反三角函数(正课)复习课程

高考复习指‎导讲义 第二章 三角、反三角函数‎一、考纲要求1.理解任意角‎的概念、弧度的意义‎，能正确进行‎弧度和角度‎的互换。

2.掌握任意角‎的正弦、余弦、正切的定义‎，了解余切、正割、余割的定义‎，掌握同角三‎角函数的基‎本关系式，掌握正弦、余弦的诱导‎公式，理解周期函‎数与最小正‎周期的意义‎。

3.掌握两角和‎与两角差的‎正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角‎的正弦、余弦、正切公式。

4.能正确运用‎三角公式，进行简单三‎角函数式的‎化简，求值和恒等‎式的证明。

5.了解正弦函‎数、余弦函数，正切函数的‎图像和性质‎，会用“五点法”画正弦函数‎，余弦函数和‎函数y=Asin(wx+ϕ)的简图，理解A 、w 、ϕ的物理意义‎。

6.会由已知三‎角函数值求‎角，并会用符号‎a r csi ‎n x 、arcco ‎s x 、arcot ‎x 表示。

7.掌握正弦定‎理、余弦定理，并能初步运‎用它们解斜‎三角形，能利用计算‎器解决三角‎形的计算问‎题。

8.理解反三角‎函数的概念‎，能由反三角‎函数的图像‎得出反三角‎函数的性质‎，能运用反三‎角函数的定‎义、性质解决一‎些简单问题‎。

9.能够熟练地‎写出最简单‎的三角方程‎的解集。

二、知识结构1.角的概念的‎推广： (1)定义：一条射线O ‎A 由原来的‎位置OA ，绕着它的端‎点O 按一定‎方向旋转到‎另一位置O ‎B ，就形成了角‎α。

其中射线O ‎A 叫角α的‎始边，射线OB 叫‎角α的终边‎，O 叫角α的‎顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋‎转方向而定‎。

(3)象限角：由角的终边‎所在位置确‎定。

第一象限角‎：2k π＜α＜2k π+2π,k ∈Z 第二象限角‎：2k π+2π＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角‎：2k π+π＜α＜2k π+23π,k ∈Z第四象限角‎：2k π+23π＜α＜2k π+2π,k ∈Z(4)终边相同的‎角：一般地，所有与α角‎终边相同的‎角，连同α角在‎内(而且只有这‎样的角)，可以表示为‎k ²360°+α，k ∈Z 。

课时九教案：反三角函数（2课时） 课时一、反三角函数介绍及求解一、[知识点归纳]y=arcsinx y=arccosx y=arctanx定义域 [－1，1][－1，1] R值域 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[0，π] ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调性 增减增奇偶性或 对称性arcsin （－x ）=－arcsonx 奇arccos （－x ）=π－arccosx 非奇非偶 arctan （－x ）=－arctan （x ）奇公式sin （arcsinx ）=x （－1≤x ≤1）arcsin （simx ）=x（22x ππ-≤≤）cos （arccosx ）=x （－1≤x ≤1） arcos （cosx ）=x （0≤x ≤π）tan （arctanx ）=x（x ∈R ） arctan （tanx ）=x（＜＜22x ππ-）图象1-112-1-2xy y = ar csi n(x)1-1123xyy = ar ccos(x)123456-1-2-3-4-5-612345-1-2-3-4-5xyy = ar ct an(x)二、例题例1 求下列反三角函数的值（1）3arcsin 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）2arccos 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （3）3arctan 3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解：（1）.3π- （2）3.4π （3）.6π-例2 用反三角函数表示下列各式中得x（1）3cos ,[0,]4x x π=-∈（2）2sin ,[,]522x x ππ=-∈- （3）3tan ,,222x x ππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭（4）13sin [,]322x x ππ=∈（5）1cos ,[,2]3x x ππ=-∈解：（1）33arccos arccos .44x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（2）2arcsin.5x = （3）33arctan arctan .22x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ （4）1arcsin .3x π=-（5）1arccos .3x π=+例3 化简下列各式（1）arcsin(sin10) （2）arctan(tan10) 解：（1）sin10sin(310)π=- ，且有310[,].22πππ-∈-arcsin(sin10)arcsin[sin(310)]310.ππ∴=-=-（2）tan10tan(103)π=- ，且有103,.22πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭arctan(tan10)arctan[tan(103)]103.ππ∴=-=-例4 求函数2()lg arccos 84x x f x ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦的定义域与值域解：2arccos 0.84x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 21 1.84x x∴-≤+<解上述不等式，得4 2.x -<<2()lg arccos 84x x f x ⎡⎤⎛⎫∴=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦的定义域为(4,2).-22211111(21)(1)8488888x x x x x +=++-=+-≥-210arccos arccos .848x x ⎛⎫⎛⎫∴<+≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数2()lg arccos 84x x f x ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦的值域为1(,lg arccos ].8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例5 判断下列函数的奇偶性 （1）sin(arctan ),y x x R =∈ （2）arccos ,[1,1]2y x x π=-∈-（3）arccos(cos ),y x x R =∈解：（1）sin[arctan()]sin(arctan )sin(arctan ).x x x -=-=- 所以sin(arctan )y x =是奇函数。

