2020届湖南省常德市高三下学期4月模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题（共12小题）．1.已知集合24120{15|}{|}A x x x B x x =+﹣＜，＝﹣＜＜,则A B =（ ） A. (12)-， B. (15)-， C. [2,5) D. [1,2]-【答案】A 【解析】求出集合A,然后进行交集的运算即可． 【详解】∵{|},{}615|2A x x B x x =<<=<<--, ∴()12AB =-，．故选：A ．2.已知复数z 满足1z i +=,且2z =,则z =（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 2i -D. 2i【答案】C 【解析】第一种做法,赋值法验算结果,可选出答案；第二种做法,设z a bi =+,根据复数模的定义,列出方程组,求出0a =,2b =-,可选出答案【详解】解法一：赋值法,将A,B,C,D 四个选项中的值代入题目条件验算,可知C 选项为正确答案；解法二：设z a bi =+,∵1z i +=,2z = ,∴22224(1)1a b a b ⎧+=⎨++=⎩,∴02a b =⎧⎨=-⎩ , ∴2z i =- , 故选：C【点睛】本题考查复数的模的相关知识,要求学生会计算有关复数的模的题型,会用待定系数法根据复数的模求解复数,为容易题,小记：z a bi =+,则z =.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且72428,7S a a +==,则8a =（ ） A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】A 【解析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,∵72428,7S a a +==, ∴1172128,247a d a d +=+=． 解得：152a =,12d =．则8517622a =+⨯=． 故选：A ．4.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的三个全等的等腰直角三角形是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（ ）A.23B.43C. 83D. 4【答案】B 【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥,放入棱长为2的正方体中,容易求出三棱锥的体积． 【详解】根据三视图知,该几何体是三棱锥,放入棱长为2的正方体中, 如图所示；计算该三棱锥的体积为114222323V =⨯⨯⨯⨯=． 故选：B ．5.如图所示,折线图和条形图分别为某位职员2018年与2019年的家庭总收入各种用途所占比例的统计图,已知2018年的家庭总收入为10万元,2019年的储蓄总量比2018年的储蓄总量减少了10%,则下列说法：①2019年家庭总收入比2018年增长了8%；②年衣食住的总费用与2018年衣食住的总费相同；③2019年的旅行总费用比2018年增加了2800元；④2019年的就医总费用比2018年增长了5%其中正确的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】设该教师家庭2019年收入为x 元,则25%10000030%90%x =⨯⨯,解得108000x =．进而判断出正误．【详解】设该教师家庭2019年收入为x 元,则25%10000030%90%x =⨯⨯,解得108000x =． 可得：①2019年家庭总收入比2018年增长了1080001000008%100000-=,正确；②虽然年衣食住的总费用占用家庭总收入的比例25%,但是家庭总收入不一样,因此年衣食住的总费用与2018年衣食住的总费不相同,不正确；③2019年的旅行总费用比2018年增加了()10800010000035%2800-⨯=元,正确； ④2019年的就医总费用比2018年增长了15%10800010%1000006.2%1000000⨯-⨯==,因此不正确．其中正确的个数为2． 故选：B ．6.函数()2sin(),(0,||)2f x x πωϕωϕ=±><的部分图象如图所示,则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 在区间π(,0)2-上单调递增 B. 函数()f x 的最小正周期为2πC. 函数()f x 的图象关于点π(,0)6对称D. 函数()f x 的图象可以由2y x ω= 的图象向右平移5π6个单位得到 【答案】D 【解析】首先求出最小正周期2πT ω=,求出2ω=,图象平移遵循左加右减,结合图象分析对称中心和单调区间,以及平移方式. 【详解】如图所示,可得741234T πππ=-=,∴2,,2T πππωω===∵图象过两点7(,0),(,2)312ππ-sin(2)0,sin(2)0,2333k πππϕϕϕπ⨯+=⨯+=⨯+=,23k πϕπ=-,||2ϕπ<当1k =时,3πϕ=∴函数())3f x x π=+A ：222()232k x k k z πππππ-+++∈,解得子51212k x k ππππ-+,当0k =时,51212x ππ-为递增区间,A 中π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭超出了范围,所以A 错B ：最小正周期πT =（已求）,所以B 错C ：对称中心为2,()326k x k x k z ππππ+==-∈,当1k =时,π3x =,所以对称中心为π(,0)3,所以C错D ：())))36f x x x ππ=+=+,所以函数图象可以由y x ω=向右平移56π个单位得到． 