当前位置：文档之家 › 数理统计试题及答案

数理统计试题及答案

  • 格式：docx
  • 大小：415.44 KB
  • 文档页数：6

数理统计试题及答案 The manuscript was revised on the evening of 2021
一、填空题（本题15分，每题3分）
1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________；
2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，若已知0.32)16(2
01.0=χ,则
}8{16
1
2∑=≥i i X P =________；
3、设总体),(~2σμN X ，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为
α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；
4、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显着性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；
5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，在显着性水平下，检验假设00:μμ≥H ,01:μμ<H ，拒绝域是________。

1、)2
1
0(，N ； 2、； 3、n
S n t )
1(2
-α； 4、2
02σσ<； 5、05.0z z -≤。

二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，α是未知参数，以下函数是统计量的为（
）。

（A ）)(321X X X ++α （B ）321X X X ++ （C ）3211
X X X α
（D ）23
1)(31α-∑=i i X
2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，
21
2
)(1X X n S i n
i n
-=∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。

（A ）
σ
μ）
-X n ( （B ）
n S X n )(μ- （C ）σ
μ）
--X n (1 （D ）n S X n )(1μ--
3、设n X X X ,,,21 是来自总体的样本，2
)(σ=X D 存在， 21
2
)(11X X n S i n
i --=∑=, 则（ ）。

（A ）2S 是2σ的矩估计
（B ）2S 是2σ的极大似然估计
（C ）2S 是2σ的无偏估计和相合估计 （D ）2S 作为2σ的估计其优良性与分
布有关
4、设总体),(~),,(~2
2
2211σμσμN Y N X 相互独立，样本容量分别为21,n n ，样本方差分别为2221,S S ，在显着性水平α下，检验2
221122210:,:σσσσ<≥H H 的拒绝域为（ ）。

（A ）
)1,1(122
12
2
--≥n n F s s α （B ）
)1,1(122
12
122
--≥-
n n F
s s α
（C ）
)1,1(212
122
--≤n n F s s α （D ）
)1,1(212
12
122
--≤-
n n F
s s α
5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，μ未知，n x x x ,,,21 是来自总体的样本观察值，已知μ的置信水平为的置信区间为（，），则取显着性水平05.0=α时，检验假设
0.5:,0.5:10≠=μμH H 的结果是（ ）。

（A ）不能确定 （B ）接受0H （C ）拒绝0H （D ）条件不足无法检验 1、B ； 2、D ； 3、C ； 4、A ； 5、B.
三、（本题14分） 设随机变量X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他θθx x x f 0,
0,
2)(2，其中未知
参数0>θ，n X X ,,1 是来自X 的样本，求（1）θ的矩估计；（2）θ的极大似然估计。

解：(1) θθθ322)()(0
2
2
===⎰⎰∞
+∞-x d x
x d x f x X E ，
令θ3
2
)ˆ(==X X
E ，得X 23
ˆ=θ为参数θ的矩估计量。

(2)似然函数为：),,2,1(,022),(1
21
2n i x x x x L i n
i i n
n
n
i i
i =<<==∏∏
==θθθθ，
， 而)(θL 是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为},,,max{ˆ21n X X X =θ。

四、（本题14分）设总体),0(~2σN X ，且1021,x x x 是样本观察值，样本方差22=s ，
（1）求2
σ的置信水平为的置信区间；（2）已知)1(~2
2
2
χσX Y =
，求⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛32σX D 的置信水平为的置信区间；（70.2)9(2975.0=χ，023.19)9(2
025.0=χ）。

解：
（1）2
σ的置信水平为的置信区间为⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛)9(18,)9(182
975.02025.0χχ，即为（，）； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32σX D =22
2
2222)]1([11σχσσσ==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛D X D ； 由于2322σσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X D 是2
σ的单调减少函数，置信区间为⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛2
22,
2σσ， 即为（，）。

五、（本题10分）设总体X 服从参数为θ的指数分布，其中0>θ未知，n X X ,,1 为取自总体X 的样本， 若已知)2(~2
21
n X U n
i i χθ
∑==
，求： （1）θ的置信水平为α-1的单侧置信下限；
（2）某种元件的寿命（单位：h ）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h ），试求元件的平均寿命的置信水平为的单侧置信下限。

)585.42)32(,985.44)31((2
10.0205.0==χχ。

解：(1) ,1)2(2,1)2(222
αχθαχθ
αα-=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>∴-=⎭⎬⎫⎩⎨
⎧<n X n P n X n P
即θ的单侧置信下限为)
2(22
n X n αχθ=
；（2）706.3764585.425010162=⨯⨯=θ。

