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第一章 单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A B D ．BA2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |0＜x ≤1}，N ＝{x |x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1} D．{x |x ＜1}3．已知集合M ＝{1，a 2}，P ＝{－1，－a }，若M ∪P 有三个元素，则M ∩P ＝( ) A ．{0,1} B ．{0，－1} C ．{0} D ．{－1}4．命题“∀x ≥0，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．∃x ＜0，|x |＋x 2＜0 B ．∃x ≥0，|x |＋x 2≤0 C ．∃x ≥0，|x |＋x 2＜0 D ．∃x ＜0，|x |＋x 2≥0 5．已知a ＜0，－1＜b ＜0，则( ) A ．－a ＜ab ＜0 B ．－a ＞ab ＞0 C ．a ＞ab ＞ab 2D ．ab ＞a ＞ab 26．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－1,2] D ．(－1,1]7．“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”的一个必要不充分条件是( ) A ．0＜a ＜1 B ．0＜a ＜13C ．0≤a ≤1 D．a ＜0或a ＞138．若正数a ，b 满足2a ＋1b ＝1，则2a＋b 的最小值为( )A ．4 2B ．8 2C ．8D ．9二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．有下列命题中，真命题有( ) A ．∃x ∈N *，使x 为29的约数 B ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0 C ．存在锐角α，sin α＝1.5D ．已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3m }，则对于任意的n ，m ∈N *，都有A ∩B ＝∅ 10．已知1a ＜1b＜0，下列结论中正确的是( )A ．a ＜bB ．a ＋b ＜abC ．|a |＞|b |D ．ab ＜b 211．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为(－1,0)，则下面结论中正确的是( )A ．2a ＋b ＝0B ．4a －2b ＋c ＜0C ．b 2－4ac ＞0 D ．当y ＜0时，x ＜－1或x ＞412．设P 是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．则关于数域的理解正确的是( )A ．有理数集Q 是一个数域B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为________．14．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是________．15．若1a ＋1b ＝12(a ＞0，b ＞0)，则4a ＋b ＋1的最小值为________．16．已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)若集合A 中只有1个元素，则A ＝________；(2)若两个集合A 和B 按顺序组成的集合对(A ，B )叫作有序集合对，则有序集合对(A ，B )的个数是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知全集为实数集R ，集合A ＝{x |1≤x ≤7}，B ＝{x |－2m ＋1＜x ＜m }．(1)若m ＝5，求A ∪B ，(∁R A )∩B ； (2)若A ∩B ＝A ，求m 的取值X 围．18.(本小题满分12分)已知不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集为{x |－3＜x ＜1}． (1)求a 的值；(2)若不等式ax 2＋mx ＋3≥0的解集为R ，某某数m 的取值X 围．19．(本小题满分12分)已知p ：x 2－3x －4≤0；q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分条件，求m 的取值X 围．20．(本小题满分12分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y (单位：万元)与处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝x 2－40x ＋1 600，x ∈[30,50]，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．(1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？21．(本小题满分12分)若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}，B ＝{x ||x ＋2|＞3}，C ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－1＜0，m ∈R }．(1)若A ∩C ＝∅，某某数m 的取值X 围． (2)若(A ∩B )⊆C ，某某数m 的取值X 围．22．(本小题满分12分)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值．第二部分 阶段测试第一章 单元质量评估卷1．解析：由真子集的概念，知B A ，故选D. 答案：D2．解析：∵∁U N ＝{x |x ＞0}，∴M ∩(∁U N )＝{x |0＜x ≤1}．故选B. 答案：B3．解析：由题意知a 2＝－a ，解得a ＝0或a ＝－1.①当a ＝0时，M ＝{1,0}，P ＝{－1,0}，M ∪P ＝{－1,0,1}，满足条件，此时M ∩P ＝{0}；②当a ＝－1时，a 2＝1，与集合M 中元素的互异性矛盾，舍去，故选C.答案：C4．解析：“∀x ≥0，|x |＋x 2≥0”的否定是“∃x ≥0，|x |＋x 2＜0”． 答案：C5．解析：∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，a ＜ab 2＜0，故A ，C ，D 都不正确，正确答案为B.答案：B6．解析：由x 2＋x －2≤0，得－2≤x ≤1，∴A ＝[－2,1]．由x ＋1x －2≥0，得x ≤－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1]∪(2，＋∞)．则∁R B ＝(－1,2]，∴A ∩(∁R B )＝(－1,1]．故选D.答案：D7．解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，所以函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的图象始终落在x 轴的上方，即Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，因为要找其必要不充分条件，从而得到(0,1)是对应集合的真子集，故选C.答案：C8．解析：∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋1b ＝1，则2a＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2ab＋2ab ≥5＋4＝9，当且仅当2ab ＝2ab 即a ＝13，b ＝3时取等号，故选D.答案：D9．解析：A 中命题为真命题．当x ＝1时，x 为29的约数成立；B 中命题是真命题．x2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74＞0恒成立；C 中命题为假命题．根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有0＜sin α＜1；D 中命题为假命题．易知6∈A,6∈B ，故A ∩B ≠∅.答案：AB10．解析：因为1a ＜1b＜0，所以b ＜a ＜0，故A 错误；因为b ＜a ＜0，所以a ＋b ＜0，ab＞0，所以a ＋b ＜ab ，故B 正确；因为b ＜a ＜0，所以|a |＞|b |不成立，故C 错误；ab －b 2＝b (a －b )，因为b ＜a ＜0，所以a －b ＞0，即ab －b 2＝b (a －b )＜0，所以ab ＜b 2成立，故D 正确．故选BD.答案：BD11．