师大附中— 度高一上学期期中考试试题〔数学〕本试卷分第一卷、第二卷．本试卷共4页．第一卷和第二卷总分值150分，考试时间120分钟．考前须知：将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题：本大题有10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1、全集{1,2,3,4,5}U =，{3,4,5}A =,{1,3}B =，那么()U A C B ⋂等于A.{4,5}B.{2,4,5}C.{1}D.{3} 2、以下函数与函数||y x =为相等函数的是A．2y = B．y C ．{,(0),(0)x x y x x >=-< D ．log a xy a=3、集合{1,2}A =,{3,4}B =，那么从A 到B 的映射共有A.1个B.2个C.3个D.4个 4、函数()log (43)a f x x =-过定点A.〔1，0〕B.〔3,04〕C.〔1，1〕D.〔3,14〕5、设全集U 是实数集R ，{|2}M x x =>，{|13}N x x =<<，那么图中阴影局部所表示的集合是 A ．{|23}x x << B ．{|3}x x < C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x ≤6、幂函数()y f x =的图像经过点(4,2)，那么(9)f 的值为A. 3B. 3±C. 81D.81± 7、以下大小关系正确的选项是A. 30.440.43log 0.3＜＜B. 30.440.4log 0.33＜＜ C. 30.44log 0.30.43＜＜ D. 0.434log 0.330.4＜＜8、函数)(log 3)(2x x f x--=的零点所在区间是A.)2,25(--B.)1,2(--C.〔1,2〕D.25,2(9、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，假设当(0,)x ∈+∞时，()ln f x x =，那么满足()0f x <的x 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(0,1)C ．(,1)-∞D ．(,1)(0,1)-∞-⋃h 和时间t 之间的关系，其中正确的有B.2个二、填空题：本大题有3小题，每题4分，共12分，把答案填在答卷的相应位置.11、函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域是 *** ；12、．计算：52log 232851ln log 16e ⨯+= *** ；13、设函数22 1 (0)()+1 (02)3 1 (2)x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，假设()3f x =，那么x = *** .三、解答题：本大题有3题，共38分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14、〔本小题总分值12分〕设2{|560}A x x x =-+=，}01|{=-=ax x B . 〔I 〕假设13a =，试判定集合A 与B 的关系；〔II 〕假设A B ⊆，求实数a 的取值组成的集合C .15、〔本小题总分值12分〕函数112)(++=x x x f .〔I 〕用定义证明函数在区间[)+∞,1是增函数； 〔II 〕求该函数在区间[]2,4上的最大值与最小值.16、〔本小题14分〕()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．〔I 〕求(0)f ，(1)f ； 〔II 〕求函数()f x 的解析式；〔Ⅲ〕假设(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围．第II 卷 共50分一、填空题：本大题有2小题，每题4分，共8分，把答案填在答卷的相应位置.17、如果函数()22f x x ax =-+在区间11[,]24-上是单调函数，那么实数a 的取值范围是 *** ; 18、设函数22)(k x x x f --=，以下判断：①存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有一个零点； ②存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有两个零点； ③存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有三个零点； ④存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有四个零点．其中正确的选项是 *** 〔填相应的序号〕．二、选择题：本大题有2小题，每题4分，共8分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.||()xx a f x =(01)a <<A ．B ．C ．D ． 20、假设函数()log (1)a f x ax =+在区间(3,2)--上单调递减，那么实数a 的取值范围是A ．1(0,)3 B ．1(0,]3 C ．1(0,]2 D ．(0,1)三、解答题：本大题有3题，共34分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.21、(本小题总分值10分)函数1()4226x x f x +=-⋅-，其中[0,3]x ∈. 〔I 〕求函数()f x 的最大值和最小值；〔II 〕假设实数a 满足：()0f x a -≥恒成立，求a 的取值范围.22、(本小题总分值12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的本钱为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．〔I 〕设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P=f 〔x 〕的表达式； 〔II 〕当销售商一次订购多少件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是多少元？ 〔服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-本钱〕 23、〔本小题总分值12分〕设二次函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2满足以下条件：①当R x ∈时，)(x f 的最小值为0，且图像关于直线1-=x 对称；②当()5,0∈x 时，()112+-≤≤x x f x 恒成立．