高中数学二次函数(二)(T)

高中二次函数说课稿8篇高中二次函数说课稿篇一[本课学问要点]会画出这类函数的图象，通过比拟，了解这类函数的性质。

[MM及创新思维]同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？你能由此推想二次函数与的图象之间的关系吗？那么与的图象之间又有何关系？[实践与探究]例1．在同始终角坐标系中，画出函数与的图象。

解列表x…-x-x-xxxxx……xxxxxxxx……xxxxxxxxx…描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示。

回忆与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探究观看这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是一样的？又有哪些不同？你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？例2．在同始终角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线。

解列表x…-x-x-xxxxxx…x-x-xxxx-x-x……-xx-x-x-x-x-x-xx…描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示。

可以看出，抛物线是由抛物线向下平移两个单位得到的。

回忆与反思抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的。

探究假如要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与一样，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式。

解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2）。

因此所求函数关系式可看作，又抛物线经过点（1，1）。

所以故所求函数关系式为xxx。

回忆与反思（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向对称轴顶点坐标[当堂课内练习]1．在同始终角坐标系中，画出以下二次函数的图象：观看三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？2．抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的xxxx。

二次函数与二次曲线的像与性质二次函数与二次曲线是高中数学中的重要概念，它们在图像的性质和实际问题中有着广泛的应用。

本文将探讨二次函数与二次曲线的像以及它们的性质。

1. 二次函数的定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

它的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。

2. 二次曲线的定义二次曲线是指满足二次方程Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0的所有点的集合。

其中A、B、C、D、E、F为常数且A、B、C至少有一个不为0。

常见的二次曲线有椭圆、双曲线和抛物线。

3. 二次函数图像的性质（1）开口方向：当二次函数中的a大于0时，图像开口朝上；当a 小于0时，图像开口朝下。

（2）顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

（3）对称轴：对称轴是二次函数图像的一条对称线，其方程为x=-b/2a。

（4）与坐标轴的交点：二次函数与x轴的交点称为零点，与y轴的交点为y轴截距，可以通过解方程求得。

4. 二次曲线的性质（1）椭圆：椭圆是指离心率小于1的曲线，其特点是双轴相交于中心，且轴的长度相等。

（2）双曲线：双曲线是指离心率大于1的曲线，其特点是两支曲线相交于中心，且轴的长度不相等。

（3）抛物线：抛物线是指离心率等于1的曲线，其特点是开口朝上或朝下的曲线。

5. 二次函数与二次曲线的像（1）二次函数的像：二次函数的像是指函数图像在y轴上的取值范围，即所有y的可能值。

对于开口朝上的二次函数，像的范围是[0, +∞)；对于开口朝下的二次函数，像的范围是(-∞, 0]。

（2）二次曲线的像：二次曲线的像是指曲线上的点在x轴和y轴上的投影。

对于椭圆，其像是整个平面内的点；对于双曲线，其像是两支曲线与x轴和y轴形成的图像；对于抛物线，其像是抛物线在x轴和y轴上的投影。

综上所述，二次函数与二次曲线在图像的形状与性质上存在一定的联系和区别。

通过研究二次函数与二次曲线的像与性质，我们可以更好地理解它们在数学中的应用和意义。

二次函数的性质知识点二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在代数学和几何学中都有广泛应用。

了解二次函数的性质是理解和掌握这一概念的关键，下面将介绍二次函数的一些基本性质知识点。

1. 二次函数的定义二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。

2. 顶点二次函数的图像是一个抛物线，其中的最高点或最低点称为顶点。

二次函数的顶点坐标可通过公式x = -b/2a和y = f(-b/2a)求得。

3. 对称轴二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称，这条直线称为对称轴。

对称轴的方程可通过公式x = -b/2a求得。

4. 开口方向当二次函数的参数a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

5. 零点和方程二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可以通过解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。

一元二次方程的解法可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法。

6. 判别式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，判别式D = b^2 - 4ac可以用来判断方程的根的情况：- 当D > 0时，方程有两个不相等的实根；- 当D = 0时，方程有两个相等的实根；- 当D < 0时，方程无实根，但有两个共轭复根。