解析：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的对称轴为x ＝1，∴－b2a ＝1，得2a＋b ＝0，故A 正确；当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＜0，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，故C 正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1,0)，∴点A 的坐标为(3,0)，∴当y ＜0时，x ＜－1或x ＞3，故D 错误，故选ABC.答案：ABC12．解析：若a ，b ∈Q ，则a ＋b ∈Q ，a －b ∈Q ，ab ∈Q ，a b∈Q (b ≠0)，所以有理数Q 是一个数域，故A 正确；因为1∈Z,2∈Z ，12∉Z ，所以整数集不是数域，B 不正确；令数集M ＝Q ∪{2}，则1∈M ，2∈M ，但1＋2∉M ，所以C 不正确；根据定义，如果a ，b (b ≠0)在数域中，那么a ＋b ，a ＋2b ，…，a ＋kb (k 为整数)，…都在数域中，故数域必为无限集，D 正确．故选AD.答案：AD13．解析：原不等式等价于x 2－6x ＋8＜0， 即(x －2)(x －4)＜0，得2＜x ＜4. 答案：(2,4)(或写成{x |2＜x ＜4})14．解析：由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100100－x1＋1.2x %t ≥100t ，解得0＜x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.答案：1615．解析：由1a ＋1b ＝12，得2a ＋2b＝1，4a ＋b ＋1＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋1＝8＋2＋8a b ＋2b a ＋1≥11＋28a b ·2ba＝19.当且仅当8a b ＝2ba，即a ＝3，b ＝6时，4a ＋b ＋1取得最小值19.答案：1916．解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，所以6∉B ，故A ＝{6}． (2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B )有1个；当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1,2,3,4,5,7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个．综上，可知有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.答案：(1){6} (2)3217．解析：(1)∵m ＝5，∴B ＝{x |－9＜x ＜5}，又A ＝{x |1≤x ≤7}， ∴A ∪B ＝{x |－9＜x ≤7}． 又∁R A ＝{x |x ＜1，或x ＞7}， ∴(∁R A )∩B ＝{x |－9＜x ＜1}． (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋1＜1m ＞7，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0m ＞7，解得m ＞7.∴m 的取值X 围是{m |m ＞7}．18．解析：(1)由已知，1－a ＜0，且方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根为－3,1， 有⎩⎪⎨⎪⎧41－a ＝－3＋161－a ＝－3，解得a ＝3.(2)不等式3x 2＋mx ＋3≥0的解集为R ， 则Δ＝m 2－4×3×3≤0，解得－6≤m ≤6， 实数m 的取值X 围为[－6,6]．19．解析：由x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4， 由x 2－6x ＋9－m 2≤0，可得[x －(3＋m )][x －(3－m )]≤0，① 当m ＝0时，①式的解集为{x |x ＝3}；当m ＜0时，①式的解集为{x |3＋m ≤x ≤3－m }； 当m ＞0时，①式的解集为{x |3－m ≤x ≤3＋m }；若p 是q 的充分条件，则集合{x |－1≤x ≤4}是①式解集的子集．可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜03＋m ≤－13－m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞03－m ≤－13＋m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.故m 的取值X 围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．20．解析：(1)当x ∈[30,50]时，设该工厂获利为S 万元，则S ＝20x －(x 2－40x ＋1 600)＝－(x －30)2－700，所以当x ∈[30,50]时，S 的最大值为－700，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损．(2)由题知，二氧化碳的平均处理成本P ＝x y＝x ＋1 600x－40，x ∈[30,50]，当x ∈[30,50]时，P ＝x ＋1 600x－40≥2x ·1 600x－40＝40，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时等号成立，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．21．解析：(1)由已知可得A ＝{x |－4＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜－5或x ＞1}，C ＝{x |m －1＜x ＜m ＋1}．若A ∩C ＝∅，则m －1≥2或m ＋1≤－4， 解得m ≥3或m ≤－5.所以实数m 的取值X 围为{m |m ≤－5或m ≥3}． (2)结合(1)可得A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．若(A ∩B )⊆C ，即{x |1＜x ＜2}⊆{x |m －1＜x ＜m ＋1}，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，解得1≤m ≤2.所以实数m 的取值X 围为{m |1≤m ≤2}．22．解析：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b2＋4＝(a 2＋b 2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4＝[(a ＋b )2－2ab ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4＝(1－2ab )·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4，由a ＋b ＝1，得ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 所以1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b 2≥16，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥12×(1＋16)＋4＝252，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值为252.。
