八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1图2图3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24D ．π32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABCS -外接球的表面积是 。

(3)题-1A(3)题-2AC（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.Cπ340.D（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得图5A DP O1OC Br C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔ 三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点图6PADO 1OCB图7-1PAO 1O CB图7-2PAO 1O CB图8PAO 1OCB图8-1DPOO 2ABC图8-2POO 2ABC图8-3DPOO 2AB解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线； 第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆。

八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享•不当之处，敬请大家批评指正•—、有关定义1•球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球2•外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球•3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球•二、外接球的有关知识与方法1.性质：性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2 :经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5 :在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）2.结论：结论1 :长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2 :若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4:圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6:直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7:圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论&圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9:侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球3.终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直•（与直线切圆的结论有一致性）2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等•（类比：与多边形的内切圆）•3.正多面体的内切球和外接球的球心重合4.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合5.基本方法：（3）在正三棱锥 S ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且 AMMN ,若侧棱SA 2・3则正三棱锥S ABC 外接球的表面积是解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直 .证明如下：如图（3） -1 , 取AB,BC 的中点D,E ，连接AE,CD , AE,CD 交于H ，连接SH , 则H 是底面正三角形ABC 的中心，SH 平面ABC : ,SH AB ,AC BC , ADBD , CD AB ,AB 平面SCD ,AB SC ,同理： BC SA , ACSB , 即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3） -2 ,AM MN ,SB//MN , AM SB , AC SB , SB平面SAC ,SB SA , SB SC , SB SA ,BC SA ,SA 平面SBC , SA SC ,故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，（2R ）2 !（2、3）2r — r~（2、、3）2（2、、36 2即4R 2 36 ,正三棱锥S ABC 外接球的表面积是36（4）在四面体S ABC 中，SA 平面ABC , BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,则该四面体的外接（1） 构造三角形利用相似比和勾股定理；（2） 体积分割是求内切球半径的通用做法（ 等体积法） 四、 与台体相关的，此略• 五、 八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 2（2R）..a 2 b 2 c 2，求出 R例1 （ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4，体积为16，则这个球的表面积是（ A. 16 B . 20C . 24D . 32（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为,3，则其外接球的表面积是 _________________PbCB图1-1图1-2图1-3 图1-4C（3）题-1（引理）球的表面积为(求出R .球的表面积为 _________________ ,球的表面积为 ____________ . __________A11 B.7C.- 3(5) 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 (6) 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为何体外接球的体积为 ________________D.40 6、4、3，那么它的外接球的表面积是1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几类型二、对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等， 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱; 求外接球半径(AB第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c ， AD BC x ，AB CD AC BD z ，列方程组,2a b 2 2cb 22 c2a2 x2 y 2z2(2R) 2 . 2 2abcx 2补充： 2-1 中, V A BCDabc - abc6 -abc . 3第三步：根据墙角模型，2Ra 2b 2c 2R 2CD ，AD BC ，AC BD )2 2y __ j R 8 ，R2 2 2x y z { 8 ，例2( 1)如下图所示三棱锥A BCD ，其中 AB CD 5,ACBD 6, AD BC 7,则该三棱锥外接(2)在三棱锥A BCD 中，AB CD 2，AD BC 3，AC BD 4，则三棱锥A BCD 外接A(1)题图(3)正四面体的各条棱长都为 ______________________________ 2，则该正面体外接球的体积为(4) 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三 角形(正四面体的截面)的面积是类型三、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)图3-1 图3-2 图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是 任意三角形) 第一步：确定球心 0的位置，01是 ABC 的外心，则001 平面ABC ； 11第二步：算出小圆 0<!的半径A01r ，001 AA 1h ( AA , h 也是圆柱的高)；2 2 第三步：勾股定理： OA 2 01A 20102R 2(-)2 r 2 Rv r2(-)2，解出 R . 2V 2例3( 1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为 -，底面周长为3，则这个球的体积为 __________________________8(2)直三棱柱 ABC A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若ABAC AA 2, BAC120，则此球的表面积等于(3)已知 EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2,AEB 60，则多面体E ABCD 的外接球的表面积为.（4）在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，AB 4, AC 6, A孑AA 14， 则直三棱柱ABC A 1B 1C 1的外接球的表面积为r!,BccooAA2o第二讲锥体背景的模型1.如图4-1，平面PAC 心 三棱锥P ABC 的三条侧棱相等 锥的顶点.解题步骤：BC （即AC 为小圆的直径），且P 的射影是P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点确定球心 O 的位置，取 ABC 的外心01，则三点共线;图4-4图4-1图4-2 图4-3类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径一一正弦定理求大圆直径是通法） 平面ABC ，且AB三棱 ABC 的外 P 点也是圆第一步: 第二步: 先算出小圆 O i 的半径AO ir ，再算出棱锥的高 PO 1 h （也是圆锥的高）；第三步: 勾股定理：OA 2 O 1A 2 O 1O 2R 2 (h R)2 r 2，解出 R ；事实上,2.