基于小波的信号去噪分析

2010年第09期，第43卷 通 信 技 术 Vol.43，No.09,2010 总第225期 Communications Technology No.225,Totally ·信源处理·基于小波的信号去噪分析李 冠a， 吴尽昭a， 范明钰b（电子科技大学 a. 光电信息学院；b.计算机科学与工程学院，四川 成都 610054）【摘 要】由实际应用可得，作为一种新的多辨认分析方法的小波变换，由于具有多分辨特征和时频局部性,可同时进行频域和时域分析，所以特别适用于进行非平稳信号的处理。

首先介绍了小波分析的信号去噪原理，其次接着阐述了4种去噪算法：小波分解与重构去噪方法、模极大值检测法、阈值法及平移不变量小波去噪法。

对于叠加了高斯白噪声的仿真信号，分别将上述的4种方法用于去噪处理,并通过仿真过程不同及图形差异对几种方法进行比较。

【关键词】小波变换; 非平稳信号; 信号去噪; 高斯白噪声; 仿真信号【中图分类号】TP802+.6【文献标识码】A【文章编号】1002-0802(2010)09-0079-03 Signal De-noising Analysis based on WaveletLI Guan a， WU Jin Zhao a， FAN Ming-yu b（a. Department of Optical Electronic；b.Department of Computer Science and Engineering, University ofElectronic Science and Technology of China, Chengdu Sichuan 610054, China）【Abstract】From an engineering viewpoint, wavelet transform as a new multi -resolution analysis method, for its time-frequency localization and multi-resolution characteristics, and its time-domain and frequency domain analysis in the meantime, is particularly suitable to handling the non-stationary signals. This paper first describes the signal de-noising based on wavelet analysis theory, and then the four de-noising algorithms including the wavelet decomposition and reconstruction, the modulus maxima detection, the threshold value and translation invariant wavelet de-noising. For the simulated signal with the superposition of Gaussian white noise, these methods are respectively used to remove the Gaussian white noise from the simulated signal. And based on the difference of the simulation process and graph, these algorithms are compared and discussed.【Key words】wavelet transform; non-stationary signal; signal de-noising; gaussian white noise; simulated signal0 引言在现实应用中，通过具体实验得到的最初信号总会夹杂着一定的噪声，而干扰了信号的本质特征往往是这些噪声的存在，对进一步的分析和信号处理及其不利。

自本世纪初，由于小波变换的自身特性及噪声和有用信号的频率分布特点，所以利用小波方法消噪在去噪领域已越来越被广泛运用[1]。

1 小波去噪方法分析纵观多种小波去噪方法,小波分解与重构去噪法[2]、模极大值检测法、阈值法、平移不变量小波去噪法这四种算法被经常运用的。

比较这四种算法，阈值去噪法[3]又是最被常 用的。

1.1 小波分解与重构法去噪法文献[4]提出了多分辨分析的思想，并给出了小波分解与重构的快速算法,即Mallet算法。

由这种算法可得,如果信号()f t的离散采样数据是kf,kf=0,kc,则信号()f t的小波正交分解公式为：,1,2,1,2,,j k j n n knj k j n n knc c hd d g−−−−⎧=⎪⎨=⎪⎩∑∑k=0,1,2,…,N-1，在式中，,j kd为小波系数；,j kc为尺度系数；h、g为一对正交镜像滤波器组(QMF)；j为分层数目；N为离散采样点的数目。

收稿日期：2010-01-28。

基金项目：国家863重点项目 (批准号：2009AA01Z403)；国家863重点项目（批准号：2009AA01Z435）。

作者简介：李 冠（1982-），男，硕士研究生，主要研究方向为信息安全；吴尽昭（1965-），男，博士生导师，主要研究方向为计算机软件与理论；范明钰（1962-），女，教授，博士生导师，主要研究方向为信息安全、网络安全、密码学。

分解过程的逆运算为小波的重构过程,与其对应的重构公式是：1,,2,2j n j n k n j n k n nnc c hd g −−−=+∑∑。

在不同尺度下，小波由于其多分辨分析特性[5]可以将信号进行多分辨率的分解，并将原始信号（含各种不同频率）分解开来，形成不同频段的子信号，因此小波分解与重构算法对信号具有按频带处理的能力。

小波分解与重构的方法去噪详细过程是：首先将在不同的频带内让某一尺度下的含噪声信号分解,然后直接提取有用信号所在的频带（或将噪声所处的频带置零）进行小波重构来去噪。