综合质量评估第一～四章(120分钟150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2012·惠州高一检测）若A={x|1<x≤1},则A∪B=( )（A）{x|x>0} （B）{x|x（C）{x|0≤x（D）{x|0＜x2.下列函数是幂函数的是( )（A）y=2x2（B）y=x3+x（C）y=3x（D）y=1 2 x3.已知a=log20.3,b=20.1,c=0.21.3,则a,b,c的大小关系是( ) （A）a＜b＜c （B）c＜a＜b（C）a＜c＜b （D）b＜c＜a4.（2012·莆田高一检测）函数f(x)=1x-x的图像关于( )(A)y轴对称(B)直线y=-x对称(C)坐标原点对称(D)直线y=x对称5.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根可以为（精度为0.1）( )(A)1.2 (B)1.3 (C)1.43 (D)1.56.（2012·北京高一检测）下列各组函数中，表示同一个函数的是( )（A）y=2x1x1--与y=x+1（B）y=x与y=log a a x(a＞0,a≠1)（C ）与y=x-1 （D ）y=lgx 与y=12lgx 27.已知函数y=e x的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，则( ) （A ）f(2x)=e 2x(x ∈R) （B ）f(2x)=ln2·lnx(x ＞0) （C ）f(2x)=2e x (x ∈R) （D ）f(2x)=ln2+lnx(x ＞0)8.如图，与函数y=a x,y=log a x,y=log (a+1)x,y=(a-1)x 2依次对应的图像是( ) (A)①②③④ (B)①③②④ (C)②③①④ (D)①④③②9.（易错题）已知ab ＞0，下面四个等式中： ①lg(ab)=lga+lgb ；②lg ab =lga-lgb ； ③12lg(a b )2=lg a b； ④lg(ab)=ab 1log 10（）其中正确命题的个数为( ) (A)0(B)1(C)2 (D)310.（2012·曲靖高一检测）设函数f(x)=x 3+bx+c 在［-1,1］上是增加的，且f(-12)·f(12)＜0,则方程f(x)在［-1,1］内( ) （A ）可能有3个实数根 （B ）可能有2个实数根 （C ）有唯一实数根（D ）没有实数根11.下列函数中，是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) （A ）y=-3|x|（B ）y=13x（C ）y=log 3x 2 （D ）y=x-x 212.（2012·杭州高一检测）衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t天后体积与天数t 的关系式为：V=a ·e -kt.若新丸经过50天后，体积变为49a ，则一个新丸体积变为827a 需经过的天数为( ) (A)125天(B)100天(C)75天(D)50天二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上） 13.计算：(1)log 23·log 32=___________;14.（2012·陕西高考）设函数f(x)=xx 0,1(),x 0,2≥⎨⎪⎩＜ 则f(f(-4))=_________.14.设g(x)=x e ,x 0lnx,x 0⎧≤⎨⎩，＞，则g(g(12))=__________.15.（2012·南安高一检测）已知函数f(x)=log a (2x-1)(a ＞0,a ≠1)的图像恒过定点P ，则P 点的坐标是________．16.（能力题）若f(a+b)=f(a)·f(b)，且f(1)=2，则()()()()()()f 2f 3f 2 012f 1f 2f 2 011++⋯+=___________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（10分）（2012·嘉峪关高一检测）设集合A={x|-5≤x ≤3},B={x|x ＜-2或x ＞4}，求A ∩B ，(A)∪(B).18.（12分）（2012·福州八县联考）若函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且 x ∈(0,+∞)时，f(x)=2x. （1）求f(x)的表达式；（2）在所给的坐标系中直接画出函数f(x)的图像.（不必列表） 19.（12分）已知函数f(x)=log 2(x-3). （1）求f(51)-f(6)的值； （2）求f(x)的定义域；（3）若f(x)≥0,求x 的取值范围.20.（12分）（能力题）已知函数f(x)=2x,g(x)=x 12+2.(1)求函数g(x)的值域；(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.21.（12分）(2011·湖北高考）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)22.（12分）（2012·晋江高一检测）已知函数f(x)=x m-4x，且f(4)=3.(1)求m的值；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并应用单调性的定义给予证明.答案解析1.【解析】选D.由题意A∪B={x|0＜x2.【解析】选D.结合幂函数的形式y=xα可知，D选项正确.3.【解析】选C.a=log20.3＜0,b=20.1＞1,0＜c=0.21.3＜1，所以a<c<b.4.【解析】选C.因为函数f(x)=1x-x是奇函数，故其图像关于坐标原点对称.5.【解析】选C.∵1.438-1.406 5＜0.1,结合选项可知1.43为方程的一个近似根，故选C.6.【解析】选B.∵y=2x 1x 1--与y=x+1的定义域不同，故A 不正确；∵y=x 与y=log a a x(a ＞0,a ≠1)的定义域及对应法则均相同，故B 正确； ∵与y=x-1的值域不同，故C 不正确； ∵y=lgx 与y=12lgx 2的定义域不同，故D 不正确. 7.【解析】选D.指数函数的反函数是对数函数，显然y=f(x)=lnx ，则f(2x)=ln2x=ln2+lnx ． 8.【解析】选B.结合图像知0＜a ＜1,故与函数y=a x,y=log a x,y=log (a+1)x, y=(a-1)x 2依次对应的图像是①③②④，故选B.9.【解析】选B.当a ＜0,b ＜0时，lga,lgb 无意义，故①②不正确；由于当ab=1时log （ab ）10不存在，故④不正确；结合对数的运算性质可知③正确.故选B. 【误区警示】本题在求解过程中常常忽略lg(ab)=ab 1log 10（）中ab ≠1而错选C ．10.【解析】选C.∵f(x)在［-1,1］上是单调的， 且f(-12)·f(12)＜0， ∴f(x)在［-1,1］上有唯一实数根.11.【解析】选A.是偶函数排除了B ，D ；在区间(0,+∞)上单调递减排除了C ， 故选A ．12.【解题指南】先利用“V=a ·e -kt”及“新丸经过50天后，体积变为49a ”求出e -k的值，然后借助指数幂的运算求一个新丸体积变为827a 需经过的天数. 【解析】选C.∵新丸经过50天后体积变为49a,∴由V=a ·e -kt得49=e -50k ，∴e -k=1504()9.∴由827=e -kt 得827=t504()9，∴t 3502=，∴t=75. 13.【解析】(1)log 23·log 32=lg3lg2·lg2lg3=1.π|=π-3.答案：(1)1(2)π-314.【解析】∵x=-4<0，∴f （-4）=（12）-4=16，因为x=16>0，所以f （16）答案：414.【解析】g(g(12))=g(ln 12)=1ln 2e =12.答案：1215.【解析】由题意可知，当2x-1=1，即x=1时，f(x)=0, ∴点P(1,0). 答案：(1,0)16.【解题指南】注意到分子分母间的变量相差1，故可先探索f(a+1)与f(a)·f(1)的关系. 【解析】令b=1，则f(a+1)=f(a)·f(1)=2f(a)， 即()()f a 1f a +=2.∴()()f 2f 1=2,()()f 3f 2=2，…,()()f 2 012f 2 011 =2, 则()()()()()()f 2f 3f 2 012f 1f 2f 2 011++⋯+=4 022. 答案：4 02217.【解析】∵A={x|-5≤x ≤3},B={x|x ＜-2或x ＞4｝， ∴A ∩B=［-5,-2),(A)∪(B)=(-∞,-5)∪［-2,+∞).18.【解析】（1）∵f(x)为定义在R 上的奇函数， ∴f(0)=0.当x ∈(-∞,0)时，-x ∈(0,+∞)，则f(-x)=2-x. 又f(x)为定义在R 上的奇函数， ∴f(-x)=-f(x)，则f(x)=-f(-x)=-2-x.∴f(x)=x x 2x (0,)0x 02x (,0)-⎧∈+∞⎪=⎨⎪-∈-∞⎩， ，， ，，.（2）【举一反三】已知函数f(x)=()22log x,x 1,4x 51,x (4,7∈⎧⎪⎨-+∈⎪⎩［］，］.（1）在给定的直角坐标系内画出f(x)的图像； （2）写出f(x)的单调递增区间（不需要证明）； （3）写出f(x)的最大值和最小值（不需要证明）. 【解析】(1)作图.(2)单调递增区间为［1,4］与［5,7］. (3)最大值是5；最小值是0.19.【解析】（1）f(51)-f(6)=log 2(51-3)-log 2(6-3)=log 2483=log 216=4. （2）由x-3＞0得x ＞3. (3)∵f(x)≥0，即log 2(x-3)≥0, ∴x-3＞0且x-3≥1,∴x ≥4, 即x 的取值范围是［4,+∞).【变式训练】已知函数f(x)＝a x-2(x ≥0)的图像经过点(4,19)， 其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域． 【解析】(1)函数图像过点(4,19)， 所以a 4-2=a 2=19,∴a=13. (2)由(1)知f(x)＝(13)x-2(x ≥0).由x ≥0，得x －2≥－2，∴0＜(13)x-2≤(13)-2＝9，∴函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域为(0,9］． 