如图 ACP 的外接圆就是大圆，直接用 正弦定理也可求解出R .4-2，平面PAC 平面ABC , 且AB BC （即AC 为小圆的直径），且PAAC ，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R)2PA 2 (2r)2 2R PA 2 (2r)2② R 2 r 2 OO 12 OO 123.如图4-3，平面PAC平面 ABC , 且ABBC （即AC 为小圆的直径） OC 2 O 1C 2 O 1O 2R 2 r 2 O 1O 2AC 2 R 2 O 1O 2平面ABC ，且AB BC （即AC 为小圆的直径） PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径第二步：在 PAC中，可根据正弦定理 — b— 2R ，求出R . sin A sin B sin C 4.题设：如图 4-4，平面 第一步：易知球心 O 必是PAC PAC 的外心，即 aAC 2r ;例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为1，底面边长为2 3 ,则该球的表面积为 （2）正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为（3） —个正三棱锥的四个顶点都在半径为三棱锥的体积是（ ）A .沁B .旦1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正^3 12（4）在三棱锥P ABC 中，PA PB PC . 3 ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1. 题设：如图5, PA 平面ABC ，求外接球半径解题步骤：第一步：将 ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心0 ;第二步：01为 ABC 的外心，所以 00^! 平面ABC ，算出小圆01的半径01D r （三角形的外接圆直 径算法：利用正弦定理，得 -^―-^―2r ），0011PA ；sin A sin B sinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①（2R ）2 PA 2 （2r ）22R . PA 2 （2r ）2 ；② R 2 r 2 0012R ... r 2 00：.2•题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是 ABC 的外心 三棱锥P ABC 的 三条侧棱相等 三棱锥P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的 顶点•33（5）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 0的求面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球0的直径,且SC 2，则此棱锥的体积为（ ）A •二B .C.1!D.迈6 6 3 2A . B.C. 4D.P图5-1OCA Oi BPP图5-4OCA DBO i P图5-6图5-7图5-8解题步骤:第一步：确定球心0的位置，取ABC的外心O i，则P,O,O i三点共线;第二步：先算出小圆O i的半径AO i r，再算出棱锥的高PO i h （也是圆锥的高）第三步：勾股定理：OA2 O i A2 O i O2R2（h R）2 r2，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A. 3B. 2C.i63D.以上都不对第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图6）图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H2;第二步：过H i和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0，连接OE,OC ；第三步：解OEH i，算出OH i，在Rt OCH i中，勾股定理：OH； CH； 0C2注：易知O,H i,E,H2四点共面且四点共圆，证略•例6( 1)三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC，△ PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，贝U 三棱锥P ABC外接球的半径为____________________________ .(2)在直角梯形ABCD中，AB//CD , A 90 , C 45 , AB AD 1，沿对角线BD折成四面体A BCD，使平面ABD 平面BCD，若四面体A BCD的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为(3)在四面体S ABC中，AB BC , AB BC 匹，二面角S AC B的余弦值为—贝y四3 面体S ABC的外接球表面积为____________________(4)在边长为2..3的菱形ABCD中，BAD 60，沿对角线BD折成二面角A BD C为120的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为 ____________________(5)在四棱锥ABCD 中，BDA 120 , BDC 150 , AD BD 2, CD . 3，二面角A BD C的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为 ________________类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型题设：如图7, APB ACB 90，求三棱锥P ABC 外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O ,1连接OP,OC ，则OA OB OC OP -AB ， O 为三棱锥P ABC 外接球球心，然后在 OCP 中 2求出半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都 为定值•例7 (1)在矩形ABCD 中，AB 4, BC则四面体ABCD 的外接球的体积为(3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角 BAC D ,).125D6125 3A125DA . B.121259C(2)在矩形ABCD 中，AB 2, BC 3, 沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC , 所得三棱锥A BCD的外接球的表面积为 ___________________第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题第一步：先现出内切球的截面图，E,H 分别是两个三角形的外心；1第二步：求DH -BD , PO PH r , PD 是侧面 ABP 的高；3第三步：由 POE 相似于 PDH ，建立等式： 坐 竺，解出rDH PD2. 题设：如图8-2，四棱锥P ABC 是正四棱锥，求其内切球的半径3. 题设：三棱锥 P ABC 是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等1.题设：如图8-1，三棱锥P ABC 上正三棱锥，求其内切球的半径第一步: 先现出内切球的截面图，P,O, H 三点共线；第二步: 求 1FH 丄 BC2 ，PO PH r , PF 是侧面PCD 的高;第三步:由POG 相似于 PFH OG ，建立等式：HF PO ，解出PFPCACB图8-1PGOHFC图8-2D第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积;3V P ABCS O ABC S O PAB S O PACS O PBC 例8 （ 1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是 ________________________（2）正四棱锥S ABCD 的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为 _________________（3）三棱锥P ABC 中，底面 ABC 是边长为2的正三角形，PA 底面ABC ，PA 2， 则该三棱锥的内切球半径为 ___________________习题：1 •若三棱锥S ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA 2，SB SC 4，则该三棱锥的外接球半径为 （）A. 3B. 6C. 36D. 9 2.三棱锥S ABC 中，侧棱SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为..3的正三角形，SA 2 3，则该三 棱锥的外接球体积等于 . 3•正三棱锥S ABC 中，底面ABC 是边长为 3的正三角形，侧棱长为 2，则该三棱锥的外接球体积等 于4 •三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面ABC ，△ PAC 边长为2的正三角形， AB BC ，则三棱锥 P ABC 外接球的半径为5. 三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面ABC ，AC 2，PA PC 3，AB BC ，则三棱锥P ABC 外接球的半径为6. 三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面ABC ，AC 2，PA PC ，AB BC ，则三棱锥P ABC第二步：设内切球的半径为 建立等式：V p ABC ABC V O PAB VO PAC V O PBC 1 V P ABC S ABC 3 11 PAB r S pAC 33 1 PBC 3 1 (S ABC S PAB S PAC S PBC ) r 3 第三步：解出r外接球的半径为_______ .。

