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高中数学不等式部分习题类型及解法2

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高中数学不等式部分习题类型及解法（Ⅱ）2004年高考数学不等式综合题选1．（2004年高考数学广西卷，5）函数)1(log 221-=x y 的定义域为 （ ）A ．[)(]2,11,2 -- B ．)2,1()1,2( --C ．[)(]2,11,2 --D ．)2,1()1,2( --答案：A2．（2004年高考数学广西卷，8）不等式311<+<x 的解集为 （ ）A ．()2,0B ．())4,2(0,2 -C ．()0,4-D ．())2,0(2,4 --答案：D3．（2004年高考数学广西卷，11）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x的取值范围为 （ ） A ．(][]10,02, -∞- B ．(][]1,02, -∞-C ． (][]10,12, -∞-D ．[]10,1]0,2[ -答案：A4．（2004年高考数学广西卷，19）某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室。

在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。

当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。

最大种植面积是多少？分析：本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力. 解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则 a b=800.蔬菜的种植面积 ).2(2808824)2)(4(b a a b ab b a S +-=+--=--= 所以 ).(648248082m ab S =-≤当).(648,)(20),(40,22m S m b m a b a ====最大值时即答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m 2. 5．（2004年高考数学江苏卷，1）设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于 （ ）A ．{1，2}B ． {3，4}C ． {1}D ． {-2，-1，0，1，2}答案：A6．（2004年高考数学江苏卷，10）函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 （ ）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17D ．9，-19答案：C7．（2004年高考数学江苏卷，12）设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数多个 答案：A8．（2004年高考数学江苏卷，13）二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________. 答案：),3()2,(+∞--∞9．（2004年高考数学江苏卷，22）已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 )]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -= (Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； (Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.分析：本题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力。

证法一：（I ）任取则由,,,2121x x R x x ≠⊂ )]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ②可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-⋅-≤--≤-λ， 从而 1≤λ. 假设有则由使得,0)(,000=≠b f a b ①式知.0)]()()[()(00000200矛盾=--≤-<b f a f b a b a λ∴不存在.0)(,000=≠b f a b 使得（II ）由)(a f a b λ-= ③可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤ 由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ202))(1(a a --=λ（III ）由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-=22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-=22)]([)]()([2)(a f a f b f ab a b +--⋅--≤λ（用②式）222)]([)]()()[(2)]([a f a f b f a b a f +---=λλ2222)]([)(2)([a f a b a f +-⋅⋅-≤λλλ （用①式）2222222)]()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-=证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数λ,,,,,,,2100x x x b a b a 以及它们的抽象函数值(*)f 。

参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪。

因而解决问题的关键就在于“消元”——把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几个特定变量来表示，然而再进行运算证明。

“消元”的模式并不难唯一，这里提供一个与标准解答不同的“消元”设想，供参考。

题设中两个主要条件是关于21x x -与)()(21x f x f -的齐次式。

而点))(,(11x f x 、))(,(22x f x 是函数图象上的两个点，2121/)()(x x x f x f --是连接这两点的弦的斜率。

若欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，则可以借助斜率进行“整体消元”。

设21,x x 为不相等的两实数，则0||,0)(21221>->-x x x x 由题设条件可得：2121)()(0x x x f x f --<<λ和1|)()(|2121≤--x x x f x f 。

令2121)()(x x x f x f k --=，则对任意相异实数21,x x ，有k ≤<λ0及1||≤k ，即10≤≤<k λ。

由此即得1≤λ；又对任意21x x ≠有0>k ，得函数)(x f 在R 上单调增，所以函数)(x f 是R 上的单调增函数。

如果00a b ≠，则)()(00a f b f ≠，因为0)(0=a f ，所以0)(0≠b f 。

即不存在00a b ≠，使得0)(0=b f 。

于是，（Ⅰ）的结论成立。

考虑结论（Ⅱ）：因为)(a f a b λ-=，故原不等式为20220))(1()]([a a a f a a --≤--λλ；当0a a =时，左右两边相等；当0a a ≠时，0)(20>-a a ，且0)(0=a f ，则原不等式即为：2202001)()]()([λλλ-≤-+--a a a f a f a a ， 令00)()(a a a f a f k --=，则原不等式化为221)1(λλ-≤-k ，即为k k 2)1(2≤+λ。

