数学复习：空间几何体的外接球与内切球

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。

具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。

例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。

第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。

在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。

例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。

除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。

同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。

需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。

设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。

例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。

2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。

3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。

空间几何体的外接球与内切球。

专题汇编本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的定义、性质、结论和求解方法。

首先，球的定义是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，简称球。

在此基础上，定义了外接球和内切球。

外接球是指一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，这个球是这个多面体的外接球；内切球是指一个多面体的各面都与一个球的球面相切，这个球是这个多面体的内切球。

其次，文章介绍了外接球的性质和结论。

其中，外接球的性质包括过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面；球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心。

文章还列举了各种空间几何体的外接球的结论，如长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处等。

最后，文章介绍了内切球的一个重要结论，即若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。

同时，文章还提到了勾股定理、正定理及余弦定理等求解三角形线段长度的方法。

经过剔除格式错误和删除有问题的段落，本文更加清晰明了地介绍了空间几何体的外接球与内切球的相关知识和方法。

2.内切球与多面体各面的距离相等，外接球与多面体各顶点的距离相等，类比于多边形的内切圆。

3.正多面体的内切球和外接球的球心重合。

4.正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上，但不一定重合。

5.求解内切球半径的基本方法有两种：一是构造三角形利用相似比和勾股定理，二是体积分割法，即等体积法。

6.与台体相关的内容在此略过。

7.八大模型之一是墙角模型，其中三条棱两两垂直，可以直接使用公式(2R)2=a2+b2+c2求出内切球半径R。

8.举例说明：（1）已知同一球面上正四棱柱的高为4，体积为16，则其内切球表面积为24π；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球表面积为9π；（3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM垂直MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。

