝(k ,3)，b ＝(－2,6)，若a ∥b ，则k ＝－1；0.其中正确的命题为____________．(写出所有正确命题的序号)考点平面向量数量积的运算性质与法则题点向量的运算性质与求值答案②③解析①中，由a ·b ＝a ·c ，得a ·(b －c )＝0，当a ＝0，b ≠c 时也成立，故①错；②中，若a ∥b ，则有6×k ＝－2×3，得k ＝－1，故②正确；③＝a 2|a |2－b 2|b |2＝0，故③正确．12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ,2)，b ＝(4，y )，c ＝(1，－2)，且a ⊥c ，b ∥c .则|a ＋b |＝________.考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模答案10解析由a ⊥c 及b ∥c ，得x －4＝0且4×(－2)－y ＝0，即x ＝4，y ＝－8.∵a ＝(4,2)，b ＝(4，－8)，∴a ＋b ＝(4,2)＋(4，－8)＝(8，－6)．∴|a ＋b |＝82＋(－6)2＝10.三、解答题13．已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝34.(1)求|b |；(2)当a ·b ＝－14时，求向量a 与a ＋2b 的夹角θ的值．考点平面向量数量积的应用题点向量模与夹角的综合应用解(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝34，即a 2－b 2＝34，即|a |2－|b |2＝34，所以|b |2＝|a |2－34＝1－34＝14，故|b |＝12.(2)因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋|2b |2＝1－1＋1＝1，故|a ＋2b |＝1.又因为a ·(a ＋2b )＝|a |2＋2a ·b ＝1－12＝12，所以cos θ＝a ·(a ＋2b )|a |·|a ＋2b |＝12，又θ∈[0，π]，故θ＝π3.14．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，求|a －t b |b||的取值范围．考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模解由题意，b |b|＝(0,1)，根据向量的差的几何意义，|a －t b |b||表示向量t b |b|的终点到向量a 的终点的距离d ，所以d ＝12＋(3－t )2，所以当t ＝3时，该距离取得最小值1，当t ＝－3时，该距离取得最大值13，即|a －t b |b||的取值范围是[1，13]．15．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，求(m －3)2＋n 2的最大值．考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解由m a ＋n b ＝c ＋n ＝2cos α，－n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，(m －3)2＋n 2的几何意义为点P (3,0)到点M 的距离的平方，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为OP ＋1＝3＋1＝4，其中O 为坐标原点，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.。

