湖南省2014届高三·十三校联考 第二次考试理科数学试卷总分:150分 时量:120分钟 考试时间:2014年4月12日15:00～17:00得分:一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.已知集合1{|1},{|ln 0}1A xB x x x =≥=≤-,则A B =( ) A. (,1)-∞ B. (0,1] C. [0,1) D. (0,1)2.已知a R ∈,则“2a =”是“复数2(2)(1)(z a a a i i =--++为虚数单位)为纯虚数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 74.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2410,36S S ==,则过 点(,)n P n a 和*2(2,)()n Q n a n N ++∈的直线的斜率是( ) A. 1 B. 2 C. 4 D.145.若函数()y f x =的图象如图,则函数(1)y f x =-的图象大致为( )6.如图,给定由10个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵,在其中任意取三个点,以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是( ) A. 12 B. 13 C. 15 D. 167.若某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该棱锥的体积等于( )A B DC正视图侧视图A. 10cm 3B. 20cm 3C. 30cm 3 B. 40cm 38.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>,12,A A 为实轴顶点,F 是右焦点,(0,)B b 是虚轴端点,若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点(1,2)i P i =,使得12i P A A ∆构成以12A A 为斜边的 直角三角形,则双曲线离心率e 的取值范围是( )A. )+∞B. )+∞C.D. 9.若实数a ,b ,c 成等差数列,点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ,点(3,3)N ,则||MN 的最大值是( )A. 5B. 5C. 5+D. 5-10.已知点G 是ABC ∆的重心,且11,tan tan tan AG BG A B Cλ⊥+=,则实数λ的值为( ) A. 13B. 12C. 3D. 2二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题(请考生在11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 11.如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点,F E 是AB 延长线上一点,且2DF CF AF BF ===,若CE 与圆相切,且CE =,则BE = .12.在直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数),在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=.则l 与C 的交点直角坐标为 .13.设,,,2280x y z R x y z ∈+++=,则222(1)(2)(3)x y z -+++-的最小值为 .（二）必做题（14 ～16题）ACEBF D14.定积分211sin edx xdx xπ-⎰⎰的值为 .15.在Rt ABC ∆中,90,4,2,C AC BC ∠===D 是BC 的中点, (1)()AB AC AD -⋅= .(2)E 是AB 的中点,P 是ABC ∆(包括边界)内任意一点,则AD EP ⋅的取值范围是 . 16.给定有限单调递增数列*{}(n x n N ∈,数列{}n x 至少有两项)且0(1)i i x x n ≠≤≤,定义集合*{(,)|1,,,}i j A x x i j n i j N =≤≤∈且.若对任意点1A ∈A ,存在点2A ∈A 使得12OA OA ⊥(O 为坐标原点),则称数列{}n x 具有性质P .(1)给出下列四个命题,其中正确的是 .(填上所有正确命题的序号) ①数列{}:n x -2,2具有性质P ;②数列{}n y :-2,-1,1,3具有性质P ;③若数列{}n x 具有性质P ,则{}n x 中一定存在两项,i j x x ,使得0i j x x +=;④若数列{}n x 具有性质P ,121,0x x =->且1(3)n x n >≥,则21x =.(2)若数列{}n x 只有2014项且具有性质13,1,2P x x =-=,则{}n x 的所有项和2014S = .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知ABC ∆的三内角分别为,,,3A B C B π=,向量(1cos 2,2sin ),A C =+-m (tan ,A =n cos )C ,记函数()f A =⋅m n .(Ⅰ)若()0,2f A b ==,求ABC ∆的面积;(Ⅱ)若关于A 的方程()f A k =有两个不同的实数解,求实数k 的取值范围.甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是35,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.19. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,//,AD BC AD CD ⊥,且2AD CD BC PA ====,点M 在PD 上. (Ⅰ)求证:AB PC ⊥;(Ⅱ)若二面角M AC D --的大小为45,求BM 与平面PAC 所成角的正弦值.20. (本小题满分13分)如图,矩形ABCD 是一个观光区的平面示意图,建立平面直角坐标系,使顶点A 在坐标原点,O B D 、分别为x 轴、y 轴,3AD =(百米),AB a =(百米)(34a ≤<)观光区中间叶形阴影部分MN 是一个人工湖,它的左下方边缘曲线是函数2(12)y x x=≤≤的图象的一段.为了便于游客观光,拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直路(宽度不计),要求其与人工湖左下方边缘曲线段MPN 相切(切点记为P ),并把该观光区分为两部分,且直线l 左下部分建设为花圃.记点P 到AD 的距离为,()t f t 表示花圃的面积. (Ⅰ)求花圃面积()f t 的表达式; (Ⅱ)求()f t 的最小值.ABCDMP已知12,F F 分另为椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下焦点,1F 是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点, 且15||.3MF =(Ⅰ)求椭圆1C 的方程;(Ⅱ)与圆22(1)1x y ++=相切的直线:(),0l y k x t kt =+≠交椭1C 于,A B ,若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=,求实数λ的取值范围.22.(本小题满分13分)设x a =和x b =是函数21()ln (2)2f x x x m x =+-+的两个极值点,其中,a b m R <∈. (Ⅰ)求()()f a f b +的取值范围; (Ⅱ)若2(m e ≥-为自然对数的底数),求()()f b f a -的最大值.2014年湖南省十三校联考二理数参考答案一、选择题D C A C A C B D A B二、填空题11. 12.12. (1,2).13. 9 .14. 0 .15. (1) 2 ,(2) [-9,9] .16. (1) ①③④ ,(2)201322-.三、解答题17.【解】(Ⅰ)由()(1cos2)tan 2sin cos ,f A A A C C =⋅=+-m n 即2()2cos tan 2sin cos sin 2sin 2f A A A C C A C =⋅-⋅=-,又因为23A C π+=,所以23C A π=-代入上式得,41()s i n 2s i n 2s i n 2s i n (2)i n 2c o s 2s i n (2)323f A AC A A A A ππ=-=--==+由()0f A =,得sin(2)03A π+=,又20,32A A ππ<<≠且,所以52333A πππ<+<,且4233A ππ+≠………………………5分 也所以23A ππ+=,即3A π=,从而ABC ∆为正三角形,所以2ABC S ∆==8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知()sin(2)3f A A π=+,令4452,(,)(,)33333x A x πππππ=+∈,则方程()f A k =有两个不同的实数解等价于sin k x =在445(,)(,)3333x ππππ∈上有两上不同实根,作出445sin ,(,)(,)3333y x x ππππ=∈草图如右, 1k <<或1k -<<时,直线y k=与曲线 s i ny x =有两个交点,符合题意,故实数k 的取值范围为 3(1,(,1)k ∈-.…………………………………………………………………12分18.【解】(Ⅰ)设乙答题所得分数为X ,则X 的可能取值为15,0,15,30-.…………………1分X -150 15 30且31155533101015(15),(0),1212C C C P X P X C C =-===== 21355533101051(15),(30)1212C C C P X P X C C ======…5分 乙的得分的分布列如右表,且1510515530115()122E X -⨯+⨯+⨯+⨯==……………8分(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对2题才能入选, 记甲、乙入选的 事件分别为,A B ,则由(Ⅰ)知,511()12122P B =+=, 又甲回答3题可以视为独立重复试验,故223332381()()()555125P A C =+=,于是甲、乙至少有一人入选的概率4411031()11252125P P A B =-⋅=-⨯=………………12分19.【解】(Ⅰ)如图,设E 为BC 的中点,连结AE ,则,//AD EC AD EC =,所以四边形AECD 为平行四边形, 故AE BC ⊥,又AE BE EC === 所以45ABC ACB ∠=∠=,故AB AC ⊥, 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以AB PA ⊥, 且PAAC A =,所以AB ⊥平面PAC ,故有AB PC ⊥…………………………………5分(Ⅱ)如图,以A 为原点,分别以射线,,AE AD AP 为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(0,0,2)A E B C D P -,设,2)(01)PM PD λλλ==-≤≤,易得,22)M λ-,设平面AMC 的一个法向量为1(,,)x y z =n ,则1122022(22)0AC x AM y zλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩nn ,令y =得21tx z t ==-,即12()1t t =-n .