第08讲拓展一：空间几何体内接球与外接球问题(精讲）目录第一部分：典型例题剖析高频考点一：空间几何体的内切球问题高频考点二：空间几何体的外接球问题模型1：长（正）方体模型——公式法模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）模型3：单面定球心法（定+算）模型4：双面定球心法（两次单面定球心）第一部分：典型例题剖析高频考点一：空间几何体的内切球问题建立模型球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥P ABCD -中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：P ABCD O ABCD O PBC O PCD O PAD O PAB V V V V V V ------=++++即：1111133333P ABCD ABCD PBC PCD PAD PAB V S r S r S r S r S r -=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，可求出r .典型例题例题1．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面,90ABC ABC ∠= ，且3,4,5SA AB AC ===，若球O 在三棱锥S ABC -的内部且与四个面都相切（称球O 为三棱锥S ABC -的内切球），则球O 的表面积为（）A ．169πB ．49πC ．3227πD ．1681π【答案】A解：因为SA ⊥平面,90ABC ABC ∠= ，AB Ì平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA AB ⊥，SA AC ⊥，SA BC ⊥，又,BC AB SA AB A ⊥= ，所以BC ⊥平面SAB ，所以BC SB ⊥，所以,,SAB ABC SAC SBC ，均为直角三角形，设球O 的半径为r ，则()1+++3S ABC SAB CAB SAC SBC V S S S S r -=⋅ ，而11334632S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，11156,35222SAB CAB SAC SBC S S SA AB S S ==⋅===⨯⨯= ，所以115156+6++6322r ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得23r =，所以球O 的表面积为221644239r S πππ⎛==⨯=⎫ ⎪⎝⎭，故选：A.例题2．（2022·全国·高一）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.【答案】12π解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为MNG 的中心，因为6MN =，所以MNG 内切圆的半径13r OH MH ====即内切球的半径R =，所以内切球的表面积2412S R ππ==，又正三棱柱的高12AA R ==，所以23OM OH ==AO =所以A 到球面上的点的距离最小值为AO R -=；故答案为：12π例题3．（2022·全国·高一专题练习）如图，直三棱柱111ABC A B C -有外接圆柱1OO ，点O ，1O 分别在棱AB 和11A B 上，4AB =.(1)若AC BC =，且三棱柱111ABC A B C -有一个内切球，求三棱柱111ABC A B C -的体积；【答案】(1))161(1)O ，1O 是圆柱的上下底面圆心，而且点O ，1O 分别在棱AB 和11A B 上，由此可知ABC 是AB 为斜边的直角三角形.4,AB AC BC =∴== 11422ABC S AC BC =⋅=⨯= 设ABC 的内切圆的半径为r ，则由等面积法，可知:()1122AB BC AC r AC BC ++⋅=⋅,)21r ∴==，故三棱柱111ABC A B C -的内切球的半径也是)21，故三棱柱的高)241h r ==，进而三棱柱111ABC A B C -的体积))441161ABC V S h =⋅=⨯= .题型归类练1．（2022·全国·高一）已知点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等，球O 是直三棱柱111ABC A B C -的内切球，若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥1A ABC-的体积为（）A ．43B ．163C D ．3【答案】B解：设直三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，内切球O 的半径为r ，则h ＝2r ，由题意可知球O 的表面积为2164r ππ=，解得r ＝2，∴h ＝4，又△ABC 的周长为4，即a ＋b ＋c ＝4，∴连接OA ，OB ，OC ，111,,OA OB OC 可将直三棱柱111ABC A B C -分成5个棱锥，即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，∴由体积相等可得直三棱柱111ABC A B C -的体积为ABC S h ＝13ahr ＋13bhr ＋13chr ＋2×13ABC S r ，即4ABC S ＝13（a ＋b ＋c ）hr ＋43ABC S ，∴ABC S ＝4，∴三棱锥1A ABC -的体积为13ABC S h ＝13×4×4＝163．故选：B ．2．（2022·湖南·高一期末）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.【答案】4π有题意可知，23PA ππ⋅=，所以23PA =所以，圆锥的轴截面是边长为23的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，所以tan 3tan 301R OD AD OAD ==⋅∠=⨯︒=，所以该圆锥的内切球的表面积为4π.故答案为：4π3．（2022·全国·高三专题练习（文））若正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，则球O 的半径与正四棱锥P ABCD -内切球的半径之比为__________.31+##13+设外接球半径为R ，由题意可知，OA =OB =OC =OD =OP =R ，设四棱锥P -ABCD 的内切球半径为r ，设正方形ABCD 的边长为a ，因为底面ABCD 过球心O 2222a a R a +=⇒，2222116()2242R a R R R +=+⋅=，设该正四棱锥的表面积为S ，由等体积法可知：221111(24)(2),1)3323V Sr R R R r R R R r==+⨯=+，14．（2022·广西玉林·模拟预测（理））若正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．【答案】645)3π因为正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，球的半径为4，所以4OA OB OC OD OP =====，所以AB BC CD DA PA PB PC PD ========，所以正四棱锥P ABCD -的表面积为((224324S =⨯⨯+=+，正四棱锥P ABCD -的体积为(21128433V =⨯⨯=设正四棱锥P ABCD -内切球的半径为r ，则1112832)333V Sr r ==+=，解得1)r =，所以该四棱锥内切球的体积为33441)33r ππ⎡⎤=⨯-⎣⎦高频考点二：空间几何体的外接球问题模型1：长（正）方体模型——公式法建立模型正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点（1）设长方体一个顶点出发的三条边长分别为a ，b ，c ，则外接球半径2r =；（2）设正方体边长为a ，则外接球半径2r a =；典型例题例题1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．【答案】29π由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，所以2222(2)42329R =++=，所以2294R =所以外接球的表面积2429S R ππ==.故答案为：29π例题2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一期中）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则此正方体外接球的表面积是______.【答案】12π因为正方体的体对角线长度等于长方体外接球的直径，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以正方体外接球的直径为则该正方体外接球的表面积是2412ππ==S r .故答案为：12π.题型归类练1．（2022·全国·高一期末）正方体的外接球与内切球的表面积之比是（）A ．13B ．3C．D【答案】B设正方体的棱长为a，则其外接球的半径为2a ，内切球的半径为12a ，所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是2242142a a ππ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭3=.故选：B2．（2021·河北·深州长江中学高三期中）已知某正方体外接球的表面积为3π，则该正方体的棱长为______．【答案】1设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，2R =，由243R ππ=，可得R22=，解得1a =．故答案为：1．3．（2021·福建·莆田锦江中学高一期中）已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______．【答案】12π解：设正方体外接球的半径为R ，则由题意可得()2222222212R =++=，即2412R =，所以外接球的表面积为2412R ππ=，故答案为：12π模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）建立模型①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CDAB =BC AD =，BD AC =）典型例题例题1．（2022·全国·高一）若三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA PB PC ===）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π【答案】A侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA PB PC ===PA ，PB ，PC 作为正方体的棱长，如图：设外接球的半径为R ，则正方体的对角线的长2R ==所以R =，所以外接球的表面积为246S R ππ==.故选：A例题2．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）在三棱锥P ABC -中，5PA BC ==，PB AC ==PC AB ==则该三棱锥外接球的表面积为_________；外接球体积为_________．【答案】26π3由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示：记该长方体的棱长为,,a b c ，则222222101725a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，即22226a b c ++=，所以r =2344263S r V r πππ====，故答案为：26π题型归类练1．（2022·辽宁·本溪高中高一阶段练习）已知正三棱锥S -ABC 的三条侧棱两两垂直，且侧）A ．πB ．3πC ．6πD ．9π【答案】C所以外接球的直径2R==，所以246R =,外接球的表面积246R ππ=，故选：C2．（2022·安徽·高一阶段练习）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥A BCD -是一鳖臑，其中AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC CD ⊥，AC CD ⊥，且3BC DC ==，4AB =．则三棱锥A BCD -外接球的表面积是（）A ．25πB ．34πC ．100πD ．3【答案】B易得三棱锥A BCD -外接球的直径为AD ，则AD =A BCD -外接球的半径2R =，所以2434S ππ=⨯=⎭⎝，故选：B.3．（2022·河北·沧县中学高一期中）三棱锥P ABC -中，已知,,PA PB PC 两两垂直，且1,2PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为___________.【答案】9π以线段,,PA PB PC 为相邻的三条棱为长方体，连接AB ,BC ,AC ,即为三棱锥P ABC -，∵如图所示，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，∴则其外接球直径为长方体对角线的长，设外接球的半径为R ，则2222222(2)1229R PA PB PC =++=++=,解得32R =,则294π4π9π4S R ==⨯=.故答案为:9π.4．（2022·贵州·清华中学高三阶段练习（理））四棱锥ABCD 中，2,3,10======AB CD AD BC AC BD A ，B ，C ，D 的外接球的表面积是__________．