§2.3 极限存在性的判定与求法

求函数的极限值的方法总结在数学中，函数的极限值是指函数在某一特定区间上取得的最大值或最小值。

求解函数的极限值是数学分析中经常遇到的问题之一，下面将总结一些常用的方法来求解函数的极限值。

一、导数法对于给定的函数，可以通过求导数来判断函数在某一点附近的单调性和极值情况。

导数表示了函数在某一点处的变化率，通过求导数可以获得函数的驻点（导数为零的点）以及极值点。

一般来说，当函数从单调递增变为单调递减时，即导数由正变负，函数的极大值出现；当函数从单调递减变为单调递增时，即导数由负变正，函数的极小值出现。

所以，通过求导数可以找到函数的极值点，然后通过比较极值点和边界点的函数值，即可确定函数的极限值。

二、二阶导数法在某些特殊情况下，求函数的二阶导数可以提供更加准确的信息来确定函数的极限值。

当函数的二阶导数恒为正时，表示函数处于凸型，此时函数可能有极小值但没有极大值；当函数的二阶导数恒为负时，表示函数处于凹型，此时函数可能有极大值但没有极小值。

通过对二阶导数进行符号判断，可以帮助确定函数的极限值。

三、极限值存在性判定对于一些特殊的函数，通过判定函数的极限值是否存在可以快速确定函数的极限值。

当函数在某一区间上连续且存在最大最小值时，函数的极限值也会存在。

因此，可以通过求解函数在区间端点的函数值，并比较这些函数值来确定函数的极限值。

四、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种通过引入约束条件来求解极值的方法，特别适用于求解带有约束条件的函数的极值。

通过构造拉格朗日函数，将原始问题转化为无约束的极值问题，然后通过求解极值问题来确定函数的极限值。

五、切线法切线法是一种直观而有效的求解函数极值的方法。

通过观察函数图像，在极值附近找到一条切线，使得切线与函数图像的接触点的函数值最大或最小。

通过近似切线与函数图像的接触点，可以获得函数的极值的近似值。

六、数值法数值法是一种通过计算机进行数值逼近的方法来求解函数的极限值。

通过将函数离散化，并在离散点上进行计算，可以得到函数在这些离散点上的函数值，然后通过比较这些函数值来确定函数的极限值。

高等数学中函数极限的求法技巧解析函数极限是高等数学课程中的重要内容，它是研究函数在某一点邻域内的变化趋势的数学工具。

函数极限的求法技巧在课程中占据着重要的地位，能够帮助学生更好地理解和掌握函数极限的求解方法。

下面我们将从极限的定义、性质和一些常见的求法技巧进行解析，希望能够帮助学生更好地理解这一部分内容。

一、极限的定义和性质1. 极限的定义对于函数f(x)，当x无限接近于某一点a时，如果函数f(x)的取值无限接近于某个确定的值A，那么我们说函数f(x)在点a处的极限为A，记作lim(x->a)f(x)=A。

这个定义中的“无限接近”可以用数学语言来描述，即对于任意小的正数ε，存在一个正数δ，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立。

这就是函数极限的ε-δ定义，是高等数学中函数极限的核心概念。

2. 极限的性质函数极限有一些基本性质，如：（1）唯一性：当极限存在时，它是唯一确定的；（2）局部有界性：如果函数在某一点的极限存在，则该点的邻域内函数的取值是有界的；（3）局部保号性：如果函数在某一点的极限存在且大于（或小于）零，则该点的邻域内函数的取值保持大于（或小于）零。