六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为（mg/L ），标准差为（mg/L ），问该工厂生产是否正常（
22
0.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====）
解：（1）检验假设H 0：σ2=1，H 1：σ2≠1； 取统计量：20
2
2
)1(σχs n -=
；
拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.022
1χχα=--n =或χ2
≥2025.022
)1(χχα=-n =，
经计算：96.121
2.19)1(22
2
2
=⨯=-=
σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2，
故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。

（2）检验假设101010
≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10
/10S X t -=~ )9(2
αt ；
拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210
/2.1108.10=-=
t < ，所以接受0
H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。

综上，认为工厂生产正常。

七、（本题10分）设4321,,,X X X X 为取自总体)4,(~2μN X 的样本，对假设检验问题
5:,5:10≠=μμH H ，（1）在显着性水平下求拒绝域；（2）若μ=6，求上述检验所犯的
第二类错误的概率β。

解：(1) 拒绝域为96.12
5
4
/45025.0=≥-=
-=
z x x z ; （2）由(1)解得接受域为（，），当μ=6时，接受0H 的概率为
921.02608.12692.8}92.808.1{=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫
⎝⎛-Φ=<<=X P β。

八、（本题8分）设随机变量X 服从自由度为),(n m 的F 分布，(1)证明：随机变量X
1服从
自由度为),(m n 的F 分布；(2)若n m =，且05.0}{=>αX P ，求}1
{α>X P 的值。

证明：因为),(~n m F X ,由F 分布的定义可令n
V m
U X //=
，其中)(~),(~22n V m U χχ，U 与V 相互独立，所以
),(~//1m n F m
U n V X =。

当n m =时，X 与
X 1服从自由度为),(n n 的F 分布，故有=>}{αX P }1
{α
>X P ， 从而 95.005.01}{1}1
{1}1{}1{=-=>-=>-=<=>ααααX P X
P X P X P 。

合集下载

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。

参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。

参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。

参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。

参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。

参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。

数理统计考试试题及答案

数理统计考试试题及答案

一、(满分12分）设X X X n ,,,12为来自均匀分布θU (0,)的随机样本，θθ,ˆˆ12分别为未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量。

(1)证明nT n =+θθ和ˆˆ112都是未知参数θ的无偏估计; (2)比较两个估计量的优劣性.二、(满分14分）设X 服从伽玛分布Γαβ(,),其特征函数为=−−βϕαt itX ()(1).(1) 利用特征函数法求X 的数学期望和方差； (2)设X X X n ,,,12是独立同分布的随机变量，其概率密度为，⎩≤⎨=>⎧λλx f x e x x 0,0.(),0-试用特征函数法证明：∑=Γ=λY X n i i n~(,)1 三、（满分14分）从两个独立的正态总体中抽取如下样本值： 甲(X ) 4.4 4.0 2.0 4.8 乙（Y ）5.01.03.20.4经计算得x s y s ====3.8, 1.547, 2.4, 4.45312*2*2，在显著性水平=α0.05下，能否认为两个总体同分布？ 四、(满分10分）设X X X ,,,129是总体μσX N ~(,)2的一个样本.记Y X Y X k k k k ∑∑===63,=,11171269SS X Y Z Y Y k k ∑=−=−=2(),12()7212229求统计量 Z 的分布。

五、（满分14分）设X X X n ,,,12是总体X 的一个样本，X 的密度函数为f x x x ⎩⎨=<<⎧−θθθ他其0,.(;),01,1>θ0求未知参数g =θθ()1的最大似然估计量gθ()ˆ,并求g θ()的有效估计量.六、 (满分20分）观测某种物质吸附量y 和温度x 时，得到数据如下：x i 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 y i4.85.77.08.310.912.413.113.615.3应用线性模型N y a bx ⎩⎨⎧=++εσε~(0,)2(1) 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；(2) 在显著性水平=α0.05下，检验原假设=H b :00；(3)在温度x =60时，求吸附量y 0的置信水平为α−=10.95的预测区间; (4) 若要使吸附量在5-10之间，温度应该如何控制（=α0.05）.七、 (满分16分) 为了观察燃烧温度是否对砖块的密度有显著性影响，今在4种温度下做试验，得砖块密度的观察值如下： 温度（摄氏度） 砖块密度100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 125 21.7 21.4 21.5 21.4 150 22.9 22. 8 22.8 22.6 22.5 17521.9 21.7 21.8 21.4试问燃烧温度对砖块密度是否有显著影响？(=α0.01) 附注：计算中可能用到的数据如下：t r F F t F F ===Φ=====5(7) 2.3646,(7)0.6664,(1,7) 5.59,(1.96)0.976(3,3)15.5,(6) 2.4469,(2,15) 3.68,(3,14) 5.50.9750.050.950.9750.9750.950.99一、（满分12分）解：（1）总体X 的密度函数为总体X 的分布函数为0,0(),01,x x F x x x θθθθ≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩；由于2θ=EX ，得X 2ˆ1=θθ的矩估计量为 1ˆ[2]2θθ===E E X EX ，故的无偏估计量。

