小波分析浅析
—— 李继刚
众所周知，以π2为周期的复杂的波都可以用以π2为周期的函数)(t f （模拟信号）来描述，它可以由形如)sin(n n nt A θ+的若干谐波叠加而成，因此，完全有理由认为)(t f 有如下的表现形式：
∑
∑
∑
∞
=∞
=∞
=+=
+=
+=
)
sin cos ()cos sin cos sin ()sin()(n n n n n n n n n n n nt b nt a nt A nt A nt A t f θθθ
为了确定上式中的系数n n b a ,，可以利用Fourier 变换，可以得到函数)(t f 的Fourier 级数，即
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨⎧
====++=⎰⎰∑--+∞
=π
πππππ.,2,1,sin )(1,,1,0,cos )(1),sin cos (2)(1
0 n ntdt t f b n ntdt t f a nt b nt a a t f n n n n n 如果函数以T 为周期，则通过对t 作T
w x T
t ππ2,2=
∆=变换，可以得到函数的Fourier
级数，即
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨⎧=∆==∆=∆+∆+=⎰⎰∑--+∞
=π
πππ
.,2,1,sin )(2,,1,0,cos )(2),sin cos (2)(1
0 n wtdt n t f T b n wtdt n t f T a wt n b wt n a a t f n n n n n 从时域角度来理解Fourier 级数，将}sin ,{cos wt n wt n ∆∆看作是具有频率w n ∆的谐波，则时域表现的函数)(t f 可分解为无穷个谐波之和。
从频域角度来理解Fourier 级数，因为)(t f 的频域范围是[)+∞∈,0w ，所以，可将w 轴用间距w ∆作离散分化，离散点w n ∆处对应着频率为w n ∆的谐波}sin ,{cos wt n wt n ∆∆，这样就可将时域函数)(t f 与谐波组成1-1对应关系，即
+∞∆∆↔0}sin ,cos {)(wt n b wt n a t f n n
Fourier 分析在信号分析处理时，将复杂的时域信号转换到频域中，时域信号和频域信号组成Fourier 变换对，人们既可以在时域中分析信号，也可以在频域中细致的作出特殊分析。
Fourier 变换是定义在R 上的，但人们在分析信号时，常常需要对信号先作时域局部化处理，再作频域分析，有时也需要对信号作频域局部化处理，通过改变频域信息，得到需要的时域信号，所以，作信号处理时，往往需要作时-频局部化处理。基于此种要求，提出了窗口Fourier 变换（WFT ），WFT 的数学形式为
⎰
-=
R
dt b t w t f b w Gf )()(),)((
其中，)(t w 为时窗函数。在此种思想的基础上，提出了时窗、频窗、时-频窗这三种对信号进行局部化处理的方法，但WFT 在时-频分析中，不能根据高低频信号的特点，自适应的调整时-频窗，在时-频局部化的精细方面和灵活方面表现也欠佳，而小波分析就能很好的克服这些缺点。
一般地，把对信号)(t f 的积分变换
dt t t f b a W R
ab
f ⎰
=
)()(),(ψ
称为小波变换，其中)()(2
1b at a
t ab
-=ψψ
，是由)(t ψ经平移和放缩的结果。
小波变换作为一种积分变换，只有当它能作回复变换时，才是有意义的。通过推导（可以参见《实用小波分析》第三章），可以得到回复公式
)(1]
)(),([t f C da a
db t b a W ab
R
R
f ψψ
=⎰
⎰
其中dw w
w C R
⎰
=
2
|
)(ˆ|ψψ
在小波变换定义中，小波函数)(t ab
ψ
是窗函数，它的时-频窗表现了小波变换的时-频局
部化能力。记*t 为时窗中心，t ∆为时窗半径，*w 为频窗中心，w ∆为频窗半径，则关于窗函数)(t ab
ψ
，有
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧-=∆=-=∆=⎰⎰
⎰⎰****2
12202
202
12202
20
}
|)(|)({)(ˆ1,|)(ˆ|)(ˆ1,}|)(|)({)(1,|)(|)(1dw w w w t dw w w t w dt t t t t dt t t t t ab R
ab w R ab ab ab R
ab t R
ab ab ψψψψψψψψ
从小波函数)(t ab
ψ
的参数选择方面观察，当a 较大时，频窗中心*
ψˆaw 自动地调整到较
高频率中心的位置，且时-频窗形状自动地变为“廋窄”状；因为高频信息在很短的时域范围内的幅值变化很大，频率含量高，所以这种“廋窄”时-频窗正符合高频信息的局部时-频特性。同样，当a 较小时，频窗中心*
ψˆaw 自动地调整到较低位置，且时-频窗的形状自动地变为“扁平”；因为低频信号在较宽的时域范围内仅有较低的频率含量，所以这种“扁平”状的时-频窗正符合低频信号的局部时-频特性。
可以这样理解小波变换的含义：打个比喻，我们用镜头观察目标信号)(t f ，)(t ψ代表镜头所起的作用，b 相当于使镜头相对于目标平移运动，a 的作用相当于使镜头向目标推进或远离。由此可见，小波变换有以下特点：
1）多尺度/多分辨的特点，可以由粗到细地处理信号；
2）可以看成用基本频率特性为)(w ψ的带通滤波器在不同尺度a 下对信号作滤波。 3）适当地选择小波，使)(t ψ在时域上为有限支撑，)(w ψ在频域上也比较集中，就可以是WT 在时-频域都具有表现信号局部特征的能力。
小波变换是克服其他信号处理技术缺陷的一种分析信号的方法。小波由一族小波基函 构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。采用小波分析最大优 是可对信号进行实施局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。小波分析具有发现 他信号分析方法所不能识别的、隐藏于数据之中的表现结构特性的信息，而这些特性对机 故障和材料的损伤等识别是尤为重要的。如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常用的小波函数有 Haar 、 Daubechies(dbN)、 Morlet 、 Meryer 、Symlet 、Coiflet 、Biorthogonal 小波等15种。但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。小波变换后的系数比较大，就表明了小波和信号的波形相似程度较大；反之则比较小。 另外还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。如果小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较大的尺度；反映信号细节的变换则选用尺度不大的小波。由于小波函数家族成员较多，进行小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。
在小波分析中，应用最广泛的无疑是信号处理和图像处理，而在这两个领域中，就是信号（图像）的降噪和压缩。下面我们看一个利用小波进行降噪的实例： load noissin ; %读入白噪声
s=noissin(1:1000);%取信号的前1000个采样点
[c,l]=wavedec(s,3,'db4');%对信号做层数为3的多尺度分解
[cd1,cd2,cd3]=detcoef(c,l,[1,2,3]);%得到三个尺度的细节系数 ca3=appcoef(c,l,'db4',3);%得到尺度3的近似系数 figure(1);
subplot(511);plot(1:1000,s);title('s');
subplot(512);plot(1:l(1),ca3);title('ca3'); subplot(513);plot(1:l(2),cd3);title('cd3'); subplot(514);plot(1:l(3),cd2);title('cd2'); subplot(515);plot(1:l(4),cd1);title('cd1');
%将原始信号和分解后得到的一组近似系数和3组细节系数的波形显示出来
处理结果如下图所示。从图中可以看出，分解后的信号是平铺在数组c 中的，每段信