二、常见的极限求法技巧1. 数列极限在高等数学中，函数极限的求解经常涉及到数列极限的技巧。

数列极限是函数极限的基础，常用来推导函数的极限性质和求解复杂的极限问题。

我们可以利用数列极限的性质和定理来求解函数极限，如夹逼定理、单调有界原理等。

2. 无穷小量与无穷大量的运算在高等数学中，常常需要对无穷小量和无穷大量进行运算，这也是求解函数极限的一个重要技巧。

我们可以将无穷小量和无穷大量进行合并、分解或代换，来简化函数极限的求解过程，例如利用无穷小量的性质来消去形式不确定的无穷小量。

3. 函数的展开和化简在求解函数极限时，我们可以利用泰勒展开、函数的特殊性质等手段，将待求的极限转化为更简单的形式。

通过展开和化简函数，我们可以更容易地求解函数在某一点的极限，从而使得求解过程更加简单和直观。

探讨极限存在和无穷趋向性的判定方法极限存在和无穷趋向性是微积分中的重要概念，用于描述函数在一点或无穷远处的行为。

本文将探讨极限存在和无穷趋向性的判定方法，帮助读者更好地理解这些概念。

一、极限存在的判定方法在微积分中，我们通常关注的是函数在某一点的极限。

极限存在意味着函数在这一点附近有一个固定的趋势，它可以逼近某个确定的值。

1. 数列极限的判定方法数列是由一组按照特定规律排列的实数构成，其中的每个实数被称为数列的项。

对于数列来说，极限存在的判定方法有以下两种：- 收敛数列的判定方法：如果数列{an}的极限存在，我们可以通过以下两个条件来判断数列是否收敛：- 数列具有上确界和下确界，在某个位置N之后的所有项都落在这两个界限之间。

- 当n无限增大时，数列的项趋近于一个确定的值L。

- 发散数列的判定方法：如果数列{bn}的极限不存在，我们将其判断为发散数列。

这可能导致以下几种情况：- 数列的项在n无限增大时趋于无穷大。

- 数列的项在n无限增大时没有确定的极限。

2. 函数极限的判定方法除了数列，我们还经常关注函数在某一点附近的极限。

函数极限存在的判定方法有以下几种：- ε-δ定义：对于函数f(x)，如果对于任意给定的ε > 0，都存在一个δ > 0，使得当0 < |x - c| < δ时，有|f(x) - L| < ε，那么函数f(x)在点c处的极限存在，且极限值为L。

- 单侧极限的判定方法：对于处于开区间(a, c)或(c, b)上的函数f(x)，当x无限接近c时，函数值可以趋近于一个确定的值L。

单侧极限的判定方法与ε-δ定义类似。

二、无穷趋向性的判定方法无穷趋向性是指函数在某个点或无穷远的位置趋向于无穷大或无穷小。

无穷趋向性也是我们经常在微积分中遇到的情况之一。

1. 函数趋向正无穷的判定方法一个函数f(x)在x趋向于正无穷时，可使用以下判定方法：- 极限定义：对于任意给定的M > 0，存在一个位置X，使得当x >X时，有f(x) > M，即函数值可以无限增大。

高等数学教材北大版本目录目录第一章极限与连续函数第一节极限的概念与性质1.1 实数集的性质1.2 数列极限的定义与性质1.3 无穷小量与无穷大量的比较1.4 函数极限的定义与性质1.5 极限存在准则1.6 极限运算法则1.7 极限存在的计算方法第二节一元函数的连续性2.1 连续函数的概念与性质2.2 连续函数的运算法则2.3 连续函数的分段定义与分段连续性2.4 介值定理及其推论2.5 零点存在性的判定第三节导数与微分3.1 导数的概念与几何意义3.2 导数的计算3.3 切线与法线方程3.4 高阶导数与莱布尼茨公式3.5 微分的概念与性质3.6 高阶导数的计算方法第二章微分学第一节函数的单调性与极值1.1 单调数列的判定1.2 函数单调性的判定1.3 极值的概念1.4 极值的判定条件1.5 函数的最值与最值存在性的判定第二节函数的凹凸性与拐点2.1 函数的凹凸性的概念与性质2.2 函数的拐点概念2.3 拐点的判定与求法2.4 函数的凹凸区间与拐点的图像第三节函数的图形与曲率3.1 函数的图形与切线方程3.2 曲率的概念与曲率圆方程3.3 渐近线与极限曲线第三章积分学第一节不定积分1.1 不定积分的概念与基本性质1.2 不定积分的计算方法1.3 牛顿-莱布尼茨公式与定积分第二节定积分2.1 定积分的概念与性质2.2 定积分的计算2.3 定积分与不定积分的关系2.4 定积分的应用第三节微积分基本定理与换元积分法3.1 微积分基本定理3.2 定积分的换元积分法3.3 径向对称函数的定积分第四章无穷级数第一节数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数收敛性的判定1.3 常见数项级数的性质与收敛域第二节幂级数2.1 幂级数的概念与收敛域2.2 幂级数的运算法则2.3 幂级数的收敛半径与收敛区间 2.4 幂级数的和函数及其性质第五章二元函数与多元函数的微分学第一节二元函数的极限与连续性1.1 二元函数的极限概念1.2 二元函数的连续性1.3 多元函数的限制与间断点第二节多元函数的偏导数与全微分 2.1 多元函数的偏导数2.2 隐函数的求导2.3 多元函数的全微分第三节多元函数的泰勒公式与极值 3.1 多元函数的泰勒公式3.2 多元函数的极值与条件极值 3.3 多元函数的拉格朗日乘数法第六章多元函数的积分学第一节二重积分1.1 二重积分的概念与性质1.2 二重积分的计算1.3 二重积分的应用第二节三重积分2.1 三重积分的概念与性质2.2 三重积分的计算2.3 三重积分的应用第七章常微分方程第一节常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的基本概念1.2 一阶常微分方程的解1.3 可分离变量的方程第二节一阶常微分方程的应用2.1 可解的方程2.2 高效变量的方程2.3 齐次方程第三节高阶常微分方程3.1 二阶线性常微分方程3.2 常系数齐次线性方程3.3 变动参数法与电路问题总结以上为高等数学北大版本教材目录，涵盖了极限与连续函数、微分学、积分学、无穷级数、二元函数与多元函数的微分学、多元函数的积分学、常微分方程等多个主要章节。

