数学物理方程举例和基本概念50页PPT

解的存在性：是研究在一定的定解条件下，方程是否有解。
从物理意义上来看，对于合理的提出问题，解的存在似乎 不成问题，因为自然现象本身给出了问题的答案。 在数学上对解的存在性进行证明的必要性 从自然现象归结出偏微分方程时，总要经过一些近似的过 程，并提出一些附加的要求。 对于比较复杂的自然现象，有时也很难断定所给的定解条 件是否过多，或者互相矛盾。
(1) (2)
u方向
由于是微小的横振动，所以
cos 2 cos1 1
sin 2 tan2 ux xdx
sin 1 tan1 ux
x
u
1
T1 o x
2 T 2
x+dx
x
那么，有(1)可知张力T只与位置有关，且
1 T ( x) xdx 2 (l 2 x 2 ) x 2
不含初始条件，只含边界条件条件
注意：初始条件必须写完整，也就是要把整个体系所有点的初始态都写出来。
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量 在边界上的数值，即
三 类 边 界 条 件
u S f (t )
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边 界外法线方向上方向导数的数值，即
如果定解问题的解是稳定的，那么就可断言，只要定 解条件的误差在一定的限制之间，我们所得的解就必然 近似于所需要的解。
2、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
Lui fi
f
i
f
u u
i
Lu f
i
u
Lu 0
Lui 0
u
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。(物理上)

原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小结
x
k
(待定系数法)
(1) f ( x ) e Pm ( x ), (可以是复数）
y x e Qm ( x );
x
( 2) f ( x ) e x [ Pl ( x ) cosx Pn ( x ) sinx ],
r1 j ,
x
r2 j ,
x
y1 e cos x, y2 e sin x,
方程的通解为
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
y py qy 0
特征根的情况
r pr q 0
通解的表达式
2
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
可设 Q( x ) Qn ( x ),
y* Qn ( x )e x ;
( 2) 若是特征方程的单根，
p q 0,
2
2 p 0,
y* xQn ( x )e x ;
可设 Q( x ) xQn ( x ),
( 3) 若是特征方程的重根，
p q 0,
2.
x y py qy Pn ( x )e
设非齐方程特解为 y* Q( x )e x
代入原方程
Q( x ) (2 p)Q( x ) ( 2 p q )Q( x ) Pn ( x )
2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0,
1 A 2 , 代入方程, 得 2 Ax B 2 A x B 1 1 2x

u |x0 0, 或： u(a,t) 0 (2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u
TY
0
x xa
u 0 x xa
ux (a,t) 0
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
STY
u x
xa

k u
xa
或

u x
解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。
在研究物理现象时，对定解条件是通过测量得到的， 而测量不免有误差。
如果定解条件的细小误差便导致了解的极大变化，那 么所考察的定解问题，实际上就不能正确的反映所想要 确定的物理现象。这样，在数学上就不能保证所获得的 解是实际所需要的解的近似。
1、定义 (续)
定义3: 设任意函数f(x)在x = 0点连续, 则

d (x)f (x)dx f (0) -
f(x)称为检验函数.
d -函数的图示:
d (x)
1 x
0
d (x,y)
y
1
x
0
四、 d -函数
则 lim n
fn
( x)

d
( x)
单位电量点电荷的电荷密度, 单位光通量点光源的发光度,
fn(x)可以是Nrect(Nx), Nsinc(Nx), NGaus(Nx),
单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率 二维圆域函数等等.
等等.
物理系统已无法分
辨更窄的函数
§1-2 脉冲函数 d -Function
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件
注意：初始条件必须写完整，也就是要把整个体系所有点的初始态都写出来。

三、方程的化简
步骤：第一步：写出判别式 断方程的类型；
a122 a11a22 ，根据判别式判
第二步：根据方程（1）写如下方程
a11 ( dy 2 dy ) 2a12 a22 0 dx dx (2)
称为方程（1）的特征方
程。方程（2）可分解为两个一次方程
dy a12 dx a11 (3)
第二节一维齐次波动方程的cauchy问题
一、D’Alembert公式 考虑无界弦的自由振动（cauchy问题即初值问题）
utt a 2u xx , x , t 0, u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
解:(1)化标准形，然后求通解
数学物理方程
第一章方程的一般概念
第一节方程的基本概念
Hale Waihona Puke 定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为
偏微分方程。 一般形式：
F ( x1 , x2 ,, xn , u, ux , ux ,, uxn , ux x , ) 0
1 2 1 1
其中u 为多元未知函数，F是 x1 , x2 ,, xn , u u的有限个偏导数的已知函数。
波动方程
热传导方程
utt a2uxx f ( x, t )
ut a uxx f ( x, t )
2
位势方程
f ( x, y ) 0, Laplace方程 u xx u yy f ( x, y ) f ( x, y ) 0, Poisson方程
第二节二阶线性偏微分方程的分类
2 x at c1 x at dx 2 a 0 x at c x at dt 2

数学物理问题的研究繁荣起来是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的 解决做出了贡献。如：Fourier（ 1811年） ，在研究热的传播中，提出了三维 空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。Cauchy 给出了第一个关于解的存在定理，开创了PDE的现代理论。到19世纪末，二阶 线性PDE的一般理论已基本建立，PDE这门学科开始形成。
非齐次
3
2u t 2
a2
2u x 2;2阶 线性源自齐次42u t 2
a2
4u x4
f
x,t;
4阶
线性
非齐次
7 8
u
x
u
v y v
0 ;
0
1阶 线性 齐次
y x
t u
u u
x u
c2
u x
0 0
;
t x x
1阶 非线性 拟线性
5
1
u y
2
2u x2
2
u x
u y
解的稳定性： 当定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变 动， 则称该定解问题的解是稳定的，否则称之为不稳定的。
如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件中的初始数据 或边界数据，则称该定解问题是适定的，否则称它是不适定的.
注：对不适定问题的研究也是非常有意义的！
例如：在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题中. 例如： 对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始
流热量Q2与物体内部的源所产生的热量Q3之和，即
Q1 Q2 Q3 .
⑹ 费克Fick定律：粒子流强度q与浓度的下降率成正比，即q ku
扩散定律 其中，k为扩散系数，负号表示浓度减少的方向。