又平面ACD的一个法向量为2(0,0,1)=n ,P112 512 512 112由题知1212122|||||cos ,|cos 45||||λ⋅<>===⨯n n n n n n ,解得12λ=,即(M BM =-,而AB =-是平面PAC 的一个法向量, 设平面BM 与平面PAC 所成的角为θ,则sin |cos ,|BM AB θ=<>==. 故直线BM 与平面PAC.…………………………………12分20.【解】(Ⅰ)由题意可设2(,),12P t t t≤≤,又因22y x '=-,所以过点P 的切线方程为222()y x t t t -=--,即224(2)y x i t t t=-+≤≤,切线l 与x 轴交于点(2,0)F t ,与y 轴交于点4(0,)E t,①当2,43,1t a tt ≤⎧⎪⎪≤⎨⎪≤≤2⎪⎩,即432a t ≤≤时,切线左下方区域为直角三角形.所以14()242f t t t=⨯=; ②当2,43,1t a tt >⎧⎪⎪≤⎨⎪≤≤2⎪⎩,即2a t <≤2时,切线左下方区域为直角梯形.所以22214424()()2t a at a f t a t t t --=+=;③当2,43,1t a tt ≤⎧⎪⎪>⎨⎪≤≤2⎪⎩,即413t ≤<时,切线左下方区域为直角梯形.所以221439()(2)36224t t t f t t t -=+⨯=-;综上有,222946,1,434()4,,324,2t t t a f t t at a at t⎧-≤<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪-<≤2⎪⎩…………………………………………………………7分(Ⅱ)①当413t ≤<时,22994()6()4443t f t t t =-=--+,当1t =时,min 15()44f t =<;②当22at <≤时,22442(2)(),()0at t at a t f t f t t t--'==<, 所以()f t 在(,2]2a 上递减,所以2min()(2)244a f t f a ==-<,下面比较224a a -与154的大小,由于2215815(3)(5)(2)04444a a a a a a -+----==≤, 所以可知min 15()4f t =即求.………………………………………………………………13分21.【解】(Ⅰ)由题知1(0,1)F ,所以221a b -=, 又由抛物线定义可知1513MMF y =+=,得23M y =,于是易知2()3M ,从而273MF ==,由椭圆定义知1224aMF MF =+=,得2a =,故23b=,从而椭圆的方程为22134x y +=……………………………………………………………6分(Ⅱ)设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则由OA OB OP λ+=知,12012,x x x y y y λλ+=+=,且2200134x y +=,……① 又直线:(),0l y k x t kt =+≠与圆22(1)1x y ++=相切,所以有1=,由0k ≠,可得22(1,0)1tk t t t=≠±≠-……② 又联立22(),4312,y k x t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得22222(43)63120k x k tx k t +++-=且0∆>恒成立,且2221212226312,4343k t k t x x x x k k -+=-=++,所以121228()243kty y k x x kt k +=++=+,所以得22268(,)(43)(43)k t kt P k k λλ-++…………8分 代入①式得422222222212161(43)(43)k t k t k k λλ+=++,所以2222443k t k λ=+又将②式代入得,22224,0,11()1t t t tλ=≠≠±1++,……………………………………10分易知2222221111()11,()13t t t t ++>++≠且,所以244(0,)(,4)33λ∈,所以λ的取值范围为{|22,0,λλλλ-<<≠≠且且…………………………13分 22.【解】(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1'()(2)x m x f x x m x x-++=+-+=.依题意,方程2(2)10x m x -++=有两个不等的正根,()a b a b <,故有2(2)40,20m m +->⎧⎨+>⎩,解得0m >,且2,1a b m ab +=+=, 所以221()()ln ()(2)()2f a f b ab a b m a b +=++-++, 22211[()2](2)(2)122a b ab m m =+--+=-+-， 又210,(2)132m m >-+-<-,所以()()f a f b +的取值范围是(,3)-∞-.……………6分 (Ⅱ)由221()()ln ()(2)()2b f b f a b a m b a a -=+--+-, 221ln ()()()2b b a b a b a a =+--+-2222111ln ()ln ln ()222b b b a b b a b a a a ab a a b-=--=-=-- 令1b t a =>,所以11()()()ln ()2f b f a g t t t t-==--,又因为2122(2)2m m m e e ≥+-⇔+≥+⇔+≥++, 所以221()111()2222a b a b e e t e e ab e t e++≥++⇔≥++⇔++≥++,可化为 ()(1)0t e te te --≥,因为1te e >>,所以得t e ≥,求11()ln ()2g t t t t=--在t e ≥上最大值, 由222111(1)()(1)022t g t t t t-'=-+=-<,所以()g t 在[,e +∞)上递减, 所以1()()122e g t g e e ≤=-+,故()()f b f a -的最大值为1122e e-+.…………………13分。
