力学习题解答(漆安慎)

力学1．求下列函数的导数⑴10432+-=x x y ⑵100cos 8sin 7/1-++=x x x y⑶)/()(bx a b ax y ++= ⑷21sin x y +=⑸x ey sin = ⑹x e y x100+=-2．已知某地段地形的海拔高度h 因水平坐标x 而变，h=100-0.0001x 2(1-0.005x 2)，度量x 和h 的单位为米。

问何处的高度将取极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？ 解：先求出h(x)对x 的一阶导数和二阶导数：令dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。

∵d 2h/dx 2|x=0<0,∴x=0是极大值点，h(0)=100；∵d 2h/dx 2|x=10>0,∴x=10是极小值点，h(10)=99.0005米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10).3．求下列不定积分 解：4. 求下列定积分解：1|cos si n 202/0=-=⎰ππx xdx6．计算由y=3x 和y=x 2所围成的平面图形的面积。

解：如图所示，令3x=x 2,得两 条曲线交点的x 坐标：x=0,3. 面积7．求曲线y=x 2+2,y=2x,x=0和x=2诸线所包围的面积。

解：面积A8．一物体沿直线运动的速度为v=v 0+at,v 0和a 为常量，求物体在t 1至t 2时间内的位移。

解：位移S ⎰+=21)(0t t dtat v1．2．3．4．5．6．7．略 8．二矢量如图所示A=4,B=5,α=25o ,β=36.87o ,直接根据矢量标积定义和正交分解法求B A⋅。

解：直接用矢量标积定义： 用正交分解法：∵A x =4cos α=3.6 A y =4sin α=1.7, B x =5cos(90o +β)= - 5sin β= -3,B y =5sin(90o +β)=5cos β=4 ∴447.1)3(6.3-=⨯+-⨯=+=⋅y y x x B A B A B A9．的夹角。

力学（第二版）漆安慎习题解答数学预备知识第一章物理学和力学数学常识一、微积分1．求下列函数的导数⑴10432+-=x x y ⑵100cos 8sin 7/1-++=x x x y ⑶)/()(bx a b ax y ++= ⑷21sin x y += ⑸x e y sin = ⑹x e y x 100+=-xx x e e y xe y x x x x x x y bx a b a y x x x x y x y ----=+-==++=++=+-=-+-=-=100100)1('cos '1/1cos 2·)1(·)1cos(')/()('sin 8cos 7)2/(1'46'sin 222/12212/12222⑹⑸⑷⑶⑵解：⑴2．已知某地段地形的海拔高度h 因水平坐标x 而变，h=100-0.0001x 2(1-0.005x 2)，度量x 和h 的单位为米。

问何处的高度将取极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？解：先求出h(x)对x 的一阶导数和二阶导数：42643643647242102106)102102(102102)1051010(22--------⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯+-=x x x x x x x dxd dx h d dxd dxdh令dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。