【答案】13π解：因为四棱锥ABCD 的对棱相等，所以将四棱锥ABCD 补成如图所示的长方体，则经过A ，B ，C ，D 的外接球即为长方体的外接球，所以球的直径为长方体的对角线的长，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，因为2,23,10======AB CD AD BC AC BD ，所以22222241012a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得133a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以球的半径22211322r a b c =++，所以球的表面积为221344132r πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：13π模型3：单面定球心法（定+算）建立模型单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P ABC -中，选中底面ABC ∆，确定其外接圆圆心1O （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2sin ar A=）；②过外心1O 做（找）底面ABC ∆的垂线，如图中1PO ⊥面ABC ,则球心一定在直线（注意不一定在线段1PO 上）1PO 上；③计算求半径R :在直线1PO 上任取一点O 如图：则OP OA R ==，利用公式22211OA O A OO =+可计算出球半径R .典型例题例题1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）在四面体ABCD 中，,ABD BCD 都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则该四面体外接球的表面积为_________.【答案】203π依题意作上图，取BD 的中点P ，连接AP ，CP ，取ABD △的中心E ，BCD △的中心G ，分别作平面ABD 和平面BCD 的垂线，得交点H ，则H 点就是四面体ABCD 外接球的球心，CH 就是球的半径r ，333,33AP CP HG PE CG =====，222253r CH CG GH ==+=，外接球的面积为22043S r ππ==；故答案为：203π.例题2．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱1111,1,120,2ABC A B C AB AC BAC AA -===︒∠=，则球表面积为___________.【答案】8π设三角形ABC 和三角形111A B C 的外心分别为D ，E ．可知其外接球的球心O 是线段DE 的中点，连结OC ，CD ，设外接球的半径为R ，三角形ABC 的外接圆的半径r ，1,120,AB AC BAC =∠=︒=可得3BC =，由正弦定理得，21sin123r r ︒=∴=，而在三角形OCD 中，可知222||||||CO OD CD =+，即2212R r =+=，因此三棱柱外接球的表面积为248S R ππ==．故答案为：8π例题3．（2022·广西贺州·高一期末）已知ABC ∆的三个顶点都在球O 上，AC BC ⊥，2AC BC ==，且三棱锥273O ABC V -=，则球O 的体积为（）A ．82π3B ．32π3C ．287π3D ．36π【答案】D△ABC 中，AC BC ⊥，2AC BC ==，则22AB =取AB 中点H ，连接OH ，则点H 为△ABC 所在小圆圆心，OH ⊥平面ABC则271122332O ABC V OH -=⨯⨯⨯⋅，解之得7OH 则球O 的半径()()22723OA +则球O 的体积为34π3=36π3⋅故选：D例题4．（2022·河南开封·高二期末（理））已知球O 为三棱锥D ABC -的外接球，球O 的体积为256π3，正三角形ABC 的外接圆半径为23D ABC -的体积的最大值为______．【答案】183设ABC 外接圆的圆心为1O ，因为正三角形ABC 的外接圆半径为23123O B =由正弦定理243sin 60ACR ==︒6AC =，所以166sin 60932ABC S =⨯⨯⨯︒= ，要使三棱锥D ABC -的体积最大，则1O D ⊥平面ABC ，且球心O 在线段1O D 上，因为球O 的体积为34π256π33R =，所以球O 的半径为4R =．在1Rt OO B 中，由勾股定理得221116122OO R O B =--，所以三棱锥D ABC -体积的最大值()()111932418333ABC V S OO R =⋅+=⨯+=△故答案为：183题型归类练1．（2022·河北·衡水市第十三中学高一阶段练习）在正四棱锥P ABCD -中，4AB =，6PA =，则平面PAB 截四棱锥P ABCD -外接球的截面面积是（）A 655πB ．365πC ．12πD ．36π【答案】B如图，作PO '⊥平面ABCD ，垂足为O '，则O '是正方形ABCD 外接圆的圆心，从而正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，取棱AB 的中点E ，连接,,,O D O E OD PE ''，作OH PE ⊥，垂足为H .由题中数据可得2,2,25,4O D O E PE O P '''====，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，则()22222R O D O O OP O P O O =+='-'=''，即()22284R O O O O =+='-'，解得3R =.由题意易证OPH EPO ' ∽，则PH OPO P PE='，故655PH =故所求截面圆的面积是236ππ5PH ⋅=.故选：B2．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知三棱锥S ABC -中，平面SAC ⊥平面ABC ，且AB AC ⊥，30SCA ∠=︒，若4AB SA ==，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（）A ．64πB ．128πC ．40πD ．80π【答案】D由题意得，BA ⊥平面SAC ，将三棱锥补成三棱柱11SAC S BC -，如图，则三棱柱11SAC S BC -的外接球即为所求.设外接球的球心为O ，则SAC 的外心为1O ，则1122OO AB ==，又1142sin SAO A SCA=⨯=∠，则外接球的半径22115R OO O A =+表面积2480S R ππ==，故选：D3．（2022·重庆市万州第二高级中学高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且3a =，π3A =．又点A ，B ，C 都在球O 的球面上，且点O 到平面ABC 5则球O 的体积为（）A ．642π3B 635π3C ．643π3D 636π3【答案】AABC的外接圆半径2sin ar A=则球O 的半径R ==则球O 的体积为(3344πR π33V ===3故选：A4．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知点,,,A B C D 在同一个球的球面上，1AB =，BC=，2AC =，若四面体ABCD ，则这个球的表面积是（）A ．14425πB ．24825πC ．57625πD ．67625π【答案】D由1,2AB BC AC ==，可得222AB BCAC +=，所以ABC为直角三角形，其面积为112S =，所以直角ABC 所在截面小圆的半径112r AC ==，设点D到平面ABC 的距离为h ，因为四面体ABCD所以1133D ABC ABC S h V -=⨯==5h =，设四面体ABCD 的外接球半径为R ，球心O 到截面的距离为d ，当D 到底面ABC距离最远时，即h R d =+时，四面体ABCD 的体积取得最大值，因为d ==5R =，解得135R =，所以球的表面积为2136764525S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3BC =，23AB =点E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.【答案】5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：如图，设BDC 的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，则123sin 6033O D =︒⨯=22111233AO AD DO --=，在Rt 1OO D 中，223(3)R R =+-，解得2R =，6BD BE = ， 2.5DE ∴=，在1DEO 中，12557323cos30422O E =+-⨯⨯⨯︒=，2211711142OE O E OO ∴+=+，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，221152()22-=54π，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．∴所得截面圆面积的取值范围是5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．模型4：双面定球心法（两次单面定球心）建立模型如图：在三棱锥P ABC -中：①选定底面ABC ∆，定ABC ∆外接圆圆心1O ②选定面PAB ∆，定PAB ∆外接圆圆心2O ③分别过1O 做面ABC 的垂线，和2O 做面PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球心O .典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知点A ､B ､C ､D 都在球O 的球面上，AB AC =，BCD ∆是边长为1的等边三角形，AD 与平面BCD 所成角的正弦值为63，若2AD =，且点D 在平面BCD 上的投影与D 在BC 异侧，则球O 的表面积为（）A ．πB ．4πC ．8πD ．16π【答案】B由题设，若E 是BC 的中点，则O '是△BCD 的中心，连接DE ，如下图示：由题设知：DE BC ⊥，AE BC ⊥，又AE DE E = ，则BC ⊥面AED ，而BC ⊂面BCD ，即面BCD ⊥面AED ，过A 作AF ⊥面BCD ，则F 必在直线DE 上，易知：ADF ∠为AD 与平面BCD 所成角的平面角，又AD 与平面BCD 所成角的正弦值为，2AD =，可得DF =.过O '作OO DE '⊥交AD 于O ，易知：OD OB OC ==，而O D '=12O D DF '=，又//AF OO '，故O 为AD 的中点，OD OA =，∴OD OB OC OA ===，即O 是球心，故球O 的半径为1，∴球O 的表面积为4π.故选：B例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知平面四边形ABCD 中，4AB AD BD =====，现沿BD 进行翻折，使得A 到达A '的位置，连接A C '，此时二面角A BD C '--为150°，则四面体A BCD '外接球的半径为（）A B C D 【答案】C解：取BD 的中点E ，连接A E '，CE ，因为4AB AD BD =====即BC CD ==，所以CE BD ⊥，A E BD '⊥，A EC '∠即为二面角A BD C '--的平面角，且90BCD ∠=︒，所以BCD △外接圆的圆心为E ，设A BD 'V 外接圆的圆心为1O ，则1O E 1O ，E 分别作平面A BD '，平面BDC 的垂线，交于点O ，则O 即为四面体A BCD '外接球的球心.因为二面角A BD C '--的平面角为150︒，即150A EC '∠=︒，则160∠=︒OEO .在1Rt OO E △中，3cos603OE ==︒，连接OB ，则OB 即为外接球的半径R ，则2222283R OB OE BE ==+=，即3R =，故选：C .题型归类练1．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）一边长为4的正方形ABCD ，M 为AB 的中点，将AMD ，BMC △分别沿MD ，MC 折起，使MA ，MB 重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为（）．A ．763πB ．48πC ．81πD ．9【答案】A 如图所示，由图可知在四面体A -CDM 中，由正方形,ABCD M 为AB 的中点，可得MA ⊥AD ，MA ⊥AC ，AC ∩AD =A ，故MA ⊥平面ACD .将图形旋转得到如图所示的三棱锥M -ACD ，其中△ACD 为等边三角形，过△ACD 的中心O1作平面ACD 的垂线l1，过线段MC 的中点O2作平面MAC 的垂线l2，由球内截面的性质可得直线l1与l2相交，记12l l O =∩，则O 即为三棱锥M 一ACD 外接球的球心.设外接球的半径为R ，连接OC ，O1C ，可得111O C =.在Rt △OO1C 中，222211193OC OO O C R =+==，故该外接球的表面积219764433S R πππ==⨯=.故选：A.2．（2022·广东梅州·高一阶段练习）如图，在三棱锥P ABC -，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且CB =AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（）A ．3B ．10πC ．9πD ．(4π+【答案】B根据题意，作出图形，如图所示，因为PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，所以PAC △的外心在AC 中点，设为2O ，设ABC 的外心为1O ，BC 中点为E ，11AO r =，因为AB AC ==，所以1O 必在AE 连线上，则123sin AB AB r AE C AC===，即132r =，因为两平面交线为AC ，1O 为平面ABC 所在圆面中心，所以12O O AC ⊥，()221212O O r AO =-=又因为二面角P AC B --的大小为120︒，2PO AC ⊥，所以2121120,30PO O OO O ∠=︒∠=︒，所以2121OO O O ==，锥体P ABC -外接球半径()()2222222512R AO AO OO ==+=+=⎝⎭，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为2410S R ππ==，故选：B。