〔I 〕求()1f 的值； 〔II 〕求()x f 的解析式；〔Ⅲ〕假设()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤，求实数m 的取值范围.附加题：本大题有2小题，每题5分，共10分，把答案填在答卷的相应位置. 说明：得分计入总分，超过150分， 总分计为150分.1、设函数()f x x x a =-，假设对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式)()(2121>--x x x f x f恒成立，那么实数a 的取值范围是 *** . 2、函数)(x f y =定义域为D ，假设满足:①()f x 在D 内是单调函数； ②存在[]D n m ⊆,使()f x 在[]n m ,上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2n m ，那么就称)(x f y =为“减半函数〞.假设函数)0,1,0)((log )(≥≠>+=t a a t a x f xa 是“减半函数〞，那么t 的取值范围为 *** .参考答案 第I 卷11、()()1,22,⋃+∞ 12、83-13三、解答题: 14、〔本小题总分值12分〕 解：A ＝{2,3}〔I 〕假设13a =,那么B={3}，∴B ⊆A〔II 〕∵B ⊆A ， ∴B =Φ或{2}B =或{3}B =∴0a =或12a =或13a = ∴11{0,,}32C =15、〔本小题总分值12分〕〔I 〕证明：任取[)+∞∈,1,21x x ，且12x x <，112112)()(221121++-++=-x x x x x f x f )1)(1()(2121++-=x x x x∵120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <,∴函数()f x 在[)+∞,1上是增函数.〔II 〕由〔I 〕知函数()f x 在[]2,4上是增函数.∴max 2419[()](4)415f x f ⨯+===+, min[()]f x =2215(2)213f ⨯+==+. 16、〔本小题总分值14分〕 解：〔I 〕()00f = (1)(1)1f f =-=-〔II 〕令0x >，那么0x -<12()log (1)()f x x f x -=+=∴0x >时，12()log (1)f x x =+∴1212log (1),(0)()log (1),(0)x x f x x x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩〔Ⅲ〕∵12()log (1)f x x =-+在(,0]-∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为减函数 ∵(1)1(1)f a f -<-= ∴11a -> ∴2a >或0a <第II 卷 共50分 一、填空题：17、(,2][1,)-∞-⋃+∞ 18、 ②③. 二、选择题：三、解答题：19 20 DB21、(本小题总分值10分) 解：〔I 〕 2()(2)426(03)x x f x x =-⋅-≤≤令2xt =，03x ≤≤，18t ∴≤≤∴22()46(2)10h t t t t =--=--〔18t ≤≤〕∴当[1,2]t ∈时，()h t 是减函数；当(2,8]t ∈时，()h t 是增函数；min ()(2)10f x h ∴==-，max ()(8)26f x h ==〔II 〕()0f x a -≥恒成立，即()a f x ≤恒成立，∴min ()10a f x ≤=-∴a 的取值范围为(,10]-∞- 22、(本小题总分值12分) 解：〔I 〕当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，600.02(100)6250xP x =--=-∴**60,0100,62,100500,50x x N P x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩〔II 〕设销售商的一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，那么*2*(40)20,0100,22,100500,50P x x x x N L x x x x N ⎧-=<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩当0＜x≤100时，L 单调递增，此时当x=100时，Lmax=当100＜x≤500时，L 单调递增, 此时当x=500时，Lmax=6000 综上所述，当x=500时，Lmax=6000答：当销售商一次订购500件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是6000元. 23、〔本小题总分值12分〕 解：〔I 〕在②中令1=x ，有()111≤≤f ，故()11=f ．〔II 〕当R x ∈时，)(x f 的最小值为0且二次函数关于直线1-=x 对称， 故设此二次函数为()()()012>+=a x a x f ．∵()11=f ，∴41=a ．∴()()2141+=x x f ．〔Ⅲ〕()()222111144424x x f x x x -=+-=+， 由()214x f x -≤即11||124x +≤，得5322x -≤≤∵()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤∴只须51232m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得3322m -≤≤∴实数m 的取值范围为33[,]22-．附加题：每题5分，共10分 1、3a ≤ 2、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0。