∵d 2h/dx 2|x=0<0,∴x=0是极大值点，h(0)=100；∵d 2h/dx 2|x=10>0,∴x=10是极小值点，h(10)=99.0005米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10).3．求下列不定积分⎰⎰++-dx x dxx x x )2()13(23⑵⑴ ⎰⎰⎰⎰+--++dxb ax dxdx x x dx e x x x x x x)sin()cos (sin )2(22113⑹⑸⑷⑶⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-dxxdxdx xe xdx x dx e xx x b ax dx x ln 222)12(cos )11(cos sin 2⑽⑼⑻⑺ 解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==++=+=+-=--=+==++=++=+-=--=++-=++=++-=-==+--=-=-+++=-+=-+++=+=+++-=+-=+-----+---++-++-cx x xd dx c x x dx x xdx ce x d e dx xe c x x xd xdx x c b ax b ax d b ax c ex d e dx e cb ax b ax d b ax dx b axc arctgx x dx dx dx cx x xdx xdx dx x x ce x dx x dx e dx e cx dx x dx dx x cx x x dx xdx dx x dx x x xx x x x aab ax dxxx x aax dxx x x x xxx x dxx xx x x x 221ln 4121212212213312222/112212************/3133312ln 22x 222344133)(ln )(ln ln )12(2sin )2cos 1(cos )11()(sin )(sin sin cos sin )()()2()cos()()sin()sin(sin cos cos sin )cos (sin 2ln 323)2(2)2(3)13(22222222⑽⑼⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵⑴4. 求下列定积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++--++--2/021114/6/2111ln 12/12/111421)sin 3(2cos )()1()122πππ⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵（⑴dxx x dx xdxdx e dx dx e e dx x x xxex xxdx xx︒===-=-=--=--=-=-=----⎰⎰⎰⎰⎰⎰60|arcsin )1(|)1()1()1()1(||)132/12/12/12/111551105514143532421213221212/121223π⑶⑵（解：⑴x e e e d e dx e e x x dx dx xdx x xdx x x x x xπππππππππ412832/02/0212/0210101143214/6/4/6/21214/6/221211112211ln 1)2cos 1(3)sin 3(454/||2sin )2(2cos 2cos 2ln |)ln ()(5.1|)ln 1()ln 1()ln 1(2+=-+=+︒===-===+-=+=+=+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++dx x xdx dx x x arctgx dx x x xd xdx e e x e dx e x x d x dx x x x x eee xx πππ⑻⑺⑹⑸⑷示这些定积分。

力学（第二版）漆安慎习题解答第四章动能和势能第四章 动能和势能 一、基本知识小结1、功的定义式：⎰⋅=2112r r rd F A直角坐标系中：⎰⎰+==221121,,1212y x y x yxx x x dy F dx F A dx F A ，自然坐标系中：⎰=2112s s ds F A τ极坐标系中： ⎰+=2211,,12θθθθr r rrd F dr F A2、⎰⋅-=-=b ap p k r d F a E b E mv E 保势能动能)()(,212重力势能m g y y E p =)(弹簧弹性势能 2)(21)(l r k r E p -=静电势能 rQqr E p πε4)(=3、动能定理适用于惯性系、质点、质点系 ∑∑∆=+k E A A 内外4、机械能定理适用于惯性系 ∑∑+∆=+)p k E E A A （非保内外5、机械能守恒定律适用于惯性系若只有保守内力做功，则系统的机械能保持不变，C E E p k =+6、碰撞的基本公式接近速度）（分离速度（牛顿碰撞公式）动量守恒方程）e v v e v v v m v m v m v m =-=-+=+)((2010122211202101对于完全弹性碰撞 e = 1 对于完全非弹性碰撞 e = 0对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式。

7、克尼希定理 ∑+=22'2121i i c k v m mv E绝对动能=质心动能+相对动能应用于二体问题 222121u mv E c k μ+=212121m m m m m m m +=+=μ u 为二质点相对速率二、思考题解答4.1 起重机起重重物。

问在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种情况下合力之功的正负。

又：在加速上升和匀速上升了距离h 这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功是否一样多？答:在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种况下合力之功的正负分别为：正、0、负、正、0、负。

力学1．求下列函数的导数⑴10432+-=x x y ⑵100cos 8sin 7/1-++=x x x y⑶)/()(bx a b ax y ++= ⑷21sin x y += ⑸xey sin = ⑹x ey x100+=-xx x e e y xe y x x x x x x y bx a b a y x x x x y x y ----=+-==++=++=+-=-+-=-=100100)1('cos '1/1cos 2·)1(·)1cos(')/()('sin 8cos 7)2/(1'46'sin 222/12212/12222⑹⑸⑷⑶⑵解：⑴2．已知某地段地形的海拔高度h 因水平坐标x 而变，h=100-0.0001x 2(1-0.005x 2)，度量x 和h 的单位为米。

问何处的高度将取极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？解：先求出h(x)对x 的一阶导数和二阶导数：42643643647242102106)102102(102102)1051010(22--------⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯+-=x x x x x x x dxd dx h d dxd dxdh令dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。