7. 函数的增减性和极值点二次函数的增减性与a的正负有关。

当a > 0时，函数在对称轴左侧增大，右侧减小；当a < 0时，函数在对称轴左侧减小，右侧增大。

函数的极值点即为顶点。

8. 函数的图像与平移通过调整二次函数的参数，可以实现图像的平移。

参数a决定抛物线的开口方向，参数b决定了对称轴的位置，参数c则决定了抛物线的顶点位置。

9. 辅助线与焦点二次函数的图像与抛物线相关的辅助线包括准线、焦点和准线上的直径。

焦点的横坐标是对称轴上顶点的横坐标的一半，纵坐标可以根据参数a的值求得。

二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。

本文将对二次函数的定义、性质、图像及其相关内容进行总结。

一、二次函数的定义二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c为常数且a ≠ 0。

其中，a 表示二次项的系数，b 表示一次项的系数，c 表示常数项。

二次函数的定义域为全体实数集。

二、二次函数的性质1. 凹凸性：二次函数的凹凸性取决于a 的正负性。

当a > 0 时，函数图像开口向上，为凹函数；当 a < 0 时，函数图像开口向下，为凸函数。

2. 对称轴：二次函数的对称轴是 x = -b / (2a)。

对称轴是图像的中心线，函数图像关于对称轴对称。

3. 零点：二次函数的零点是指函数值等于零的 x 值。

二次函数的零点可以有 0、1 或 2 个。

当判别式 D = b^2 - 4ac > 0 时，有 2个不同的实零点；当 D = 0 时，有一个实零点；当 D < 0 时，没有实零点。

4. 最值：当二次函数的开口向上时，函数的最小值为 f(-b / (2a)) = c - (b^2 - 4ac) / (4a)；当二次函数的开口向下时，函数的最大值为 f(-b / (2a)) = c + (b^2 - 4ac) / (4a)。

三、二次函数的图像二次函数的图像为抛物线，其开口方向、顶点、对称轴和零点等特征在前面已经介绍过。

关于图像的绘制，可以根据以下步骤进行：1. 确定顶点：顶点的横坐标为 -b / (2a)，纵坐标为 f(-b / (2a))。

2. 确定对称轴：对称轴的方程为 x = -b / (2a)。

3. 确定开口方向：根据 a 的正负性可以确定开口方向。

4. 确定零点：根据判别式 D 的值可以确定零点的情况。

除了以上内容，二次函数还与一些相关概念有密切联系：1. 判别式：二次函数的判别式 D = b^2 - 4ac 可以用来判断二次函数的零点情况。

6二次函数(2)二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。

设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。

1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f (x)的图象有下列两种情形(图1)当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f (β)＞0当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f (β)＜0两种情形合并后的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af (β)＞0 ①2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形（图2）从四种情形得充要条件是：f (α)·f (β)＜0 ②3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件：（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时：∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（图3）：当a＞0时的充要条件是：f (α)＜0，f (β)＜0当a＞0时的充要条件是：f (α)＞0，f (β)＞0两种情形合并后的充要条件是：af (α)＜0，af (β)＜0 ③（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时：∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）：当x1＜x2＜α时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＜α，af (α)＞0 ④当β＜x1＜x2时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＞β，af (β)＞0 ⑤二次函数与二次不等式前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。

二次函数知识点归纳二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学以及其他科学领域中有着广泛的应用。

下面是针对二次函数的相关知识点的归纳，希望能够对您理解和掌握二次函数有所帮助。

一、基本概念1. 二次函数的定义: 二次函数是形如f(x) = ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。

2. 二次函数的图像: 二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的符号确定。

- 若a>0，则抛物线开口向上；- 若a<0，则抛物线开口向下。

二、图像的性质1. 对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。

2. 最值点：二次函数的最值点即为图像的顶点，其横坐标为-x/2a，纵坐标为f(-x/2a)。

- 当a>0时，函数的最小值为f(-x/2a)；- 当a<0时，函数的最大值为f(-x/2a)。

3. 零点：二次函数的零点即为使函数取值为零的x值，可通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。

三、函数的变换1. 平移：二次函数可以通过改变h和k的值来进行平移操作。

- f(x)的图像向左平移|k|个单位，新函数为f(x+h)；- f(x)的图像向右平移|k|个单位，新函数为f(x-h)；- f(x)的图像向上平移|k|个单位，新函数为f(x)+k；- f(x)的图像向下平移|k|个单位，新函数为f(x)-k。

2. 压缩和拉伸：二次函数可通过改变a的值来改变图像的形状。

- 若|a|>1，则函数图像纵向压缩；- 若0<|a|<1，则函数图像纵向拉伸。

四、函数的性质1. 定义域：对于二次函数，其定义域为实数集R，即所有实数x都在定义域内。

2. 奇偶性：二次函数一般是偶函数，除非存在线性项b，则二次函数为奇函数。

3. 单调性：当a>0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递增的；当a<0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递减的。