故选：D ．7.设函数()f x 的定义域为()0+∞，,满足(2)2()f x f x +=,且当(]0,2x ∈时,23()log (2)log (1)f x x x =+⋅+,则(7)f =（ ） A. 1 B. 2C. 6D. 8【答案】D 【解析】根据题意,分析可得()()()()7254381f f f f ===,结合函数的解析式求出()1f 的值,计算可得答案．【详解】根据题意,()1f 满足()(2)2f x f x +=,则()()()()7254381f f f f ===, 又由当(]0,2x ∈时,()23log (2)log (1)f x x x =+⋅+, 则23(1)log 3log 21f =⋅=, 则()()7818f f ==； 故选：D ．8.双曲线E ：22221x y a b -=的一条渐近线与圆()22:34C x y -+=相交于,A B 若ABC 的面积为2,则双曲线E 的离心率为（ ）A.5B.5C.7D.7【答案】C 【解析】求出双曲线的渐近线方程,由圆的方程求得圆心坐标与半径,再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离,进一步求得弦长,利用三角形面积公式列式求解．【详解】双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的一条渐近线：0bx ay -=,与圆()2234x y -+=相交于AB 、两点,圆的圆心()30，,半径为2,圆心到直线的距离为：d =,弦长||AB ==可得：122=, 整理得：2227a b =,即()22227a a c -=,解得双曲线E ． 故选：C ．9.在ABC 中,角A B C ，，的对边分别为,,a b c ,面积为S ,若cos cos 2a B b Abc +＝,且1cos 4S c A =,则A =（ ）A. π6B. π4C. π3D. 2π3【答案】B 【解析】由已知利用正弦定理,两角和的正弦函数公式可得sin 2sin C b C =,解得12b =,进而根据三角形的面积公式,同角三角函数基本关系式即可求得tan 1A =,结合范围()0,A π∈,可求A 的值．【详解】∵cos cos 2a B b A bc +=,∴由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin A B B A b C +=, ∵sin cos sin cos sin()sin 0A B B A A B C +=+=≠,∴sin 2sin C b C =,即12b =, ∵111cos sin sin 424S c A bc A c A ===,∴sin cos A A =,即tan 1A =, ∵(0,)A π∈, ∴π4A =． 故选：B ．10.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案,与自己的观察,画出的“八卦”,而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组,如图,其口诀：一六共宗,为水居北；二七同道,为火居南；三八为朋,为木居东；四九为友,为金居西；五十同途,为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金,木,水,火,土的五组,在五行的五种属性中,五行相克的规律为：金克木,木克土,土克水,水克火,火克金；五行相生的规律为：木生火,火生土,土生金,金生水,水生木．现从这十个数中随机抽取3个数,则这3个数字的属性互不相克的条件下,取到属性为土的数字的概率为（ ）A.110 B. 15C.25D.12【答案】C 【解析】从这十个数中随机抽取3个数,这3个数字的属性互不相克,包含的基本事件个数1122152222()20n C C C C C =+=,这3个数字的属性互不相克的条件下,取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：1122122222()8,m C C C C C =+=,由此能求出这3个数字的属性互不相克的条件下,取到属性为土的数字的概率． 【详解】由题意得数字4,9属性金,3,8属性为木,1,6属性为水,2,7属性为火,5,10属性为土,从这十个数中随机抽取3个数,这3个数字的属性互不相克,包含的基本事件个数1122152222()20n C C C C C =+=,这3个数字的属性互不相克的条件下,取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：1122122222()8,m C C C C C =+=,∴这3个数字的属性互不相克的条件下,取到属性为土的数字的概率82205m p n ===． 故选：C ．11.抛物线()2:0E y ax a =>过点()2,1,直线l 过点()2,0M 且与抛物线E 交于两点,A B 与y 轴交于点C ,则下列命题： ①抛物线E 的焦点为1(0,)16F ②抛物线E 的准线为1y =-； ③2MA MB MC =+； ④2MC MA MB =； 其中正确命题有（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④【答案】D 【解析】抛物线2:(0)E y ax a >＝过点(21)，,可得：14a =,可得抛物线方程为：24x y =．进而判断出①②是否正确．