∵d 2h/dx 2|x=0<0,∴x=0是极大值点，h(0)=100；∵d 2h/dx 2|x=10>0,∴x=10是极小值点，h(10)=99.0005米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10).3．求下列不定积分⎰⎰++-dx x dxx x x )2()13(23⑵⑴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-++--+dxxdxdx xe xdx x dxe dxb ax dx dx x x dx e xx x b ax dx x x x xx x x ln 222113)12(cos )11(cos sin )sin()cos (sin )2(222⑽⑼⑻⑺⑹⑸⑷⑶ 解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==++=+=+-=--=+==++=++=+-=--=++-=++=++-=-==+--=-=-+++=-+=-+++=+=+++-=+-=+-----+---++-++-cx x xd dx cx x dx x xdx ce x d e dx xec x x xd xdx x cb ax b ax d b axc ex d e dx e cb ax b ax d b ax dx b axc arctgx x dx dx dx cx x xdx xdx dx x x ce x dx x dx e dx e c x dx x dx dx x cx x x dx xdx dx x dx x x x x x x x aabax dxxx x aax dxx x x x xxx x dxx xx xx x 221ln 4121212212213312222/112212212111111122/3133312ln 22x 222344133)(ln )(ln ln )12(2sin )2cos 1(cos )11()(sin )(sin sin cos sin )()()2()cos()()sin()sin(sin cos cos sin )cos (sin 2ln 323)2(2)2(3)13(22222222⑽⑼⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵⑴4. 求下列定积分πππππππππ412832/02/0212/021011143214/6/4/6/21214/6/221211112211ln 132/12/12/12/111551105514143532421213221212/1212/021114/6/2111ln 12/12/111421)2cos 1(3)sin 3(454/||2sin )2(2cos 2cos 2ln |)ln ()(5.1|)ln 1()ln 1()ln 1(60|arcsin )1(|)1()1()1()1(||)1)sin 3(2cos )()1()1222322+=-+=+︒===-===+-=+=+=+=++=︒===-=-=--=--=-=-=-++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++---++--dx x xdx dx x x arctgx dx x x xd xdx e e x e dx e x x d x dx x e e e d e dx e e x x dx dx xdx x dxx x dx xdx dx e dx dx e e dx x x x xx eeexxxdx x x x xxx xxex xxdx xx πππππππ⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵（解：⑴⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵（⑴示这些定积分。

力学（第二版）漆安慎习题解答第七章刚体力学第七章刚体力学一、基本知识小结1.刚体的质心定义：r c m i r i/ m r c rdm/ dm求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。

2.刚体对轴的转动惯量定义：I m i r i2I r2dm平行轴定理I o = l c+md2正交轴定理I z = X+I y.常见刚体的转动惯量：（略）3.刚体的动量和质心运动定理p mv c F ma c4.刚体对轴的角动量和转动定理L I I5.刚体的转动动能和重力势能E k ?I 2E p mgy c6•刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程： F ma c c I c c（不必考虑惯性力矩）动能：E k 2mv；今I c c27.刚体的平衡方程、思考题解答火车在拐弯时所作的运动是不是平动答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。

若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。

但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。

对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动r r答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即Fi ma c 0时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。

所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩M Mi r i Fi不一定为零。

由刚体的转动定律M J可知，刚体将发生转动。

比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。

如果刚体转动的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否一定很大（2）作用在它上面的力矩是否一定很大M r i F sin j J J「答：由刚体的定轴转动定律dt可知，刚体受对轴的合外力矩正比于绕定轴转动角速度的时间变化率。

力学（第二版）漆安慎习题解答第九章振动第九章一、基本知识小结⒈物体在线性回复力F = - kx ，或线性回复力矩τ= - cφ作用下的运动就是简谐振动，其动力学方程为 ,02022=+x dtx d ω（x 表示线位移或角位移）；弹簧振子：ω02=k/m ，单摆：ω02=g/l ，扭摆：ω02=C/I.⒉简谐振动的运动学方程为 x = Acos(ω0t+α)；圆频率、频率、周期是由振动系统本身决定的，ω0=2π/T=2πv ；振幅A 和初相α由初始条件决定。