第三讲 球【考点分析】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，一般考查柱锥的外接球及内切球，与三视图综合考查。

【基础扫描】1.球的表面积：S ＝4πR 22. 球的体积：V ＝43πR 33.4. 5. 常用的结论结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点． 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． 6、求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）； ③可以转化为长方体的外接球； ④特殊几何体可以直接找出球心和半径.【知识运用】题型一 外接球类型一：长方体（正方体）的外接球【例1】（1）（2018海南模拟）若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为__________．【解析】因为长方体的顶点都在球上，所以长方体为球的内接长方体，其体对角线l ==为球的直径，所以球的表面积为24292l S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故填29π.（2）．(2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析 设正方体棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3，∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.类型二：各顶点都在长方体或正方体上的几何体【例2】（2018天津市模拟）．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱ABC A B C '-''，如图所示：其中，三角形ABC 是腰长为4的直角三角形，侧面ACC A ''是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为=∴该几何体的外接球的表面积为(2448ππ⨯=.故答案为48π.【变式】1、如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 272π B. 27π C. 27√3π D.27√32π 【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为3的正方形，且高为3，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，所以外接球半径R 满足2R =√32+32+32=√27，所以外接球的表面积为S =4πR 2=27π，故选B.2．（2018四川模拟）如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为4m 、 ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4， 则13244,233m m ⨯⨯⨯∴=＝， 将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为3R =，故这个几何体的外接球的表面积为2436R ππ= ．故选C ．类型三：柱的外接球【例3】（2018安徽模拟）设直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB=AC=AA 1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是________. 【解析】设三角形BAC 边长为a ，则三角形BAC外接圆半径为12sin 3a =，因为2244010R R ππ=∴=所以22210,2a R a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭即直三棱柱的高是【变式】1(江苏2018模拟)．直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，AA 1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．【解析】ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴A 1A ⊥AC ，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，A 1C 是球的直径，∴R =A 1C 2；∵AB ⊥BC ，∴AC =√32+42=5 ，∴A 1C 2=52+52=50 ；故该球的表面积为S =4πR 2=4π(A 1C 2)2=πA 1C 2=50π2. 【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B2类型四：锥的外接球（重点）【例4-1】【衡水金卷】已知正四棱锥P ABCD -，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为 （ ） A.1243π B. 62581π C. 50081π D. 2569π【答案】C【解析】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O '，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O1O D ∴'=正四棱锥的体积为22123P ABCDV PO -⨯⨯'∴==，解得3PO '=3OO PO PO R ∴-'=='-在 Rt OO D '中，由勾股定理可得： 222OO O D OD '+='即()22231R R -+=，解得53R =2344550033381V R πππ⎛⎫∴==⨯= ⎪球故选C【变式】（2018衡阳模拟）．已知正四棱锥P ABCD -的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( ) A. 4π B. 6π C. 8π D. 16π【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O ',则12,2AO AC PA PO ==''=⊥平面ABCD,故PO =='而底面ABCD 所在截面圆的半径AO '=故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径故外接球的表面积为248,S R ππ==故选C.【例4-2】（2018攀枝花模拟）一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ）A. 4πB. 5πC. 8πD. 9π【解析】分析：先通过三视图找到几何体的原图，发现原图是一个三棱锥，再找到几何体的外接球的半径，再求该几何体的外接球的表面积.详解：由三视图可知几何体的原图如下图所示：在图中AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，BC=2,BD=1,AB=2. 由于△BCD 是直角三角形，所以它的外接圆的圆心在斜边的中点E,且r =12√CD =√52. 设外接球的球心为O,如图所示，由题得R 2=12+(√52)2=94.所以该几何体的外接球的表面积为4πR 2=4π×94=9π.故选D.【变式】如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为A. 4πB. 8πC. 16πD. 32π【解析】几何体的直观图如图所示为三棱锥O ABC -，三棱锥O ABC -中， 090AOC ABC ∠=∠=，所以外接球的直径为AC ，则半径12R AC ==球的表面积2432S R ππ==.2．（衡水金卷信息卷）已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.214π3B.127π3C.115π3D.124π3【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥A −BCD 其中AD =DC =2，BD =4且AD ⊥底面ABC ，∠BDC =120° 根据余弦定理可知：BC 2−BD 2+DC 2−2BD ∙DC ∙cos 120°=42+22−2×4×2×(−12)=28可知BC =2√7根据正弦定理可知∆BCD 外接圆直径2r =BCsin ∠BDC =2√7sin 120°=4√7√3∴r =2√213，如图，设三棱锥外接球的半径为R ，球心为O ，过球心O 向AD 作垂线，则垂足H 为AD 的中点 DH =1，在Rt∆ODH 中，R 2=OD 2=(2√213)2+1=313∴外接球的表面积S =4πR 3=4π×313=124π3故选D题型二：空间几何体的内切球【例5】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【答案】πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球，33)26(3434-==ππR V 球．∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯36313233113631得：2633232-=+=R ， ∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球．∴33)26(3434-==ππR V 球．变式：【衡水金卷】如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）A.254π B. 2516πC. 11254πD. 112516π【答案】D【解析】把此三棱锥嵌入长宽高分别为： 202416，，的长方体1111ABCD A B C D -中 三棱锥B KLJ -即为所求的三棱锥其中19KC =， 1112C L LB ==， 116B B =1111KC LB C L B B∴=，则11K C L LB B ~， 90KLB ∠=︒ 故可求得三棱锥各面面积分别为：150BKLS=， 150JKLS=， 250JKBS=， 250JLBS=故表面积为800S =表 三棱锥体积1V 10003BKLS JK ==设内切球半径为r ，则3154V r S ==表故三棱锥内切球体积341125316V r ππ==球故选D 【强化练习】1．（2018山东模拟）在四面体ABCD 中，AB =BC =CD =DA =1，AC =√62，BD =√2，则它的外接球的面积S =（ ）A. 4πB. 2πC. 43π D. 83π【解析】由题意AB2+AD2=BC2+CD2=2=BD2，可知ΔBAD和ΔBCD是以BD为公共边的等腰直角三角形，取BD的中点，则OA=OB=OC=OD=√22,所以外接球的半径为R=√22，所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×(√22)2=2π，故选B．2．在四面体ABCD中，AB=AC=2√3，BC=6，AD⊥底面ABC，△DBC的面积是6，若该四面体的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A. 24πB. 32πC. 46πD. 49π【解析】四面体ABCD与球O的位置关系如图所示，设E为BC的中点，O1为ΔABC外接球的圆心，因为AB=AC=2√3，BC=6，由余弦定理可得∠BAC=2π3，由正弦定理可得2AO1=√32=4√3,AO1=2√3由勾股定理可得AE=√3，又SΔDBC=12×DE×BC=6,∴DE=2，∴AD=√DE2−AE2=√4−3=1，在四边形OO1AD中，OO1//AD,∠OO1A=90∘，OA=OD，计算可得R2=OA2=(2√3)2+(12)2=494，则球O的表面积是4π×494=49π，故选D.4、（2018湖南模拟）．某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的外接球的表面积为A. 100π9 B. 9π C. 100π27D. 10π【解析】由三视图知，该几何体为三棱锥，高为3，其一个侧面与底面垂直，且底面为等腰直角三角形，所以球心在垂直底面的侧面的三角形高上，设球半径为R，则(3−R)2+1=R2解得R=53，所以球的表面积为S=4πR2=100π9，故选A.5．已知底面半径为1，高为√3的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则此球的表面积为（）A. 32√3π27 B. 4π C. 16π3D. 12π【解析】设球的半径为R，由已知有R2=12+(√3−R)2⇒R=√3，故球的表面积为4πR2=4π×(√3)2=16π3，故选C.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为41π4，则几何体的高x为A. 3B. 5C. 4D. 2【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥P−ABCD，如图.底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，过底面ABCD的中心N作底面ABCD的垂线，则该几何体的外接球的球心O在该垂线上，过O作OK⊥侧面PAD,则垂足K在AD的高线PM上，连接OA,OP，则OA,OP为球的半径，该几何体的外接球的表面积为S=41π4，即4π×4116=4πR2，R=√414，由OP2=PK2+OK2，得PK=√4116−1=54，由OA2=ON2+AN2，得4116=2+(x−54)2，解得x=2，或x=12，由PK=54，可得x=2，故选D．7．一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 9πB. 8πC. 5πD. 4π【解析】 由三视图可知，几何体为一个三棱锥，且一边垂直于底面，其外接求的直径等于其补成一个长方体的外接球，且长方体的长宽高分别为2,1,2，根据长方体的对角线长等于球的直径，所以2R =2R =，所以22449S R πππ==⨯=⎝⎭，故选A ．8．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为1S ，外接球的表面积为2S ，则12S S =（ ） A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:8【解析】如图：由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r 则： 2122lR r π=，21222r R r ππ=，解得2R r = 故30ADC ∠=︒， 90DCB ∠=︒则12BC BD =， 12r r ∴=内外 故1214S S = 故选C9．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的表面积为1S ，外接球的表面积为2S ，则12S S =（ ） A. 3:8 B. 9:16 C. 1:4 D. 1:8【解析】设圆锥的底面半径是r ，母线长为l ，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， 22rl r ππ∴= ，解得2l r =，则圆锥的轴截面是正三角形，设圆锥的外接球的半径为,R，2,3R ∴=∴该圆锥的表面积2213,S rl r r πππ=+=外接球的表面积为22221644,33S R r r πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭212239.16163S r S r ππ∴== 故选B ． 10．在三棱锥P ABC -中， 2AP =，AB = PA ⊥面ABC ，且在三角形ABC 中，有()cos 2cos c B a b C =-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 40πB. 20πC. 12πD.203π【解析】设该三棱锥外接球的半径为R .在三角形ABC 中， ()cos 2cos c B a b C =-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边）. ∴cos cos 2cos c B b C a C +=∴根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，即()sin 2sin cos B C A C +=. ∵sin 0A ≠∴1cos 2C =∵()0,C π∈∴3C π= ∴由正弦定理，2sin3r =，得三角形ABC 的外接圆的半径为3r =.∵PA ⊥面ABC∴()()()22222PA r R +=∴210R =∴该三棱锥外接球的表面积为2440S R ππ==故选A.11．在三棱锥P ABC -中，AB ==， 90ABC BCP PAB ∠=∠=∠=，cos 4CPA ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A. 5π B. 13π C. 6π D. 14π【解析】 如图所示，作PE ⊥平面ABC 于E 点，连接,EA EC ，因为,BC CP PA AB ⊥⊥，易得,EC CB EA AB ⊥⊥， 四边形EABC 为矩形， 22221,3PA PE PC PE =+=+， 在PAC ∆中，由余弦定理222cos 4PA PC PA PC CPA +-⋅∠= ， 代入整理得4PE =，设三棱锥P ABC -外接球的半径为，由1PE =得2R =2R =，所以球的表面积为245S R ππ==，故选A ．