阶段滚动训练四(范围：§1～§5)一、选择题1.已知f (2x ＋1)＝x 2－2x －5，则f (x )的解析式为( )A.f (x )＝4x 2－6B.f (x )＝14x 2－32x －154C.f (x )＝14x 2＋32x －154D.f (x )＝x 2－2x －5考点 求解析式题点 换元法求函数解析式答案 B解析 设t ＝2x ＋1，则x ＝t －12， ∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－2·t －12－5＝14t 2－32t －154， ∴f (x )＝14x 2－32x －154. 2.函数f (x )＝4－x x －3的定义域为( ) A.(－∞，4] B.(－∞，3)∪(3,4]C.[－2,2]D.(－1,2] 考点 函数的定义域题点 求具体函数的定义域答案 B解析 f (x )中的x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x －3≠0， 解得x ≤4且x ≠3，故f (x )的定义域为(－∞，3)∪(3,4].3.若函数f (x )＝x (2x ＋1)(2x －a )为奇函数，则a 等于( ) A.1 B.2 C.12 D.－12考点 函数奇偶性的应用题点 已知函数奇偶性求参数值答案 A解析 由题意得f (－x )＝－f (x )，则－x(－2x ＋1)(－2x －a )＝x(－2x ＋1)(2x ＋a )＝－x(2x ＋1)(2x －a )，则－4x 2＋(2－2a )x ＋a ＝－4x 2－(2－2a )x ＋a ，所以2－2a ＝－(2－2a )，所以a ＝1.4.若函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为() A.0<a ≤15 B.0≤a ≤15C.0<a <15D.a ＞15考点 函数单调性的应用题点 已知二次函数单调性求参数范围答案 B解析 当a ≠0时，函数f (x )的对称轴为x ＝－a －1a ，∵f (x )在(－∞，4]上为减函数，∴图像开口朝上，a ＞0且－a －1a ≥4，得0<a ≤15.当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，显然在(－∞，4]上为减函数.综上知，0≤a ≤15.5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≥2，f (x ＋3)，x <2，则f (1)－f (3)等于( )A.－7B.－2C.7D.27考点 分段函数题点 分段函数求值答案 C解析 由题意得f (1)＝f (4)＝42＋1＝17，f (3)＝32＋1＝10，故f(1)－f(3)＝17－10＝7.6.已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是()考点函数图像题点求作或判断函数的图像答案 A解析函数y＝f(x)g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D.因为函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，所以y＝f(x)·g(x)是奇函数，故选A.7.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于()A.x2B.2x2C.2x2＋2D.x2＋1考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式答案 D解析∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②由①②联立，得f(x)＝x2＋1.二、填空题8.已知幂函数y＝(a2－2a－2)x a在实数集R上单调，那么实数a＝________.考点幂函数题点幂函数性质应用答案 3解析 由题意，a 2－2a －2＝1，∴a ＝－1或3，又当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域不是R ，舍去，当a ＝3时，y ＝x 3在R 上是增函数，符合题意.9.如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0，f (x )，x <0是奇函数，则f (x )＝________. 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 2x ＋3解析 设x <0，则－x >0，g (－x )＝－2x －3.∵g (x )为奇函数，∴f (x )＝g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3.10.已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－m 2)>f (2m )，则实数m 的取值范围是________.考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 利用奇偶性、单调性解不等式答案 (－3,1)解析 因为函数f (x )＝x 2＋2x 在[0，＋∞)上是增函数，又f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )是R 上的增函数.要使f (3－m 2)>f (2m )，只需3－m 2>2m ，解得－3<m <1.三、解答题11.已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值.考点 函数的最值及其几何意义题点 含参二次函数的最值解 f (x )＝4⎝⎛⎭⎫x －a 22－2a ＋2， ①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数. ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2.∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当0<a 2<2，即0<a <4时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去. ③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数， f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.12.某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK 上建一座花坛，其造价为4 200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.(1)设AD 的长为x 米，试写出总造价Q (单位：元)关于x 的函数解析式；(2)问：当x 取何值时，总造价最少？求出这个最小值.考点 函数的最值及其几何意义题点 利用对勾函数性质求最值解 (1)设AM ＝y ，AD ＝x ，则x 2＋4xy ＝200，∴y ＝200－x 24x. 故Q ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×2y 2＝38 000＋4 000x 2＋400 000x 2(0<x <102). (2)令t ＝x 2，则Q ＝38 000＋4 000⎝⎛⎭⎫t ＋100t ，且0<t <200. ∵函数u ＝t ＋100t在(0,10]上递减，在[10,200)上递增，∴当t ＝10时，u min ＝20.故当x ＝10时，Q min ＝118 000(元).答 当x ＝10米时，可使总造价最少，最小值为118 000元.13.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)满足条件：f (x －1)＝f (3－x )，且方程f (x )＝2x 有两相等实根.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[0，t ]上的最大值.考点题点解 (1)∵方程f (x )＝2x 有两相等实根，即ax 2＋(b －2)x ＝0有两相等实根，∴Δ＝(b －2)2＝0，解得b ＝2.由f (x －1)＝f (3－x )，得x －1＋3－x 2＝1， ∴x ＝1是函数图像的对称轴，而此函数图像的对称轴是直线x ＝－b 2a， ∴－b 2a＝1，∴a ＝－1，故f (x )＝－x 2＋2x . (2)∵函数f (x )＝－x 2＋2x 的图像的对称轴为x ＝1，x ∈[0，t ]，∴当0<t ≤1时，f (x )在[0，t ]上是增函数，∴f (x )max ＝f (t )＝－t 2＋2t .当t >1时，f (x )在[0,1]上是增函数，在[1，t ]上是减函数，∴f (x )max ＝f (1)＝1.综上，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，t >1，－t 2＋2t ，0<t ≤1.14.已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，则f (x )＝________，g (x )＝________.考点题点答案 x 2－2 x解析 ∵f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，得f (x )－g (x )＝x 2－x －2.又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .15.若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y ).(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2.考点 抽象函数单调性与奇偶性题点 抽象函数单调性、奇偶性的综合解 (1)在f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2＝f (6)＋f (6)，∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32<f (6). ∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋32>0，x ＋32<6，解得－3<x <9.即不等式的解集为(－3,9).。