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2，即2R a2b2c2，求出R例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（C）A．16B．20C．24D．32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9解：（1）V a2h16，a2，4R2a2a2h2441624，S24，选C；（2）4R23339，S4R29（3）在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM MN,若侧棱SA23,则正三棱锥S ABC外接球的表面积是。

36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。

证明如下：如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，SH AB，AC BC，AD BD，CD AB，AB平面SCD，AB SC，同理：BC SA，AC SB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，AM MN，SB//MN，AM SB，AC SB，SB平面SAC，SB SA，SB SC，SB SA，BC SA，SA平面SBC，SA SC，故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2(23)2(23)2(23)236，即4R236，正三棱锥S ABC外接球的表面积是361自信是迈向成功的第一步（4）在四面体 S ABC 中， SA 平面ABC ， BAC120 ,SA AC 2, AB 1, 则该四面体的外接10 40 球的表面积为（ D ）A.11B.7C.D.33 （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6 、 4 、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（4）在ABC 中， BC 2 AC 2 AB 2 2AB BCcos1207 ，BC7 2 7 BC7 ， ABC 的外接球直径为 2r，sin BAC3 322 7 40 (2R)2 (2r)2SA 2()24 ，33 40 S ，选D 3（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为 a,b,c （ a,b,c R ），则ab bcac128 6 ，abc24 ， a 3，b 4， c 2 ， (2R)2 a 2 b 2 c 2 29， S 4R 229 ，（6）(2R)2 a 2 b 2 c 23 ，3 R 2， 4R3 24 343 3 3VR，33 8 2类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图 5， PA平面 ABC解题步骤：第一步：将 ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心O ；第二步： O 为ABC 的外心，所以OO 平面 ABC ，算出小圆O的半111径O D r1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得a sin Ab c12r），O O1 PA；sin B sinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r)22R PA2(2r)2；2自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的② R 2rOO22 1R r 2OO2 12．题设：如图 6，7，8，P 的射影是 ABC 的外心 三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等三棱锥 P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心 O 的位置，取 ABC 的外心O ，则1P,O,O 三点共线；1第二步：先算出小圆 O 的半径 AOr1，再算出棱锥的高 PO 1h （也是圆锥的高）；1第三步：勾股定理：2O A O O 2OA2R 2 (h R)2 r 2 ，解出 R11方法二：小圆直径参与构造大圆。