12．某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是( )A. 2πB. 4πC. 5πD. 20π【解析】由三视图知，该几何体为三棱锥，且其中边长为1的侧棱与底面垂直，底面为底边长为2的等腰直角三角形，所以可以将该三棱锥补形为长、宽、高分别为√2，√2，1的长方体，所以该几何体的外接球O 的半径R ＝√2+2+12=√52，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝5π.故答案为：C.13．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A.5003π B. 3 C. 1253π D. 3 【解析】由题得几何体的原图为图中的四棱锥A-BCDE, 四棱锥A-BCDE 的外接球和长方体的外接球重合，因为长方体的外接球直径22R R ===∴=所以该几何体的外接球的体积为343π⋅故选D. 14、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个正六边形及其三条对角线，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A. 4πB. 8πC. 16πD. 32π【解析】由三视图可得该几何体是六棱锥，底面是边长为1的正六边形，有一条侧棱垂直底面，且长为2，可以将该几何体补成正六棱柱，其外接球与该正六棱柱外接球是同一个球．故该几何体的外接球的半径R ==248S R ππ==.故选B. 点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法：15．如图，在三棱锥B ACD -中， 3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=， 3,2AB BC BD ===，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为（ ）A.192πB. 19π【解析】如图，在,ACB ADB ∆∆中，由余弦定理得AC AD ==CD 的中点E ，连BE,AE ，则,BE CD AE CD ⊥⊥，且BE AE ==222BE AE AB +=，所以90AEB ∠=︒，从而可得BE ⊥平面ACD ．设ACD ∆的外接圆的半径为r ，圆心为1O ，则1O 在AE 上，由222211r O C O E CE ==+()22AE r CE =-+，可得)221r r=+，解得r =由题意得球心O 在过点1O 且与平面ACD 垂直的直线1O F 上，令1O F BE ==，设1OO d =，则由OC OB =可得2222221d O C d r OF FB +=+=+ )2d =)2r +，解得d =B ACD -的外接球的半径为R ，则22222198R d r =+=+=⎝⎭，所以外接球的表面积21942S R ππ==．选A ． 16．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A.3 B. 1253π C. 3 D. 5003π 【解析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其外接球即为俯视图为底面的三棱柱的外接球，设几何体的外接球的半径为R ，则2R ==2R =，所以该外接球的体积为33443323V R ππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选A.17．已知三棱锥S ABC －中， SA ⊥平面ABC ，且30ACB ∠=︒， 21AC AB SA ===.则该三棱锥的外接球的体积为( )B. 13π 【答案】D【解析】∵30ACB ∠=︒， 2AC AB ==ABC 是以AC 为斜边的直角三角形其外接圆半径2ACr ==，则三棱锥外接球即为以ABC C 为底面，以SA 为高的三棱柱的外接球∴三棱锥外接球的半径R 满足,2R ==故三棱锥外接球的体积34.36V R π== 故选D.18．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为4、m，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4，则13×4×m×4＝323,∴m=2，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为R=12√42+22+42＝3，故这个几何体的外接球的表面积为4πR2=36π．故选C．19．已知四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P−ABCD外接球的表面积是（）A. 20πB. 101π5C. 25πD. 22π【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE⊥底面BCDE.如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点，OG⊥AF.设OM=x,由题得ME=√5,在直角△OME中，x2+5=R2(1)，又MF=OG=1,AF=√32−22=√5,AG=√R2−1,GF=x,∴√R2−1+x=√5(2)，解（1）（2）得R2=10120,∴S=4πR2=1015π.故选B.点睛：本题的难点在于作图找到关于R的方程，本题条件复杂，要通过两个三角形得到关于R的两个方程x2+5=R2(1)、√R2−1+x=√5（2），再解方程得到R的值.20．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 36πC. 40πD. 400π【解析】几何体为三棱锥，如图，底面为顶角为120度的等腰三角形BCD ，侧棱AC 垂直底面，2,BC CD BD AC ====设三角形BCD 外接圆圆心为O ，则242OC OC ==∴=,因此==即外接球的表面积为2440ππ=，选C.21．某几何体的三视图如图所示，其外接球表面积为（ ）A. 24πB.C. 6πD. 8π【解析】由题得，几何体原图是长方体中的三棱锥A-BCD ，所以球的直径2R所以22446R S R πππ=∴==⨯=⎝⎭,故选C.22．某几何体的正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，三视图如图所示，该几何体外接球的表面积是( )．A. 4πB.112π C. 3π D. 133π 【解析】由题意得该几何体的是如图所示的四棱锥P ABCD -，底面为俯视图所示的等腰梯形（上下底分别为1,2PE =．取AB 的中点1O ，由条件可得11111O A O B O C O D ====，故点1O 为底面梯形外接圆的圆心，过点1O 作1MO ⊥底面ABCD ，且使得1MO 1MO 上，设为点O ．设1OO x =，则2OM x =-，可得2222111OB OO O B x =+=+， 222OP OM MP =+ 22x ⎫=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由,OB OP 均为外接球的半径可得2221x x ⎫+=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得6x =， 令外接球的半径为R ，则2213112R x =+=， 故四棱锥外接球的表面积为21343S R ππ==．选D ． 23．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少斤？（注3π≈）（ ） A. 125.77 B. 864 C. 123.23 D. 369.69【解析】由题意知，大球半径6R =，空心金球的半径60.3 5.7r =-=，则其体积()334π6 5.7123.233V =-≈（立方寸）．因1立方寸金重1斤，则金球重123.23斤， 故选C ．23．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1体积为8，面A 1B 1C 1D 1在一个半球的底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A. 323π B.4√23π C. 12π D. 4√6π 【解析】正方体体积为8，则棱长为2由题意可得底面A 1B 1C 1D 1的中心到上底面顶点距离为球的半径√22+(√2)2=√6 半球体积为12×43π×(√6)3=4√6π 故选D24．三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA =2,ΔABC 是边长为√3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 4π3 B. 4π C. 8π D. 20π【解析】根据已知中底面ΔABC是边长为√3的正三角形，，PA⊥平面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以ΔABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球∵ΔABC是边长为√3的正三角形，∴ΔABC的外接圆半径r=23√3−34=1，球心到ΔABC的外接圆圆心的距离d=1，故球的半径R=√r2+d2=√2，故三棱锥P−ABC外接球的表面积S=4πR2=8π.故选：C．25．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A. 81πB. 33πC. 56πD. 41π【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥P−ABCD，其中ABCD是边长为4的正方形，平面PAB⊥平面ABCD．设F为AB的中点，E为正方形ABCD的中心，O为四棱锥外接球的球心，O1为ΔPAB外接圆的圆心，则球心O为过点E且与平面ABCD垂直的直线与过O1且与平面PAB垂直的直线的交点．由于ΔPAB为钝角三角形，故O1在ΔPAB的外部，从而球心O与点P在平面ABCD的两侧．由题意得PF=1,OE=O1F,OO1=EF，设球半径为R，则R2=OE2+OB2=EF2+O1P2,即OE2+(2√2)2=22+(1+OE)2，解得OE=32，∴R 2=(32)2+(2√2)2=414， ∴S球表=4πR 2=41π．选D ．26．已知底面边长为√2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P −ABC 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3πB. 2πC. 43π D. 4π【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为1），则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为√1+1+1=√3，故其表面积为S =4×π×(√32)2=3π．选A ．27．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A. √3πB. √32π C. 3π D. 4π 【答案】B【解析】由三视图可知，该“阳马”是底面对角线长为√2的正方形，一条长为1的侧棱与底面垂直的四棱锥，将该四棱锥补成长方体，长方体的外接球与四棱锥的外接球相同，球直径等于长方体的对角线长，即2R =√√22+1=√3,R =√32，球体积为V =43πR 3=√32π，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.28．在三棱锥S ABC -中， SA ⊥平面ABC ， 2SA =， 1AB =， BC =， AC =外接球表面积为________． 【答案】14π【解析】在△ABC 中，由余弦定理得cos sinBAC BAC ∠==∴∠=222,sin r r BAC =∴=∠22222141,,=4=14.4R R S R ππ∴+=∴=∴⨯⎝⎭球故填14π. 29．已知三棱锥S −ABC,SA ⊥平面ABC ，ΔABC 为等边三角形，SA =2,AB =3,则三棱锥S −ABC 外接球的体积为__________． 【答案】32π3. 【解析】根据已知中底面ΔABC 是边长为3的正三角形，SA ⊥平面ABC ，SA =2，可得此三棱锥外接球，即为以ΔABC 为底面以SA 为高的正三棱柱的外接球. ∵ΔABC 是边长为3的正三角形∴ΔABC 外接圆的半径为r =√3，球心到ΔABC 的外接圆圆心的距离为d =1. ∴球的半径为R =√3+1=2 ∴三棱锥S −ABC 外接球的体积为V =4π3R 3=32π3故答案为32π3. 30．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________________.【解析】设四个实心铁球的球心为1234,,,O O O O ，其中12,O O 为下层两球的球心，四个球心连线组成棱长为1的正四面体， ,,,A B C D 分别为四个球心在底面的射影，则ABCD 是一个边长为2的正方形，所以注水高为正四面体相对棱的距离与球半径的二倍的和，即为1+， 故应注水的体积等于以注入水的高度为高的圆柱的体积减去四个球的体积， 34114232ππ⎛⎛⎫+-⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭＝132π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为3132cm π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.31．若三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，∠BAC=60°,则球O 的表面积____________【解析】 如图所示，三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，以为SA ⊥平面0,1,2,60ABC SA AB AC BAC ===∠=，所以BC ==090ABC ∠=， 所以ABC ∆截球O 所得的圆O '的半径为112r AC ==,所以球O 的半径为2R ==，所以O 的表面积为2416S R ππ==.32．在正三棱锥A BCD -中， M ， N 分别是AB ， BC 上的点，且//MN AC ， 5AM MB =，MD MN ⊥，若侧棱1AB =，则正三棱锥A BCD -的外接球的表面积为__________．【解析】设底边边长为a ，则在三角形BCD 中， 11,.663BN BC a DBN DN π==∠=∴=在三角形ABD 中， 22cosA 2a -= ，在三角形AMD 中， 5,6AM DM == ，因为222211, 2.66MD MN MN AC DM MN DN a ⊥==+=∴= 设A 在底面BCD 上的射影为E ，则02sin603BE BC AE =⨯===设球半径为R ，则22232R R BE R ⎛⎫=-+∴= ⎪ ⎪⎝⎭ 正三棱锥A BCD -的外接球的表面积为243.S R ππ==33．边长为2的等边ABC ∆的三个顶点A ， B ， C 都在以O 为球心的球面上，若球O 的表面积为1483π，则三棱锥O ABC -的体积为__________．【来源】【全国市级联考】重庆市2018届高三4月调研测试（二诊）数学（文科）试题【解析】设球半径为R ，则214843R ππ=，解得2373R =．设ABC ∆所在平面截球所得的小圆的半径为r ，则22323r ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．故球心到ABC ∆所在平面的距离为d ===，即为三棱锥O ABC -的高，所以21123343O ABC ABC V S d -∆⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：334．如图，在四面体ABCD 中， AB ⊥平面BCD ， BCD ∆是边长为的等边三角形.若8AB =，则四面体ABCD 外接球的表面积为__________．【来源】【全国市级联考】湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量检测文科数学试题 【答案】100π【解析】取CD 的中点E ，连结,,AE BE 在四面体ABCD 中， AB ⊥平面,BCD BCD ∆是边长为3的等边三角形，,Rt ABC Rt ABD ACD ∴∆≅∆∆是等腰三角形， BCD ∆的中心为G ，作//OG AB 交AB 的中垂线HO 于,O O为外接球的中心， 2BE BG == 2R ==，四面体ABCD 外接球的表面积为2416R ππ=，故答案为100π.35．三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的直角三角形,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积是________【解析】由题意可得AS BS⊥，所以取AB中点O,则O是三棱锥S-ABC的外接球的球心，半径为1.所以S=4.π填4π。