数学试题第Ⅰ卷（共100分）一、选择题：本大题共11个小题,每小题5分,共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，则 ()U C AB =（ ）A ．{}1,3,4B ．{}3,4C ．{}3D ．{}42. 已知70.60.70.6,7,log 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 3. 下列各组函数中，()f x 与()g x 为相同函数的是（ ） A ．()()2,f x x g x x ==B ．()()2,f x x g x x ==C ．()()32,x f x x g x x == D ．()(),0,,0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩4. 已知函数()()11,22x x f x x g x x =+=+，则下列结论正确的是 （ ） A ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 B ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 C. ()f x 和 ()g x 都是偶函数 D ．()f x 和()g x 都是奇函数5. 已知函数()2,1,ln ,1x x f x e x x ⎧≤=⎨>⎩为自然对数的底数，则()f f e =⎡⎤⎣⎦（ ） A ．0 B ．1 C.2 D ．ln 2e 6. 已知幂函数()f x 的图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．14-B ．14C.4- D ．47. 函数()()23xf x x =+的零点所在的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()0,1 C.()1,0- D ．()1,2 8. 函数()()23201x x f x a a -++=<<的单调递增区间是 （ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9. 函数()()lg 1f x x =-的大致图象是 （ ）A ．B ． C. D ．10. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递减，则不等式()()lg 2f x f >-的解集是 （ ）A ．1,100100⎛⎫⎪⎝⎭B ．()100,+∞ C.1,100⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D ．()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11. 已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为4xP =；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为)02aQ x a =>，若投资20万元时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a 的最小值为（ ）A 5．52 D ．2二、填空题（每题5分，满分15分，将答案填在答题纸上）12. 已知1005,102ab==，则2a b += _________. 13. 函数()12xf x =- __________.14. 若函数()22xf x m =--有两个同的零点，则实数m 的取值范围是 __________.三、解答题 （本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分8分）（1）计算：22log 332231272log log 3log 48-⨯+⨯；（2）已知 01x <<，且13x x-+=，求1122x x --的值.16.（本小题满分10分）已知{}{}22|220,|30A x x ax B x x x b =++==+-=，且{}2A B =.（1）求,a b 的值; （2）设全集U AB =，求 ()()U UC A C B .17.（本小题满分12分）已知函数()()0,1,xf x b a a a b R =>≠∈且的图象经过点()()1,6,3,24A B .（1）设()()1136g x f x =-+，确定函数()g x 的奇偶性;（2）若对任意(],1x ∈-∞，不等式21xa mb ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.第Ⅱ卷（共50分）一、本大题共2小题，共12分.18.（本小题满分16分）设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即{}|4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是A ．02016A ∈B ．31A -∈C ．若,k k a A b A ∈∈，则 0a b A -∈D ． 3a b A +∈，则12,a A b A ∈∈ 19.（本小题满分16分）若函数()()()lg 1lg 1f x ax x =---在区间[)2,+∞上是增函数，则a 的取值范围是__________. 二、本大题共3小题，共38分.20.（本小题满分12分）已知函数()2426f x x ax a =+++.（1）若函数()2log y f x =的最小值为2，求a 的值;（2）若对任意x R ∈，都有()0f x ≥成立，求函数()23g a a =-+的值域.21.（本小题满分13分）今年入秋以来, 某市多有雾霾天气, 空气污染较为严重. 市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数()f x 与时刻x (时)的函数关系为:()()[]25log 121,0,24f x x a a x =+-++∈, 其中a 为空气治理调节参数，且()0,1a ∈. （1）若12a =,求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低; （2）規定每天中()f x 的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3,则调节参数a 应控制在什么范围内？22.（本小题满分13分）已知函数()()3f x g x ax ==-.（1）当1a =时，确定函数()()()h x f x g x =-在()0,+∞上的单调性;（2）若对任意[]0,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()0g x f x =成立，求实数a 的取值范围.湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题参考答案 一、选择题（每小题5分，共55分）1-5. BCDAC 6-10.DCBBD 11.A 二、填空题（每小题5分，共15分）12.1 13. (),0-∞ 14. ()0,2 三、解答题15.解：（1）原式()()2332322333log 2log 3log 2933220-=-⨯+⨯=-⨯-+=.（2） 因为13x x -+=，则21112221x x x x --⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，因为01x <<，则11220x xx x x--=-=<，所以11221x x --=-.17.解：（1）由已知，()()16,324f f ==，则3624a b b a =⎧⎨=⎩ ，解得2,3a b ==，所以()32x f x =，由题设，()1112112132********xx x xg x -⎛⎫=-=-= ⎪+++⎝⎭，显然()g x 的定义域为R ，又 ()()112121621612x x x xg x g x -----===-++， 所以()g x 为奇函数. （2）设()23x xa h xb ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则当(],1x ∈-∞时，()21h x m ≥+恒成立，所以()min 21h x m ≥+，因为()h x 在R 上为减函数，则当(],1x ∈-∞时，()()min 213h x h ==.由2213m +≤，得16m ≤-，所以m 的取值范围是1,6⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.18.解：D 19.解： 1,12⎛⎫⎪⎝⎭20.解：（1）()()222264f x x a a a =+++-. 据题意，()f x 的最小值为4,则22644a a +-=,即2210a a --=，即()()2110a a +-=,所以1a =或12-.（2）因为()0f x ≥恒成立，则()2164260a a ∆=-+≤,即2230a a --≤,即()()2310a a -+≤,所以312a -≤≤.()()2231723233224g a a a a a a a a ⎛⎫=-+=-+=--+=-++ ⎪⎝⎭.因为()g a 在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，所以()()()max min 31914,24g a g g a g ⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭.所以函数()g a 的值域是19,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 21.解：（1） 因为12a =,则()()251log 1222f x x =+-+≥.当()2f x =时，()251log 102x +-=,得121255x +==，即4x =.所以一天中晩上4点该市的空气污染指数最低.（2）设()25log 1t x =+，则当024x ≤≤时，01t ≤≤.设()[]21,0,1g t t a a t =-++∈,则()31,01,1t a t ag t t a a t -++≤≤⎧=⎨++≤≤⎩,显然()g t 在[]0,a 上是减函数，在[],1a 上是增函数，则()()(){}max max 0,1f x g g =,因为()()031,12g a g a =+=+,由()()01210g g a -=->,得12a >. 所以()max12,02131,12a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩, 当102a <≤时，52232a <+≤<,符合要求; 当112a <<时，由 313a +≤, 得1223a <≤. 故调节参数a 应控制在20,3⎛⎤⎥⎝⎦内.22.解：（1）当1a =时，()3h x x =+. 设120x x >>,则()()()121212h x h x x x x x -==-=()2212x x --()121x x ⎛⎫⎪=--⎪⎭.因为12x x >=>=,12x x >+,得1<,10<. 又120x x ->, 则()()120h x h x -<, 即()()12h x h x <,所以()h x 在()0,+∞上是减函数.（2）当[]0,4x ∈时，[]20,16x ∈, 则[]299,25x +∈, 所以()f x 的值域是[]3,5.当[]2,2x ∈-时，设函数()g x 的值域为M .据题意，[]3,5M ⊆. ①当0a =时，()3g x =-,不合题意.②当0a >时，()g x 在[]2,2-上是增函数，则()()2523g g ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩, 即2352330a a a -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩,解得4a ≥.③当0a <时，()g x 在[]2,2-上是减函数，则()()2523g g -≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，即2352330a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩, 解得4a ≤-. 综上，a 的取值范围是(][),44,-∞-+∞.。
