广东省清远市2013-2014学年高二上学期期末测试数学(理)试题_扫描版
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清远市2013—2014学年度第一学期期末教学质量检测高二理科数学答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,第二卷（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9.093=-+y x 10.21 11. -2 12.3 13. 20141 ；110771. 14.【解析】25,1±±.（少答，每答一个得1分；多答不得分）三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解：（Ⅰ）由余弦定理，C ab c b a cos 2222=-+，代入上式，得.0cos 2cos ,2cos 2cos 2=-=C C C ab C ab 即…………1分 因为.01cos cos 2,1cos 22cos 22=---=C C C C 所以 …………3分 即.21cos ,1cos ,0)1cos 2)(1(cos -=≠=+-C C C C 所以因为…………5分 因为[]32,0ππ=∈C c ，所以 …………6分 （Ⅱ）由题意得()()A A A B B A cos sin 2sin sin =-++ ………………………7分 即A A A B cos sin cos sin =， ……………………………………………………8分当cos 0A =时，2A π=，ABC △为直角三角形 ································································ 9分 当cos 0A ≠时，得A B sin sin =，由正弦定理得b a =， 所以，ABC △为等腰三角形． ··························································································· 11分 因此, ABC △是直角三角形或等腰三角形. ……………………………………………12分 16．解:（1） 区域A 是边长为2的正方形 ∴区域A 的面积为2×2=4.……………………………………2分（2）设区域A 中在直线12y x =上方和下方的区域分别为B 和C.易知区域C 是一个两直角边的长分别为2和1的直角三角形, ………………3分区域C 的面积为1, ∴区域B 的面积为4-1=3 ………………5分 ∴该粒子落在直线12y x =上方的概率P=43. ………………7分（3）设y x z +=2,区域A 的四个顶点分别为O （0,0）,R （2,0）,Q （2,2）,H （0,2）…………8分直线02=-+z y x 的斜率为-2,直线RH 的斜率为-1∴当直线02=-+z y x 经过点Q 时,其纵截距最大,这时z 即y x +2的值最大………11分 ∴y x +2的最大值是2×2+2=6.……………12分17.解:（Ⅰ）如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.∵AP =AB=2， BC=ABCD 是矩形.∴A ，B ，C ，D 的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ，D(0，0)，P(0,0,2) 又E 是AD 的中点，∴E(0，0),………………2分∴()0,2,2-=,PC=（2，-2）………3分∴()02022222=-⨯+⨯+⨯-=⋅……5分∴BE PC ⊥ ∴PC ⊥BE………………6分另解：由证明△PBC 、△PEC 是等腰三角形，从而证明PC ⊥BF ，PC ⊥EF ，再证明PC ⊥面BEF ，最后证明PC ⊥BE 相应给分。
（II ）易知平面DAP 的法向量为()0,0,2=.……………………7分∵F 是PC 中点,且PB=22=BC,∴PC ⊥BF ……………………9分 又由（Ⅰ）知PC ⊥BE ,且BF ∩BE=B ∴PC ⊥平面BEF ∴是平面的法向量.…………………10分PBACDFE设平面BEF与平面DAP所成的锐二面角为θ，则21244cos=⨯===θ……………………13分∴︒=60θ∴平面BEF与平面DAP所成的锐二面角的大小为︒60. ………14分18.解:（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为d.依题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+.352455,511dada………2分解得:2,31==da.…………4分∴数列{}n a的通项公式为12+=nan.…………………6分（Ⅱ）12,3111+====+nbnbababn．………………………8分∴()1211+=++nnbb∴数列{}1+n b是首项为4、公比为2的等比数列．…10分()1112211+-=⋅+=+nnnbb∴121-=+nnb……………………12分T n＝231(222)n n++++-＝224n n+--．……………………14分19．解：（1）根据题意，点F的坐标是2(2-a，0）………………1分∵F到直线022=+-yx的距离为3∴32|222|2=+-a∴222=-a，42=a……3分∴椭圆C的方程是12422=+yx………………4分（2）假设存在直线1:+=kxyl，使l与椭圆C交于两个不同的点M、N，且||||FNFM=.设MN的中点为H，则lFH⊥由⎪⎩⎪⎨⎧=++=124122yxkxy，得024)21(22=-++kxxk………………5分∴点H的坐标是)211,212(22kkk++-………………7分∵点F的坐标是)0,2(………………8分∴2222122120211222++-=-+--+=k k k k k k FH………………10分 ∵l FH ⊥ ∴1-=k k FH ,即02222=++k k ………………12分 ∵02222=++k k 无解∴不存在直线1:+=kx y l ，使l 与椭圆C 交于两个不同的点M 、N ，且||||FN FM = ………………14分20.解：（1）不等式x x f ≤-)3(即为0452≤--x x .……………1分 令()452--=x x x g ,则当m x ≤≤1时,恒有()0≤x g .……………2分∵函数()452--=x x x g 的图像是一条开口向上的抛物线,且与x 轴的交点为（1,0）和（4,0）. ∴m 的最大值为4.………………4分（2）设曲线上关于直线y=x 的对称点为A （11,y x ）和B （22,y x ），线段AB 的中点M （00,y x ），直线AB 的方程为：.b x y +-=由0)1()32()1(222=-++++⇒⎩⎨⎧+-=++=b t x t x b x y t x y ……………5分0454])1[(4)32(22>++=-+-+=∆b t b t t……………6分b t b x y t x t x x ++=+-=+-=--=+232,232,3200021 ……………7分 又因为AB 中点在直线y=x 上，所以,00x y = ……………8分 得.47,)1(,32-<--=t t b 得式代入……………9分（3）设P 的坐标为)41,(-a ，过P 的切线方程为：)(41a x k y -=+，则有 041)1(])1(2[)(41)1(222=++++-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+++=ka t x k t x a x k y t x y ……………11分 ,01)1(4]41)1[(4])1(2[222=-++-=+++-=-+=∆k a t k ka t k t ………13分直线01)1(4,22121=-++-k a t k k k l l 的方程和的斜率的两根，则.,12121l l k k ⊥-=⋅所以 …………………………14分。