设直线l 的方程为：2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩,t 为参数,α为直线l 的倾斜角,为钝角,(0,2tan )C α-．代入抛物线方程可得：22cos (4cos 4sin )40t t ααα⋅++=﹣,利用1212224sin 4cos 4,cos cos a a t t t t a a==-+利用参数方程即可判断出③④是否正确． 【详解】抛物线2:(0)E y ax a =>过点(21)，,可得：14a =,解得14a =．∴抛物线方程为：24x y =．∴12p=． ∴抛物线E 的焦点为1(0)F ，；抛物线E 的准线为1y =-； 设直线l 的方程为：2cos sin x t y t a α=+⎧⎨=⎩,t 为参数,α为直线l 的倾斜角,为钝角,(0,2tan )C α-．代入抛物线方程可得：22cos (4cos 4sin )40t t ααα++=﹣, ∴1212224sin 4cos 4,cos cos a a t t t t a a==-+ 1224sin 4cos ||||,cos a a MA MB t t a -∴+=+=24||||cos MA MB a ⋅=．2224,cos cos MC MC αα===-．21224,||||2||:||||cos t t MA MB MC MC MA MB α=∴+≠=⋅综上只有②④正确． 故选：D ．12.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数,当0x >时,211,01()1,1x f x x x nx x ⎧-<<⎪=⎨⎪>⎩,且()00f =,则不等式(31)(21)(1)f x f x f x -<-<-的解集为（ ）A. 1(0,)3B. 2(0,)5C. 222(0,)(,)553D. 112(0,)(,)335【答案】D 【解析】运用导数判断()f x 在[(0,1),1,)+∞的单调性,可得()f x 在(0)+∞，递增,由偶函数的性质可得()()f x f x ＝,可将原不等式的“f ”去掉,解不等式可得所求解集．【详解】当0x >时,211,01()1,1x f x x x nx x ⎧-<<⎪=⎨⎪≥⎩由1x ≥时,()f x xlnx ＝的导数为()1ln 10f x x '=+≥＞,可得()f x 在[1)+∞，递增； 又01x <<时,()21f x x -=-的导数为3()20f x x -'=＞,可得()f x 在0,1递增,且111ln10-==,可()f x 在0,递增．又()f x 是定义域为R 的偶函数,可得()()f x f x ＝, 由()00f =,不等式()()()31211f x f x f x -<-<-, 即为()()()31211||||||f x f x f x -<-<-,由f x （）在0,递增,可得0|31||21||1|x x x <-<-<-,化为13205203x x x ⎧≠⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩解得103x <<或1235x << 则原不等式的解集为112(0,)(,)335故选：D ． 二、填空题13.设向量(2,)a m =-,(3,4)b =,且||||a b b -=,则m =________． 【答案】4 【解析】可求出(5,m 4)a b -=--）,从而根据a b b -=即可得出()240m -=,解出m 即可． 【详解】(5,m 4)a b -=--,且a b b -=, 5=,∴225(4)25m +-=,解得4m =． 故答案为：4．14.已知()πtan()2,0π4αα+=∈，,则sin cos αα+=_________．【解析】先根据两角和的正切展开求得1tan 3α=,再结合同角三角函数的基本关系式求得sin ,cos αα,即可求得结论．【详解】∵()tan()2,0,4a a ππ+=∈,∴tan 112tan 1tan 13a a α+=⇒=-⨯∴α为锐角；且cos 3sin αα=；① ∵22sin cos 1αα+=②；∴联立①②可得：cos α=10sin α=∴sin cos αα+==． 15.已知函数()f x 为偶函数,当0x >时,()1ln x f x x e -=+,则函数()f x 在1x =-处的切线方程为________． 【答案】210x y ++= 【解析】依题意,可求得0x <时的解析式为()ln()1f x x x =--+,求导,可得曲线()y f x =在1x =-处的切线的斜率,继而可得答案．【详解】因为函数()f x 是偶函数,当0x >时,()1ln x f x x e =+﹣,所以当x <0时,0x -＞, 所以()()()1ln x f x f x x e --=-=-+,所以()11f -=, 又111()x f x x e+'=-, 所以()12f '-=-,所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为210x y ++=． 故答案为：210x y ++=．16.如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB BC ⊥,244BC AB AD ===,将直角梯形ABCD 沿对角线BD 折起,使点A 到P 点位置,则四面体PBCD 的体积的最大值为________,此时,其外接球的表面积为________．【答案】 (1). 8515(2). 65π4【解析】四面体PBCD 的体积的最大值时,面PBD ⊥面DBC ,点P 到面DBC 的距离为PDB △斜边DB 上的高h ．