高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。

例1：1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。

解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。

2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。

解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =4πR^2 = 9π。

3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接球的表面积。

解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。

连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。

由AM⊥MN，SB//MN，可得AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。

因此，三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。

类型二、棱台模型棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。

通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。

例2：1）已知棱台的上底面和下底面都是正三角形，上底边长为3，下底边长为6，侧棱长为5，求其外接球半径R和内切球半径r。

解：由勾股定理可得棱台的高为4√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (3 + 6 +5)/(3 + 6 - 5) = 7，解得R = 7r。

搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲 柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 在四面体S ABC-中，ABCSA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）(6)题图(3)题-1(引理）AC图2-1第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=， 补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-. 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .思考：如何求棱长为a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .(1)题图B（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 .（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为（3）解答题（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .(4)题解答图(4)题类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1图3-2图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(hr R +=，解出R例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 （2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 （4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .第二讲 锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图4-1图4-2图4-3图4-41．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点. 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 .（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 （3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ．43 D ．123（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为ο60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A ．π B.3πC. 4πD.43π（5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A．6 B．6 C．3 D．2类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的 三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的 顶点.图5-1图5-2图5-3图5-4图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( ) A ．π3 B ．π2 C ．316πD ．以上都不对第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和俯视图侧视图正视图解答图△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .（2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //，ο90=∠A ，ο45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为(2)题-2(2)题-1→A(3)题（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为（4）在边长为32的菱形ABCD 中，ο60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为ο120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为(5)在四棱锥ABCD 中，ο120=∠BDA ，ο150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角CBD A --的平面角的大小为ο120，则此四面体的外接球的体积为类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图7(4)题图例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3125（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCDA -的外接球的表面积为 ．第四讲 多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高；第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高； 第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABCP S S S S V r -----+++=3例8 （1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为（3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则该三棱锥的内切球半径为习题：1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.92． 三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等B图8-1A图8-2于 .332π3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .5． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . 6． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .。