第一课时反三角函数(教案)【复习目标】【知识与技能】1.理解反三角函数的定义，掌握反三角函数的图像及性质.2.能正确使用反三角函数的符号表示一个角的大小，会根据有关反三角函数的恒等式进行一些简单的变形.3.能够运用反三角函数的图像及性质解决一些简单的数学问题.【过程与方法】通过原函数与反函数的关系，以及三角函数的图像与性质，记忆反三角函数的图像与性质，体会概念之间的联系与区别，强化数形结合的思想方法.【情感态度与价值观】通过原有知识与新知识的联系，体验数学知识体系的形成过程，提升逻辑思维能力.【教学重点.难点】对反三角函数的定义的理解，用反三角函数的记号表示一个角，反三角函数的图像及性质【教学过程】【基础练习】1. 若x x ∈-∈[,]arcsin 10则,02π⎡⎤-⎢⎥若x x ∈-[,)arccos 112则 若x ∈-[,)13，则2．arcsin arccos ,x x x >时3．设a a ≤+1,arccos 则4．函数y x =1arcsin 5 A ．4)1arctan(π-=- C. 53)]53(sin[arcsin -=-D.2)2cot cot(=arc 6. 若23,41sin ππ<<-=x x ，则x 的值（ C ） A.)41arcsin(- B.)41arcsin(-+πC.)41arcsin(--πD.)41arcsin(2-+π7.)45arcsin(cos π的值（ A ） A.4π- B.43π C.4π D.43π8.计算：11sin(arccos )28=49.函数arccos(2)y x =-的图像为C ，函数()f x 的图像与C 关于原点对称，则()f x 的解析式arccos(2)y x π=+-10.等式arccos(cos )x x =成立的充要条件是x ∈[0,]π 【典型例题】【例1】若1cos 3α=-，求满足下列条件的α的值 （1）3(,0);(2)(,)2παπαπ∈-∈ 解：函数cos y x =与直线13y =-位于cos y x =主值区间[]0,π内的交点A 的横坐标为1arccos(),3-则位于区间(,0)π-的交点B 和位于区间3(,)2ππ的交点C 分别与点A 关于y 轴和直线x π=对称,(,0)απ∴∈-,则11arccos()arccos 33απ=--=-;当311(,),2arccos()arccos 233παπαππ∈=--=+ 减【例3】求满足下列条件的x 的范围21(1)arcsin (2)arccos arccos 3x x x >->解：（1）根据反三角函数图象，11sin()sin 33-=-，且反正弦函数在[1,1]-单调递增，11arcsin (sin ,1]33x x >-⇒∈- （2）原不等式等价于22111110x x x x x -≤≤⎧⎪-≤≤⇒-≤<⎨⎪<⎩注意反函数的定义域及函数在定义域上单调性【例4】求函数arcsin arctan y x x =+的定义域及值域.解：定义域[1,1]x ∈-；函数arcsin arctan y x y x ==在[1,1]-单调递增值域为33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【变式】求函数2arcsin()y x x =-定义域、值域、单调区间.解：函数定义域1122⎡+⎢⎣⎦，值域1[arcsin ,]42π-，1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，11,22⎡+⎢⎣⎦递增. 【例5】 求函数 tan 2xy arc π=+的反函数.解：arctan ,tan()tan ,22x xy y y ππ=-∴=-=故2tan 2tan x y y x =⇒=所以，反函数为：32tan ,(,)22y x x ππ=∈ 求反函数的步骤：①用y 表示②,x y 互换③求出反函数的定义域，即原函数的值域.【例6】求1sin(2arctan )4的值.解：设11arctan,tan ,(0,)sin 4428sin 22sin cos 17παααααααα==∈⇒====【例7】已知7c o s 2,0,252παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭, 5sin 13β=-,3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求αβ+(用反三角函数表示).解：由题设得sin α==53,从而cos α=54,且cos β=1213-又αβ+∈ (,2)ππ， αβπ+-(0,)π∈33cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=-. ∴33cos()cos(())65αβππαβ+-=-+=. ∴παβ-++=33arccos 65，即αβ+=33arccos 65π+ 【备用例题】1.解不等式2(arctan )3arctan 20x x -+>.解：(arctan 2)(arctan 1)0x x -->∴arctan 1x <或arctan 2x >.又-2π＜arctan x ＜2π. ∴2π-＜arctan x ＜1,即有x ＜tan12．满足arccos(1)arccos x x -≥的x 的取值范围是( D )A. 11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：反余弦函数的定义域为[]1,1-,且为减函数.-1≤1x -≤1 ∴ -1≤x ≤1 ⇒21≤x ≤1 1x -≤x【巩固练习】1．函数sin y x =，35,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的反函数是（D ） A. ()11arcsin ≤≤-=x x y B. ()11arcsin ≤≤-+=x x y π C. ()11arcsin 2≤≤--=x x y π D. ()11arcsin 2≤≤-+=x x y π 2.下例各式中错误的是（A ）A.2>B.arccos arccos 22⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭C.(arctan arctan 2⎛-> ⎝⎭D.arctan 2<3.直线)0,0(<<=+b a ab ay bx 的倾斜角为（C ）A.arctan()b -B.tan()aarc -C.tan barc a π-D.tan aarc bπ-4.函数()2arcsin -=x y 的值域是,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，定义域是[1,3]；5.函数1arctan y x =的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，值域是,0(0,)22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭6.函数11arcsin +-=x x y 的反函数是1sin ,,1sin 22x y x x ππ+⎡⎫=∈-⎪⎢-⎣⎭； 7.若()5arctan 2f x ax b x =+⋅+，若()102=f 则()=-2f 6- 8.求下列函数的定义域和值域：⑴()423arcsin 2π+-=x y 参考解答：定义域1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为35,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ⑵()arctan sin 3y x π=-参考解答：定义域为R ，值域为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9.已知函数)41arcsin()(2-=x x f ， （1）求)(x f 的定义域； （2）求)(x f 的值域；（3）设)(x f 的最大值为α，最小值为β，求)sin(βα-的值. 解：（1）定义域⎡⎢⎣⎦；（2）值域：1arcsin ,42π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （3）11sin(arcsin )cos(arcsin )2444π-== 10.函数()()x x x f -=2arccos ，求函数定义域，值域和单调区间，解关于a 不等式()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<212a f a f .解：函数定义域1122⎡+⎢⎣⎦，值域10,arccos 4π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，在1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增．11,22⎡⎢⎣⎦递减()11122221112(,)226122a a f a f a a a ⎧⎧->+-⎨⎪⎩⎛⎫<+⇒<<⇒- ⎪⎝⎭<+<⎪⎩11.若12,x x 是方程2670x x ++=的两根，求12arctan arctan x x +的值. 解：34π-。