20.【解析】（1）g(x)=x12+2=(12)|x|+2, 因为|x|≥0,所以0＜(12)|x|≤1, 即2＜g(x)≤3,故g(x)的值域是（2，3］. （2）由f(x)-g(x)=0，得2x-x 12-2=0, 当x ≤0时，显然不满足方程， 即只有x ＞0满足2x-x12-2=0, 整理得(2x )2-2·2x -1=0,(2x-1)2=2，故2x=1当x ＞0时，2x＞1,故2x∴x=log 221.【解析】(1)由题意知当0≤x ≤20时，v(x)＝60； 当20≤x ≤200时，设v(x)＝ax ＋b （a ≠0)，再由已知得200a b 020a b 60⎧⎨⎩＋＝，＋＝，解得1a .3200b 3⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－，＝故函数v(x)的表达式为v(x)＝600x 20.1(200x)20x 2003≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩， ，－， ＜(2)依题意并由(1)可得f(x)＝60x 0x 201x(200x)20x 200.3≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩， ，－， ＜当0≤x ≤20时，f(x)为增加的，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时， f(x)＝13x(200－x)=-13(x-100)2+10 0003， 所以，当x ＝100时，f(x)在区间(20,200］上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f(x)在区间［0,200］上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时． 22.【解析】（1）∵f(4)=3，∴4m-44=3，∴m=1. （2）因为f(x)=x-4x ，定义域为{x|x ≠0}，关于原点成对称区间，又f(-x)=-x-4x - =-(x-4x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.（3）f(x)在(0,+∞)上单调递增，证明： 设x 1＞x 2＞0，则 f(x 1)-f(x 2)=x 1-14x -(x 2-24x )=(x 1-x 2)(1+124x x ). 因为x 1＞x 2＞0，所以x 1-x 2＞0，1+124x x ＞0， 所以f(x 1)＞f(x 2)，因此f(x)在(0,+∞)上为单调递增的.。
2022版高中数学北师大版必修1：函数的表示法映射基础过关练题组一函数的表示法1.(2020河北衡水冀州中学高一上第二次月考)已知函数f(x),g(x)由下列表格给出,则f[g(3)]= ()x 1 2 3 4f(x) 2 4 3 1g(x) 3 1 2 4A.4B.3C.2D.12.(2021山东烟台高一上期中)某高三学生于2020年9月第二个周末乘高铁赴济南参加全国高中数学联赛(山东赛区)的比赛活动.早上他乘出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘在家里了,于是回到家取上身份证,然后乘出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图像中与上述事件吻合最好的是()3.如图,函数f(x)的图像是曲线OAB,其中点O、A、B的坐标分别为(0,0)、(1,2)、(3,1),则f[f(3)]的值等于.4.如图所示,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出此盒子的体积V以x为自变量的函数解析式,并指明这个函数的定义域.题组二 函数解析式的求法5.(2021北京理工大学附中高一上期中)已知函数f (x )是一次函数,且f (x -1)=4x +3,则f (x )的解析式为( ) A.f (x )=4x -1 B.f (x )=4x +7 C.f (x )=4x +1 D.f (x )=4x +36.已知f (2x +1)=4x 2,则f (-3)= ( ) A.36 B.16 C.4D.-167.已知f (x )是一次函数,且2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )的解析式为 ( ) A.f (x )=2x +3 B.f (x )=3x +2 C.f (x )=3x -2 D.f (x )=2x -38.(2019河北辛集中学高一上第一次月考)已知f (x -1)=x 2,则f (x 2)= . 9.已知f (x -1x )=x 2+1x 2,则f (3)= .10.已知函数f (x )满足af (x )+f (-x )=bx ,其中a ≠±1,求函数f (x )的解析式. 题组三 分段函数问题的解法11.(2021四川成都实验外国语学校高一上第二次段考)已知f (x )={x (x +4),x ≥0,x (x -4),x <0,则f [f (-1)]的值为( )A.5B.15C.25D.4512.已知函数f (x )={x +1,x ∈[-1,0],x 2+1,x ∈(0,1],则下列函数图像正确的是( )13.已知函数f (x )={x 2(-1≤x ≤1),1(x >1或x <-1),则函数f (x )的值域为 .14.“水”这个曾经被人认为取之不尽用之不竭的资源,竟然到了严重制约我国经济发展,严重影响人民生活的程度.缺水每年给我国工业造成的损失达2000亿元,给我国农业造成的损失达1500亿元,严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水,某市打算出台一项水费政策,规定当每季度每人用水量不超过5立方米时,每立方米水费1.2元;当超过5立方米而不超过6立方米时,超过部分的水费加收200%;当超过6立方米而不超过7立方米时,超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)立方米,那么本季度他应交的水费y (单位:元)与用水量x (单位:立方米)的函数关系式为 .15.已知函数f (x )=1+x -|x |4.(1)用分段函数的形式表示函数f (x ); (2)在平面直角坐标系中画出函数f (x )的图像;(3)在同一平面直角坐标系中,再画出函数g (x )=1x (x >0)的图像(不用列表),观察图像直接写出当x >0时,不等式f (x )>1x 的解集.16.(2021吉林榆树一中高一上期中)已知函数f (x )={x +1,x ≤-2,x 2+2x ,-2<x <2,2x -1,x ≥2.(1)求f (-5),f (-√3),f f -52的值;(2)若f (a )=3,求实数a 的值. 题组四 映射17.下列各个对应中,构成映射的是( )18.已知集合A ={1,2,3},B ={4,5,6},f :A →B 为集合A 到集合B 的一个函数,那么该函数的值域的不同情况的种数为 ( ) A.6B.7C.8D.2719.(2021江西南昌六校高一上期中联考)已知映射f :(x ,y )→(x +2y ,x -2y ),在映射f 下(1,-1)的原像是( ) A.0,12 B.(1,1) C.(-1,3) D.12,1能力提升练一、选择题1.(2019广东深圳中学高一上第一次段考,)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.某城市机动车最高限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油D.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 2.()如图所示的图像表示的函数解析式为 ( )A.y =32|x -1|(0≤x ≤2)B.y =32-32|x -1|(0≤x ≤2) C.y =32-|x -1|(0≤x ≤2) D.y =1-|x -1|(0≤x ≤2)3.(2021江西景德镇一中高一上期中,)若f (x )对任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (x )= ( )A.x -1B.x +1C.2x +1D.3x +34.(2021辽宁抚顺一中高一上期中,)已知函数f (x )={3x -1x +3(x ≠-3),x (x =-3)的定义域与值域相同,则常数a =( ) A.3 B.-3 C.13D.-135.(2019福建莆田一中高一上月考,)定义运算:a*b ={x ,x ≥x ,x ,x <x ,则f (x )=x 2*|x |的图像是 ( )二、填空题6.(2021重庆西南大学附中高一上第二次月考,)已知函数g (√x +1)=2x +3,则g (3)= .7.()已知函数f (2x -1)=4x +3,若f (t )=11,则t =.8.