因为10≤≤<k λ，则k k ≤≤λλ2，所以k k 22≤+λλ成立，即（Ⅱ）中结论成立。

再看结论（Ⅲ）：原不等式即0)]([)]([)]([2222≤+-a f a f b f λ，即0)]([)](2)()([)]()([22≤++-⋅-a f a f a f b f a f b f λ，注意到)(a f a b λ-=，则)(a f a b λ-=-，则原不等式即为0)(]/)(2)()([)]()([2≤-+---⋅-a b a b a f b f a f b f λ即01]2)()([)()(≤+---⋅--λa b a f b f a b a f b f ，令ab a f b f k --=)()(，则原不等式即化为01)/2(≤+-λk k ，即k k 22≤+λλ，因为10≤≤<k λ，则k k ≤≤λλ2，所以k k 22≤+λλ成立，即（Ⅲ）的结论成立。

在一般的“消元”方法中，本题三个小题中不等关系的证明过程差异较大。

尤其是（Ⅱ）与（Ⅲ），许多尖子学生证明了（Ⅱ）的结论而不能解决（Ⅲ）。

借助斜率k “整体消元”的想法把（Ⅱ）、（Ⅲ）中的不等关系都转化为相同的不等关系k k 22≤+λλ，然后由条件10≤≤<k λ推证，有独到之处。

（Ⅲ）范例分析b)∈M ，且对M 中的其它元素(c ，d)，总有c ≥a ，则a=____． 分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M 中的其它元素(c ，d)，总有c ≥a ”？M 中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)(2)当1≤y ≤3时，所以当y=1时，xmin=4．说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质．即求集合M 中的元素满足关系式例2．解关于x 的不等式： ()0922>≤-a a a x x 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。

本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。

解：当()⎩⎨⎧≤--≥⎩⎨⎧≤-≥≥029929222a ax x ax a a x x ax a x 即时，不等式可转化为 a bx a 173+≤≤∴ ⎩⎨⎧≥+-<⎩⎨⎧≤-<<02992)(222a ax x ax a x a ax a x a x 即时不等式可化为当 ]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋃-∞<≤≤∴a a aax a a x 6173,323,(323故不等式的解集为或。

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不等式练习题及讲解高中答案

不等式练习题及讲解高中答案

不等式练习题及讲解高中答案### 不等式练习题及讲解#### 一、基础不等式练习题1. 题目一：若 \( a, b, c \) 均为正数，证明不等式 \( a + b\geq 2\sqrt{ab} \) 成立。

2. 题目二：已知 \( x \) 和 \( y \) 均为实数，且 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求证 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。

3. 题目三：若 \( a, b \) 均为正整数，证明 \( a^2 + b^2 \geq 2ab \)。

4. 题目四：对于任意实数 \( x \)，证明 \( \frac{x^2}{2} +\frac{1}{2x^2} \geq 1 \)。

5. 题目五：若 \( x, y, z \) 均为正数，证明 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{xy + yz + zx} \)。

#### 二、不等式练习题讲解题目一讲解：利用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：\[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \]这是因为对于任意非负实数 \( a \) 和 \( b \)，它们的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。

题目二讲解：由于 \( x^2 + y^2 = 1 \)，我们有 \( (x + y)^2 \leq 2(x^2 +y^2) = 2 \)，从而 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。

题目三讲解：同样使用AM-GM不等式：\[ a^2 + b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2} = 2ab \]当且仅当 \( a = b \) 时，等号成立。

题目四讲解：利用AM-GM不等式：\[ \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} \geq 2\sqrt{\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{2x^2}} = 1 \]等号成立条件是 \( x^2 = 1 \)，即 \( x = \pm 1 \)。

高中不等式经典例题

高中不等式经典例题

高中不等式经典例题例1解不等式：(1)2x ³-x ²-15x>0;(2)(x+4)(x+5)²(2-x)³<0.分析：如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正：②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式， 也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图.典型例题二例2解下列分式不等式： (1)3x−2≤1−2x+2; (2)x 2−4x+13x 2−7x+2<1分析：当分式不等式化为 f (x )g (x )<0(或≤0)时，要注意它的等价变形(1) 解：原不等式等价于3x−2≤x x+23x−2−x x+2≤03(x+2)−x (x−2)(x−2)(x+2)≤0−x 2+5x+6(x−2)(x+2)≤0可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况。