2020-2021学年湖南师大附中高一（上）期中数学试卷1.已知集合M={−3,−1,0,1,3}，N={−2,−1,0,1,2}，则M∩N=()A. {−2,−1,0}B. {−1,0,1}C. {0,1,2}D. {−3,−2,−1,0,1,2,3}2.命题“”的否定是()A. B.C. ∀x>0,xx−1≤0 D. ∀x<0,0≤x≤13.已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克．()A. 5730B. 11460C. 22920D. 458404.下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是()A. f(x)=x−1，g(x)=x2−1x+1B. f(x)=√x33，g(x)=(√x)2C. f(x)=1，g(x)=(x+1)0D. f(x)=|x+1|，g(x)={x+1,x≥−1−x−1,x<−15.下列说法正确的是()A. a>b⇒ac2>bc2B. a>b⇒a2>b2C. a>b⇒a3>b3D. a2>b2⇒a>b6.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12]恒成立，则a的最小值是()A. 0B. −2C. −52D. −37.若函数y=x2−4x−4的定义域为[0,m]，值域为[−8,−4]，则实数m的值可能为()A. 2B. 3C. 4D. 58.若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)−g(x)=e x，则有()A. f(x)=12(e x−e−x) B. g(x)=12(e x+e−x)C. f(2)<g(0)<f(3)D. g(0)<f(2)<f(3)9. 设函数f(x)={−x,x ≤0,x 2+1,x >0则f(f(−1))的值为 ．10. 已知p ：x 2−8x −33>0，q ：|x −1|>a(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为 ． 11. 化简求值．(1)(12)−3+(6√2)0−1634+(√23×√3)6；(2)log 142+2lg4+lg 58+eln2．12. 已知函数f(x)=ae x +1+1为奇函数．(1)求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数f(x)在R 上是增函数； (2)求不等式f(t 2)+f(2t −3)≤0的解集．13. 已知函数f(x)对于任意x ，y ∈R ，总有f(x)+f(y)=f(x +y)，且x >0时，f(x)<0．(1)求证：f(x)在R 上是奇函数； (2)求证：f(x)在R 上是减函数；(3)若f(1)=−23，求f(x)在区间[−3,3]上的最大值和最小值．14. 已知函数f(x)=x 2+bx +c(b,c ∈R)，且f(x)≤0的解集为[−1,2]．(1)求函数f(x)的解析式；(2)解关于x 的不等式mf(x)>2(x −m −1)，其中m ∈R ．15. 设f(x)为奇函数且在(−∞,0)上单调递减，f(−2)=0，则xf(x)>0的解集为( )A. (−2,0)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2)16. 已知函数f(x)={(3−a)x −4a,x <1x 2,x ≥1在R 上是单调的函数，则a 的取值范围是( )A. [25,3)B. (25,3]C. (−∞,3)D. [25,+∞)17. 下列命题中正确的有( )A. |x|2+|x|−2=0有四个实数解B. 设a.b ，c 是实数，若二次方程ax 2+bx +c =0无实根，则ac >0C. 若a >b ，则ac 2+1>bc 2+1D. 若x ∈R ，则函数y =√x 2+4√x 2+4的最小值为218. 设函数f(x)=x|x|+bx +c ，给出如下命题，其中正确的是( )A. c =0时，y =f(x)是奇函数B. b =0，c >0时，方程f(x)=0只有一个实数根C. y =f(x)的图象关于点(0,c)对称D. 方程f(x)=0最多有两个实根19. 已知f(x)=e x−1+e 1−x +2a 只有一个零点，则a = ．20. 设关于x 的不等式ax 2+8(a +1)x +7a +16≥0，(a ∈Z)，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为 ．21. “金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度f(x)(单位：米)与生长年限x(单位：年)满足关系f(x)=411+3kx+b (x ≥0)． 树木栽种时的高度为12米；1年后，树木的高度达到4128米． (1)求f(x)的解析式；(2)问从种植起，第几年树木生长最快？22. 已知函数f(x)=e 2x +(t +1)e x +t ．(1)当t =−e 时，解不等式f(x)≥0的解集；(2)若对任意x ∈R ，不等式f(x)<e x (e x +1)+1e x +1−4恒成立，求t 的最大值； (3)对于函数g(x)，若∀a ，b ，c ∈R ，g(a)，g(b)，g(c)为某一三角形的三边长，则称g(x)为“可构造三角形函数”，已知函数g(x)=f(x)(e x +1)2是“可构造三角形函数”，求实数t 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．进行交集的运算即可．【解答】解：∵M={−3,−1,0,1,3}，N={−2,−1,0,1,2}，∴M∩N={−1,0,1}．故选：B．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了全称量词命题的否定，属于中档题．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，求解即可．【解答】>0即x>1或x<0，解：xx−1>0”的否定是“”，故命题“∀x>0,xx−1故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．由题知，碳14的半衰期为5730年，要使其质量从0.5克消耗到0.125克，则再经历两个半衰期即可．【解答】解：由题可知，碳14的半衰期为5730年，则过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克．故选：B．4.【答案】D【解析】【分析】根据定义域相同，对应关系也相同，即可判断两函数为同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．【解答】解：对于A，f(x)=x−1，定义域为R，g(x)=x2−1x+1=x−1，定义域为{x|x≠−1}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B，f(x)=√x33=x，定义域为R，g(x)=(√x)2=x，定义域为{x|x≥0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，f(x)=1，定义域为R，g(x)=(x+1)0=1，定义域为{x|x≠−1}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，f(x)=|x+1|={x+1,x≥−1−x−1,x<−1，定义域为R，g(x)={x+1,x≥−1−x−1,x<−1，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．