八个超强模型——彻底解决立体几何的外接球和内切球问题摘要本文介绍了八个超强模型，这些模型可以用来彻底解决立体几何中的外接球和内切球问题。

每个模型都具有独特的特点和优势，能够有效地求解球的外接和内切问题，为立体几何的研究提供了有力的工具和方法。

引言在立体几何中，外接球和内切球问题是非常常见的问题。

求解这些问题通常需要借助一些数学模型和方法。

本文介绍了八个超强模型，这些模型在解决外接球和内切球问题方面表现出色。

模型一：球心法线模型该模型基于球的法线方程，通过求解法线方程的交点来得到球心坐标。

利用该模型可以快速准确地求解外接球和内切球的球心坐标。

模型二：点坐标向量模型该模型利用点的坐标向量来表示球心坐标，通过计算坐标向量的运算得到球心坐标。

该模型适用于各种类型的球体，求解效果良好。

模型三：坐标平移模型该模型基于坐标平移的概念，通过平移球心坐标来求解外接球和内切球的球心坐标。

该模型简单易懂，适用于多种立体几何结构。

模型四：线段接触模型该模型利用线段的接触点来求解外接球和内切球的球心坐标。

通过求解线段接触点的几何关系，可以得到球心坐标。

该模型适用于特定的立体几何结构。

模型五：平面交线模型该模型基于平面交线的概念，通过求解平面交线的方程来得到球心坐标。

该模型对于立体几何结构较复杂的情况下求解效果较好。

模型六：圆心半径模型该模型通过求解球的圆心和半径来得到球心坐标。

该模型适用于已知球的圆心和半径的情况下求解。

模型七：曲线拟合模型该模型通过对曲线进行拟合来得到球心坐标。

该模型适用于曲线较为复杂的情况下求解。

模型八：图像处理模型该模型利用图像处理的方法来得到球心坐标。

通过处理球体的图像，可以得到球心坐标。

该模型适用于图像处理技术较为成熟的情况下求解。

结论本文介绍了八个超强模型，这些模型可以用来彻底解决立体几何中的外接球和内切球问题。

每个模型都有其独特的特点和优势，能够有效地求解球的外接和内切问题。

这些模型为立体几何的研究提供了有力的工具和方法，有助于推动该领域的发展。

实用标准八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）PPPPO 2ccccA CbC baCbBCabABAaBaBA图1 图 2 图 3 图4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a 2b 2c 2 ，即 2Ra 2b 2c 2 ，求出 R例 1 （ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为 16 ，则这个球的表面积是（）A ． 16B ． 20C． 24D． 32（ 2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是（ 3）在正三棱锥 S ABC 中， M 、 N 分别是棱 SC 、 BC 的中点，且 AM MN , 若侧棱 SA 2 3 , 则正三棱锥 SABC 外接球的表面积是（ 4）在四面体 S ABC 中， SA平面 ABC ， BAC 120 , SA AC 2, AB 1, 则该四面体的外接球的表面积为（）10 40 A.11B.7C.D.33（ 5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6 、 4 、 3，那么它的外接球的表面积是（ 6）已知某几何体的三视图如图所示， 三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图 5， PA 平面 ABC解题步骤：第一步：将 ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心 O ；PO第二步： O 1 为 ABC 的外心，所以 OO 1 平面 ABC ，算出小圆 O 1 的半CAO 1 D径 O 1D r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得Ba b c1图 52r ）， OO 1sin A sin B sin C PA ；2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R)2 PA 2(2r )22RPA 2(2r )2 ；② R 2r 2 OO 12 Rr 2 OO 1 22．题设： 如图 6，7，8， P 的射影是 ABC 的外心 三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等三棱锥 PABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的顶点PPPPOOOOCCCCA1DAO 1BAO 1O 1OBABB图 6图 7-1 图 7-2图 8PPPAAABCO 2O 2O 2DBCDBOOO图 8-1 图8-2图 8-3解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC 的外心 O1，则 P,O, O1三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径 AO1r ，再算出棱锥的高PO1h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2O1 A2O1O 2R2(h R) 2r 2，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1图2图3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （2）933342=++=R ，ππ942==R S（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。