4. 零点和交点: 二次函数与x轴的交点即为零点，与y轴的交点为常数项c，与抛物线的交点为实数解。

二次函数知识点和常见题型一.二次函数的三种表示方法：（1）一般式cbx ax y ++=2（2）顶点式nm x a y ++=2)(（3）两根式))((21x x x x a y --=1若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则A．1,4,11a b c ==-=-B．3,12,11ab c ===C．3,6,11a b c ==-=D．3,12,11a b c ==-=变式2：若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x=1对称，则c=_______．变式3：若二次函数()2f x ax bx c=++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x 且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231fx x =--的图像向上平移几个单位得到？二．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)有如下性质：（1）顶点坐标24(,)24b ac b a a --；对称轴2b x a=-；（2）若a>0，且△=b 2-4ac≤0，那么f (x)≥0，2bx a=-时，2min4()4ac b f x a-=；（3）若a>0，且f (x)≥0，那么△≤0；（4）若a>0，且存在x 0∈(-∞，+∞)，使得f (x 0)≤0，那么△≥0;若a<0，有与性质2、3、4类似的性质2将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c=++，如果()()12fx fx =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．2b a -B．ba-C．cD．244ac b a -变式2：函数()2fx xp x q=++对任意的x 均有()()11fxfx+=-，那么()0f 、()1f-、()1f的大小关系是（）A．()()()110f f f<-<B．()()()011fff<-<C．()()()101f ff<<-D．()()()101f f f -<<y变式3：已知函数()2fx a x b x c=++的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c 有关的正确命题_________．三．二次函数的单调性：当0>a ，x ∈(－∞，－b 2a ]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增当0<a ，x∈(－∞，－b2a ]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减3.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x的单调区间；(2)求()fx ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()242fx x a x =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是()A．3a ≥B．3a≤C．3a<-D．3a≤-变式2：已知函数()()215fx x a x =--+在区间(12,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x k x=-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．四．二次函数在给定区间的最值设()()02>++=a c bx axx f，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：ab n m 2-<<n abm <-<2即[]n m ab,2∈-n m ab<<-2()()()()n f x f m f x f ==min max ()()(){}()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,maxminmax ()()()()m f x f n f x f ==min max 对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b ,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min（2）若[]nmab,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,maxmax =，()()(){}n f m f x f ,minmin=另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．4.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2)求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()223fx xx =-+在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A．[)1,+∞B．[]0,2C．[]1,2D．(),2-∞变式2：若函数234y x=-+的最大值为M，最小值为m，则M +m 的值等于________．变式3：已知函数()224422fx x a x a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．变式4：求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2)定义域为[]2,1-．变式5：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A．3220,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．()20,4-C．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D．920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭变式6：函数y=cos2x+sinx 的值域是__________．变式7：已知二次函数f (x)=a x 2+bx（a、b 为常数，且a ≠0），满足条件f (1+x)=f (1－x)，且方程f (x)=x 有等根．(1)求f (x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（m <n），使f (x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n 的值，如果不存在，说明理由．五.奇偶性：b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111fx m x mx =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()fx是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值．六．图像变换：已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax xx f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x=1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a-．其中正确的序号是___③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题：①当c=0时，)(x f y =是奇函数；②当b=0，c>0时，方程0)(=x f 只有一个实根；③)(x f y =的图象关于点（0，c）对称；④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为————．七.恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

二次函数知识点归纳总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模和解几何问题的重要工具。

下面是关于二次函数的知识点的归纳总结。

一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其中 a、b、c 是常数。

2.二次函数的图象：二次函数的图象是一个抛物线，开口方向取决于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

3.对称轴：二次函数的对称轴是与图象关于x轴对称的直线，其方程为x=-b/2a。

4. 零点：二次函数的零点是函数图象与 x 轴的交点，可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c =0 来得到。

5.最值：二次函数的最值取决于a的正负性，当a>0时，函数取最小值；当a<0时，函数取最大值。

二、二次函数的变形与性质1.平移变换：二次函数可以通过平移变换来改变其图象的位置。

平移变换的一般形式是f(x)→f(x-h)+k，其中h和k是任意实数。

2.缩放变换：二次函数可以通过缩放变换来改变其图象的形状。

缩放变换的一般形式是f(x)→af(x)，其中a是非零实数。

3.纵坐标平移：二次函数可以通过纵坐标平移来改变其图象的位置。

纵坐标平移的一般形式是f(x)→f(x)+k，其中k是任意实数。

4.二次函数的奇偶性：如果a是偶数，则二次函数是偶函数；如果a是奇数，则二次函数是奇函数。

5.顶点坐标的性质：顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))是二次函数的最值点，当a>0时是最小值，当a<0时是最大值。

三、二次函数的方程与不等式1. 二次方程的解：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解可以通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 来得到。

2. 解的判别式：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解的判别式是 D =b^2 - 4ac，根据判别式的值可以判断方程有几个实数解。