⒊在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变；对于弹簧振子，22021221A m kA E E p k ω==+。

⒌阻尼振动的动力学方程为 022022=++x dt dx dt x d ωβ。

其运动学方程分三种情况：⑴在弱阻尼状态（β＜ω0），振动的方向变化有周期性，220'),'cos(βωωαωβ-=+=-t Ae x t ，对数减缩 = βT’.⑵在过阻尼状态（β＞ω0），无周期性，振子单调、缓慢地回到平衡位置。

⑶临界阻尼状态（β=ω0），无周期性，振子单调、迅速地回到平衡位置⒍受迫振动动力学方程 t f x dt dx dt x d ωωβcos202022=++； 其稳定解为 )cos(0ϕω+=t A x ，ω是驱动力的频率，A 0和φ也不是由初始条件决定,222220004)(/ωβωω+-=f A 2202ωωβωϕ--=tg 当2202βωω-=时，发生位移共振。

二、思考题解答9.1 什么叫做简谐振动？如某物理量x 的变化规律满足cos()x A pt q =+，A ，p ，q ，均为常数，能否说作简谐振动？答：质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动叫做简谐振动。

如果质点运动的动力学方程式可以归结为 22020d x xdt的形式，其中0决定于振动系统本身的性质，则质点做简谐振动9.2 如果单摆的摆角很大，以致不能认为sin θθ=，为什么它的摆动不是简谐振动？ 答：因为当单摆的摆角很大不能认为sin θθ=时，单摆的动力学方程不能化为简谐振动的动力学，所以它的摆动不是简谐振动。

力学（第二版）漆安慎习题解答第六章万有引力定律第六章万有引力定律一、基本知识小结⒈ 开普勒定律⑴ 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于一个焦点上⑵ 行星位矢在相等时间内扫过相等面积⑶ 行星周期平方及半长轴立方成正比 T 2/a 3=C⒉ 万有引力定律 2r mM G f =⒊ 引力势能 r mM p G r E -=)(⒋ 三个宇宙速度环绕速度 s km Rg V /9.71==脱离速度 122V V == 11.2 km/s逃逸速度 V 3 = 16.7 km/s.二、思考题解答6.1卡文迪什在1798年17卷《哲学学报》发表他关于引力常测量时，提到他实验是为测定出地球的密度。

试为什么测出G，就能测出地球的密度？答：设地面物体质量为m,地球质量为M，地球半径为R则二者之间的万有引力约为：由上式可以看出R，g都是可测量量，只要测出G，就能通过上间接测出地球密度。

6.2你有什么办法用至少那些可测量量求出地球质量、太阳质量、及地球太阳之间的距离？答：1）地球质量：设地面物体质量为m,地球质量为M，地球半径为R则二者之间的万有引力约为：因此，只要测出了地球半径R，就能求出地球质量M。

2）地球太阳之间的距离:设地球绕太阳运动的周期为,轨道半径为,太阳系的另一行星(离地球越近越好的周期为,轨道半径为,根据开普勒第三定律有:,即,由于人类早就对行星进行长期观测了, ,为已知,只需测出另一行星的轨道半径（这一距离需用视差法测量，需两个以上的天文台同时测量）,便可知地球太阳之间的距离r。

3）太阳的质量：设太阳质量为M，地球质量为m，地球太阳之间的距离r，则二者之间的万有引力约为：，因此只需测得地球太阳之间的距离r，就可求出太阳质量为M。

三、习题解答6.1.1设某行星绕中心天体以公转周期T 沿圆轨道运行，试用开普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为π2Tt =.证明：物体自由下落的加速度就是在行星上绕中心天体公转的向心加速度： 2222/41)2(T R RT R R v a ππ=⋅== 由自由落体公式：π2221/2,T a R t at R === （此题原来答案是：24Tt =，这里的更正及解答仅供参考）6.2.1 土星质量为5.7×1026kg ，太阳质量为2.0×1030kg ，两者的平均距离是1.4×1012m.⑴太阳对土星的引力有多大？⑵设土星沿圆轨道运行，求它的轨道速度。