(2019山东泰安一中高一上十月检测,)设函数f (x )={23x -1,x ≥0,1x,x <0,若f (a )>a ,则实数a 的取值范围是 . 三、解答题9.(2021河南南阳一中高一上第一次月考,)根据下列条件,求f (x )的解析式.(1)f [f (x )]=4x -3,其中f (x )为一次函数; (2)2f 1x+f (x )=x (x ≠0).10.()已知A ={a ,b ,c },B ={-1,0,1},映射f :A →B 满足f (a )+f (b )=f (c ),求映射f :A →B 的个数.答案全解全析 第二章 函 数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 第2.2 函数的表示法 第2.3 映 射 基础过关练1.A2.C 5.B 6.B 7.C 11.D12.A17.D18.B19.A1.A 由题意,根据题表的对应关系,可得g (3)=2,所以f [g (3)]=f (2)=4,故选A .2.答案 C信息提取 ①y 表示离开家的距离,x 表示离开家的时间;②该学生先乘出租车,中途返回家,再乘出租车以更快的速度前行;③确定与上述事件吻合的图像.数学建模 本题为实际问题中的函数图像识别题,通过构建函数模型,分析两个变量间的变化情况,得出正确的函数图像.由题意可知,该高三学生行动的三个过程均为离开家的距离关于时间的一次函数,结合图像可得答案.解析 由题意,知该高三学生离开家,y 是x 的一次函数,且y 值均匀增加; 返回家的过程中,y 仍然是x 的一次函数,且y 值均匀减少;最后由家乘出租车以更快的速度赶往高铁站,y 仍然是x 的一次函数,且y 值增加的速度比刚开始快, 所以与事件吻合最好的图像为C,故选C . 3.答案 2解析 由题中图像知f (3)=1,∴f [f (3)]=f (1)=2.4.解析 由题意可知该盒子的底面是边长为(a -2x )的正方形,高为x , ∴此盒子的体积V =x (a -2x )2, 其中自变量x 应满足{x -2x >0,x >0,即0<x <x 2,∴此盒子的体积V 以x 为自变量的函数解析式为V =x (a -2x )2,定义域为(0,x2).5.B 因为f (x -1)=4x +3=4(x -1)+7,所以f (x )=4x +7.故选B .6.B 当2x +1=-3时,x =-2,因此f (-3)=4×(-2)2=16.故选B . 7.C 设f (x )=kx +b (k ≠0),由2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1, 得{2(2x +x )-3(x +x )=5,2(0+x )-(-x +x )=1, 解得{x =3,x =-2,所以f (x )=3x -2.故选C .8.答案 (x 2+1)2解析 令t =x -1得x =t +1,由f (x -1)=x 2得f (t )=(t +1)2,即f (x )=(x +1)2,于是f (x 2)=(x 2+1)2. 9.答案 11解析 令t =x -1x ,则x 2+1x 2=(x -1x )2+2=t 2+2,因此f (t )=t 2+2,从而f (3)=32+2=11. 10.解析 在原式中以-x 替换x ,得af (-x )+f (x )=-bx , 于是有{xx (x )+x (-x )=xx ,xx (-x )+x (x )=-xx ,消去f (-x ),得f (x )=xxx -1. 故f (x )的解析式为f (x )=xx -1x. 11.D f (-1)=-(-1-4)=5>0,所以f [f (-1)]=f (5)=5×(5+4)=45,故选D .12.A 当x =-1时,f (x )=0,即图像过点(-1,0),故D 错误;当x =0时,f (x )=1,即图像过点(0,1),故C 错误;当x =1时,f (x )=2,即图像过点(1,2),故B 错误.故选A.13.答案 [0,1]解析 由已知得函数f (x )的定义域为R,大致图像如图所示,由图像知,当-1≤x ≤1时,f (x )=x 2的值域为[0,1];当x >1或x <-1时,f (x )=1,所以f (x )的值域为[0,1]. 14.答案 y ={1.2x ,x ∈[0,5]3.6x -12,x ∈(5,6]6x -26.4,x ∈(6,7]解析 由题意可知: ①当x ∈[0,5]时,y =1.2x ;②当x ∈(5,6]时,y =1.2×5+(x -5)×1.2×(1+200%)=3.6x -12; ③当x ∈(6,7]时,y =1.2×5+1×1.2×(1+200%)+(x -6)×1.2×(1+400%) =6x -26.4.∴y ={1.2x ,x ∈[0,5],3.6x -12,x ∈(5,6],6x -26.4,x ∈(6,7].15.解析 (1)当x ≥0时,f (x )=1+x -x 4=1;当x <0时,f (x )=1+x +x 4=12x +1.所以f (x )={1,x ≥0,12x +1,x <0.(2)函数f (x )的图像如图所示.(3)函数g (x )=1x (x >0)的图像如图所示,当f (x )>1x 时,f (x )的图像在g (x )的图像的上方,所以由图像可知f (x )>1x 的解集是{x |x >1}.16.解析 (1)因为f (x )={x +1,x ≤-2,x 2+2x ,-2<x <2,2x -1,x ≥2,所以f (-5)=-5+1=-4,f (-√3)=(-√3)2+2×(-√3)=3-2√3,f -52=-52+1=-32,f [x (-52)]=f -32=(-32)2+2×-32=94-3=-34.(2)当a ≤-2时,f (a )=a +1=3,解得a =2,不符合题意,舍去; 当-2<a <2时,f (a )=a 2+2a =3, 即(a -1)(a +3)=0,解得a =1或a =-3(舍去),此时a =1; 当a ≥2时,f (a )=2a -1=3,即a =2. 综上所述,a =1或a =2. 思想方法对于分段函数的求值或求参问题,常常需要针对自变量的取值分类进行求解,即分段函数分段求,这体现了分类讨论思想.17.D 选项A 中,元素2没有像,不构成映射;选项B 中,元素2没有像,不构成映射;选项C 中,元素1有两个像,不构成映射;选项D 中,满足映射的定义,构成映射.18.B 由函数的定义知,此函数可以分为三类来进行研究:若函数是三对一的对应,则值域有{4},{5},{6}三种情况;若函数是二对一的对应,则值域有{4,5},{5,6},{4,6}三种情况;若函数是一对一的对应,则值域有{4,5,6}一种情况.综上可知,函数的值域的不同情况有7种.19.A 由{x +2x =1,x -2x =-1,解得{x =0,x =12,所以在映射f 下(1,-1)的原像是0,12.故选A . 能力提升练1.C2.B3.B4.A5.B一、选择题1.C 对于A 选项,由题图可知,当乙车速度大于40千米/时时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5千米,故A 错误;对于B 选项,由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,故B 错误;对于C 选项,当行驶速度不超过80千米/时时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,故C 正确;对于D 选项,甲车以80千米/时的速度行驶时,燃油效率为10千米/升,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),故D 错误. 故选C .2.B 当0≤x ≤1时,y =32x ,当1<x ≤2时,y =3-32x ,所以y =32-32|x -1|(0≤x ≤2). 3.B ∵f (x )对任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1①,∴2f (-x )-f (x )=-3x +1②, 由①②得,f (x )=x +1.故选B .4.A 显然f (x )={3x -1x +3(x ≠-3),x (x =-3)的定义域为R,故值域为R,y =3x -1x +3=3-10x +3的值域为{y ∈R|y ≠3},∴a =3,故选A .5.B 依题意得f (x )={x 2,x 2≥|x |,|x |,x 2<|x |.在同一平面直角坐标系中作出y =x 2与y =|x |的图像,如图所示.由图像知,当x ≤-1时,x 2≥|x |,f (x )=x 2; 当-1<x <1,且x ≠0时,x 2<|x |,f (x )=|x |; 当x =0时,x 2=|x |,f (x )=0; 当x ≥1时,x 2≥|x |,f (x )=x 2.因此,当x ≤-1或x ≥1时,图像为抛物线的一部分,当-1<x <1时,图像为折线段,故选B .二、填空题 6.答案 11解析 令√x +1=t ≥1,则x =(t -1)2,所以g (t )=2(t -1)2+3=2t 2-4t +5(t ≥1),所以g (x )=2x 2-4x +5(x ≥1),所以g (3)=2×32-4×3+5=11.7.