《反三角函数》讲义在数学的广阔天地中，三角函数无疑是一颗璀璨的明星。

而反三角函数，则是这颗明星的另一面，为我们解决众多数学问题提供了独特的视角和强大的工具。

一、什么是反三角函数我们先从熟悉的三角函数说起。

正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们将角度作为输入，给出对应的函数值。

而反三角函数，则是反过来，已知三角函数的值，求对应的角度。

例如，正弦函数 sin x，当我们知道 sin x ＝ 05 时，想知道 x 是多少度，这就需要用到反正弦函数 arcsin 05 来求解。

反三角函数包括反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）等。

二、反三角函数的定义域和值域要深入理解反三角函数，必须清楚它们的定义域和值域。

反正弦函数 arcsin x 的定义域是-1, 1，值域是π/2, π/2。

这意味着输入的 x 值必须在-1 到 1 之间，得到的角度值在π/2 到π/2 之间。

反余弦函数 arccos x 的定义域也是-1, 1，值域是0, π。

反正切函数arctan x 的定义域是R（全体实数），值域是(π/2, π/2)。

三、反三角函数的图像图像是直观理解函数性质的重要工具。

反正弦函数 arcsin x 的图像是一段在π/2, π/2之间的曲线，它关于原点对称，且在定义域内单调递增。

反余弦函数 arccos x 的图像则是在0, π之间的曲线，同样关于原点对称，在定义域内单调递减。

反正切函数arctan x 的图像是一条在(π/2, π/2)之间无限延伸的曲线，它的斜率逐渐趋近于 0，并且在定义域内单调递增。

四、反三角函数的基本性质1、对称性反正弦函数和反余弦函数互为相反数，即 arcsin(x) ＝ arcsin x ，arccos(x) ＝π arccos x 。

2、恒等式例如，sin(arcsin x) ＝ x （x∈－1, 1），cos(arccos x) ＝ x （x∈－1, 1）。

反三角函数Inverse trigonometric functions第1节反三角函数·概述原创/O客把反正弦函数y=arc sinx，反余弦函数y=arc cosx，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y=arc cotx统称为反三角函数。

它们都是三角函数的反函数。

严格地说，准确地说，它们是三角函数在某个单调区间上的反函数。

以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。

●反正弦的值域先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。

正弦函数y=sinx在定义域R上没有反函数。

因为它在定义域R上不单调，是分段单调。

从逆向映射来看，正弦函数y=sinx的每一个函数值y，对应着无数个自变量x的值。

当我们从y=sinx中解出x后，x与y不能构成函数关系，所以不存在反函数。

但是，当我们取正弦函数y=sinx的一个单调区间，如[-π/2,π/2]。

这时，每一个函数值y，对应着唯一的一个自变量x的值。

当我们从y=sinx中解出 x后，x与y构成函数关系，所以存在反函数。

记为y=arc sinx。

把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的值域[-1,1],叫做反函数y=arc sinx的定义域。