9.3 空间几何外接球和内切球一．公式1.球的表面积：S ＝4πR 22.球的体积：V ＝43πR 3二．概念1.2.考向一 长（正）方体外接球【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为__________． 【答案】29π【解析】因为长方体的顶点都在球上，所以长方体为球的内接长方体，其体对角线l ==为球的直径，所以球的表面积为24292l S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故填29π.【举一反三】1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________． 【答案】92π【解析】设正方体棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3，∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.2.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.【答案】48π【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱ABC A B C '-''，如图所示：其中，三角形ABC 是腰长为4的直角三角形，侧面ACC A ''是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为2=∴该几何体的外接球的表面积为(2448ππ⨯=.故答案为48π.考向二 棱柱的外接球【例2】直三棱柱AAA −A ′A ′A ′的所有棱长均为2√3，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ） A ．12π B ．16π C ．28π D ．36π【答案】C【解析】由直三棱柱的底面边长为2√3，得底面所在平面截其外接球所成的圆O 的半径r =2， 又由直三棱柱的侧棱长为2√3，则球心到圆O 的球心距d =√3，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R 满足：R 2＝r 2+d 2=7，∴外接球的表面积S ＝4πR 2=28π．故选：C ．【举一反三】1. 设直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB=AC=AA 1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是________.【答案】【解析】设三角形BAC 边长为a ，则三角形BAC外接圆半径为122sin 3a π⋅=，因为2244010R R ππ=∴=所以22210,2a R a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭即直三棱柱的高是.2.直三棱柱AAA −A 1A 1A 1中，已知AA ⊥AA ，AA =3，AA =4，AA 1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________． 【答案】50π【解析】AAA −A 1A 1A 1是直三棱柱，∴A 1A ⊥AA ，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，A 1A 是球的直径，∴A =A 1A2；∵AA ⊥AA ，∴AA =√32+42=5 ，∴A 1A 2=52+52=50 ；故该球的表面积为A =4AA 2=4A (A 1A 2)2=AA 1A 2=50A考向三 棱锥的外接球类型一：正棱锥型【例3-1】已知正四棱锥P ABCD -的各顶点都在同一球面上，体积为2，则此球的体积为 （ ）A.1243π B. 62581π C. 50081π D. 2569π【答案】C【解析】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O '，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O1O D ∴'=正四棱锥的体积为22123P ABCDV PO -⨯⨯'∴==，解得3PO '=3OO PO PO R ∴-'=='-在 Rt OO D '中，由勾股定理可得： 222OO O D OD '+='即()22231R R -+=，解得53R =2344550033381V R πππ⎛⎫∴==⨯= ⎪⎝⎭球故选C【举一反三】1.已知正四棱锥P ABCD -的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( ) A. 4π B. 6π C. 8π D. 16π 【答案】C【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O ',则12,2AO AC PA PO ==''=⊥平面ABCD,故PO =='而底面ABCD 所在截面圆的半径AO '=故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径,故外接球的表面积为248,S R ππ==故选C.2．如图，正三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为则球O 的表面积是( )A ．4πB ．323πC ．16πD ．36π【答案】C【解析】如图，设OM x =，OB OD r ==，3AB =，BM ∴=DB =3DM ∴=，在Rt OMB ∆中，22(3)3x x -=+，得：1x =，2r ∴=，16O S π∴=球，故选：C ．类型二：侧棱垂直底面型【例3-2】在三棱锥P ABC -中， 2AP =， AB = PA ⊥面ABC ，且在三角形ABC 中，有()cos 2cos c B a b C=-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 40π B. 20π C. 12π D.203π【答案】A【解析】设该三棱锥外接球的半径为R .在三角形ABC 中， ()cos 2cos c B a b C =-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边）. ∴cos cos 2cos c B b C a C +=∴根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，即()sin 2sin cos B C A C +=.∵sin 0A ≠∴1cos 2C =∵()0,C π∈∴3C π= ∴由正弦定理，332sin3r π=，得三角形ABC 的外接圆的半径为3r =.∵PA ⊥面ABC∴()()()22222PA r R +=∴210R =∴该三棱锥外接球的表面积为2440S R ππ==故选A.【举一反三】1.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.214π3 B. 127π3 C. 115π3 D. 124π3【答案】D【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥A −AAA 其中AA =AA =2，AA =4且AA ⊥底面AAA ，∠AAA =120° 根据余弦定理可知：AA 2−AA 2+AA 2−2AA ∙AA ∙AAA 120°=42+22−2×4×2×(−12)=28可知AA =2√7根据正弦定理可知∆AAA 外接圆直径2A =AAAAA ∠AAA=2√7AAA 120°=4√7√3∴A =2√213，如图，设三棱锥外接球的半径为A ，球心为A ，过球心A 向AA 作垂线，则垂足A 为AA 的中点AA =1，在AA ∆AAA 中，A 2=AA 2=(2√213)2+1=313∴外接球的表面积A =4AA 3=4A ×313=124A3故选A2.已知三棱锥S ABC －中， SA ⊥平面ABC ，且30ACB ∠=︒， 21AC AB SA ===.则该三棱锥的外接球的体积为( )B. 13π 【答案】D【解析】∵30ACB ∠=︒， 2AC AB ==ABC 是以AC 为斜边的直角三角形其外接圆半径2ACr ==，则三棱锥外接球即为以ABC C 为底面，以SA 为高的三棱柱的外接球∴三棱锥外接球的半径R 满足R ==故三棱锥外接球的体积34.3V R π== 故选D. 类型三：侧面垂直与底面型【例3】已知四棱锥A −AAAA 的三视图如图所示，则四棱锥A −AAAA 外接球的表面积是（ ）A. 20AB. 101A5C. 25AD. 22A【答案】B【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE⊥底面BCDE.如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点，OG⊥AF.设OM=x,由题得AA=√5,在直角△OME中，A2+5=A2(1)，又MF=OG=1,AF=√32−22=√5,AA=√A2−1,AA=A,∴√A2−1+A=√5(2)，解（1）（2）得A2=10120,∴A=4AA2=1015A.故选B.【举一反三】1.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A. 81AB. 33AC. 56AD. 41A 【答案】D【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥A −AAAA ，其中AAAA 是边长为4的正方形，平面AAA ⊥平面AAAA ．设A 为AA 的中点，A 为正方形AAAA 的中心，A 为四棱锥外接球的球心，A 1为AAAA 外接圆的圆心，则球心A 为过点A 且与平面AAAA 垂直的直线与过A 1且与平面AAA 垂直的直线的交点． 由于AAAA 为钝角三角形，故A 1在AAAA 的外部，从而球心A 与点P 在平面AAAA 的两侧． 由题意得AA =1,AA =A 1A ,AA 1=AA ， 设球半径为A ，则A 2=AA 2+AA 2=AA 2+A 1A 2, 即AA 2+(2√2)2=22+(1+AA )2，解得AA =32， ∴A 2=(32)2+(2√2)2=414， ∴A 球表=4AA 2=41A ．选D ．2．已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，3AB =，AC =BC CD BD ===O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π【答案】C【解析】3AB =，AC =BC =222AB AC BC ∴+=，AC AB ∴⊥，ABC ∴∆ ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，∴球心在BC 边的高上，设球心到平面ABC 的距离为h ，则2223()2h R h +==， 1h ∴=，2R =，∴球O 的表面积为2416R ππ=．故选：C ．3．三棱锥P ABC -的底面是等腰三角形，120C ∠=︒，侧面是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为( ) A ．12π B ．20πC ．32πD ．100π【答案】B【解析】 如图， 在等腰三角形ABC 中， 由120C ∠=︒，得30ABC ∠=︒， 又2AC =，设G 为三角形ABC 外接圆的圆心， 则22sin sin 30AC CG ABC ==∠︒，2CG ∴=．再设CG 交AB 于D ，可得1CD =，AB =1DG =． 在等边三角形PAB 中， 设其外心为H ， 则223BH PH PD ===． 过G 作平面ABC 的垂线， 过H 作平面PAB 的垂线， 两垂线相交于O ，则O 为该三棱锥的外接球的球心， 则半径R OB ===∴该三棱锥的外接球的表面积为2420ππ⨯=．故选：B ．类型四：棱长即为直径【例3-4】已知底面边长为√2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥A −AAA 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3AB. 2AC. 43A D. 4A 【答案】A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为1），则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为√1+1+1=√3，故其表面积为A =4×A ×(√32)2=3A ．选A ．【举一反三】1．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径．若平面PCA ⊥平面PCB ，PA AC =，PB BC =，三棱锥P ABC -的体积为a ，则球O 的体积为( )A ．2a πB ．4a πC ．23a πD ．43a π【答案】B【解析】如下图所示，设球O 的半径为R ，由于PC 是球O 的直径，则PAC ∠和PBC ∠都是直角，由于PA AC =，PB BC =，所以，PAC ∆和PBC ∆是两个公共斜边PC 的等腰直角三角形，且PBC ∆的面积为212PBC S PC OB R ∆==， PA AC =，O 为PC 的中点，则OA PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC ⋂平面PBC PC =，OA ⊂平面PAC ，所以，OA ⊥平面PBC ， 所以，三棱锥P ABC -的体积为23111333PBC OA S R R R a ∆⨯⨯=⨯==，因此，球O 的体积为33414433R R a πππ=⨯=，故选：B ．考向四 墙角型【例4】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B ．2 C ．3π D ．【答案】B【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径2r ==则：343V π=⋅⋅=⎝⎭.故选：B ．【举一反三】1.已知四面体AAAA 的四个面都为直角三角形，且AA ⊥平面AAA ，AA =AA =AA =2，若该四面体的四个顶点都在球A 的表面上，则球A 的表面积为（ ） A ．3AB ．2√3AC ．4√3AD ．12A【答案】D【解析】∵AA =AA =2且AAAA 为直角三角形 ∴AA ⊥AA 又AA ⊥平面AAA ，AA ⊂平面AAA ∴AA ⊥AA ∴AA ⊥平面AAA 由此可将四面体AAAA 放入边长为2的正方体中，如下图所示：∴正方体的外接球即为该四面体的外接球A正方体外接球半径为体对角线的一半，即A =12⋅√22+22+22=√3 ∴球A 的表面积：A =4AA 2=12A 本题正确选项：A2．已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是( )A ．24πB ．20πC ．16πD ．12π【答案】D【解析】该几何体是把正方体1AC 截去两个四面体111AA B D 与111CC B D ， 其外接球即为正方体1AC 的外接球，由1AC ==∴外接球的半径R =∴该几何体外接球的表面积是2412ππ⨯=．故选：D ．3．在三棱锥P 一ABC 中，1PA PB PC ===，PA 、PB 、PC 两两垂直，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( ) A ．12π B ．6πC ．4πD ．3π【答案】A 【解析】在三棱锥P 一ABC 中，1PA PB PC ===，PA 、PB 、PC 两两垂直，∴以PA 、PB 、PC 为棱构造棱长为1的正方体，则这个正方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径2r ==∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积为：2412S r ππ==．故选：A ．考向五 内切球【例5】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【答案】πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球，33)26(3434-==ππR V 球．∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯36313233113631得：2633232-=+=R ， ∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球．∴33)26(3434-==ππR V 球． 【举一反三】1．球内切于圆柱， 则此圆柱的全面积与球表面积之比是( ) A ．1:1 B ．2:1C ．3:2D ．4:3【答案】C【解析】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，222226S R R R R πππ∴=⨯+⨯=圆柱，24S R π=球．∴此圆柱的全面积与球表面积之比是：226342S R S R ππ==圆柱球．故选：C ．2．若三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，其余各棱长均为 5 ，则三棱锥内切球的表面积为 ．【答案】6316π【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等， 且每一个面的面积均为164122⨯⨯=． 设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积14163ABC V S r r ∆==， 取CD 的中点O ，连接AO ，BO ，则CD ⊥平面AOB ，4AO BO ∴==，162AOB S ∆=⨯=12233A BCD C AOB V V --∴==⨯⨯=，16r ∴=，解得r =． ∴内切球的表面积为263416S r ππ==． 故答案为：6316π．3．一个几何体的三视图如图所示， 三视图都为腰长为 2 的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为( )A BC D 【答案】A【解析】 由题意可知几何体是三棱锥， 是正方体的一部分， 如图： 正方体的棱长为 2 ，内切球的半径为r ，可得：21111222(322)3232r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得r ==故选：A ．考向六 最值问题【例6】已知球O 的内接长方体ABCD A B C D -''''中，2AB =，若四棱锥O ABCD -的体积为2，则当球O 的表面积最小时，球的半径为( )A．B ．2 CD ．1【答案】B【解析】由题意，球O 的内接长方体ABCD A B C D -''''中，球心O 在T 对角线交点上， 可得：四棱锥O ABCD -的高为1(2h h 是长方体的高）， 长方体的边长2AB =，设BC a =，高为h ， 可得：112223a h ⨯⨯⨯⨯=，即6ah =，6h a∴=那么：23614222R ==+=，（当且仅当a =故选：B ． 【举一反三】1．已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144R ππ=， 故选：C ．1．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A ．4B ．2C D ．2【答案】D【解析】正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：03,2sin 60r r r =⇒=外接球表面积为16π242R R π=⇒=外接球的球心在上下两个底面的外心MN 的连线的中点上，记为O 点，如图所示在三角形1OMB 中，22211112MB r OB R MB OM OB ===+=解得1,2OM MN h ===故棱柱的体积为：133222V Sh ==⨯⨯⨯= 故答案为：D. 2．已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（ ）A ．3B C ．D ．16π【答案】A【解析】取BC 中点E ，连接,,AE DE BD//AD BC 且12AD BC EC ==∴四边形ADCE 为平行四边形AE DC ∴=，又12DC BC =12DE BC ∴=AE DE BE EC ∴===E ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD 作OF PA ⊥，垂足为F ∴四边形AEOF 为矩形，2OF AE == 设AF x =，OP OA R ==则()22444x x +-=+，解得：2x =R ∴==∴球O 的体积：3433V R π==本题正确选项：A3．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，球的体积与三棱锥体积之比是4π，AC = （ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【解析】由于OA OB OC OS ===，且SO ⊥平面ABC ，所以π2ACB ∠=，设球的半径为R ，根据题目所给体积比有34π114π332R R =⋅⋅，解得1R =，故球的表面积为4π.4．某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（ ）A ．163π B ．283πC ．11πD ．323π【答案】B【解析】根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故：下底面的中心到底面顶点的长为：3，所以：外接球的半径为：R =故：外接球的表面积为：27284433S R πππ==⋅=．故选：B ． 5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B C ．193πD ．223π【答案】A的四棱锥，且侧面PAB 垂直底面ABCD ，如图所示：还原长方体的长是2，宽为1设四棱锥的外接球的球心为O ，则过O 作OM 垂直平面PAB ，M 为三角形PAB 的外心，作ON 垂直平面ABCD ，则N 为矩形ABCD 的对角线交点，11,233OM ON ===所以外接球的半径222221912R ON AN R =+=+=∴=所以外接球的体积343V R π== 故选A 6．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．√6AB ．6AC ．9AD ．24A【答案】B【解析】如图所示，该几何体为四棱锥A −AAAA ．底面AAAA 为矩形，其中AA ⊥底面AAAA ．AA =1，AA =2，AA =1．则该阳马的外接球的直径为AA =√1+1+4=√6．∴该阳马的外接球的表面积为：4A ×(√62)2=6A ．故选：A ．7．如图，边长为2的正方形AAAA 中，点A、A 分别是AA、AA 的中点，将AAAA ，AAAA ，AAAA分别沿AA ，AA ，AA 折起，使得A 、A 、A 三点重合于点A ′，若四面体A ′AAA 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．5AB ．6AC ．8AD ．11A【答案】B【解析】由题意可知△A′AA 是等腰直角三角形，且A′A ⊥平面A′AA ． 三棱锥的底面A′AA 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：√1+1+4=√6． ∴球的半径为√62，∴球的表面积为4A ·(√62)2=6A ．故选：A ．8．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球A 的球面上，则球A 的表面积是：（ ）A ．8AB ．12√3AC ．12AD ．48A【答案】C【解析】由三视图还原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2． 把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为√22+22+22．∴该三棱柱外接球的半径为：√3．则球O 的表面积是：4A ×(√3)2=12π．故选：C ．9．已知三棱锥A −AAA 的底面AAAA 的顶点都在球A 的表面上，且AA =6，AA =2√3，AA =4√3，且三棱锥A −AAA 的体积为4√3，则球A 的体积为（ ） A ．32A3B ．64A3C ．128A3D ．256A3【答案】D【解析】由O 为球心，OA ＝OB ＝OC ＝R ，可得O 在底面ABC 的射影为△ABC 的外心，AB ＝6，AA =2√3，AA =4√3，可得△ABC 为AC 斜边的直角三角形，O 在底面ABC 的射影为斜边AC 的中点M ，可得13•OM •12AB •BC =16OM •12√3=4√3，解得OM ＝2， R 2＝OM 2+AM 2＝4+12＝16，即R ＝4，球O 的体积为43πR 3=43π•64=2563π．故选：D ．10．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12A A AB ==，则堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）AB ．8πCD ．43π 【答案】C【解析】由题意，在直三棱柱111ABC A B C -中，因为AC BC ⊥，所以ABC ∆为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径22r AB ==， 又由12AA =，所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球的直径2R ==所以R =，所以外接球的体积为334433V R ππ==⨯=C. 11．在三棱锥P ABC -中.2PA PB PC ===.1AB AC ==，BC =则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．163π C ．43π D【答案】B【解析】因为1,AB AC BC ===，由余弦定理可求得23BAC π∠=， 再由正弦定理可求得ABC ∆的外接圆的半径122sin3BCr π==， 因为2PA PB PC ===，所以P 在底面上的射影为ABC ∆的外心D，且PD =，设其外接球的半径为R，则有2221)R R =+，解得R =24164433S R πππ==⨯=，故选B.12．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ） A ．6π B ．12πC ．32πD ．48π【答案】B【解析】由题得几何体原图如图所示，其中SA ⊥平面ABC,BC ⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,所以SC =设SC 中点为O,则在直角三角形SAC 中，在直角三角形SBC 中，OB=12SC =所以,所以点O所以四面体外接球的表面积为4=12ππ.故选：B13．已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，AB =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．2B C ．2π D ．3π【答案】D【解析】根据题意, AC 为截面圆的直径, AC =设球心到平面ABC 的距离为d ,球的半径为R 。