答案 3解析 设2x -1=t ,则x =x +12,∴f (t )=2(t +1)+3=2t +5.∵f (t )=11,∴2t +5=11,解得t =3.8.答案 (-∞,-1)解析 当a ≥0时,由f (a )>a ,得f (a )=23a -1>a ,解得a <-3,与a ≥0矛盾,舍去;当a <0时,由f (a )>a ,得f (a )=1x >a ,由a <0去分母、移项,得a 2-1>0,即(a +1)(a -1)>0,解得a >1或a <-1,又因为a <0,所以a <-1.综上所述,实数a 的取值范围是(-∞,-1).三、解答题9.解析 (1)由题意,设f (x )=ax +b (a ≠0), 则f [f (x )]=af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b =4x -3,由恒等式性质,得{x 2=4,xx +x =-3,解得{x =2,x =-1或{x =-2,x =3,∴函数f (x )的解析式为f (x )=2x -1或f (x )=-2x +3. (2)f (x )+2f1x=x ,将上式中的x 与1x互换,得f1x+2f (x )=1x ,于是得关于f (x )的方程组{x (x )+2x (1x )=x ,x (1x )+2x (x )=1x ,∴f (x )=23x -x3(x ≠0).10.解析 当A 中的三个元素都对应0时,f (a )+f (b )=0+0=0=f (c ),有1个映射;当A 中的三个元素对应B 中的两个元素时,满足f (a )+f (b )=f (c )的映射有4个,分别为1+0=1,0+1=1,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1;当A 中的三个元素对应B 中的三个元素时,满足f (a )+f (b )=f (c )的映射有2个,分别是(-1)+1=0,1+(-1)=0.因此满足题设条件的映射有7个.。
第一章预备知识§1集合1.3 集合的基本运算第1课时交集和并集课后篇巩固提升必备知识基础练1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|2x-3<4},则A∩B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2}D.{2,4,6}又A={0,2,4,6,8,10},∴A∩B={0,2}.2.(重庆高一期末)已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={1,y},若A∩B={3},则A ∪B=( )A.{1,3}B.{-1,3}C.{-1,1,3}D.{-3,-1,3},A={x|x2-2x-3=0}={-1,3}.因为A∩B={3},所以y=3,B={1,3},所以A∪B={-1,1,3}.故选C.3.(多选题)(山东泰安高一质检)满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A可能是( )A.{5}B.{1,5}C.{3}D.{1,3,5}{1,3}∪A={1,3,5},知A⊆{1,3,5},且A中至少有1个元素5.所以A={5}或A={1,5}或A={3,5}或A={1,3,5}.故选ABD.4.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}5.已知集合A={x|3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=()A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3},故A∩B={-4,1}.3x-4<0,解得x<436.(广东珠海高一期末)已知集合A={-2,0,2},B={y|y=x 2,x ∈A},则A ∪B=( ) A.{-4,4,-2,2,0} B.{-2,2,0,4}C.{-4,4,0,2}D.{0,2,4}B={y|y=x 2,x ∈A}={0,4},A={-2,0,2},所以A ∪B={-2,0,2,4}.7.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A ∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b= .,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.8.已知关于x 的方程3x 2+px-7=0的解集为A,方程3x 2-7x+q=0的解集为B,若A∩B={-13}.求A ∪B.{-13},∴-13∈A,且-13∈B.由-13∈A,设3=-73,解得m=7.∴A={-13,7},同理B={-13,83}, ∴A ∪B={-13,83,7}.9.(安徽合肥高一期末)已知集合A={的取值范围.当m=-1时,B={x|-1<x<2},∴A ∪B={x|-1<x<3}. (2)∵A∩B=A,∴A ⊆B, ∴{1-m ≥3,m ≤1,m <1-m ,解得m≤-2, 故实数m 的取值范围为(-∞,-2].关键能力提升练10.(山东,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A ∪B=( ) A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}数形结合)由数轴可知所以A ∪B={x|1≤x<4},故选C.11.(全国1,理2)设集合A={x|x 2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )A.-4B.-2C.2D.4A={x|-2≤x≤2},B={x|x≤-a2}.因为A∩B={x|-2≤x≤1},所以有-a2=1,解得a=-2.12.(湖北荆州中学高一期末)定义集合的商集运算为AB=x∈A,n∈B,已知集合S={2,4,6},T=x x=k2-1,k∈S,则集合TS∪T中的元素个数为( )A.5B.6C.7D.8解析∵集合的商集运算为AB=x∈A,n∈B,集合S={2,4,6},∴T=xx=k2-1,k∈S={0,1,2},∴TS=0,12,13,14,16,1,∴TS∪T=0,12,13,14,16,1,2.∴集合ST∪T元素的个数为7.13.(江西南康中学高一月考)已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α,β.若集合A={α,β},B={2,4,5,6},C={1,2,3,4},A∩C=A,A∩B=⌀,求p,q的值.A∩C=A知A⊆C,又A={α,β},则α∈C,β∈C.而A∩B=⌀,故α∉B,β∉B.显然既属于C又不属于B的元素只有1和3.令α=1,β=3.对于方程x 2+px+q=0的两根α,β, 根据根与系数的关系可得p=-4,q=3. 14.已知集合A={的取值范围.∪B=B,∴A ⊆B,∴{m ≤-2,m +9≥3,解得-6≤m≤-2,∴实数m 的取值范围是[-6,-2]. (2)当A∩B=⌀时,3≤m,或m+9≤-2, 解得m≥3,或m≤-11, ∴当A∩B≠⌀时,-11<m<3, ∴实数m 的取值范围是(-11,3).学科素养拔高练15.(上海育才中学高一月考)设集合A={x|0≤x+a≤1},B={x|a -1≤x≤0},其中a ∈R,求A∩B.a-1>0,即a>1时,B=⌀时,A∩B=⌀;当a-1=0,即a=1时,A={x|-1≤x≤0},B={0},则A∩B={0};当a-1<0,即a<1时,1-a>0.若-a>0,即a<0时,如右图所示,A∩B=⌀.若-a=0,即a=0时,如下图所示,A={x|0≤x≤1},B={x|-1≤x≤0},则A∩B={0}.若a-1<-a<0,即0<a<1时,2如下图所示,A∩B={x|-a≤x≤0}.若-a≤a-1,即1≤a<1时,如右图所示,A∩B={x|a-1≤x≤0}.2综上所述,当a<0或a>1时,A∩B=⌀;当a=0或a=1时,A∩B={0};时,A∩B={x|-a≤x≤0};当0<a<121≤a<1时,A∩B={x|a-1≤x≤0}.2。