求得h 即可求得四面体PBCD 的体积的最大值,PDB △的外心为斜边DB 的中点M ,DBC △的外心为O ,过M 作面PDB 的垂线,过O 作面BDC 的垂线,两垂线的交点即为球心,由面PBD ⊥面DBC ,即可得O 即为球心,利用正弦定理即可得DBC △的外接圆半径即为球半径．【详解】如图,四面体PBCD 的体积的最大值时,面PBD ⊥面DBC , 点P 到面DBC 的距离为PDB △斜边DB 上的高h ． ∵1122AB AD BD h ⋅=⋅,5h =故最大体积为1118542332155DBC V S h =⋅=⨯⨯⨯= PDB △的外心为斜边DB 的中点M ,DBC △的外心为O ,过M 作面PDB 的垂线,过O 作面BDC 的垂线,两垂线的交点即为球心． ∵面PBD ⊥面DBC ,∴O 即为球心,DBC △的外接圆半径即为球半径．∴65522sin 13BD R BCD ===∠ ∴外接球的表面积为2654π4S R ==． 故答案为：8565π154．三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*45,5n n S a n N +=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足：51(1)1n nb n og a =+设数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明：1n T <【答案】（1）*,5n n a n N =∈；（2）见解析【解析】（1）利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩进行计算并转化可发现数列{}n a 是以5为首项,5为公比的等比数列,即可计算出数列{}n a 的通项公式：（2）根据第（1）的结果计算出数列{}n b 的通项公式,然后运用裂项相消法．计算出前n 项和2T ,最后应用放缩法证明结论成立．【详解】（1）由题意,当1n =时,11145455S a a +=+=,解得15a =． 当2n ≥时,由455n n S a +=,可得：11455n n S a +=﹣﹣,两式相减,可得114455n n n n S S a a -=-﹣﹣, ∴1455n n n a a a -=-,即15n n a a -=．∴数列{}n a 是以5为首项,5为公比的等比数列,∴1*55,5n n n a n N -=⋅=∈．（2）由（1）知,5511111(1)1log (1)15(1)1n n n b n a n og n n n n ====-++++12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1111112231n n =-+-+⋅⋅⋅+-+1111n =-<+,故得证．18.如图,已知平面BCE ⊥平面ABC ,直线DA ⊥平面ABC ,且DA AB AC ==．（1）求证：DA ∥平面EBC ； （2）若π2BAC =,DE ⊥平面BCE ,求二面角A DC E --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）过点E 作EH BC ⊥于点H ,由已知利用面面垂直的性质可得EH ⊥平面ABC ,结合DA ⊥平面ABC ,得//AD EH ,再由线面平行的判定可得//DA 平面EBC ；（2）由已知证明四边形DAHE 是矩形,以A 为坐标原点,分别以AC AB AD ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系,设2DA a =,分别求出平面DEC 的一个法向量与平面DAC 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A DC E --的余弦值． 【详解】（1）证明：过点E 作EH BC ⊥于点H ,∵平面BCE ⊥平面ABC ,又平面BCE ⊥平面,ABC BC EH =⊂平面BCE , ∴EH ⊥平面ABC ,又∵DA ⊥平面ABC ,∴//AD EH , ∵EH ⊂平面BCE ,DA ⊄平面BCE , ∴//DA 平面EBC ；（2）∵DE ⊥平面BEC ,∴π2DEB DEC ∠=∠=,又∵DB DC DE DE DEB DEC ==∴，，△≌△,则BE CE =, ∴点H 是BC 的中点,连接AH ,则AH BC ⊥, ∴AH ⊥平面EBC ,则,//DE AH AH EH ⊥． ∴四边形DAHE 是矩形．以A 为坐标原点,分别以,,AC AB AD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 设2DA a =,则(,,2),(2,0,0),(0,0,2)E a a a C a D a , 设平面DEC 的一个法向量为(,,)n x y z =, ∵(,,0)DE a a =,(2,0,2).DC a a =-由0220n DE ax ay n DC ax az ⎧⋅=+=⎨⋅=-=⎩取1x =,得(1,1,1)n =-； 又平面DAC 的一个法向量为(0,1,0)m =, 设二面角A DC E --的平面角为θ,cos θcos m =<,||3||||3m n n m n ⋅>==⋅,二面角A DC E --是钝角,则二面A DC E --的余弦值为3-．19.