Ｐ Ｄ S ＣAＯ空间几何体的外接球、内切球问题外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。

1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。

练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。

3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为 （ ）A ． π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。

练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）A ．26a πB ．29a πC ．212a πD ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC=O表面积等于（A）4π（B）3π（C）2π（D）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法练习1.在矩形ABCD中，4,3AB BC==，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D--，则四面体ABCD的外接球的体积为A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC====ABCD的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径.练习：1.正四棱锥S ABCD-S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EFS ABCD-的底面边长为1S A B C D 、、、、、E、F都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为AB．13π C．23π D_C_A_O_D_B二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。

2020北京高三数学复习专题—八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）A ．π16B ．π20C ．π24D ．π32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9（3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。

π36（4）在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π310.C π340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；c ab图1CP A Babc 图2PCBAabc 图3CBPAa bc PCO 2BA S ABC -M N 、SC BC 、23SA =S ABC -图5ADPO 1OCB第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半 径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R图6图7-1图7-2图8图8-1图8-2图8-3方法二：小圆直径参与构造大圆。

八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1.球的左义：空间中到泄点的距离等于立长的点的集合（轨迹）叫球而，简称球.2.外接球的泄义：若一个多而体的各个顶点都在一个球的球而上，则称这个多而体是这个球的内接多而体，这个球是这个多而体的外接球.3.内切球的泄义：若一个多而体的各面都与一个球的球而相切，则称这个多面体是这个球的外切多而体，这个球是这个多而体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1.性质：性质1：过球心的平而截球而所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等：性质2：经过小圆的直径与小圆而垂直的平而必过球心，该平面截球所得圆是大圆：性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平而（类比：圆的垂径泄理）：性质4：球心在大圆而和小圆而上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在2.结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心：结论2：若由长方体切得的多而体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多而体与原长方体的外接球相同：结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此而垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆：结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底而圆的圆心连一段中点处：结论5：圆柱体轴截而矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球：结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的髙所在的直线上：结论8：圆锥体轴截而等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3.终极利器：勾股定理、正定理及余弦泄理（解三角形求线段长度）：三、内切球的有关知识与方法1.若球与平而相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2.内切球球心到多而体各而的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3.正多而体的内切球和外接球的球心重合.4.正棱锥的内切球和外接球球心都在髙线上，但不一泄重合.5.基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股左理：（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一.墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2=a2+b2+c29即2R = >Ja2+b2+c2 ,求出例1 （1）已知各顶点都在同一球而上的正四棱柱的髙为4,体积为16,则这个球的表而积是（A. 16/rB. 20/r C・ 24龙 D. 32龙（2）若三棱锥的三个侧而两两垂直，且侧棱长均为则英外接球的表而积是_____________________ （5）如果三棱锥的三个侧而两两垂直，它们的而积分別为6、4、3,那么它的外接球的表而积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形, 则该几何体外接球的体积为 _______________⑹嵐图求岀/?・思考：如何求棱长为d 的正四面体体积，如何求英外接球体积？其中 AB = CD = 5,AC = BD = 6,AD = BC = 7,则该三棱 锥外接球的表而积为 _______________类型二、对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径〈AB = CD, AD = BC,AC=BD)第一步：画出一个长方体，标出三组互为异而直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽髙分别为b,c, AD=BC=x tAB=CD = y t AC=BD=z t 列方程组，a 1 +b 2 =x 22 2 2 < b 2 +c 2 =y 2 => (2R 『=a 2 +b 2 +c 2 = ,L +CT =2T补充：图 2T 中，V —BCD =abc — —abcx4 = — abc ・6 3 第三步：根拯墙角模型， 2R = y/a 2 +b 2 +c 2例2 (1)如下图所示三棱锥A-BCD,⑴題图(2)在三棱锥A-BCD 中，AB=CD = 2, AD=BC = 3. AC=BD = 4,则三棱锥A-BCD外接球的表而积为 ___________（3）正四而体的各条棱长都为、伍，则该正面体外接球的体积为 ___________________类型三.汉堡模型（直棱柱的外接球.圆柱的外接球）题设：如图3-1,图3-2,图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底而 可以是任意三角形） 第一步：确左球心0的位置，0】是AA3C 的外心，则OO X ±平而ABC, 第二步：算出小圆Q 的半径AO. = r , OO {=^A\=-h （ A4（ =h 也是圆柱的高）;2 2勾股定理:OA 2 = O.A 2 + O.O 2 =>/?2= (-)2 +r 2=>/? = 2例3 （1）-个正六棱柱的底而上正六边形，其侧棱垂直于底而，已知该六棱柱的顶点都在同一个球第三步: 图3・3 +（少，解出R而上，且该六棱柱的体积为？，底面周长为3,则这个球的体积为8（2）直三棱柱ABC-A.B. G的各顶点都在同一球而上，若AB = AC = AA}=29 ZBAC = 120% 则此球的表而积等于 _________ ・（3）已知AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平而互相垂直.E4 = EB = 3,AD = 2,ZAEB =60°,则多而体E-ABCD的外接球的表而积为___________ ・（4）在直三棱柱ABC-A^Q中，AB = 4,AC = 6,A =兰,人人=4,则直三棱柱ABC-A^Q的外接球的表而积为__________ ・第二讲锥体背景的模型类型四.切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图44 图4图4・21.如图4-1,平面P4C丄平面A3C,且丄BC （即力C为小圆的直径），且P的射影是A4BC 的外心O三棱锥P-ABC的三条侧棱相等O三棱P-AB C的底而AABC在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心0的位置，取AABC的外心q,则POO］三点共线：第二步：先算出小圆q的半径AO X = r ,再算出棱锥的高PO} = h（也是圆锥的高）：第三步：勾股定理：OA1 =O^+O X O2 ^R1 = （h - R）2 + r2 ,解出R；事实上，MCP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出/?•2.如图4-2,平而P4C丄平而ABC,且A3丄3C （即AC为小圆的直径），且只4丄AC,贝9利用勾股泄理求三棱锥的外接球半径：①（2R）2 = PA2 + （2r）2O2R = JM+⑵尸:®R2 = r2 + OO~ O R = J/ +OO：3.如图4-3,平而P4C丄平而ABC,且AB丄3C （即AC为小圆的直径）OC2 =0^+0^ OR2 =r2+O t O2 <^AC=2y jR2-O l O24.题设：如图4-4,平ifilPAC丄平而ABC,且A3丄（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心0必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求岀小圆的直径AC = 2r：第二步：在APAC中，可根据正弦定理亠一=~^~ = ~^— = 2R,求岀sin A sin B sinC例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球而上，若该棱锥的髙为1,底而边长为2则该球的表而积为（2）正四棱锥S-ABCD 的底而边长和各侧棱长都为尽各顶点都在同一球面上，则此球体积为（3） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球而上,则该正三棱锥的体积是（ ） （4）在三棱锥P-ABC 中，PA = PB = PC = 43，侧棱P4与底而ABC 所成的角为60\则该三 棱锥外接球的体积为（ ）C. 4兀（5 ）已知三棱锥S — ABC 的所有顶点都在球0的求面上，AABC 是边长为1的正三角形，SC 为球0的直径，且SC = 2,则此棱锥的体积为（类型五.垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：如图5, P4丄平而ABC,求外接球半径.解题步骤：其中底而的三个顶点在该球的一个大圆上,B.D. 12第一步：将AABC 画在小圆而上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD,则PD必过球心O ；第二步：0|为MBC 的外心，所以oq 丄平而ABC,算出小圆q 的半径O }D = r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得一匕一=—=-^—= 2r ）, OO X =-PA,sin 4 sin 3 sinC 2第三步：利用勾股泄理求三棱锥的外接球半径：①（2/?）2 =加 +⑵y u>2R = J P X +⑵）2 :®R 2 = r 2 + OO^ o R = J/+OOj .2. 题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是A4BC 的外心O 三棱锥P-ABC 的三条侧棱相等O 三棱锥P-ABC 的底面AABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆 锥的 顶点.图5图5・2 图5・3第一步：确左球心0的位置，取AABC的外心0“则P、O、O\三点共线：第二步：先算出小圆q的半径AO, = r ,再算出棱锥的高PO l = h（也是圆锥的髙）: 第三步：勾股定理：Q42 = O,A2 + O.O2 => /?2 = （//- R）2 + r2 ,解出R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5 —个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表而枳为（）A. 3兀B. 2冗俯视图解答图D.以上都不对第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1.题设：如图8-1,三棱锥P-A8C上正三棱锥，求其内切球的半径.第一步：先现出内切球的截而图，分别是两个三角形的外心：第二步：求DH = -BD. PO=PH-r, PD是侧面A4BP的亦图3OF PO第三步：由MOE相似于APDH,建立等式：——=——，解岀厂DH PD2.题设：如图8-2,四棱锥P-ABC是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O、H三点共线：第二步：求FH = -BC, PO=PH-r, PF是侧而的髙：2第三步：由^POG相似于乂劝，建立等式：—,解岀HF PF3.题设：三棱锥P-ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个而构成的四个三棱锥的体枳之和相等第一步：先画出四个表而的而积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为I建立等式：匕一皿=吆-磁+5-哋+吆-吹+吩_畋・=>^P-ABC = ~ S 、\BC ' r+ ~ SpAB ，r + — SpM ' r + ~ PBC ' f = ^BC + ^APAB + PAC + " r 例8 （1）棱长为"的正四面体的内切球表而积是 ________________________第三步: 解岀厂=S 。