【优秀教案】高中数学第一册上 第一章：充分条件与必要条件(1)

课题：1.8 充分条件与必要条件（一）教学目的：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断教学难点：充分性与必要性的推导顺序一、复习引入：同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.二、讲解新课：⒈符号“⇒”的含义前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.符号“⇒”叫做推断符号.例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 ⇒x2>0；又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等.说明：⑴“p⇒q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.⑵“p⇒q”也可写为“q⇐p”，有时也用“p→q”.练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.答案：⑴⇒；⑵⇒；⑶；⑷.⒉什么是充分条件？什么是必要条件？如果已知p⇒q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.⒊充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p 的必要条件”.（条件与结论是相对的）三、范例例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴ p：x=y；q：x2=y2.⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：⑴由p⇒q，即x=y⇒x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵由p⇒q，即三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，知p是q 的充分条件，q是p的必要条件；又由q⇒p，即三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q也是p 的充分条件，p也是q的必要条件.练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷.答案：⑴∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；⑵∵q⇒p，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；⑶∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.⑷∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.2.利用逆否命题判断：即“若┐q⇒┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色⇒B为绿色”是真的，∴由定义知，“A 为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵如图2⑴，∵“红点在B内⇒红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A 不为绿色”. ∵“B不为绿色⇒ A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内⇒红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即p⇒q）的形式.再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q⇒┐p）的形式.总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.四、练习：（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的充分条件；⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的必要条件；⒊“x≠3”是“|x|≠3”的充分条件；⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的充分条件；⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac≥0”是“这个方程有两个正根”的必要条件；⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的充分条件；⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件；⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分 条件.五、小结：本节主要学习了推断符号“⇒”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.判断充分条件与必要条件的依据是：若p ⇒q （或若┐q ⇒┐p ），则p 是q 的充分条件；若q ⇒p （或若┐p ⇒┐q ），则p 是q 的必要条件.六、作业：1．课本P 34-35内容，熟悉巩固有关内容.2．设A 是C 的充分条件，B 是C 的充分条件，D 是C 的必要条件，D 是B 的充分条件，那么，D 是A 的什么条件？A 是B 的什么条件？解：由题意作出逻辑图（右图），便知，D 是A 的必要条件；A 是B 的充分条件.3．预习：课本P 35-36内容. 课 题：1.1集合－集合的概念（2）教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义（3）会运用集合的两种常用表示方法 教学重点：集合的表示方法教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上节所学集合的有关概念1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + ，{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}所有整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写二、讲解新课： （二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只 有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条 件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合 例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或 23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集（三） 有限集与无限集1、 有限集：含有有限个元素的集合2、 无限集：含有无限个元素的集合3、 空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x三、练习题：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 四、小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：有限集、无限集、空集2．集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图五、课后作业： 六、板书设计（略）七、课后记：七、板书设计（略）八、课后记：。

2.请同学们完成课后练习题第1、2、3题，并尝试用不同的方法进行解答，比较各种方法的优劣。
3.小组合作：各小组选择一个实际问题，分析其中的充分必要条件，并撰写一份分析报告，报告内容应包括问题背景、分析过程、结论及解题方法。
4.拓展阅读：阅读与充分条件和必要条件相关的数学故事或数学家传记，了解充分必要条件在数学发展史上的重要作用，下节课与同学们分享你的阅读心得。
（二）教学设想
1.采用情境教学法，引入生活中的实例，让学生在具体情境中感受充分条件和必要条件的概念。例如，通过分析“下雨”和“地面湿润”之间的关系，引导学生理解充分必要条件的内涵。
2.利用问题驱动法，设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望。在教学过程中，教师可以设置一系列由浅入深的问题，引导学生逐步掌握充分必要条件的判断和应用。
（二）过程与方法
1.掌握从特殊到一般、从具体到抽象的思考方法，提高逻辑思维能力。
2.学会运用逻辑推理，分析问题中的因果关系，培养解决问题的能力。
3.学会与同伴合作，倾听他人意见，提高沟通与协作能力。
4.能够运用数学语言准确表达自己的思考，提高数学表达能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情。
6.培养学生的自主学习能力，鼓励学生在课后进行拓展学习。教师可以推荐相关资料和习题，让学生在课后进行自我巩固和提升。
7.关注学生的个体差异，实施差异化教学。针对不同学生的学习需求，教师可以设置不同难度的题目，使每个学生都能在课堂上得到有效的提升。
8.融入数学文化，提高学生的数学素养。在教学过程中，教师可以适时介绍充分必要条件在数学发展史上的地位和作用，激发学生对数学的兴趣。
4.学生在合作学习方面，可能存在沟通不畅、分工不明确的问题。教师需引导学生学会倾听、表达和协作，使学生在合作中共同进步。