5.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质．【解答】解：选项A，当c=0时，由a>b，不能推出ac2>bc2，故错误；选项B，当a=−1，b=−2时，显然有a>b，但a2<b2，故错误；选项C ，当a >b 时，必有a 3>b 3，故正确；选项D ，当a =−2，b =−1时，显然有a 2>b 2，但却有a <b ，故错误． 故选：C ．6.【答案】C【解析】 【分析】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题． 由题意可得−a ≤x +1x 对于一切x ∈(0,12]恒成立，求得最小值，令−a 不大于最小值即可． 【解答】解：不等式x 2+ax +1≥0对于一切x ∈(0,12]恒成立， 即有−a ≤x +1x 对于一切x ∈(0,12]恒成立． 由于y =x +1x ，当0<x <1时，函数y 递减． 则当x =12时，y 取得最小值且为52， 则有−a ≤52，解得a ≥−52． 则a 的最小值为−52． 故选：C ．7.【答案】ABC【解析】 【分析】本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题． 求出二次函数的对称轴方程，可知当m =2时函数有最小值，再由x =0时y =−4，结合二次函数的对称性可得m 的可能取值． 【解答】解：函数y =x 2−4x −4的对称轴方程为x =2， 当0<m ≤2时，函数在[0,m]上单调递减，x =0时取最大值−4，x =m 时有最小值m 2−4m −4=−8，解得m =2．则当m >2时，最小值为−8，而x =0时y =−4，由对称性可知，x =4时y =−4，故m ≤4． 综上，实数m 的取值范围为2≤m ≤4． ∴实数m 的值可能为2，3，4． 故选：ABC ．8.【答案】AD【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f(−x)−g(−x)=−f(x)−g(x)=e −x ，变形可得f(x)+g(x)=−e −x ，与f(x)−g(x)=e x 联立，解可得f(x)与g(x)的解析式，进而求出f(2)、f(3)、g(0)的值，比较可得其大小，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算． 【解答】解：根据题意，函数f(x)，g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)−g(x)=e x ，①则f(−x)−g(−x)=−f(x)−g(x)=e −x ，变形可得f(x)+g(x)=−e −x ，②， 联立①②可得：f(x)=12(e x −e −x )，g(x)=−12(e x +e −x )，故A 正确，B 错误； 则f(2)=12(e 2−e −2)，g(0)=−12×(1+1)=−1，f(3)=12(e 3−e −3)， 则有g(0)<f(2)<f(3)，故C 错误，D 正确； 故选：AD ．9.【答案】2【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得f(−1)=1，进而可得f(f(−1))=f(1)，计算可得答案． 本题考查分段函数的函数值求解，属于基础题． 【解答】解：根据题意，函数f(x)={−x,x ≤0,x 2+1,x >0，则f(−1)=−(−1)=1，则f(f(−1))=f(1)=1+1=2； 故答案为：210.【答案】(0,4]【解析】 【分析】根据不等式的解法求出p ，q 的等价条件，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，为一般题． 【解答】解：由x 2−8x −33>0得(x +3)(x −11)>0得x >11或x <−3， 由|x −1|>a(a >0)得，x −1<−a 或x −1>a ， 得x >1+a 或x <1−a ， 若p 是q 的充分不必要条件， 则{1+a ≤111−a ≥−3即{a ≤10a ≤4得a ≤4， 又a >0，则0<a ≤4， 即实数a 的取值范围是(0,4]， 故答案为(0,4]．11.【答案】解：(1)(12)−3+(6√2)0−1634+(√23×√3)6=8+1−8+22×33=109．(2)log 142+2lg4+lg 58+e ln2 =lg2lg 14+lg(16×58)+2 =−12+1+2=52．【解析】本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)利用指数的性质、运算法则直接求解．(2)利用对数的性质、运算法则直接求解．12.【答案】解：(1)∵f(x)=ae x+1+1是奇函数，定义域为R，∴f(0)=a2+1=0，则a=−2，f(x)=−2e x+1+1，证明：任取x1,x2∈R，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=−2e x1+1+1+2e x2+1−1=2(e x1−e x2)(e x1+1)(e x2+1)，由x1<x2，可得e x1<e x2，则e x1−e x2<0，e x1+1>0,e x2+1>0∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在R上是增函数．(2)由(1)可知f(x)为R上单调递增的奇函数，不等式f(t2)+f(2t−3)≤0可化为f(t2)≤−f(2t−3)=f(3−2t)，∴t2≤3−2t，即t2+2t−3≤0，解得−3≤t≤1，故不等式的解集{t|−3≤t≤1}．【解析】(1)根据奇函数的性质f(0)=0代入可求a，然后结合函数单调性的定义即可证明；(2)根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化为t2≤3−2t，解之即可得结论．本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合，利用函数的性质解不等式，属于中档题．13.