π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。

证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，(3)题-1AA∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π310.C π340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（4）在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=BC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ， ∴3404)372()2()2(2222=+=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+∈R c b a ,,），则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942==R S ， （6）3)2(2222=++=c b a R ，432=R ，23=Rπππ2383334343=⋅==R V ，类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r CcB b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；图5P第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点图6图7-1图7-2图8图8-1图8-2图8-3解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆。

八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球1:长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 2:若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同;3 :长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之， 就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球 .（1） 构造三角形利用相似比和勾股定理；（2） 体积分割是求内切球半径的通用做法（ 四、 与台体相关的，此略.3.终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 三、 内切球的有关知识与方法 若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直 .（与直线切圆的结论有一致性）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 的内切圆）.正多面体的内切球和外接球的球心重合 . 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.基本方法：1. 2. 3. 4. 5. .（类比：与多边形一、 有关定义球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球 外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 体，这个球是这个多面体的外接球. 内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 这个球是这个多面体的内切球 . 二、外接球的有关知识与方法 1.性质：1:过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；2 :经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理） ；4 :球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；5 :在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中， 两相交弦的中垂线交点是圆心）.1. 2. 3. 性质性质性质性质 性质则称这个多面体是这个球的内接多面 则称这个多面体是这个球的外切多面体,2.结论: 结论 结论 结论 结论 结论 结论 结论 结论 结论 4: 5: 6: 7: 8: 9: 等体积法）.五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）-4-图1-1 图1-2 图1-4方法: 找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R ）2b2c2，即2R V a2b2c2，求出例1A.（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为16 B . 20 C . 24体积为16，则这个球的表面积是（.32解: V a2h 16, a 2, 4R2 a2 a2 h2 4 16 24，S 24 ，选C;(2) 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是解: 4R2 3 3 3 9, S 4 R29在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM MN ,若侧棱SA 243 ,则正三棱锥S ABC外接球的表面积是36解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1 ,取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH 平面ABC : , SH AB,AC BC , AD BD , CD AB, AB 平面SCD,AB SC,同理：BC SA , AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2 ,AM MN , SB//MN ,AM SB, AC SB, SB 平面SAC,SB SA, SB SC, SB SA , BC SA ,SA 平面SBC, SA SC ,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2'(2J3)2(273)2 (273)2236 ,即4R 36, 正三棱锥S ABC外接球的表面积是36 .C（3）题-1（引理）C⑶题-2 （解答图）sin（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为（4）在四面体S ABC中，SA 平面ABC , BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,则该四面体的外接球的表面积为（D）10 40A.11B.7C.