已知椭圆2222:1x y C a b +=,右顶点为A ,右焦点为F ,O 为坐标原点,2OA OF =,椭圆C 过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点D E ，（D 在B E ，之间）,求OBD 与OBE △面积之比的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）(7- 【解析】（1）由2OA OF =椭圆C 过点3(1,)2-,及a b c ，，之间的关系,可得a b ，的值,进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程,与椭圆联立由>0∆,可得斜率的范围,求出两根之和及两根之积,求出面积之比可得C D ，的横坐标之比,代入两根之和及两根之积,可得k 的表达式,进而求出面积之比的范围．【详解】（1）由2,OA OF =,可得,2a c =,且过点3(1,)2-,则221914a b +=,,故解得：2a =,b =所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在,设l 的方程为：2y kx =+,设1222,),,()(D x y E x y ,将l 的方程代入22143x y +=,整理可得：22(34)1640k x kx +++=, >0∆,可得：21212221164,,43434k k x x x x k k >+=-=++ * , 令1122||||21||||21OBDOBEOB x S x t S x OB x ===△△,且01t << 将12x tx =代入*可得()2222216134434k t x k tx k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩可得：222(1)64.34t k t k +=+ 所以2223(1)1,45644t k t t +=>-+-解得：71t -<< 所以OBD 与OBE △面积之比的取值范围：(7-20.2020年全球爆发新冠肺炎,人感染了新冠肺炎病毒后常见的呼吸道症状有：发热、咳嗽、气促和呼吸困难等,严重时会危及生命．随着疫情的发展,自2020年2月5日起,武汉大面积的爆发新冠肺炎,政府为了及时收治轻症感染的群众,逐步建立起了14家方舱医院,其中武汉体育中心方舱医院从2月12日开舱至3月8日闭仓,累计收治轻症患者1056人．据部分统计该方舱医院从2月26日至3月2日轻症患者治愈出仓人数的频数表与散点图如下： 日期 2.26 2.27 2.28 2.29 3.1 3.2 序号x 123456出仓人数y 3 8 17 31 68168根据散点图和表中数据,某研究人员对出仓人数y 与日期序号x 进行了拟合分析．从散点图观察可得,研究人员分别用两种函数①2ˆymx p =+②tx y ke =分析其拟合效果．其相关指数R 2可以判断拟合效果,R 2越大拟合效果越好．已知2y mx p =+的相关指数为20.89R =．（1）试根据相关指数判断．上述两类函数,哪一类函数的拟合效果更好？（注：相关系数r 与相关指数R 2满足22R r =,参考数据表中2ln ,u y v x ==）（2）①根据（1）中结论,求拟合效果更好的函数解析式；（结果保留小数点后三位） ②3月3日实际总出仓人数为216人,按①中的回归模型计算,差距有多少人？（附：对于一组数据(1,,,))(2,i i x y i n =⋅⋅⋅,其回归直线为ˆˆˆybx a =+相关系数()()()()()121ˆˆ,ˆn ni i i iiniix x y y x x y yr b y bxx xa==----===--∑∑∑参考数据：4.18≈, 3.25≈,0.418 1.520e≈, 5.425227e≈．【答案】（1）回归方程的拟合效果更好；（2）①0.7751.520xy e=．②相差129人．【解析】（1）由相关数据和参考公式求出相关系数r即可得解；（2）①根据参考公式求出ˆˆ,a b这两个系数,从而得到ln0.7750.418y x=+,于是可知回归方程；②把7x=代入①中求出的回归方程即可得解．【详解】（1）由txy ke=得,ln lny tx k=+,令lnu y=,由上表得：662113.5, 3.13,()10.55,)13.5(6)(i i ii ix u u u x x uu====-=--=∑∑,又由已知计算621()17.5,iix x=-=∑∴()()13.560.9984.18 3.25ni ix x y yr--===≈⨯∑故由220.9960.89R r==>,因此回归方程的拟合效果更好．（2）①()()()6162113.560.77517.5iii i i x x uu t b x x ==--===≈-∑∑ ∴ˆˆˆ1 3.130.775 3.50.418nk b a u bx ===-=-⨯≈, 故ln 0.7750.418y x =+,即回归方程为0.7750.4180.7751.520x x y e e +==．②当序号7x =时,0.7757 5.4251.520 1.520 1.520227345y e e ⨯==⨯=⨯≈, 而3月3日实际出仓人数为216人,相差129人．21.已知函数()()22cos 0f x x x x =+≥．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a ≥时,对任意0[)x ∈+∞，,证明：2sin cos ax x e x +≤+． 【答案】（1）单调递增区间[0,)+∞；（2）见解析 【解析】（1）先对函数求导,然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）结合（1）可知,结合已知不等式的特点,合理的构造函数,结合函数的性质及导数可证．