渤海大学学士学位论文题目：极限的存在性、求法、应用及推广学校：渤海大学系别：数学系专业：数学与应用数学姓名：王力学号：031105069指导教师：金铁英目录引言 (1)Ⅰ、数列极限 (2)一、数列极限的定义及性质 (2)二、数列极限的存在条件 (3)三、数列极限的求法 (4)四、数列极限在购房按揭贷款分期偿还问题中的应用 (7)Ⅱ、函数极限 (8)一、函数极限的定义 (8)二、函数极限的及性质 (9)三、函数极限的存在条件 (11)四、函数极限的求法 (12)五、函数极限在求曲线渐近线方面的应用 (24)Ⅲ、数列极限和函数极限的关系 (24)结束语 (25)参考文献 (25)极限的存在性、求法、应用及推广王力（渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国）摘要：极限的概念是数学分析中最重要的概念。

数学分析中有关函数有两种基本的运算，一种是微分、另一种是积分。

他们都是用极限定义的。

还有，当我们研究函数图形的性质时，一个重要概念是连续性。

而连续性也是由极限定义的。

极限是数学分析中一个最基本的运算。

本文先研究离散的极限，即数列极限，再研究连续的极限，即函数极限，包括定义及性质、存在性、应用、求法以及求法的推广。

关键词：极限数列函数关系求法推广Existence of theorem limit Application and PromotionWang li(Department of Mathematic Bohai University Liaoning Jinzhuo 121000 China) Abstract：Limit concept is the most important concept in the mathematical analysis. In the mathematical analysis the related function has two kind of basic operations, one kind is the differential, another kind is an integral. They all are define with the limit. Also, when we study the function graph the nature, an important concept is a continuity. But the continuity also has the limit to define. The limit is in the mathematical analysis a most basic operation. This article first studies the separate limit, namely the sequence limit, then studies the continual limit, namely the limit of function, including the definition and the nature, the existence, the application, asks the law as well as the asking method promotion.Key Words：Limit Sequence Function Relations Solution method Promotion引言如果说数学分析就是一座高耸的大厦，那么极限理论就是它的基石。