滚动训练(三)[第一节～第五节时间：40分钟分值：100分]一、选择题(每题4分，共32分)1．下列各项措施中为了减小压强的是()A．载重汽车安装较多轮子B．汽车轮胎上刻有花纹C．冰鞋的刀刃磨得非常薄D．旱冰鞋下装有滚轮2．如图G3－1所示，水银对管顶有压强，若在管顶扎一个小孔，则管内水银()图G3－1A．从管顶冒出B．不动C．降至与槽中水银面相平D．稍微下降3．一个密封的圆台状容器放在水平面上，内装有1 kg水(如图G3－2所示)，若把它倒置，则水对容器内底面的作用情况是()图G3－2A．压强减小，压力增大B．压强减小，压力减小C．压强增大，压力增大D．压强增大，压力减小4．两支相同的试管内装有质量相等的不同液体，a管竖直放置，b管倾斜放置，此时两管内液面处于同一水平位置，如图G3－3所示。

则管底受到液体的压强是()图G3－3A．一样大B．a管大C．b管大D．无法判断5．青海玉树县平均海拔4000 m以上，玉树地震后，部分救援人员出现了呼吸困难现象，这是因为高原上()A．大气压强小，空气中含氧量少B．大气压强大，空气中含氧量多C．大气压强小，空气中含氧量多D．大气压强大，空气中含氧量少6．你是否有这样的经历：撑一把雨伞行走在雨中，如图G3－4所示，一阵大风吹来，伞面可能被“吸”得严重变形。

下列有关这一现象及其解释，正确的是()图G3－4A．伞面被向下“吸”B．伞上方的空气流速大于下方C．伞上方的空气流速等于下方D．伞上方的空气流速小于下方7．如图G3－5所示，公路两侧的甲、乙两条水渠由路面下的倾斜涵洞连接，两渠水面相平，关于涵洞中的水流方向，正确的说法是()图G3－5A．水从乙流向甲B．水从甲流向乙C．水不流动D．无法判断8．如图G3－6所示是某同学在探究甲、乙两种物质的质量和体积关系时得到的图像。

若用这两种物质分别做成A、B两个质量相等的实心正方体。

把它们平放在水平地面上，则两物体对水平地面的压强之比p A∶p B为()图G3－6A．1∶1B．2∶1C．4∶1D．8∶1二、填空题(每空3分，共30分)9．暑假，小雨和妈妈从沈阳去西藏旅游。