并把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的定义域[-π/2,π/2],叫做反函数y=arc sinx的值域。

●请参考我的三角函数salon第2节反三角函数·理解与转化原创/O客以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。

●符号理解初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所迷惑，很不习惯。

一方面，arc sinx这七个字母是一个整体，缺一不可。

另一方面，符号arc sinx 可以用下面的三句话来理解：①它是一个角。

即一个实数。

arc sinx ∈R .②这个角在-π/2到π/2之间(含端点)。

-π/2≤arc sinx ≤π/2。

③这个角的正弦值等于x 。

sin(arc sinx)=x.●互化反三角函数问题往往要转化为三角函数问题，因为后者拥有数十个公式资源，使你解决问题时如虎添翼。

高中数学教案：三角函数复习讲义(2)主题：三角函数复习讲义（2）目标：1. 复习三角函数的基本性质和特点。

2. 复习三角函数的图像和变换。

教学步骤：一、引入（5分钟）1. 引入三角函数的定义和基本性质。

2. 回顾上节课的内容，鼓励学生复习记忆。

二、复习三角函数的基本性质（15分钟）1. 提问：sin(θ)和cos(θ)的定义是什么？2. 通过学生回答，进行概念的澄清和巩固。

3. 提醒学生注意三角函数在不同象限的值。

三、复习三角函数的图像（20分钟）1. 回顾正弦函数的图像特点，包括振幅、周期和相位。

2. 展示余弦函数的图像特点，与正弦函数进行比较。

讨论两者的关系。

3. 引入切线函数的图像特点，包括极值、周期和对称性。

四、复习三角函数的变换（15分钟）1. 提醒学生熟悉函数的变量表示和坐标系。

引入平移、压缩、拉伸等变换方式。

2. 通过具体例子和练习，让学生掌握三角函数的变换规律和效果。

五、练习题（15分钟）1. 通过练习题检验学生对三角函数的理解和运用能力。

2. 提醒学生注意题目中的关键词和问题的要求。

六、总结（5分钟）1. 总结今天的学习内容，强调重点和难点。

2. 鼓励学生继续复习和巩固所学知识。

3. 预告下节课内容，激发学生的学习兴趣。

讲义附加内容：1. 正弦函数的周期、图像、性质。

2. 余弦函数的周期、图像、性质。

3. 切线函数的周期、图像、性质。

4. 三角函数的变换规律和效果。

教学资源：1. 演示PPT。

2. 三角函数的图像和变换示意图。

3. 复习练习题。

评估方式：1. 学生课堂参与情况。

2. 学生练习题完成情况。

3. 学生对基本概念和图像的理解程度。

三角函数复习教案整理一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在各象限的符号变化；（3）掌握三角函数的图像和几何意义；（4）学会运用三角函数解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念；（2）借助图像，理解三角函数的性质；（3）运用数形结合的方法，解决三角函数问题。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的逻辑思维能力；（2）提高学生对数学美的感知；（3）激发学生学习三角函数的兴趣。

二、教学内容1. 三角函数的定义与性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。

2. 三角函数在各象限的符号变化（1）第一象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为正；（2）第二象限：正弦函数为正，余弦函数、正切函数为负；（3）第三象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为负；（4）第四象限：正弦函数为负，余弦函数、正切函数为正。

3. 三角函数的图像与几何意义（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的图像；（2）三角函数在直角坐标系中的几何意义；（3）三角函数图像的变换。

4. 三角函数的应用（1）已知三角函数值，求角度；（2）已知角度，求三角函数值；（3）运用三角函数解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的定义、性质、图像及应用。

2. 难点：三角函数在各象限的符号变化，三角函数图像的变换。

四、教学方法与手段1. 教学方法：讲解法、演示法、练习法、小组讨论法。

2. 教学手段：多媒体课件、黑板、三角板、教具。

五、教学过程1. 导入新课：回顾上节课的内容，引出本节课的主题——三角函数复习。

2. 知识梳理：讲解三角函数的定义、性质、图像及应用。

3. 课堂演示：利用多媒体课件，展示三角函数的图像，引导学生理解三角函数的性质。

4. 实例分析：分析实际问题，运用三角函数解决，巩固所学知识。

5. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，检查学习效果。

《反三角函数复习课》教案教学目标：（一） 知识目标1、 通过复习，更高层次的理解反正弦、反余弦和反正切的意义和作用。

2、 通过复习，进一步理解反正弦、反余弦和反正切的性质，并能熟练化简和运用3、 通过复习，加深对反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的认识和理解，进一步掌握三种反三角函数的性质。

