课堂探究探究一 综合法的应用综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结论的真实性．简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．【典型例题1】已知a ，b ，c 是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.思路分析：利用“1”的代换进行转化，利用基本不等式证明．证明：∵a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ＞0， 1b －1＝1－b b ＝a ＋c b ≥2ac b ＞0， 1c －1＝1－c c ＝a ＋b c ≥2ab c＞0， 以上三式对应相乘得⎝⎛⎭⎫1a －1·⎝⎛⎭⎫1b －1·⎝⎛⎭⎫1c －1≥8×bc a ×ac b ×ab c＝8. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴原不等式成立．反思 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a 2≥0(a ∈R )．②(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22. ③若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别是b a ＋a b≥2. 【典型例题2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.思路分析：解答本题可先明确线线、线面垂直的判定定理及性质定理，再用定理进行证明．证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．又∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．又AB⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.探究二分析法的应用分析法是一种从未知到已知(从结论到题设)的证明方法，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的判断，而当这个判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证(应强调的一点，它不是由命题的结论去证明前提条件)．因此，分析法是一种执果索因的证明方法，也是数学证明常用的手段．【典型例题3】已知a＞6，求证：a－3－a－4＜a－5－a－6.思路分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件．证明：要证a－3－a－4＜a－5－a－6，只需证a－3＋a－6＜a－5＋a－4⇐(a－3＋a－6)2＜(a－5＋a－4)2⇐2a－9＋2(a－3)(a－6)＜2a－9＋2(a－5)(a－4)⇐(a－3)(a－6)＜(a－5)(a－4)⇐(a－3)(a－6)＜(a－5)(a－4)⇐18＜20，因为18＜20显然成立，所以原不等式a－3－a－4＜a－5－a－6成立．探究三综合法和分析法的综合应用分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推．因此常将二者交互使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：→→…→←…←←其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．【典型例题4】若a，b，c为不全相等的正数，求证：lg a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.思路分析：本题先利用分析法将对数不等式转化为一般不等式，再用综合法证明不等式成立，两种方法同时使用，可使问题迅速解决．证明：要证lg a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c，只需证lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(a ·b ·c )， 即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc . 因为a ，b ，c 为不全相等的正数，所以a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ac ＞0， 且上述三式中等号不能同时成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc 成立， 所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c 成立． 反思 对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．探究四 易错辨析易错点：分析法与综合法相混淆而导致出错【典型例题5】求证：2＋10＜2 6. 错解：2＋10＜26，并且2＋10和26都是正数，所以(2＋10)2＜(26)2，即12＋45＜24，5＜3，所以5＜9.因为5＜9成立， 所以不等式2＋10＜26成立．错因分析：本题步骤出现错误，把2＋10＜26看成了条件去推，不符合分析法的步骤．正解：因为2＋10和26都是正数， 所以要证2＋10＜26，只需证明(2＋10)2＜(26)2，展开得12＋45＜24，即5＜3，故只需证5＜9.因为5＜9显然成立，所以不等式2＋10＜26成立．。
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课程目标学习脉络
1．了解直接证明的两种基本方法——综
合法和分析法．
2．理解综合法和分析法的思考过程、特
点，会用综合法和分析法证明数学问题.
综合法和分析法
综合法分析法
定义利用已知条件和某些数学定义、公理、
定理等，经过一系列的推理论证，最
后推导出所要证明的结论成立，这种
证明方法叫做综合法
从要证明的结论出发，逐步寻求使它
成立的充分条件，直至最后，把要证
明的结论归结为判定一个明显成立的
条件(已知条件、定理、定义、公理等)
为止，这种证明方法叫做分析法
推理过程
P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)
特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法
提示：综合法是从已知条件出发逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．
思考2综合法和分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
提示：综合法和分析法的推理过程属于演绎推理，这是因为，在综合法和分析法的推理过程中，每一步推理都是严密的逻辑推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．
思考3综合法和分析法的共同点是什么？我们平时在解题中探究思路时一般用什么方法？
提示：共同点都是将条件和结论通过推理联系起来解题，即将条件和结论有机结合起来，我们经常这样分析问题：由条件想到什么？要得到这样的结论需要什么条件？也就是条件、结论两头凑，这就是“分析—综合法”．。