滚动训练(四)一、填空题1.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________________.考点　四种命题题点　否命题答案　若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3解析　同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题.2.已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是________.考点　导数的几何意义题点　求切线方程答案　y＝0或4x＋y＋4＝0解析　设切点坐标为(x0，x20)，∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，∴x20＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.3.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.考点　双曲线的几何性质题点　求双曲线的离心率答案　62解析　设双曲线的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，∵c>b，∴只有∠B1F1B2＝60°，∴tan 30°＝bc，∴c＝3b，又a2＝c2－b2＝2b2，∴e＝ca＝3b2b＝62.4.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________.考点　椭圆的标准方程题点　椭圆定义的理解答案　x225＋y29＝1或y225＋x29＝1解析　由题意知{2c＝8，ca＝0.8，解得{a＝5，c＝4，又b2＝a2－c2，∴b2＝9，当焦点在x轴上时，椭圆方程为x225＋y29＝1，当焦点在y轴上时，椭圆方程为y225＋x29＝1.5.F1，F2是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1→·PF2→的最大值是________.考点　椭圆的几何性质题点　椭圆中的最值问题答案　1解析　设P(x，y)，依题意得点F1(－3，0)，F2(3，0)，PF1→·PF2→＝(－3－x)(3－x)＋y2＝x2＋y2－3＝34x2－2，注意到－2≤34x2－2≤1，因此PF1→·PF2→的最大值是1.6.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________.考点　导数的几何意义题点　求切线方程答案　x－y－2＝0解析　根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.7.若曲线y＝x2＋a ln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为________.考点　导数的几何意义题点　求切点坐标答案　(1,1)解析　y＝x2＋a ln x的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y′＝2x＋ax≥22a＝4，则a＝2，当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1，故所求的切点坐标是(1,1).8.已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.考点　导数的几何意义题点　由切线方程求参数答案　1解析　∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又点(2,7)在切线上，可得a＝1.9.若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是________.考点　导数的几何意义题点　求切线方程答案　1或164解析　易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，(1)当O(0,0)是切点时，由f′(x)＝3x2－6x＋2得f′(0)＝2，则切线方程为y＝2x.由{y＝2x，y ＝x2＋a，得x2－2x＋a＝0，由”＝4－4a＝0，得a＝1.(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x30－3x20＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2.①又k＝y0x0＝x20－3x0＋2，②由①，②联立，得x0＝32(x0＝0舍去)，∴k＝－14，∴所求切线l的方程为y＝－14x.由{y＝－14x，y＝x2＋a，得x2＋14x＋a＝0.依题意，”＝116－4a＝0，∴a＝164.综上，a＝1或a＝164.10.曲线f(x)＝exx－1在x＝0处的切线方程为__________________.考点　导数的几何意义题点　求切线方程答案　2x＋y＋1＝0解析　根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f′(x)＝ x－1ex′－exx－1′x－12＝ x－2exx－12，故切线的斜率k＝f′(0)＝ 0－2e00－12＝－2，则直线的方程为y－(－1)＝－2(x－0)，即2x＋y＋1＝0.二、解答题11.求下列函数的导数.(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋1x；(3)y＝cos xex.考点　导数的运算题点　求函数导数解　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.(2)y′＝(ln x＋1x′＝(ln x)′＋(1x′＝1x－1x2.(3)y′＝(cos xex′＝ cos x′ex－cos xex′ex2＝－sin x＋cos xex.12.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.考点　导数的几何意义题点　求切线方程解　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.13.已知函数f(x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.考点　导数的几何意义题点　由切线方程求参数范围解　(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，{k≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围是(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞).三、探究与拓展14.若函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围为________.考点　导数的几何意义题点　由切线方程求参数答案　(－∞，2－1e∪(2－1e，2解析　f′(x)＝1x＋a(x>0).∵函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴方程1x＋a＝2在区间(0，＋∞)上有解，即a＝2－1x在区间(0，＋∞)上有解.∴a＜2.若直线2x－y＝0与曲线f(x)＝ln x＋ax相切，设切点为(x0,2x0).则{1x0＋a＝2，2x0＝ln x0＋ax0，解得x0＝e，此时a＝2－1e.综上可知，实数a的取值范围为(－∞，2－1e∪(2－1e，2.15.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.考点　导数的几何意义题点　由切线方程求参数解　(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0，即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在.∵直线m恒过定点(0,9)，直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)，∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将点(0,9)代入，得x0＝±1，当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2，当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.∴公切线是y＝9又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1.当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，∴公切线不是y＝12x＋9.综上所述，公切线是y＝9，此时k＝0.。