4、 反三角函数的综合、灵活运用。

（二） 情感目标1、 培养学生爱总结归纳的习惯，消除学生对反三角函数的抽象感和神秘感，为下一节《解斜三角形》做好准备。

培养学生“用数学”的观念，增强学好数学的信心。

教学重难点：重点：反三角及反三角函数的回顾、理解和运用。

难点：反三角函数知识的综合、灵活运用教学过程： （一）、复习特殊锐角三角函数值（从正反两方面） （二）、做训练题，再次回顾反三角函数问题的产生1、已知sinx=21，0≤x ≤2π，求x2、已知sinx=0.3，0≤x ≤2π，求x注：当一个角不是特殊角时，这个角就必须用反三角来表示。

（三）知识再现 A 表格反映B 常用关系：① sin(arcsinx) = x (-1≤x ≤1), arcsin(sinx) = x ( x ∈[－2π,2π])，arcsin(-x) = - arcsinx (-1≤x ≤1)② cos(arccosx) = x (-1≤x ≤1), arccos(cosx) = x (x ∈[0,π])， arccos(-x) = π - arccosx (-1≤x ≤1)③ cos(arctanx) = x (x ∈R ), arctan(tanx) = x (x ∈（－2π,2π）)，arctan(-x) = - arctanx (x ∈R )C 涉及的数学思想：分类讨论的思想，转化的思想，整体的思想①学生自己解决：已知A 为三角形的一个内角，且sinA=21，求A②学生复习数学笔记 （四）例题学习1、求函数y = arcsin (2x+3)的定义域2、比较大小：arctan(－3.14) －arctan π分析：引入反正切函数y=arctanx (x ∈R )作工具。

《反三角函数》讲义一、引言在数学的广袤天地中，三角函数是一颗璀璨的明星，而反三角函数则是它的奇妙延伸。

反三角函数的出现，为我们解决许多数学问题提供了有力的工具。

接下来，让我们一同走进反三角函数的世界。

二、反三角函数的定义反三角函数是一种基本初等函数。

它是反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数和反余割函数的统称。

反正弦函数：记为 y ＝ arcsin x ，定义域为-1, 1，值域为π/2, π/2。

它表示一个角，其正弦值等于 x 。

反余弦函数：记为 y ＝ arccos x ，定义域为-1, 1，值域为0, π。

表示一个角，其余弦值等于 x 。

反正切函数：记为 y ＝ arctan x ，定义域为 R ，值域为(π/2, π/2)。

表示一个角，其正切值等于 x 。

反余切函数：记为 y ＝ arccot x ，定义域为 R ，值域为(0, π)。

表示一个角，其余切值等于 x 。

反正割函数：记为 y ＝ arcsec x ，定义域为(∞，－1∪1, ＋∞），值域为0, π/2)∪（π/2, π。

反余割函数：记为 y ＝ arccsc x ，定义域为(∞，－1∪1, ＋∞），值域为π/2, 0)∪（0, π/2。

三、反三角函数的图像1、反正弦函数 y ＝ arcsin x 的图像反正弦函数的图像是关于原点对称的，是正弦函数 y ＝ sin x 在π/2, π/2上的反函数。

图像呈现出一种逐渐上升的趋势，从(－1, π/2)到(1, π/2)。

2、反余弦函数 y ＝ arccos x 的图像反余弦函数的图像是关于 y 轴对称的，是余弦函数 y ＝ cos x 在0, π上的反函数。

图像从(1, 0)开始逐渐下降到(－1, π)。

3、反正切函数 y ＝ arctan x 的图像反正切函数的图像是关于原点对称的，定义域为 R 。

图像呈现出一种逐渐逼近但永远不会达到π/2 和π/2 的趋势。

新尚教育学科教师辅导讲义讲义编号学员日校：年级：高一课时数：2学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长签名组长备注课题反三角函数复习教案授课时间：2012年5月6日 8：00——10：00 备课时间： 2012年5月2日教学目标反三角函数的概念、运算与解三角方程。

重点、难点反三角函数与三角函数结合时的综合运用，并解决一定三角方程问题。

考点及考试要求通过对“已知三角函数求角”内容及高考考试大纲，后继课程学习需要的思考，对该内容的教学提出以反三角函数内容，以达到教材及高考及考试大纲要求，函数是中学教学的难点，反三角函数又是函数教学的难点。

教学内容（第一环节：典例解析）同类练习：例4．求下列函数的定义域和值域：(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1),例5．求下列函数的值域：(1)y＝arccos(sin x), x∈(－, ); (2) y＝arcsin x＋arctg x.例6．比较arcsin, arctg, arccos(－)的大小。

例7．解不等式：(1) arcsin x<arccos x; (2) 3arcsin x－arccos x>.（第二环节：课堂练习）(一) 选择题：1．cos(arccos)的值是（）。