1.2 模极大值检测法模极大值检测法参考文献[6]。

随着尺度的增加，小波变换的模极大值点密度却逐步在递减，这在通俗的白噪声思想上就可以得到。

作为线性变换的小波变换，如果对一个含噪信号进行小波变换去噪时，小波变换可由所含噪声的小波变换与真实信号的小波变换线性叠加而成。

由噪声与真实信号在不同频段上的模极大值的不同变化特性可得，当随着小波变换尺度的递增，对于白噪声来说，其极大值点的多小会明显递减，而且极大值的大小也会降低;但是对于没有噪声的原始信号，当小波变换尺度的递增，它的模极大值也会跟着增价。

由此可得，首先，通过对不同准则间小波变换模极大值的变化规律的观察，剔除那些幅度随尺度的递增而减小的极值点，保留那些幅度随尺度的递增而增大的极值点，其次，用剩下来的极值点作为准绳来重新建立信号，这就是模极大值检测法信号去噪的理论。

1.3 阈值法阈值法[7-10]被称为“小波收缩”的非线性小波变换阈值法,其方法为：若一个有限长信号，且含有高斯白噪声，其表达式如下： i i i y x z σ=+,i = 0,1,…,n -1，在式中, σ是噪声级,i z 是一个标准的高斯白噪声。

如果要从含噪信号i y 中还原出原始信号i x ,则它的去噪方法由以下3个步骤组成：①通过对含有噪声的信号i y 的正交小波变换的计算，先选择适合正交分解的小波及分解层数k ,将含有噪声信号i y 进行小波分解最终至k 层,从而得到与之相应的小波分解系数；②阈值处理。

对分解得到的小波系数通过硬阈值法或软阈值法进行阈值处理, 阈值处理方法如下：,||, (,)0,||,h Y Y t X T Y t Y t ∧⎧==⎨<⎩≥sgn()(||),||,(,)0,||,h Y Y t Y t x T Y t Y t ∧−⎧==⎨<⎩≥其中，X ∧为硬阈值法；x ∧为软阈值法；③对小波进行逆变换。

重构阈值处理过的小波系数,从而得到原始信号估计值X 或x 。

在任何正交基上的变换的白噪声仍然是白噪声,而且具有一样的幅值，而小波变换能够将信号的能量向在少数比较突出的小波系数上靠拢。

相比较来说, 那些能量较分散且幅值也较小的噪声的小波系数值必然小于真实信号的小波系数值。

通过挑选一个相对匹配的阈值,对小波系数进行阈值处理并重构,得到的信号即为去噪后的信号。

原始信号的近似最优估计也可通过此方法得到。

1.4 平移不变量小波去噪法在阈值法基础上进行改进，即为平移不变量算法[11]。

虽然在某些领域阈值法能可以达到比较好的去噪目的,但是在某些条件下阈值算法并不是很合适,比如在信号的离散领域或者不连续邻域,阈值算法的去噪效果会得出让人眼感觉很不自然的形态,像伪吉布斯现象等,即不连续点周围的信号能量会在一定尺度的范围上来回波动[12]。

则运用平移不变量算法可有效地避免这种现象的发生。

方法为：首先让含有噪声的原始信号进行多次循环平移（比如进行n 次）,其次运用阈值算法对平移后的信号进行去噪处理,然后再平均去噪的信号,此称为“平移-去噪-平均”的平移不变量算法的原理。

一个含噪信号l x (0)l n ≤≤，n H ={:0}h h n <≤,在时域中用h S 指对含噪信号l x 进行h 平移（h 是正整数）；T 指的是对含噪信号运用阈值算法进行去噪处理, Ave 指“平均”,h S −=1()h S −；因此，n 次循环平移的平移不变量小波去噪算法表达式如下：(,())((()))n h h h H h H h h T x S Ave S T S x ∈∈−=。

在抑制伪吉布斯现象方面, 平移不变量小波去噪算法表现出比阈值法更好的去噪效果。

2 小波去噪实验仿真及比较选取了Matlab 软件中图形连续分布的sin 信号和不连续分布的积木信号作为原始信号，用上述四种算法对两种分别叠加了高斯白噪声的原始信号进行去噪，通过仿真过程不同及图形差异很清楚地比较出这四种算法的去噪效果。

去噪仿真结果分别如图1和图2所示（横坐标为采样点数，纵坐标为幅值）。

由图1连续信号得出，根据白噪声是均匀分布于所有的小波系数上，这四种算法去噪效果相比较，小波分解与重构去噪法效果不尽人意，无法消掉与信号频带互相叠加的的白噪声。

而其他三种算法在连续信号消噪中，白噪声基本被剔除，生成的波形也比较接近原始信号。