高等数学b1教材目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义与表示1.1.2 函数的性质与分类1.1.3 函数的运算与复合1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义与表示1.2.2 极限的性质与运算1.2.3 极限存在性的判定方法1.3 无穷小量与无穷大量1.3.1 无穷小量的概念与性质1.3.2 无穷大量的概念与性质1.3.3 无穷小量与无穷大量的比较第二章导数与微分2.1 导数的概念与计算2.1.1 导数的定义与性质2.1.2 常见函数的导数计算2.1.3 导数的四则运算与复合运算 2.2 微分的概念与应用2.2.1 微分的定义与性质2.2.2 微分中值定理与导数的应用 2.2.3 泰勒公式与高阶导数2.3 函数的增减性与极值2.3.1 函数的增减性与临界点2.3.2 函数的极值与拐点2.3.3 函数图象的描绘与分析第三章不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.1.1 不定积分的定义与基本性质 3.1.2 常用函数的不定积分计算3.1.3 不定积分的线性运算与换元法 3.2 定积分的概念与性质3.2.1 定积分的定义与基本性质3.2.2 定积分的计算及其几何应用 3.2.3 定积分的性质与换元法扩展 3.3 反常积分与广义积分3.3.1 反常积分的概念与判敛准则 3.3.2 反常积分的计算与应用3.3.3 广义积分的收敛性与判别法第四章微分方程与其应用4.1 微分方程的基本概念与解法4.1.1 微分方程的定义与分类4.1.2 一阶线性微分方程的解法4.1.3 二阶线性齐次微分方程的解法 4.2 常微分方程的应用4.2.1 常微分方程的生活应用4.2.2 常微分方程的物理应用4.2.3 常微分方程的经济应用第五章重积分与曲线曲面积分5.1 重积分的概念与性质5.1.1 二重积分的定义与计算 5.1.2 二重积分的坐标变换5.1.3 三重积分的定义与计算 5.2 曲线曲面积分的概念与应用 5.2.1 曲线积分的定义与计算 5.2.2 曲面积分的定义与计算 5.2.3 曲线曲面积分的应用第六章空间解析几何与向量代数 6.1 空间解析几何的基本概念6.1.1 空间直角坐标系与点坐标 6.1.2 空间线段与方向向量6.1.3 空间平面与法向量6.2 向量的概念与运算6.2.1 向量的定义与性质6.2.2 向量的线性运算与数量积 6.2.3 向量的向量积与混合积 6.3 空间几何与向量代数的应用6.3.1 空间几何与向量代数的关系 6.3.2 空间几何在物理中的应用6.3.3 向量代数在计算中的应用第七章多元函数微分学7.1 多元函数的概念与性质7.1.1 多元函数的定义与表示7.1.2 多元函数的极限与连续性7.1.3 多元函数的偏导数与全微分 7.2 隐函数与参数方程的微分7.2.1 隐函数的存在性与全微分7.2.2 参数方程的全微分与导数7.2.3 多元函数微分学的几何应用 7.3 多元函数的方向导数与梯度7.3.1 方向导数的定义与计算7.3.2 梯度的定义与性质7.3.3 多元函数的最大最小值与应用第八章多元函数积分学8.1 多元函数的二重积分8.1.1 二重积分的定义与计算8.1.2 二重积分的坐标变换8.1.3 二重积分的应用8.2 多元函数的曲线曲面积分8.2.1 曲线积分的定义与计算8.2.2 曲面积分的定义与计算8.2.3 曲线曲面积分的应用8.3 多元函数的空间曲线与曲面积分 8.3.1 参数曲线的弧长与曲线积分 8.3.2 参数曲面的面积与曲面积分 8.3.3 多元函数积分学的应用第九章空间平面与曲线的解析几何 9.1 空间平面的方程与性质9.1.1 空间平面的点法向式方程9.1.2 平面与平面的位置关系9.1.3 空间平面的截距式方程9.2 空间曲线的方程与性质9.2.1 参数方程与切线方向9.2.2 曲线的弧长与曲率9.2.3 直线与曲线的位置关系9.3 空间平面与曲线解析几何的应用9.3.1 空间平面与曲线的几何应用9.3.2 空间平面与曲线在工程中的应用 9.3.3 空间几何的综合应用第十章常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.1.1 常微分方程的分类与解10.1.2 一阶线性微分方程的解法10.1.3 高阶线性齐次微分方程的解法 10.2 常微分方程的定解问题与稳定性 10.2.1 定解问题与唯一解的存在性10.2.2 稳定性与解的性态10.2.3 常微分方程的应用10.3 常微分方程的数值解与近似解10.3.1 常微分方程的数值解法10.3.2 常微分方程的泰勒展开法10.3.3 常微分方程的近似解法总结以上为高等数学B1教材的目录，涵盖了函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程与其应用、重积分与曲线曲面积分、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、多元函数积分学、空间平面与曲线的解析几何以及常微分方程等内容。