力学（第二版）漆安慎习题解答第七章刚体力学第七章刚体力学一、基本知识小结1•刚体的质心定义：r c = 7 m i r i/ m r c = rdm/ dm求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。

2•刚体对轴的转动惯量定义：I 八mm2I = j r2dm平行轴定理I o = I c+md2正交轴定理I z = I x+I y.常见刚体的转动惯量：（略）3•刚体的动量和质心运动定理p = mv c v F = ma c4•刚体对轴的角动量和转动定理L = I 二* I -5.刚体的转动动能和重力势能E k 詔I ' E p = mgy c6•刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程：a F二ma。

a .c=I「c （不必考虑惯性力矩）动能：E k = 2mV c2 i Ij J7•刚体的平衡方程'、■ F = 0,对任意轴x =0二、思考题解答7.1火车在拐弯时所作的运动是不是平动？答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。

若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。

但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。

7.2对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。

所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩"八",八* 口Fi不一定为零。

由刚体的转动定律M=J可知，刚体将发生转动。

比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。

力学1．求下列函数的导数⑴10432+-=x x y ⑵100cos 8sin 7/1-++=x x x y⑶)/()(bx a b ax y ++= ⑷21sin x y += ⑸xey sin = ⑹x ey x100+=-xx x e e y xe y x x x x x x y bx a b a y x x x x y x y ----=+-==++=++=+-=-+-=-=100100)1('cos '1/1cos 2·)1(·)1cos(')/()('sin 8cos 7)2/(1'46'sin 222/12212/12222⑹⑸⑷⑶⑵解：⑴2．已知某地段地形的海拔高度h 因水平坐标x 而变，h=100-0.0001x 2(1-0.005x 2)，度量x 和h 的单位为米。

问何处的高度将取极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？解：先求出h(x)对x 的一阶导数和二阶导数：42643643647242102106)102102(102102)1051010(22--------⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯+-=x x x x x x x dxd dx h d dxd dxdh令dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。

∵d 2h/dx 2|x=0<0,∴x=0是极大值点，h(0)=100；∵d 2h/dx 2|x=10>0,∴x=10是极小值点，h(10)=99.0005米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10).3．求下列不定积分⎰⎰++-dx x dxx x x )2()13(23⑵⑴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-++--+dxxdxdx xe xdx x dxe dxb ax dx dx x x dx e xx x b ax dx x x x xx x x ln 222113)12(cos )11(cos sin )sin()cos (sin )2(222⑽⑼⑻⑺⑹⑸⑷⑶ 解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==++=+=+-=--=+==++=++=+-=--=++-=++=++-=-==+--=-=-+++=-+=-+++=+=+++-=+-=+-----+---++-++-cx x xd dx cx x dx x xdx ce x d e dx xec x x xd xdx x cb ax b ax d b axc ex d e dx e cb ax b ax d b ax dx b axc arctgx x dx dx dx cx x xdx xdx dx x x ce x dx x dx e dx e c x dx x dx dx x cx x x dx xdx dx x dx x x x x x x x aabax dxxx x aax dxx x x x xxx x dxx xx xx x 221ln 4121212212213312222/112212212111111122/3133312ln 22x 222344133)(ln )(ln ln )12(2sin )2cos 1(cos )11()(sin )(sin sin cos sin )()()2()cos()()sin()sin(sin cos cos sin )cos (sin 2ln 323)2(2)2(3)13(22222222⑽⑼⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵⑴4. 求下列定积分πππππππππ412832/02/0212/021011143214/6/4/6/21214/6/221211112211ln 132/12/12/12/111551105514143532421213221212/1212/021114/6/2111ln 12/12/111421)2cos 1(3)sin 3(454/||2sin )2(2cos 2cos 2ln |)ln ()(5.1|)ln 1()ln 1()ln 1(60|arcsin )1(|)1()1()1()1(||)1)sin 3(2cos )()1()1222322+=-+=+︒===-===+-=+=+=+=++=︒===-=-=--=--=-=-=-++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++---++--dx x xdx dx x x arctgx dx x x xd xdx e e x e dx e x x d x dx x e e e d e dx e e x x dx dx xdx x dxx x dx xdx dx e dx dx e e dx x x x xx eeexxxdx x x x xxx xxex xxdx xx πππππππ⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵（解：⑴⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵（⑴示这些定积分。

