桂林电子科技大学811数学分析2018年考研初试真题

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2018年硕士研究生统一入学考试试题
科目代码:811科目名称: 数学分析
注意：答案必须全部写在答题纸上，写在试题上无效；答案要标注题号，答题纸要填写姓名和考号，并标注页码与总页数；交卷时，将答题纸与试题一起装入试卷袋，密封签字。

一．（本题15分）设，，（）. 证明数列 x 1=1x n +1=1+x n 1+x n n =1, 2 ,⋯{x n }收敛，并求极限lim n→∞x n .二．（本题15分）设 是可微函数，且满足，求 f (x ) f (x )+2f (1x )=3x f'(x ).三．（本题15分） 设 在 上可导，且 . f (x ) [0, 1]f (0)=0, f (1)=1, f '+(0)=1证明：存在，使得
. η∈(0,1)f'(η)=f (η)η四．（本题20分） 已知 是连续可导函数，且，设函数f (x ) f (0)=0, f'(0)=1，求 .F (x )=x ∫0t
n ‒1f (x n ‒t n )dt
lim x→0F (x )x 2n 五．（本题15分）计算积分 ，其中为常数.
+∞
∫2dx x (lnx)k k 六．（本题15分）设 在点
f (x ,y )=kx 2+2kxy +y 2 (0, 0)处取得极小值，求的取值范围.
k 七．（每小题10分，共20分）计算下列积分：
1. 计算三重积分 ，其中 是由曲面 与平面和 ∭V xyz 2dV V z =xy y =x, x =1 所围成的空间闭区域 .
z =0 2. 计算曲面积分
，其中是上半球面
∬S xdydz +ydzdx +zdxdy S z =a 2‒x 2‒y 2的上侧 . 八．（本题15分）判别数项级数 的收敛性.
+∞∑n =11n ∫0
sinx 1+x dx 九．（本题20分）证明函数项级数 在 上一致收敛.
+∞∑n =1(1n ‒1n +x ) [0, 100]若记，求 . S (x )=+∞∑n =1(1n ‒1n +x )
lim x→1S(x)。