可编辑修改精选全文完整版2023-2024学年九年级上学期数学(北师大版)第一次月考试卷▼(上册1.1～2.4) ▼说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟. 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内.错选、多选或未选均不得分. 1.下列方程是一元二次方程的是( )A.3x −1=0B.a x 2+b x +c=0(a ，b ，c 为常数)C.x ²+x =3D.3x 2−2x y −5y 2=0 2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A.对角线互相垂直B.对边相等C.对角相等D.是中心对称图形 3.一元二次方程x 2=4的解为( )A.x =2B.x =4C.x 1=−2，x 2=2D.x 1=−4，x 2=4 4.如图，若四边形ABCD 是平行四边形，则下列结论中错误的是( ) A.当AC ⊥BD 时，它是菱形 B.当AC=BD 时，它是矩形 C.当∠ABC=90°时，它是矩形 D.当AB=BC 时，它是正方形5.已知关于x 的一元二次方程x 2+b x +c=0有一个非零实数根c ，则b+c 的值为( )ADCBOA.1B.−1C.0D.26.如图，把一张矩形纸片ABCD 按如下方法进行两次折叠：第一次将DA 边折叠到DC 边上得到DA ´，折痕为DM ，连接A ´M ，CM ，第二次将△MBC 沿着MC 折叠，MB 边恰好落在MD 边上.若AD=1，则AB 的长为( )A.32 B.√2 C.√3 D.√2−1 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7.把一元二次方程x (x −3)=4化成a x 2+b x +c=0的一般形式，其中a=1，则常数项c=______.8.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，如果∠ADB=25°，那么∠AOB 的度数为______.9.若关于x 的方程x 2−2x +1−k=0有两个相等的实数根，则k 的值为______. 10.若关于x 的一元二次方程a x 2=b(ab ＞0)的两个根分别为m 与2m −6，则m 的值为______.11.如图，在平面直角坐标系x Oy 中，四边形ABCO 是正方形，已知点A 的坐标为(2，1)，则点C 的坐标为______.12.如图，在菱形ABCD 中，AB=20，∠A=45°，点E 在边AB 上，AE=13，点P 从点A第8题图ADCBO第12题图A D BCPE第11题图ACDB出发，沿着A →D →C →B 的路线向终点B 运动，连接PE ，若△APE 是以AE 为腰的等腰三角形，则AP 的长可以是______.三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13.(1)解方程：x 2−2x −1=0.(2)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，∠A=30°，BC=2，求CD 的长.14.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点C 作BD 的平行线交AB 的延长线于点E.求证：AC=CE.15.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，若OB=2，S 菱形ABCD =4，求AE 的长.16.如图，△ACB 和△CED 都是等腰直角三角形，点B ，C ，E 在同一直线上，且E 是BC 的中点，请仅用无刻度的直尺．．．．．．按要求完成以下作图(保留作图痕迹). (1)在图1中，作□ABMC. (2)在图2中，作正方形ACBN.ADBEO ABCDEOADBC17.如图，矩形绿地的长为12m ，宽为9m ，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了72m 2，求绿地的长、宽增加的长度.四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18.设关于x 的一元二次方程为x 2+b x +c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b ，c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程. ①b=2，c=1；②b=1，c=2；③b=3，c=−1；④b=−3，c=2. 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.19.定义：如果关于x 的一元二次方程a x 2+b x +c=0(a ≠0)满足b=a+c ，那么我们称这个方程为“完美方程”.(1)下面方程是“完美方程”的是______.(填序号) ①x 2−4x +3=0；②2x 2+x +3=0；③2x 2−x −3=0.(2)已知3x 2+m x +n=0是关于x 的“完美方程”，若m 是此“完美方程”的一个根，求m 的值.20.如图，在□ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的点，连接BE ，DF ，BE 与DF 交于点P ，BE=DF.添加下列条件之一使□ABCD 成为菱形：①CE=CF ；②BE ⊥CD ，DF ⊥BC. (1)你添加的条件是_______(填序号)，并证明.图1ADCBEA图2CDE B(2)在(1)的条件下，若∠A=45°，△BFP 的周长为4，求菱形的边长.五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21.【阅读】解方程：(x −1)2−5(x −1)+4=0.解：设x −1=y ，则原方程可化为y 2−5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4. 当y=1时，即x −1=1，解得x =2；当y=4时，即x −1=4，解得x =5. 所以原方程的解为x 1=2，x 2=5. 上述解法称为“整体换元法”. 【应用】 (1)若在方程x−1x−3xx−1=0中，设y=x−1x，则原方程可化为整式方程：________.(2)请运用“整体换元法”解方程：(2x −3)2−(2x −3)−2=0.22.如图1，在□ABCD 中，点E ，F 在对角线AC 上，AE=CF ，DE ⊥AC ，过点D 作DG ∥AC 交BF 的延长线于点G. (1)求证：四边形DEFG 是矩形.(2)如图2，连接DF ，BE ，当∠DFG=∠BEF 时，判断四边形 DEFG 的形状，并说明理由.图1E F ABCDG图2ABDGCFE AFCDE P B六、解答题(本大题共12分) 23.【课本再现】(1)如图1，在正方形ABCD 中，F 为对角线AC 上一点，连接BF ，DF.你能找出图中的全等三角形吗？结论猜想：图中的全等三角形有__________ (不必证明). 【知识应用】(2)如图2，P 为DF 延长线上一点，且BP ⊥BF ，DP 交BC 于点E.判断△BPE 的形状，并说明理由. 【拓展提升】(3)如图3，过点F 作HF ⊥BF 交DC 的延长线于点H. ①求证：HF=DF.②若AB=√3+1，∠CBF=30°，请直接写出CH 的长.2023-2024学年九年级上学期数学(北师大版)第一次月考试卷参考答案▼(上册1.1～2.4) ▼说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟. 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后图1AB CDFA图2B PDC EF图3ABDHCF括号内.错选、多选或未选均不得分. 1.下列方程是一元二次方程的是( )A.3x −1=0B.a x 2+b x +c=0(a ，b ，c 为常数)C.x ²+x =3D.3x 2−2x y −5y 2=01.解：A 是一元一次方程，B 当a ≠0时是一元二次方程，C 是一元二次方程，D 是二元二次方程，故选C 。
第四章 对数运算与对数函数§2 对数的运算2.2 换底公式知识点 对数的换底公式1.☉%8#65￥@7￥%☉(2020·银川一中月考)log 29·log 34=( )。
A.14 B.12C.2D.4 答案：D解析：原式=log 232·log 322=4log 23·log 32=4·lg3lg2·lg2lg3=4。
故选D 。
2.☉%11##*4#3%☉(2020·菏泽高一检测)log 849log 27的值是( )。
A.2B.32C.1D.23答案：D 解析：log 849log 27=log 272log 223÷log 27=23。
故选D 。
3.☉%0#90#￥0*%☉(2020·江西赣州十三县市高一期中考试)若log 2x ·log 34·log 59=8,则x 等于( )。
A.8 B.25 C.16 D.4 答案：B解析：因为log 2x ·log 34·log 59=lgxlg2·lg4lg3·lg9lg5=lgx lg2·2lg2lg3·2lg3lg5=8,所以lg x =2lg 5=lg 25,所以x =25。
故选B 。
4.☉%#*#29#62%☉(2020·白城一中月考)化简:log 212+log 223+log 234+…+log 21516等于( )。
A.5 B.4 C.-5 D.-4 答案：D解析：原式=log 2(12×23×34×…×1516)=log 2116=-4。
故选D 。
5.☉%￥7@@74#3%☉(2020·闽侯八中高一月考)若log 34·log 8m =log 416,则m 等于( )。
A.3 B.9 C.18 D.27 答案：D解析：原式可化为log 8m =2log 34,所以13log 2m =2log 43,所以m 13=3,m =27。