【答案】(1)证明：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0得f(0)=0，令y=−x得f(−x)=−f(x)，∴f(x)在R上是奇函数；(2)证明：在R上任取x1>x2，则x1−x2>0，f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1−x2)<0，∴f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在R 上是减函数．(3)解：∵f(x)是R 上减函数，∴f(x)在[−3,3]上也是减函数，∴f(x)在[−3,3]上的最大值和最小值分别为f(−3)和f(3)，而f(3)=3f(1)=−2，f(−3)=−f(3)=2，∴f(x)在[−3,3]上的最大值为2，最小值为−2．【解析】本题考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与单调性的判定，突出考查赋值法，考查运算能力．(1)由于f(x)+f(y)=f(x +y)，分别令x =y =0，可求得f(0)=0，再令y =−x ，即可证得f(x)在R 上是奇函数；(2)任取x 1>x 2，利用单调函数的定义法，作差f(x 1)−f(x 2)后转化，利用x >0时，f(x)<0即可证得f(x)在R 上是减函数；(3)利用(1)(2)知，奇函数f(x)为R 上的减函数，再利用f(1)=−23，即可求得f(x)在[−3,3]上的最大值为与最小值;14.【答案】解：(1)因为f(x)≤0的解集为[−1,2]，所以x 2+bx +c =0的根为−1，2，所以{−1+2=−b −1×2=c； 解得，b =−1，c =−2；所以f(x)=x 2−x −2．(2)mf(x)>2(x −m −1)，即(mx −2)(x −1)>0，所以当m =0时，不等式的解集为(−∞,1)，当m ≠0时，方程(mx −2)(x −1)=0的根为2m ,1，所以当m <0时，不等式的解集为(2m ,1)，当0<m <2时，不等式的解集为(−∞,1)∪(2m ,+∞)，当m =2时，不等式的解集为(−∞,1)∪(1,+∞)，当m >2时，不等式的解集为(−∞,2m )∪(1,+∞)．【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及应用，考查了含参数的一元二次不等式解法，用到分类讨论的思想方法，属于拔高题．(1)由不等式的解集，可知二次函数的根，由韦达定理可得解析式；(2)对m 进行分类讨论，解不等式即可．15.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．易判断f(x)在(−∞,0)上的单调性及f(x)图象所过特殊点，作出f(x)的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在(−∞,0)上递减，∴f(x)在(0,+∞)上递减，由f(−2)=0，得f(−2)=−f(2)=0，即f(2)=0，由f(−0)=−f(0)，得f(0)=0，作出f(x)的草图，如图所示：由图象，得xf(x)>0⇔{x <0f(x)<0或{x >0f(x)>0， 解得−2<x <0或0<x <2，∴xf(x)>0的解集为(−2,0)∪(0,2)，故选：D ．16.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的单调性，分段函数的应用．由一次函数、二次函数的性质，得不等式，解出即可．【解答】解：函数f(x)={(3−a)x −4a,x <1x 2,x ≥1在R 上是单调的函数， ∴函数f(x)是R 上的增函数，∴3−a >0，解得：a <3，且当x =1时，(3−a)−4a ≤1，解得：a ≥25，综上a 的取值范围是：[25,3)．故选：A ．17.【答案】BC【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，考查基本不等式，方程的解，不等式的基本性质的判断．通过解方程可得|x|=1，判断A 的正误；由二次方程ax 2+bx +c =0无实根可得a ≠0，Δ=b 2−4ac <0，判断B 即可；利用不等式的基本性质判断C 即可；利用基本不等式成立的条件，判断选项D 即可．【解答】解：|x|2+|x|−2=0解得|x|=1或|x|=−2舍去，所以x =±1，故方程有2个实数解，所以A 不正确；设a.b ，c 是实数，若二次方程ax 2+bx +c =0无实根，可知a ≠0，Δ=b 2−4ac <0，可得ac >0，所以B 正确；a >b ，因为c 2+1>0，所以a c 2+1>b c 2+1，所以C 正确；若x ∈R ，则函数y =√x 2+4+√x 2+4 ≥2√√x 2+4⋅√x 2+4=2，当且仅当x 2+4=1时取等号，等式显然不成立，所以选项D不正确．故选：BC．18.【答案】ABC【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性判断A的正误；利用函数的零点判断B；函数的图象的对称性判断C；举例通过零点的个数判断D．本题考查函数的零点与方程根的关系，是中档题．【解答】解：当c=0时，f(x)=x|x|+bx，此时f(−x)=−f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b=0，c>0时，f(x)=x|x|+c，若x≥0，f(x)=0无解，若x<0，f(x)=0有一解x=−√c，B正确；因为y=x|x|+bx是奇函数，关于原点对称，f(x)=x|x|+bx+c可由y=x|x|+bx经过上下平移得到，所以y=f(x)的图象关于点(0,c)对称，故C正确；当b=−1，c=0时，f(x)=x|x|−x，方程f(x)=0，即x|x|−x=0，解得x1=−1，x2=0，x3=1，故D不正确．故选：ABC．19.【答案】−1【解析】【分析】原问题可转化为方程e x−1+e1−x+2a=0只有一个根，即−2a=e x−1+e1−x只有一个根，构造函数g(x)=e x−1+e1−x，利用基本不等式的性质求出其最小值即可得解．本题考查函数的零点、基本不等式的性质，理解函数的零点与方程的根之间的联系是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．【解答】解：∵函数f(x)=e x−1+e1−x+2a只有一个零点，∴方程e x−1+e1−x+2a=0只有一个根，即−2a=e x−1+e1−x只有一个根，令g(x)=e x−1+e 1−x ≥2√e x−1⋅e 1−x =2，当且仅当e x−1=e 1−x ，即x =1时，等号成立，∴−2a =2，解得a =−1．故答案为：−1．20.