第二章 质点运动学（习题）2.1.1质点的运动学方程为j ˆ)1t 4(i ˆ)t 32(r ).2(,j ˆ5i ˆ)t 23(r ).1(-+-=++= 求质点轨迹并用图表示。

解，①.,5y ,t 23x =+=轨迹方程为y=5②⎩⎨⎧-=-=1t 4y t 32x 消去时间参量t 得：05x 4y 3=-+2.1.2质点运动学方程为k ˆ2j ˆe i ˆe r t 2t 2++=- ，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=-1至t=1质点的位移。

解，①⎪⎩⎪⎨⎧===-2z e y ex t 2t2消去t 得轨迹：xy=1,z=2②k ˆ2j ˆe i ˆe r 221++=-- ,k ˆ2j ˆe i ˆe r 221++=-+ ,2.1.3质点运动学方程为j t i t r ˆ)32(ˆ42++= ，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=0至t=1质点的位移。

解，①.,3t 2y ,t 4x 2+==消去t 得轨迹方程 ②j ˆ2i ˆ4r r r ,j ˆ5i ˆ4r ,j ˆ3r 0110+=-=∆+== 2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为0117.33,m 4100R =θ=，0.75s 后测得21022R ,R ,3.29,m 4240R =θ=均在铅直平面内。

求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。

解，)cos(R R 2R R R 21212221θ-θ-+=∆ 代入数值得：利用正弦定理可解出089.34-=α2.2.2一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为200/x y 2=（长度mm ）。

第一次观察到圆柱体在x=249mm 处，经过时间2ms 后圆柱体移到x=234mm 处。

求圆柱体瞬时速度的近似值。

解，2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m 。

另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km ，收听者离收音机2m ，问谁先听到声音？声速为340m/s,电磁波传播的速度为s /m 100.38⨯。

第三章基本知识小结⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。

矢量式：22dtr d m dt v d m a m F=== 分量式：（弧坐标）（直角坐标）ρτττ2,,,vm ma F dt dv mma F ma F ma F ma F n n z z y y x x =======⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。

导数形式：dt pd F =微分形式：p d dt F=积分形式：p dt F I∆==⎰)(（注意分量式的运用）⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。

若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。

即∑==恒矢量。

则，若外p F0 （注意分量式的运用）⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。

在直线加速参考系中：0*a m f -=在转动参考系中：ωω⨯=='2,*2*mv f r m f k c ⒌质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑===i i c ii c i i c a m a m v m v m r m r m⑵∑=c a m F（注意分量式的运用）3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。

解：∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+== , j ia m F ˆ12ˆ24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。

F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为：'34265.0/︒===arctg F arctgF x y α3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：j t b it a r ˆsin ˆcos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。

证明：∵r j t b it a dt r d a2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-== r m a m F2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。

第五章基本知识小结⒈力矩力对点的力矩 F r o⨯=τ力对轴的力矩 ⊥⊥⨯=F r k zˆτ⒉角动量质点对点的角动量 p r L o ⨯= 质点对轴的角动量 ⊥⊥⨯=p r k L zˆ⒊角动量定理适用于惯性系、质点、质点系⑴质点或质点系对某点的角动量对时间的变化率等于作用于质点或质点系的外力对该点的力矩之和∑=dt L d 0 外τ⑵质点或质点系对某轴的角动量对时间的变化率等于作用于质点或质点系的外力对该轴的力矩之和∑=dt dL zz τ⒋角动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系⑴若作用于质点或质点系的外力对某点的力矩之和始终为零，则质点或质点系对该点的角动量保持不变⑵若作用于质点或质点系的外力对某轴的力矩之和始终为零，则质点或质点系对该轴的角动量保持不变⒌对质心参考系可直接应用角动量定理及其守恒定律，而不必考虑惯性力矩。