【详解】（1）函数的定义域()0),22sin [f x x x '+∞=-，, 设()sin g x x x =-,则()1cos 0g x x '=-≥, 所以()g x 在[0,)+∞上单调递增, 所以()()00g x g ≥=,所以sin 0x x -≥,()22sin 0f x x x '=-≥, 所以()f x 的单调递增区间[0,)+∞,（2）由（1）可知()02f x f ≥=（）, 即22cos 2x x +≥,即21cos 12x x -+因为1a ≥,所以ax x e e ≥,∴21cos 12ax xe x e x +-+①,（1）知,sin 0x x -≥, ∴sin ,2sin 2x x x x ≤+≤+②,由①②知,要证原不等式,知21122x e x x -++即2110,2xe x x ---21()12x h x e x x =---,则()1x h x e x '=--,设()=1x x e x ϕ--,则()=1x x e ϕ'-, ∵0x ≥,则()0x ϕ'≥,则()x ϕ在[0,)+∞上单调递增,()(0)0x ϕϕ≥=, 即()0h x '≥,故()h x 在[0,)+∞上单调递增,故()()0h x h x ≥=,所以21102xe x x ---≥, 故2sin cos ax x e x +≤+．请考生在第22,23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xoy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线1C 的参数方程为244x at y at =⎧⎨=⎩（t 为参数,0a >）,曲线C 2πcos(θ)104+-=．且两曲线1C 与C 2交于M N ，两点． （1）求曲线C C 12、的直角坐标方程；（2）设()1,2P --,若PM MN PN ，，成等比数列,求a 的值．【答案】（1）24x ay =,10x y --=；（2）34+【解析】（1）由曲线1C 的参数方程,消参能求出曲线1C 的直角坐标方程；曲线2C 的极坐标方程转化为cos sin 10ρθρθ--=,由此能求出曲线2C 的直角坐标方程．（2）设直线的参数方程为1222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）,将参数方程代入曲线24x ay =,得21)1620t a t a -+++=,由此能求出实数a 的值．【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为244x at y at =⎧⎨=⎩（t 为参数,0a >）, 消参得曲线1C 的直角坐标方程为24x ay =．∵曲线2Ccos()104πθ+-=． ∴cos sin 10ρθρθ--=,∴曲线2C 的直角坐标方程为10x y --=．（2）由直线10x y --=过点(1,2)P --,且倾斜角为π4,设直线的参数方程为1222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）, 将参数方程代入曲线24x ay =,得：21)1620t a t a -+++=,28(21)4(162)0a a -∆=++＞,解得1a >,且12.1)t t a +=+,12162t t a =+⋅, 由,||,||PM MN PN 成等比数列,得2MN PM PN =,由直线参数方程的几何意义知21212||||t t t t -=,即2121212|||4|t t t t t t +-＝∵120t t ＞,22121258215(1|62|)t t t t a a ∴+∴+==+，（）, 化简为216241=0a a --,解得a =或a =（舍）,∴实数a 的值为[选修4-5：不等式选讲]23.已知实数a b c ，，满足1a b c ++=,||||||3a b c a b c++=； （1）求证：111(1)(1)(1)8a b c ---； （2）当（1）中不等式取等号时,且关于x 的不等式2113|x x x x t a b c+--++的解集非空,求t 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）136t ≤【解析】 （1）首先判断0,0,0a b c >>>,再将原不等式的左边变形,运用基本不等式和不等式的性质,即可得证；（2）由（1）将原不等式化为2||339x x x x t ≥-+-++,即23|93|t x x x x ++--≤--的解集非空,构造函数()2=933||f x x x x x --++--,则max t f x ≤（）,由绝对值的意义,去绝对值,运用二次函数的最值求法,可得所求． 【详解】（1）证明：由1a b c ++=,且||||||3a b c a b c++=, 可得0,0,0a b c >>>,则1112(1)(1)(1)8b c c a a b bc a b c a b c +++---=⋅⋅⋅= 当且仅当13a b c ===取得等号； （2）由（1）可得13a b c ===,则原不等式2||339x x x x t ≥-+-++, 即23|93|t x x x x ++--≤--的解集非空,设()2||933f x x x x x =-+-+--,则()max t f x ≤,当3x ≥时,()296f x x x --=+递减,可得()78f x ≤-；当33x -<<时,()29f x x x =-+的最大值为11()1836f =； 当3x ≤-时,()296f x x x --=-递增,可得()84f x ≤-；即有()f x 的最大值为136, 所以136t ≤。