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·德州市高一期中)已知集合A ＝{x |x －2≤1，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( )A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个【解析】 因为集合A ＝{x |x －2≤1，x ∈N *}＝{1,2,3}，所以其真子集个数为23－1＝7，故选C.【答案】 C2．(2016·石家庄高一期末)已知{1,2}⊆X ⊆{1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合X 的个数为( )A ．2个B ．6个C ．4个D ．8个【解析】 由题意知，集合X 中的元素一定含有1,2，另外可从3,4,5中可取0个，取1个，取2个，取3个，∴集合X ＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．故选D.【答案】 D3．(2016·北京高一月考)设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，则2x ＋y 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．－1【解析】 因为A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.x ＝0时，B ＝{0,0}不成立．当x ＝1，y ＝0时，A ＝{1,0}，B ＝{0,1}，满足条件． 所以2x ＋y ＝2.故选C. 【答案】 C4．(2016·洛阳高一检测)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k3，k ∈Z，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k6，k ＝Z，则( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ＝BD ．A 与B 关系不确定【解析】 集合A 中x ＝k 3＝2k 6，B 中x ＝k6，2k 为偶数，k 为整数，故A 中的元素都是B 中的元素，即A ⊆B ，故选A.【答案】 A5．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D【解析】 选项A 错，应当是B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C 错，正方形一定菱形，但菱形不一定是正方形．选项D 错，应当是D ⊆A .【答案】 B 二、填空题6．已知集合A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围是________．【解析】 用数轴表示集合A ，B ，AB ，如图所示：则a≥4.【答案】a≥47．设集合A＝{x，y}，B＝{4，x2}，若A＝B，则x＋y＝__________.【解析】因为A＝B，当x＝4时，B＝{4,16}，A＝{4,16}，即x＝4，y＝16；x＝0时，B＝{4,0}，A＝{0,4}，即x＝0，y＝4；x＝1时，B＝{4,1}，A＝{1,4}，x＝1，y＝4.【答案】20或4或58．设集合P＝{(x，y)|x＋y<4，x，y∈N＋}，则集合P的非空子集的个数是________．【解析】∵x＋y<4，x，y∈N＋，∴x＝1，y＝3；x＝2，y＝2；x＝3，y＝1.故P＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，共有8个子集，其中非空子集有7个．【答案】7三、解答题9．判断下列各组中两集合之间的关系：(1)P＝{x∈R|x2－4＝0}，Q＝{x∈R|x2＝0}；(2)P＝{y∈R|y＝t2＋1，t∈R}，Q＝{t∈R|t＝y2－2y＋2，y∈R}；(3)P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝4k＋2，k∈Z}；(4)P＝{y|y＝x2－1，x∈R}，Q＝{(x，y)|y＝x2－1，x，y∈R}．【解】(1)集合P＝{x∈R|x2－4＝0}＝{2，－2}，集合Q＝{x∈R|x2＝0}＝{0}，所以P与Q不存在包含关系．(2)集合P＝{y∈R|y＝t2＋1，t∈R}＝{y∈R|y≥1}，集合Q＝{t∈R|t＝(y－1)2＋1，y ∈R }＝{t ∈R |t ≥1}，所以P ＝Q .(3)集合P ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }是偶数集，集合Q ＝{x |x ＝4k ＋2，k ∈Z }＝{x |x ＝2(2k ＋1)，k ∈Z }＝{…，－6，－2,2,6，…}，显然Q P .(4)集合P 是数集，且P ＝{y |y ≥－1}，集合Q ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ，y ∈R }中的代表元素是点(x ，y )，所以Q 是点集，所以P 与Q 不存在包含关系．10．已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 取值的范围．【解】 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B . (2)当a >0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <2a ， 又B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2a <x <1a .∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，实数a 的取值范围是：a ＝0或a ≥2或a ≤－2.[能力提升]1．设集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，则集合A 、B 、C 之间关系完全正确的是( )A ．A ≠B ，AC ，BCB ．A ＝B ，AC ，B CC ．A ＝B ，C A ，C BD ．A ≠B ，C A ，C B【解析】 集合A 中元素所具有的特征：x ＝2k ＋1＝2(k ＋1)－1，∵k ∈Z ，∴k ＋1∈Z 与集合B 中元素所具有的特征完全相同，∴A ＝B ；当k ＝2n 时，x ＝2k ＋1＝4n ＋1 当k ＝2n ＋1时，x ＝2k ＋1＝4n ＋3.即C 是由集合A 中的部分元素所组成的集合．∴CA ，CB .【答案】 C2．(2016·宣城市高一月考)已知集合A ＝{x |x 2－4＝0}，集合B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则实数a 的值是( ) 【导学号：04100005】A ．0B ．±12 C ．0或±12D ．0或12【解析】 ∵集合A ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，且B A ，∴B 有两种情况： (1)a ＝0，B ＝∅，满足B ⊆A ；(2)a ≠0，由1a ＝±2，得a ＝±12.综上a ＝0或±12. 【答案】 C3．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．【解】 因为A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，B ⊆A ， 所以B 可能为∅，{0}，{－4}，{0，－4}． ①当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无解． 所以Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 所以a <－1.②当B ＝{0}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根0， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧0＋0＝－2(a ＋1)，0×0＝a 2－1，解得a ＝－1.③当B ＝{－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根－4， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＋(－4)＝－2(a ＋1)，－4×(－4)＝a 2－1，该方程组无解．④当B ＝{0，－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个不相等的实数根0与－4，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧0＋(－4)＝－2(a ＋1)，0×(－4)＝a 2－1，解得a ＝1.综上可得a ≤－1或a ＝1.。