由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
ppt课件
于是有
T2 =T1=T ρuttdx=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]
化简后得到
ρutt = T uxx utt = a2 uxx
uxxdx
a2 = T/ρ
6
波动方程
推广1
情况：受迫振动（考虑重力或外力）
分析：设单位长度所受到的横向外力 F(x,t)，则dx段的受力为Fdx
方程：ρutt = T问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的 变化。 分析：扩散现象遵循扩散定律，即q= - D▽ u，q是扩散流强 度，D是扩散系数，▽u是浓度梯度。对于三维扩散问题， 考察单位时间内小体积元dxdydz的净流入量。
z
dz
y
dy
dx
x
o
ppt课件
9
扩散方程
在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为
分析：设弦平衡时沿x轴，考虑 弦上从x到x+dx的一段，其质 量为ρdx。设弦的横振动位移 为u(x,t)，则
α1
B
A
α2
C
ppt课件
由牛顿第二定律
ρdxutt=T2sinα2- T1sinα1 0 = T2 cosα2- T1 cosα1
微振动条件
cosα1 = cosα2= 1 sinα1 = tanα1 = ux(x,t) sinα2= tanα2 = ux(x+dx,t)

学
定解问题的完整提法：
建 模
在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在及其
给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。
基 本
原
定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的
理 介
特殊性，即个性。
绍
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。
西安交通大学理学院它反映了问题的共性。
T （ u xx d x u xx ） f 0 (x ,t) d x (d x ) u tt
数 学 物 理 方 程
T u xx d d x x u xx f0 (x ,t) T u x x f0 (x ,t)u tt
令 a2 T /
f(x,t)f0(x,t)/
学
建
模
及
其
基
本
原
理
介
绍
8
西安交通大学理学院
设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近
产生振幅极小的横振动
数
第
学 物 理 方
u(x,t): 坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移
一 章
程
求：细弦上各点的振动规律
数 学
建
以弦线所处的平衡位置为x轴，垂直于弦线且通过弦
模 及
线的一个端点的直线为u轴建立坐标系。
u(x)
F
u+u
如考虑弦的重量： T2 2 沿x-方向，不出现平移
u
数
1
B
学
物 理
T1
gdx
0 方
程
x
x+x
T 2co s2 T 1co s10 （1第）

学习建议
熟练掌握方程的基本 概念和解法，是解决 复杂数学问题的关键 。
注意理解方程的几何 意义，将代数与几何 结合起来，加深对数 学的理解。
通过大量的练习和实 践，提高解决实际问 题的能力。
习题答案与解析
习题一答案：x = 2 解析：将方程中的常数项移至等号的
右边，得到 x = 2。 习题二答案：x = -3
04
多元一次方程组
多元一次方程组的定义
总结词
详细描述多元一次方程组的定义，包 括其数学表达形式和基本概念。
详细描述
多元一次方程组是由多个一次方程组 成的方程组，每个一次方程包含多个 未知数。这些未知数和方程中的其他 元素都是实数。
多元一次方程组的解法
总结词
介绍多元一次方程组的解法，包括消元法、 代入法、矩阵法等。
详细描述
解多元一次方程组的方法有多种，其中最常 用的是消元法和代入法。消元法是通过加减 消元或代入消元的方式，将多元一次方程组 转化为一元一次方程来求解。代入法则是通 过逐个求解每个未知数，再将其代入其他方 程中求解。此外，矩阵法也是求解多元一次 方程组的一种方法，通过矩阵的运算来求解
。
多元一次方程组的应用
方程教学 PPT 课件
目 录
• 方程的基本概念 • 一元一次方程 • 二元一次方程组 • 多元一次方程组 • 总结与回顾
01
方程的基本概念
方程的定义
总结词
方程是数学中表示数量关系的一 种基本工具。
详细描述
方程是数学中表示数量关系的一 种基本工具，它通过等号将等号 两边的数学表达式联系起来，表 示等号两边的数学量相等。
二元一次方程组的应用
总结词
二元一次方程组在日常生活和科学研究中有着广泛的应 用。

X n (x)
Bn
sin
n
10
x
Tn 100n2 2Tn 0 Tn Cn cos10nt Dn sin10nt
(4)求通解
un X nTn
(C ncos10nt
Dn
sin10nt) sin
n
10
x
u
un
n 1
(C n
n 1
cos10nt
Dn
sin10nt) sin
n
10
x
(5)确定常量
X 0
2） 0 X (x) Ax B
AB0
X 0
3） 0 令 2 ， 为非零实数 X (x) Acos x B sin x
（8）
A0
B sin l 0
n (n 1, 2,3, )
l
n2
l2
2
n
n2
l2
2
(n 1, 2,3, )
XXnn( x)
sinBnnslin
xn
l
x
u( x, t ) t
t0
Dn
n1
n a sin
l
n
l
x
(x)
l sin2 n xdx
l
1 cos 2n
/l
dx
l
0
l
0
2
2
l n
sin
0
l
x sin m
l
xdx 1 2
l 0
cos
n
l
m
x
cos
n
l
m
x
dx
0
l(x)sin m
0
l
xdx
l 0