5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d 近=439km,远地点高度d 远=2384km,地球半径R 地=6370km,求卫星在近地点和远地点的速度之比。

解：卫星在绕地球转动过程中，只受地球引力（有心力）的作用，力心即为地心，引力对地心的力矩为零，所以卫星对地心的角动量守恒m 月v 近（d 近+R 地）=m 月v 远（d 远+R 地） v 近/v 远=（d 远+R 地）/（d 近+R 地）=（2384+6370）/（439+6370）≈1.295.1.2 一个质量为m 的质点沿着j t b it a r ˆsin ˆcos ωω+=的空间曲线运动，其中a 、b 及ω皆为常数。

求此质点所受的对原点的力矩。

解：)ˆsin ˆcos (ˆsin ˆcos /ˆcos ˆsin /222222=⨯-=⨯=-==-=+-=--==+-==r r m F r r m a m F r j t b i t a jt b i t a dt v d a j t b i t a dt r d v ωτωωωωωωωωωωωωω5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场j t i t t F ˆ)612(ˆ)43(2-+-=中运动，其中t 是时间。

第四章 动能和势能 第四章 动能和势能4.1、本题图表示测定运动物体能的装置，绳栓在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg ，人用力向后蹬传送带，而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以s m /2的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？解：如右图，建立图示坐标xy o -分析得：W T =又 人用力后蹬传送带而人的质心相对于地面不动∴人克服绳的拉力做功，即：运动员对传送带做功 k dE x d F dA =⋅=v F dtdA N ⋅== 28.950⨯⨯=∴N＝)(108.92W ⨯ 即为所求4、2、一非线性拉伸弹簧的弹性力大小为321l k l k f +=，l 表示弹簧的伸长量，1k 为正。

（1）研究当0,022<>k k 和02=k 时，弹簧的劲度dldf有何不同；（2）求出将弹簧由1l 拉长至2l 时弹簧对外所作的功。

解：（1）由kx f -=，可建立以自然伸长处为坐标原点 l x =∴故 il k l k f ˆ)(321+-=i l k k dlf d ˆ)3(221+-=∴∴当02>k 时，i l k k dlf d ˆ)3(221+-=当02<k 时，i l k k dl f d ˆ)3(221+-= 当02=k 时，i k dlf d ˆ1-= （2）l d f x d f dA⋅-=⋅-=∴ ⎰⋅-=∴21l l dl f A＝⎰⋅+-21)(321l l dl l k l k＝2121|4|24221l l l l l k l k --＝))]((21[212221222121l l l l k k -++ 即为所求 4.3、一辆卡车能够沿着斜坡以h km /15的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切02.0=αtg ，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解：根据题意，可得：C v F N =⋅=上下坡均为匀速 0=∴合F 如图示，分析小车受力，得矢量式：=++W N f 阻故得标式：⎩⎨⎧='+-=-+0sin 0sin F mg mg F mg mg μαμα下坡：上坡： )2()1(由(1)得：μαmg mg F +=sin 由(2)得：αμsin mg mg F -=' C N =v F v F '⋅'=⋅∴即：F v F v '⋅=' ＝v mg mg mg mg ⋅-+αμμαsin sin＝μαμμα⋅-+sin sin02.0=αtg 146.1≈∴α15146.1sin 04.004.0146.1sin ⨯-+='∴v h km /45≈s m /5.12≈ 即为所求4、4、质量为M 的卡车载一质量为m 的木箱，以速率v 沿平直路面行驶，因故紧急刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对卡车滑行了l 距离，卡车滑行了L 距离，求L 和l 。