—D.3 3解：在ABC 中，BC2AC2AB22AB BC cos120 7 ，BC 眉，2r -BC 2刀2 2SA2(29)240f—?(2R) (2r) 4 ，ABC的外接球直径为解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a,b,c( a,b,c ），则abbc12abc 24，a 3，b 4，c 2，(2R)2 a2 b2c229，S 4 R229 ac（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为何体外接球的体积为解：（2R）2b2 c2R2V s2C类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；CD，AD BC，AC BD)第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD BC x，AB CD AC BD z，列方程组,2ab22cb22c2a2x2y2z2(2R)a2 b2 c2x2z2图2-1补充：2-1 中, V A BCDabc 1abc6i abc.那么它的外接球的表面积是2第三步：根据墙角模型，2R Ja 2 b 2R 2求出R . 思考：如何求棱长为a 的正四面体体积, 如何求其外接球体积? 例2 (1)如下图所示三棱锥 A BCD ,其中AB CD 5, AC BD 6, AD BC 7,则该三棱锥外接球的表面积为 ________________ . 解：对棱相等，补形为长方体，如图 2 2 2 2a b c 55， 4R55， 2-1，设长宽高分别为a,b,c ， 2(^ b? S 55 c 2) 25 36 49 110(2)在三棱锥A BCD 中, 球的表面积为AB 29 解: 如图 2-1， b 2 b 2D(1)题图 CD 2，AD BC 3，AC BD 4，则三棱锥 BCD 外接设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长, 设长宽高分别为 a,b,c ， 2b 292 2 “ c a 16 2(a 2 2 2 b c ) 9 4 16 2 2 29， 2(a b c 2) 91629，29，4R 2229 2正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中,2R ，7343^3 RI 3，V3 TV 3(4)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）例3 （1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为 -，底面周长为3，则这个球的体积为8解：设正六边形边长为 a ，正六棱柱的高为 h ，底面外接圆的半径为正六棱柱的底面积为 S球的表面积等于⑷题（4）题解答图c/J --6解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为PCO i ，面积是题设：如图3-1 , 任意三角形） 图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是 第一步：确定球心 O 的位置，01是 ABC 的外心，则001平面ABC ；第二步：算出小圆1 1O 1 的半径 AO 1 r , OO 1 -AA 1 -h 2 2（AA ] h 也是圆柱的咼）； 第三步：勾股定理:OA 2O 1A 2O 1O 2R 2 (-)2 r 22 R j r 2 （号）2，解出Rh 43, 4R 212 (73)2 4也可R 2（也）2（丄）22 21), R 1,球的体积为V 球 —球3（2）直三棱柱 ABC A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若 ABACAA 2 , BAC 120，则此1O i图3-3解：BC2J3 , 2r 2巧4, r 2, R 45, S 20 ；sin 120（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直, EA EB 3, AD 2, AEB 60，则多面体E ABCD的外接球的表面积为解：折叠型, 16D法一: EAB的外接圆半径为r, 灵，OO i法二: O i M 鱼,r2 02D216法三: 补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式, 算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径:(2R)2(2V3)22216, S表16 ；（4）在直三棱柱ABC ABQ,中, AB 4, AC 6, A -,AA14，则直三棱柱3ABC A i B i C i的外接球的表面积为1603解: 法一: BC216 36 t—2寸728 , BC 2^7 , 2r 斗2 W773，r2U773，R2r2(AA1)2228 431603法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径一一正弦定理求大圆直径是通法）图4-2图4-11.如图4-1，平面PAC 平面ABC，且AB 心三棱锥P ABC的三条侧棱相等锥的顶点.解题步骤：BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是三棱P ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点ABC的外P点也是圆第一步：确定球心0的位置，取ABC的外心01，则P,0,01三点共线;第二步：先算出小圆01的半径A01 r，再算出棱锥的高PO1 h （也是圆锥的高）；2 第三步：勾股定理： OA 2 O 1A 2 O 1O 2 R 2 （h R ）2 r 2，解出R ；事实上，ACP 的外接圆就是大圆，直接用 正弦定理也可求解出R .2.如图4-2，平面PAC 平面ABC ,4.题设：如图 4-4，平面 第一步：易知球心0必是 第二步：在PAC 中，可根据正弦定理sin A 且AB BC （即AC 为小圆的直径）PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC 2r ;旦亠2R ，求出R .sin B sin C例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为1，底面边长为2J 3，则该球的表面积为 解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理,2R 7, S 4 R 249（2）正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 42，各顶点都在同一球面上，则此球体积为接球的体积为（（5）已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球径,且SC 2，则此棱锥的体积为（利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R)22 2PA (2r)丨 2 22R p PA (2r);② R 2 r 2 OO 12 R OO 12 3.