【答案】−10【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是确定a 的值，求出相应 一元二次不等式的解集．先确定a <0，再利用0为其中的一个解，a ∈Z ，求出a =−1或−2，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论．【解答】解：当a =0时，显然不符合题意；当a ≠0时，设y =ax 2+8(a +1)x +7a +16，其图象为抛物线．关于x 的不等式ax 2+8(a +1)x +7a +16≥0整数解只有有限个，所以a <0． 因为0为其中的一个解可以求得a ≥−167，又a ∈Z ，所以a =−2，−1．当a =−2时，不等式为−2x 2−8x +2≥0，解得−√5−2≤x ≤√5−2，此时不等式的整数解为：−4，−3，−2，−1，0；当a =−1时，不等式为−x 2+9≥0，解得−3≤x ≤3，此时不等式的整数解为：−3，−2，−1，0，1，2，3；综上所述，全部不等式的整数解的和为−10．故答案为：−10．21.【答案】解：(1)f(x)=411+3kx+b (x ≥0)，由题意，f(0)=12，f(1)=4128，得{12=411+3b 4128=411+3k+b ，解得k =−1，b =4． ∴f(x)=411+34−x (x ≥0)；(2)设g(x)为第x +1年内树木生长的高度，则g(x)=f(x +1)−f(x)=411+33−x −411+34−x =82⋅33−x (1+33−x )(1+34−x )．令33−x =u(0<u ≤27)，则ℎ(u)=82u (1+u)(1+3u)=82u 3u 2+4u+1=823u+1u +4．令φ(u)=3u +1u ，则φ(u)在(0,√33)上单调递减，在[√33,27]上单调递增， ∴当u =√33时，φ(u)有最小值，得ℎ(u)有最大值， 由33−x =3−12，得x =72，又x ∈N ，故x 的值可能为3或4，又g(3)=414，g(4)=414，g(3)=g(4)，因此，从种植起，第4年或第5年树木生长最快．【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用换元法及函数的单调性求最值，属于拔高题．(1)f(x)=411+3kx+b (x ≥0)，结合f(0)=12，f(1)=4128列关于k 与b 的方程组，求得k 与b 的值，则f(x)的解析式可求；(2)设g(x)为第x +1年内树木生长的高度，求得g(x)=f(x +1)−f(x).利用换元法及函数的单调性求最值得答案．22.【答案】解：(1)当t =−e 时，不等式f(x)≥0，即(e x +1)(e x −e)≥0，即e x ≥e ，解得x ≥1，故不等式的解集是[1,+∞)；(2)不等式f(x)<e x (e x +1)+1e x +1−4恒成立，即e 2x +(t +1)e x +t <e x (e x +1)+1e x +1−4恒成立，所以t <1(e x +1)2−4(e x +1)对任意x ∈R 恒成立，记ℎ(x)=1(e x +1)2−4(e x +1)(x ∈R)，因为当x ∈R 时，1e x +1∈(0,1)，所以ℎ(x)=(1e x +1−2)2−4∈(−3,0)， 所以t ⩽−3，故t 的最大值为−3；(3)由于函数g(x)=f(x)(e x+1)2=e x+te x+1=1+t−1e x+1是“可构造三角形函数”，首先，必有t≥0才能保证g(x)>0，其次，必需g(x)max<2g(x)min，所以当0≤t<1时，函数g(x)是R上的增函数，则g(x)的值域是(t,1)，由1≤2t，得12≤t<1，当t=1时，g(x)=1，符合题意，当t>1时，函数g(x)是R上的减函数，则g(x)的值域是(1,t)，由t≤2，得1<t≤2，综上实数t的取值范围为t∈[12,2]．【解析】(1)代入t的值，问题转化为(e x+1)(e x−e)≥0，求出不等式的解集即可；(2)问题转化为t<1(e x+1)2−4(e x+1)对任意x∈R恒成立，记ℎ(x)=1(e x+1)2−4(e x+1)，根据二次函数的性质求出t的最大值即可；(3)问题转化为必需g(x)max<2g(x)min，通过讨论t的范围，求出函数的值域，得到关于t的不等式，解出即可．本题考查了解不等式问题，不等式恒成立问题，函数的新定义，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．。
湖南省师大附中高一上学期期中考试（数学）一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}{}4,3,1,6,5,4,3,2,1==A U ，则A C U =（ ）A 、{}6,5B 、{}4,3,2,1 C 、{}6,5,2 D 、{}6,5,4,3,2 2、若函数4)2()(2+++=x b x x f 是R 上的偶函数，则（ ） A 、2-=b B 、2=b C 、2-≠b D 、0=b3、函数222+-=x x y 的的单调递增区间为（ ）A 、()+∞∞-,B 、),1(+∞C 、()1,∞-D 、),2(+∞-4、设32-=a ，817log 3=b ，132-⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则（ ）A 、c b a >>B 、c b a <<C 、c a b <<D 、a c b << 5、函数23)(-+=x x f x在),0(+∞上零点的个数为（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个6、设集合{}{}a y y B x x x A <-=<--=1,062，若B B A = ，则实数a 的取值范围为（ ） A 、]2,0( B 、]2,(-∞ C 、]3,0( D 、[]3,2二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上。
7、计算：=+5lg 24lg 。
8、函数)3lg()(-=x x f 的定义域为 。
9、某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，第x )(*∈N x 年的年产量为=y 。
10、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤<+>-=10lg 30111)(x xx x x x f ，则=))101((f f 。
11、若1)12(log 2<-a ，则实数a 的取值范围为 。
12、方程04254=+⋅-xx的解集为 。