（A）（B）（C）cos（D）不存在2．已知arcsin x>1，那么x的范围是（）。

（A）sin1<x<（B）sin x<x≤（C）sin1<x≤1 （D）3．已知y＝arcsin x·arctg|x| (－1≤x≤1)，那么这个函数（）。

（A）是奇函数（B）是偶函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数4．若a＝arcsin(－), b＝arcctg(－), c＝arccos(－)，则a, b, c的大小关系是（）。

（A）a<b<c（B）a<c<b（C）c<a<b（D）c<b<a5．已知tg x＝－, x∈(, π)，则x＝（）。

第25讲反三角函数与三角方程本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了． 一．反正弦函数1．定义：函数y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的反函数就是反正弦函数，记为y＝arcsin x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[-π2 ，π2 ]内，正弦函数值为x 的角就是arcsin x ，即 2．反正弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[-π2 ，π2 ]．⑵ 在定义域上单调增； ⑶ 是[－1，1]上的奇函数，即⑷ y ＝arcsin x 的图象：与y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的图象关于y ＝x 对称．⑸ arcsin(sin x )的值及y ＝arcsin(sin x )的图象：二．反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到：1．定义：函数y ＝cos x (x ∈[0，π])的反函数就是反余弦函数，记为y ＝arccos x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[0，π]内，余弦函数值为x 的角就是arccos x ，即 2．反余弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[0，π]． ⑵ 在定义域上单调减；⑶ 是[－1，1]上的非奇非偶函数，即⑷ y ＝arccos x 的图象：与y ＝cos x (x ∈[0，π])的图象关于y ＝x 对称． ⑸ arccos(cos x )的值及y ＝arccos(cos x )的图象：三．反正切函数1．定义：函数y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的反函数就是反正切函数，记为y＝arctan x (x ∈R )．这个式子表示：在区间(-π2 ，π2 )内，正切函数值为x 的角就是arctan x ，即2．反正切函数的性质：⑴ 定义域为R ；值域为(-π2 ，π2 )．⑵ 在定义域上单调增； ⑶ 是R 上的奇函数，即⑷ y ＝arctan x 的图象：与y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的图象关于y ＝x 对称．⑸ arctan(tan x )的值及y ＝arctan(tan x )的图象：四．反余切函数 请根据上面的内容自己写出．A 类例题例1证明：⑴ cos(arcsin x )＝1－x 2；sin(arccos x )＝1－x 2；tan(arccot x )＝1x．并作它们的图象．⑵ sin (arc tan x )＝x1＋x 2； tan(arcsin x )＝ x1－x 2； cos(arctan x )＝11＋x 2； tan(arccos x )＝ 1－x 2x． 证明：⑴ 设arcsin x ＝α，则α∈[－π2，π2]，且sin α＝x ，于是，cos α＝1－x 2 ，即cos(arcsin x )＝1－x 2 ；同理可证其余．⑵ 设arctan x ＝α，则α∈(-π2，π2)，tan α＝x ．于是，sec α＝1＋x 2，所以，sin α＝tan α·cos α＝x 1＋x 2，就是sin(arctan x )＝x1＋x 2；同理可证其余．说明 本题给出了反三角函数运算的方法：把某个反三角函数看成是在某个范围(该反三角函数的主值区间)内的一个角，把反三角函数的运算改成三角函数的运算．例2证明：⑴ arcsin x ＋arccos x ＝π2， x ∈[－1，1]⑵ arctan x ＋arccot x ＝π2， x ∈R证明：令arcsin x ＝α，arccos x ＝β，则α∈[-π2 ，π2 ]，β∈[0，π]，π2－β∈[-π2 ，π2 ]而 sin α＝x ，sin(π2 －β)＝cos β＝x ，即sin α＝sin(π2 －β)，但α与β都在区间[-π2 ，π2 ]内，在此区间内正弦函数是单调增函数，从而α＝π2 －β．就是arcsin x ＋arccos x ＝π2．同法可证⑵．说明 这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式．例3计算：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )；x ，y ∈[－1，1] ⑵ cos(arccos x ＋arccos y )．x ，y ∈[－1，1] 解：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )＝x 1－y 2＋y 1－x 2． ⑵ cos(arccos x ＋arccos y )＝xy －1－x 2·1－y 2．情景再现1．若arctan x ＋arctan y ＋arctan z ＝π，证明：x ＋y ＋z ＝xyz ； ⑵ 证明：cot[arctan x ＋arctan(1－x )]＝1－x ＋x 2．2．设f (x )＝x 2－πx , α＝arcsin 13，β＝arctan 54,γ＝arc cos(－13),δ＝arc cot(－54),则 A ．f (α)＞f (β)＞f (δ)＞f (γ) B ．f (α)＞f (δ)＞f (β)＞f (γ) C ．f (δ)＞f (α)＞f (β)＞f (γ) D ．f (δ)＞f (α)＞f (γ)＞f (β) 3．函数y ＝arc cos(12-x 2)的值域是A ．[-π2，π6]B ．[-π2，π3]C ．[π6，π]D ．[π3，π]B 类例题例4求10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)的值．