概率论和数理统计试题及答案

概率论和数理统计试题及答案

概率论和数理统计试题及答案一、填空题：1 11、 设 A 与 B 相互独立,P(A) = , P(B)=,贝U P (B-A)=.3 2 ----------------11 1解: P(B _A)二 P(B)[1 _P(A)](1 ): 23 32、 设 X~U[1,3](均匀分布)，则 E(X 2)=, D(2X)二 ______________.E(5X _2) = ___________________ ,解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3E(X 2) = D(X) E(X)2 =13/3 D( 2X 4D (X =)4 / 3E(5X - 2)= 5E X ) 2 102Y~ P(3),Z ~ N(3,2 )，且 X , Y,Z 相互独立，则3、设随机变量X 服从指数分布，即X ~ E(2),定义随机变量2,X 3 Y £,X =3-1,X ：3解：F Y (Y)=P(Jy)二 P(丫 乞 一1) = P(X :: 3)2e'x dx = -e^x 0F Y (Y)二 P(Y D二 P(—1 ：： 丫 乞1) = P(X 空 3)3=2e "dx =-e'xF Y (Y)二 P(丫 乞 y)二 P(1 ：： Y ^2) = P(X 3)则Y 的分布列为二 1 —e ■6 -2C其中二是与y 无关的量2e"dx _ -e^x4、设 X ~ B(200,0.1)E(2X -3Y -Z 5) = , D(2X -3Y -Z 5)二 ____________________2XE(D(2X -3Y -Z 5) =4D(X) 9D(Y) D(Z) =72 27 4 =10325、设总体X ~ N（j 匚）,X i, X2, X3 为来自X 的样本，二0.5/ • 0.1X2 - ax 3 是未知参数丄的无偏估计，则a =。

解：因为是无偏估计所以E（?）=E（0.X+ 0.x1— ax =） 0E5x 什）E.2X-（ aJEj x （）= （0.5 0.-1 E）X（=）（ 0.5- 01"口二）（0.5 0•中=）1a ~ -0. 46、设X〜N（叫，打），Y~N（」2,/）,X与丫相互独立，且X与丫分别为X,Y的样2 2本均值，样本容量分别为n i,n2。

数理统计试题及答案

数理统计试题及答案

数理统计试题及答案一、选择题1. 在一次试验中，事件A和事件B是互斥事件，概率分别为0.4和0.3。

则事件“A或B”发生的概率是多少？A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.7答案：D. 0.72. 一批产品的重量服从正态分布，均值为100g，标准差为5g。

若随机抽取一件产品，其重量大于105g的概率是多少？A. 0.6827B. 0.1587C. 0.3413D. 0.0228答案：B. 0.15873. 一家量化投资公司共有1000名员工，调查结果显示，有700人拥有股票，400人拥有债券，300人既拥有股票又拥有债券。

随机选择一名员工，问其既拥有股票又拥有债券的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.2D. 0.15答案：A. 0.34. 设X和Y为两个随机变量，已知X的期望为2，方差为4；Y的期望为5，方差为9，且X与Y的协方差为6。

则X + Y的期望为多少？A. 5B. 7C. 6D. 9答案：B. 7二、计算题1. 一箱产品中有10个次品，从中随机抽取3个，求抽到1个次品的概率。

解答：总共的可能抽取组合数为C(10,3) = 120。

抽取到1个次品的组合数为C(10,1) * C(90,2) = 4005。

所以，抽到1个次品的概率为4005/120 = 33.375%。

2. 已知某城市的男性身高服从正态分布，均值为172cm，标准差为5cm；女性身高也服从正态分布，均值为160cm，标准差为4cm。

问男性身高高于女性身高的概率是多少？解答：需要计算男性身高大于女性身高的概率，可以转化为计算两个正态分布随机变量之差的概率。

设随机变量X表示男性身高，Y表示女性身高，则X - Y服从正态分布，其均值为172cm - 160cm = 12cm，方差为5cm^2 + 4cm^2 =41cm^2。

要计算男性身高高于女性身高的概率，即计算P(X - Y > 0)。

首先，标准化X - Y，得到标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - Y - 12) / sqrt(41)所以，P(X - Y > 0) = P(Z > (0 - 12) / sqrt(41)) = P(Z > -2.464)查标准正态分布表可知，P(Z > -2.464) ≈ 0.9937所以，男性身高高于女性身高的概率约为99.37%。