充分条件与必要条件教案一、教学目标1、知识与技能目标理解充分条件、必要条件的概念。

能够准确判断给定命题中条件与结论之间的充分性和必要性关系。

掌握充分条件和必要条件的判定方法，并能进行简单的应用。

2、过程与方法目标通过实例引入，培养学生观察、分析和归纳的能力。

引导学生进行逻辑推理，提高学生的思维能力和逻辑表达能力。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学逻辑的严谨性，培养学生严谨治学的态度。

激发学生对数学的兴趣，体会数学在实际生活中的应用价值。

二、教学重难点1、教学重点充分条件和必要条件的概念。

充分条件和必要条件的判定方法。

2、教学难点理解充分条件和必要条件的本质含义。

准确判断条件与结论之间的充分性和必要性关系。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程（一）导入新课通过生活中的例子引入，比如：“如果今天下雨，那么地面会湿”，提问学生：“今天下雨”和“地面会湿”之间有着怎样的关系？从而引出本节课的主题——充分条件与必要条件。

（二）讲解新课1、充分条件的概念给出命题“若 p，则q”，如果由 p 可以推出 q，那么就说 p 是 q 的充分条件。

例如：“若 x ＞ 5，则 x ＞3”，因为当 x ＞ 5 时，一定有 x ＞ 3，所以“x ＞5”是“x ＞3”的充分条件。

通过多个实例，让学生理解充分条件的概念。

2、必要条件的概念同样对于命题“若 p，则q”，如果由 q 可以推出 p，那么就说 p 是 q 的必要条件。

比如：“若 x 是整数，则 x 是有理数”，因为如果 x 是整数，那么 x 一定是有理数，所以“x 是有理数”是“x 是整数”的必要条件。

用丰富的例子帮助学生领会必要条件的含义。

3、充分不必要条件如果 p 是 q 的充分条件，但 p 不是 q 的必要条件，那么称 p 是 q 的充分不必要条件。

例如：“若 x ＝ 2，则 x²＝4”，由 x ＝ 2 可以推出 x²＝ 4，但由 x²＝ 4 不一定能推出 x ＝ 2，还可能 x ＝－2，所以“x ＝2”是“x² ＝4”的充分不必要条件。

充分条件与必要条件教案一、教学目标1. 让学生理解充分条件和必要条件的概念。

2. 让学生学会判断充分条件和必要条件。

3. 培养学生运用充分条件和必要条件解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 充分条件和必要条件的定义。

2. 充分条件和必要条件的判断方法。

3. 充分条件和必要条件在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：充分条件和必要条件的定义及判断方法。

2. 教学难点：充分条件和必要条件在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用实例讲解法，让学生通过具体例子理解充分条件和必要条件的概念。

2. 采用小组讨论法，让学生学会判断充分条件和必要条件。

3. 采用练习法，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 引入新课：通过一个故事引入充分条件和必要条件的概念。

2. 讲解充分条件和必要条件的定义：讲解什么是充分条件，什么是必要条件。

3. 讲解充分条件和必要条件的判断方法：如何判断一个条件是充分条件，如何判断一个条件是必要条件。

4. 实例分析：分析一些具体的例子，让学生理解充分条件和必要条件的应用。

5. 小组讨论：让学生分组讨论，判断一些例子中的条件是充分条件还是必要条件。

6. 练习巩固：布置一些练习题，让学生巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调充分条件和必要条件的重要性。

8. 作业布置：布置一些有关充分条件和必要条件的练习题，让学生课后巩固。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对充分条件和必要条件的理解程度。

2. 练习题：布置课后练习题，评估学生对知识的掌握情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和解决问题的能力。

七、教学反思1. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

2. 反思教学内容：根据学生的掌握情况，调整教学内容，确保学生能够理解和运用充分条件和必要条件。

3. 反思教学过程：总结本节课的优点和不足，为下一节课的教学做好准备。