解：设 arccot3＝α，arccot7＝β，arccot13＝γ，arccot21＝δ，则0<δ<γ<β<α<π4．∴ tan α＝13，tan β＝17，tan γ＝113，tan δ＝121，∴ tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 13＋171－13⨯17＝1020＝12．tan(γ＋δ)＝tan γ＋tan δ1－tan γtan δ＝113＋1211－113⨯121＝ 18 ．tan(α＋β＋γ＋δ)＝12 ＋181－12 ⨯18＝23．∴ 10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)＝10⨯32 ＝15．例5求常数c ，使得 f (x )＝ arc tan 2－2x 1＋4x ＋c 在区间(-14，14)内是奇函数．解：若f (x )是(-14，14)内的奇函数，则必要条件是f (0)＝0，即c ＝－arctan2．当c ＝－arctan2时，tan(arcta 2－2x1＋4x －arctan2)＝2－2x1＋4x －21＋2－2x1＋4x·2＝2－2x －2－8x1＋4x ＋4－4x＝－2x ．即f (x )＝arctan(－2x )；f (－x )＝arctan(－(－2x ))＝arctan2x ＝－f (x )．故f (x )是(-14，14)内的奇函数．说明例6 [x ]表示不超过x 的最大整数，{x }表示x 的小数部分（即{x }＝x -[x ])，则方程 cot[x ]·cot{x }＝1的解集为 ；解：由于0≤{x }<1，故cot{x }＞cot1＞0，即cot{x }≠0． ∴ cot[x ]＝1cot{x }＝tan{x }＝cot(π2－{x })， ∴ [x ]＝k π＋π2－{x }．即[x }＋{x }＝k π＋π2(k ∈Z )，就是x ＝k π＋π2(k ∈Z )．说明情景再现4．函数f (x )＝arc tan x ＋12arc sin x 的值域是A ．(-π，π)B ．[－3π4，3π4]C ．(- 3π4，3π4)D ．[-π2，π2]5、设-1<a <0，θ＝arc sin a ,那么不等式 sin x <a 的解集为 A ．{x |2nπ＋θ<x <(2n ＋1) π-θ，n ∈Z }B ．{x |2nπ-θ<x <(2n ＋1) π＋θ，n ∈Z }C ．{x |(2n -1) π＋θ<x <2nπ-θ，n ∈Z }D ．{x |(2n -1) π-θ<x <2nπ＋θ，n ∈Z }6、在区间[0，π]上，三角方程cos7x ＝cos5x 的解的个数是 ；C 类例题例7求使方程a ＋a ＋sin x ＝sin x 有实数解的实数a 的取值范围． 分析解：sin x ≥0，平方得a ＋sin x ＝sin 2x －a ，故a ≤sin 2x ，平方整理得，a 2－(2sin 2x ＋1)a ＋sin 4x －sin x ＝0，这是一个关于a 的一元二次方程．＝(2sin 2x ＋1)2－4(sin 4x －sin x )＝4sin 2x ＋4sin x ＋1＝(2sin x ＋1)2． ∴ a ＝12[2sin 2x ＋1±(2sin x ＋1)]．其中，a ＝sin 2x ＋sin x ＋1＞sin 2x ，故舍去；a ＝sin 2x －sin x ，当0≤sin x ≤1时，有a ∈[－14，0]．当a ＝0时，得sin x ＝0或1，有实解；当a ＝－14时，sin x ＝12，有实解．即a 的取值范围为[－14，0]．说明例8解方程：cos n x -sin n x ＝1，这里，n 表示任意给定的正整数． 分析：可先从n ＝1，2，3，……着手研究，找出规律再解． n ＝1时，cos x ＝sin x ＋1， n ＝2时，cos 2x ＝sin 2x ＋1， n ＝3时，cos 3x ＝sin 3x ＋1， n ＝4时，cos 4x ＝sin 4x ＋1． 解：原方程就是，cos n x ＝1＋sin n x ． ⑴ 当n 为正偶数时，由于cos n x ≤1，sin n x ≥0，故当且仅当cos n x ＝1，sin n x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时为解．⑵ 当n 为正奇数时，若2k π≤x ≤2k π＋π，则cos n x ≤1，sin n x ≥0，故只有cos n x ＝1，sin n x ＝0时，即x ＝2k π(k ∈Z )时为解；若2k π＋π<x <2(k ＋1)π，由于1＋sin n x ≥0，故只能在2k π＋3π2≤x <2(k ＋1)π内求解，此时x ＝2k π＋3π2满足方程．若2k π＋3π2 <x <2(k ＋1)π，当n ＝1时，cos x －sin x ＝|cos x |＋|sin x |＞1，当n ≥3时，cos n x －sin n x ＝|cos n x |＋|sin n x |<|cos 2x |＋|sin 2x |＝1．即此时无解．所以，当n 为正偶数时，解为x ＝k π(k ∈Z )；当n 为正奇数时，解为x ＝2k π与x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )． 说明情景再现7．解方程：cos 2x ＋cos 22x ＋cos 23x ＝1． 8．求方程x 2-2x sin πx2＋1＝0的所有实数根；习题251、arc sin(sin2000︒)＝ ．2．已知函数①y ＝arcsin(2x ), ②y ＝sin πx ＋cos πx , ③y ＝log 2x ＋log 1/2(1＋x )．其中，在区间[12,1]上单调的函数是A ．①、②和③B ．②和③C ．①和②D ．③3．函数y ＝arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]，x ∈[0，2π）的值域（其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数）是A ．{0，π，3π2}B ．{-π2，π2，3π2}C ．{0，π2，π} D ．{-2，-1，0，1}第 11 页 共 11 页 4．已知α∈（-π2 ，π2 ），sin2α＝sin(α-π4)，则α＝ ； 5．求方程x 2-2x sin πx 2＋1＝0的所有实数根； 6．求关于x 的方程 x 2-2x -sin πx 2＋2＝0的实数根． 7．解方程：⎝⎛⎭⎫sin x 22csc 2x ＝14 ； 8．求方程 sin n x ＋1cos m x ＝cos n x ＋1sin m x的实数解，其中m 、n 是正奇数．。