如图4-3，平面PAC平面 ABC , 且AB BC （即AC 为小圆的直径）OC 2 O 1C 2 O 1O 2 R 2 r 2 O 1O 2AC 2j R 2O 1O 2A . B.C.4D.解：选D,由线面角的知识，得ABC 的顶点 A, B,C 在以 —为半径的圆上，在圆锥中求解，R 1 ;且AB BC （即AC 为小圆的直径），且PA AC ，则 平面ABC , PAC PAC 的外心，即 解：方法一：找球心的位置，易知r 1 , h 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是42R 2, R 1 , V ——.3（3） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 三棱锥的体积是（ A .症4）旦C3 1,底面外接圆的半径为设底面边长为a ，则2R 」一sin 60（4）在三棱锥P ABC 中，PAPB 4 V ——3SACRt SAC1, h r ，故球心在正方形的中心 ABCD 处，R 1,1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正41,直径为 43, SPC 2R 122,2也，三棱锥的体积为V -Sh4 3 4J 3 ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60 ,则该三棱锥外0的求面上, ）AABC 是边长为1的正三角形，SC 为球0的直B.解：OO1J R2 r246 276 1 -Sh3类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1•题设：如图5，PA 平面ABC，求外接球半径.解题步骤: 第一步：将ABC画在小圆面上, 球心0 ;A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD , 连接PD ,则PD必过第二步: O i为ABC的外心，所以OO1平面ABC，算出小圆O i的半径O i D r （三角形的外接圆直第三步:径算法：利用正弦定理，得asinAb csin B sinC2r ),001 -PA ；2利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① 2 2(2R)2 PA2(2r)22R J P A2(2r)2；② R2 r2 OO12R J r2OO,.2•题设：如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是ABC的外心三条侧棱相等三棱锥P ABC的底面顶点.ABC在圆锥的底上, 顶点三棱锥PP点也是圆锥的ABC的第一步：确定球心0的位置，取ABC的外心O i，则P,O,O i三点共线;第二步: 先算出小圆01的半径A01r，再算出棱锥的高PO j h （也是圆锥的高）；第三步: 勾股定理：OA2 O1A2O i O2 R2 (h R)2 r2，解出R方法二: 小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5 一个几何体的三视图如图所示, A. 3 则该几何体外接球的表面积为163()CC. D .以上都不对解：选法一：法二:正视图O俯视图B.P解答图I RC，（勾股定理）利用球心的位置求球半径,R)2 1 R2, R S 4 R2球心在圆锥的高线上,16（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大2圆，于是2R ------sin 604忑，下略;第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图6）第一步：先画出如图 6所示的图形，将 BCD 画在小圆上，找出 BCD 和 ABD 的外心H 1和H 2 ； 第二步：过H 1和H 2分别作平面BCD 和平面ABD 的垂线，两垂线的交点即为球心 O ,连接OE,OC ；第三步：解 OEH j ，算出OH j ，在Rt OCH 1中，勾股定理： OH 2CH ； OC2注：易知0,H I ,E,H 2四点共面且四点共圆，证略例6( 1)三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面ABC ，△ PAC 和△ ABC 均为边长为2的正三角形，则 三棱锥P ABC 外接球的半径为 .解：如图，易知球心在 BC 的中点处，S 表4A解：如图，2r 1 2r 22 sin4馬，r1 r273，O2HR2O 2H2715法二:O 2H,O I HAH 1,R 2 AO 2AH 2O 1H2OQ 2J 15 3(2)在直角梯形 ABCD 中,AB//CD ， A 90， C 45，ABAD 1，沿对角线BD 折成四面体A BCD ，使平面ABD表面积为 _________________ 4平面BCD ，若四面体 A BCD 的顶点在同一个球面上,则该项球的(1)题⑵题-1(2)题-2SC⑶题(3)在四面体S ABC中，AB BC，AB BCL J3J2，二面角S AC B的余弦值为——，则四3面体S ABC的外接球表面积为解：如图，法一: cos SO B cos( OO1O2sinOO i O2血，cos OO1O23OO1O1O2cos OO1O2R2 6法二: 延长BO1到D使DO1 BO1 r1,由余弦定理得SB , SD 42 ,大圆直径为2R SB V6 ;(4)在边长为2J3的菱形ABCD中，BAD 60，沿对角线BD折成二面角A BD C为120的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为28(4)题图解：如图，取BD的中点M , ABD和CBD的外接圆半径为r1ABD和CBD的外心O1 , O2 到弦BD的距离(弦心距)为d1 d2 1法一：四边形OO1MO2的外接圆直径OM 2，R 77，S 28 ；法二: 001法三: 作出CBD的外接圆直径CE,则AM CM 3，CE 4，ME 1，AE 77，AC 343，cos AEC7 16 272 77 4斗，sin AEC 器，2R2^7 2^7ACsin AEC 3132^7，R⑸在四棱锥 ABCD 中，BDA 120 , BDC 150 , AD BD 2, CD 屈,二面角 A BD C 的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为 解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心, c 抽象化 C 、 AB 2屈，r 22，弦心距O 2MBC J 13，AO 1O 2 721, OM 。