解:(1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0x 1=0,x 2=−52,x 3=3顺次标上数轴， 然后从右上开始画线顺次经过三个根， 其解集如下图的阴影部分，∴原不等式解集为(2) 原不等式等价于(x+4)(x+5)³(x -2)³>0x>2 ∴原不等式解集为 或-5<x<-4或x>2}f (x )g (x )<0f (x )⋅g (x )<0;(x−6)(x+1)(x−2)(x+2)≥0{(x −6)(x +1)(x −2)(x +2)≥0(x +2)(x −2)≠0(2) 解法一：原不等式等价于2x 2−3x+13x 2−7x+2>0 (2x 2−3x +1)(3x 2−7x +2)>0{2x 2−3x +1>03x 2−7x +2>0或 {2x 2−3x +1<03x 2−7x +2<0x <13或 12<x <1或x>2，∴原不等式解集为 (−∞,13)∪(12,1)∪(2,+∞). 解法二：原不等式等价于典型例题三例3解不等式|x ²-4|<x+2 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 |a|={a (a ≥0)−a(a <0)二是根据绝对值的性质： |x|<a −a <x <a,|x|ax >a 或x<-a, 因此本题有如下两种解法。

高考数学23题不等式多种题型及解法

高考数学23题不等式多种题型及解法

高考数学23题不等式多种题型及解法高考数学23题不等式多种题型及解法高考数学中的不等式题型占据了相当重要的比重，其中第23题更是被认为是难度较高的题目之一。

不同的不等式类型呈现多种解法，本文将以该题为例，分别探讨不同类型不等式的解法。

1. 绝对值不等式第23题题干如下：若$x+y+z=1$，那么$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$最大值为多少？解法：显然这是一个求最值的问题，用$M\leq\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b})}$来解决本题。

2. 平均数不等式第23题变形如下：设$a,b,c$是正数，且满足$abc=(1-a)(1-b)(1-c)$，求最大值：$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$解法：根据平均数不等式，得到：$$9(a+b+c)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$$即：$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq 3\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}$$ 3. 夹逼定理第23题变形如下：对所有的正整数$n$，证明如下不等式成立：$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}+\sqrt{n}$$解法：通过夹逼定理，得到：$$2n\sqrt{n}<2\sum_{i=1}^{n}\sqrt{i}<2n\sqrt{n+1}$$ 即：$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}+\sqrt{n}$$4. 柯西不等式第23题变形如下：对于任意正整数$n$，证明如下不等式成立：$$\sqrt{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}}<\frac{2}{\sqrt{n+ 1}}$$解法：通过柯西不等式，得到：$$\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\right)(n+1+n+2+...+ 2n)\geq (\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+...+\sqrt{2n})^2$$即：$$\sqrt{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}}\geq\frac{2}{\sqrt{n+1}}$$结语：高考数学中的不等式题型固然需要掌握多种解法，但更需要在平时的学习中悉心积累、勤于实践。

高中数学中所有不等式解法汇总每题均含详细解析

高中数学中所有不等式解法汇总每题均含详细解析

高中数学中所有不等式解法汇总每题均含详细解析本文介绍了解简单不等式的几种方法，包括解二元一次不等式组、一元二次不等式、含绝对值的简单不等式、分式不等式和简单高次不等式。

其中，第一部分介绍了分数不等式的性质，包括两种情况下的大小关系。

第二部分介绍了“三个二次”的关系，即二次函数图象、一元二次方程的根和不等式的解集之间的关系。

第三部分介绍了解一元二次方程的三种方法，包括求根公式、因式分解法和配方法。

最后一部分介绍了解一元二次不等式的方法，包括统一处理二次项系数为正数，以及(x －a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法。

由y=x^2-3x-10的开口向上，可得x^2-3x-10>0的解集为(-∞,-2)∪(5,+∞)。

设集合M={x|x^2-3x-4<0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N等于[0,4)。

解析：因为M={x|x^2-3x-4<0}={x|-1<x<4}，所以M∩N=[0,4)。

已知不等式ax^2-bx-1≥0的解集是(3/2,3]，则不等式x^2-bx-a0，且Δ=b^2-4ac0，b<0，且0<b<3.综合可得x^2-bx-a<0的解集是(0,3)。

若关于x的不等式m(x-1)>x^2-x的解集为{x|1x^2-x的解集为{x|1<x<2}，所以1和2一定是m(x-1)=x^2-x的解，因此m=2.若一元二次不等式2kx^2+kx-8<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(-3,0]。

解析：因为2kx^2+kx-8<0对一切实数x都成立，所以2k<0，解得k∈(-∞,0)，又因为Δ=k^2-4×2k×(-8)<0，解得k∈(-3,0]。

设a为常数，∀x∈R，ax^2+ax+1>0，则a的取值范围是(0,4)。

解析：对于任意实数x，ax^2+ax+1>0，即Δ=a^2-4a<0，解得0<a<4.若不等式x^2-2x+5≥a^2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)。