反三角函数知识点反三角函数是高中数学中的一部分内容，主要包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。

它们在数学计算、物理、工程等领域有着广泛的应用。

反三角函数的定义和性质以及应用都是我们学习的重点。

首先，我们来了解一下反正弦函数。

反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。

反正弦函数的图像关于y=x对称。

在实际应用中，反正弦函数常用于解决求解角度的问题。

比如，已知一条边长和斜边长，可以利用反正弦函数求解出对应的角度。

接下来，我们来了解一下反余弦函数。

反余弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[0,π]。

反余弦函数的图像关于y=x对称。

与反正弦函数类似，在实际应用中，反余弦函数也常用于求解角度的问题。

比如，在三角形中已知两条边长，可以利用反余弦函数求解出对应的角度。

最后，我们来了解一下反正切函数。

反正切函数的定义域是整个实数集，值域是[-π/2,π/2]。

反正切函数的图像关于y=x对称。

反正切函数常用于求解斜率和角度的问题。

在几何学中，给定直线的斜率，可以通过反正切函数求解出对应的角度。

除了以上的应用，反三角函数在物理学和工程学中也有广泛的应用。

在力学中，反正弦函数和反余弦函数常用于计算受力方向与水平方向的夹角。

在电子工程中，反正切函数常用于计算信号的相位差。

总之，反三角函数是数学中的重要概念，它们不仅在高中数学中有着重要的地位，而且在实际应用中也有着广泛的应用。

通过学习反三角函数，我们可以更好地理解三角函数的性质和应用。

在解决实际问题时，灵活应用反三角函数能够帮助我们更准确地得到所需的结果。

希望通过本文对反三角函数的知识点有了初步的了解。

当然，反三角函数的定义和性质还有更多的内容值得深入学习和探讨。

希望大家能够在学习数学的过程中，善于思考，灵活应用各种数学工具，提高自己的数学素养和解决实际问题的能力。

第4节 反三角函数（2课时）第1课时[教材分析]：反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。

内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。

另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。

[课题引入]：在辅助角公式中，我们知道()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22，其中2222sin ,cos ba b ba a +=+=ϕϕ，这样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角ϕ呢？这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。

[教学过程]：师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。

师：我们知道正弦函数x y sin =在定义域R 上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。

但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin ππx x y ，这个函数是单调函数，因而有反函数。

师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换y x ,） （这里我们使用符号arcsin 表示反解）反解得y x arcsin =，互换得x y arcsin =，其中[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∈2,2,1,1ππy x ，这就是要求的反正弦函数。

1． 反正弦函数的图象反正弦函数[]1,1arcsin -∈=x x y ，与函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin ππx x y 互为反函数，因此两个函数图象关于直线x y =对称。

2． 反正弦函数的性质（由函数图象可得）①定义域为[]11，-，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ； ②x y arcsin =在定义域[]11，-上单调递增； ③x y arcsin =是奇函数，即对任意[]1,1-∈x ，有()x x arcsin arcsin-=- 3． 反正弦函数的恒等式①由“一一对应”的性质知：对任意值[]1,1-∈x ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上都有唯一对应的角x arcsin ，使得它的正弦值为x ，即得恒等式()[]1,1,arcsin sin -∈=x x x ；②由“一一对应”的性质知：对任意角⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ，在[]11，-上都有唯一对应的值x sin ，使得它的反正弦值为x ，即得恒等式()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin arcsinππx x x 。