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图2图3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；（2）933342=++=R ，ππ942==R S（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。

π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。

证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，ΘBC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， ΘMN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥，ΘSB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥，ΘSA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36(3)题-1AA（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π310.C π340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（4）在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=οBC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ， ∴3404)372()2()2(2222=+=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+∈R c b a ,,），则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942==R S ， （6）3)2(2222=++=c b a R ，432=R ，23=Rπππ2383334343=⋅==R V ，类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；图5ADP O 1OCBAP②2122OO r R +=⇔212OO r R +=2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点图6PADO 1OCB图7-1PAO 1O CB图7-2PAO 1O CB图8PAO 1OCB图8-1DPOO 2ABC图8-2POO 2ABC图8-3DPOO 2AB解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆。

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图2图3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （2）933342=++=R ，ππ942==R S（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。

π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。

证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，ΘBC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， ΘMN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥，ΘSB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥，ΘSA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36(3)题-1A(3)题-2A（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π310.C π340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（4）在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=οBC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ， ∴3404)372()2()2(2222=+=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+∈R c b a ,,），则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942==R S ， （6）3)2(2222=++=c b a R ，432=R ，23=Rπππ2383334343=⋅==R V ，类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；图5ADPO 1OCBAP②2122OO r R +=⇔212OO r R +=2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点图6PADO 1OCB图7-1PAO 1O CB图7-2PAO 1O CB图8PAO 1OCB图8-1DPOO 2ABC图8-2POO 2ABC图8-3DPOO 2AB解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆。

（完整版）⼋个有趣模型搞定外接球内切球问题（学⽣版））⼋个有趣模型——搞定空间⼏何体的外接球与内切球类型⼀、墙⾓模型（三条线两个垂直，不找球⼼的位置即可求出球半径）⽅法：找三条两两垂直的线段，直接⽤公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同⼀球⾯上的正四棱柱的⾼为4，体积为16，则这个球的表⾯积是（） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧⾯两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表⾯积是（3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表⾯积是（4）在四⾯体中，ABC SA 平⾯⊥，,1,2,120====∠?AB AC SA BAC 则该四⾯体的外接球的表⾯积为（）（5）如果三棱锥的三个侧⾯两两垂直，它们的⾯积分别为6、4、3，那么它的外接球的表⾯积是图2图3S ABC -M N 、SC BC 、SA =S ABC -（6）已知某⼏何体的三视图如图所⽰，三视图是腰长为1的等腰直⾓三⾓形和边长为1的正⽅形，则该⼏何体外接球的体积为类型⼆、垂⾯模型（⼀条直线垂直于⼀个平⾯） 1．题设：如图5，⊥PA 平⾯ABC 解题步骤：第⼀步：将ABC ?画在⼩圆⾯上，A 为⼩圆直径的⼀个端点，作⼩圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球⼼O ；第⼆步：1O 为ABC ?的外⼼，所以⊥1OO 平⾯ABC ，算出⼩圆1O 的半径r D O =1（三⾓形的外接圆直径算法：利⽤正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；第三步：利⽤勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=?212OO r R +=2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ?的外⼼?三棱锥ABC P -的三条侧棱相等?三棱锥ABC P -的底⾯ABC ?在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点图6PADO 1OCB图7-1B图7-2 PAO 1 O C B图8 PAO 1 OCB图8-1 DPOO 2 ABC图8-2 POO 2A BC图8-3 DP图5ADPO 1OCB解题步骤：第⼀步：确定球⼼O 的位置，取ABC ?的外⼼1O ，则1,,O O P 三点共线；第⼆步：先算出⼩圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的⾼h PO =1（也是圆锥的⾼）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=?222)(r R h R +-=，解出R⽅法⼆：⼩圆直径参与构造⼤圆。

高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。

例1：1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。

解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。

2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。

解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =4πR^2 = 9π。

3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接球的表面积。

解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。

连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。

由AM⊥MN，SB//MN，可得AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。

因此，三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。

类型二、棱台模型棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。

通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。

例2：1）已知棱台的上底面和下底面都是正三角形，上底边长为3，下底边长为6，侧棱长为5，求其外接球半径R和内切球半径r。

解：由勾股定理可得棱台的高为4√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (3 + 6 +5)/(3 + 6 - 5) = 7，解得R = 7r。