高二数学必修三知识点：变量间的相关关系.doc

§2.3变量间的相关关系编者：1．经历用不同方法确定线性回归直线方程的过程，通过确定线性回归直线方程，知道最小二乘法的原理．学习重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系。

学习难点：变量间的相关关系，利用散点图直观体会这种相关关系。

使用说明： （1）预习教材9184P P ，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；预习案（20分钟）一．知识链接（1）客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.（2）某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：从表中我们能感觉到热茶的销量与气温之间存在着某种关系，它们之间的关系是什么呢？我们能否根据气温的变化预测热饮的杯数呢？为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.组长评价： 教师评价：二．新知导学（1）作散点图的步骤和方法？（2）正、负相关的概念？（3）什么是线性相关？（4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？（5）什么叫做回归直线？（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？探究案（30分钟）例1：我们来解决预习案中的问题，假如经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表如下：（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.解：（1）散点图如下图所示：例2：下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由；(2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.（计算相应的数据之和：∑=81i ix=1 031，∑=81i iy=71.6,∑=812i ix=137 835，∑=81i ii yx =9 611.7）解：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．三．我的疑惑（把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”）（1）（）（2）（）（3）（）（通过解决本节导学案的内容和疑惑点，归纳一下自己本节的收获，和大家交流一下，写下自己的所得）※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：15分钟 满分：30分）计分：1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高 2．三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（ ） A.^y =5.75-1.75x B.^y =1.75+5.75x C.^y =1.75-5.75x D.^y =5.75+1.75x3．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元）,有如下统计资料：设y 对x 呈线性相关关系．试求：（1）线性回归方程a bx y +=∧的回归系数,a b ； （2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？A B C D（掌握两变量的相关性及回归直线方程）1．有关线性回归的说法中,下列不正确的是( )A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有回归方程2. 判断下图中的两个变量，具有线性相关关系的是（）3．已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：经计算得回归方程abxy+=∧的系数b=0.575,则a等于（）A. ­14.9B.­13.9C. ­12.9D. 14.94．线性回归直线方程abxy+=∧必过定点（）()()()()y x DyCxBA,.,0.0,.0,0.5.已知回归直线方程为：81.05.0-=∧xy，则20x=时，y的估计值为。

高中数学知识点：变量之间的相关关系变量与变量之间存在着两种关系：一种是函数关系，另一种是相关关系。

1．函数关系
函数关系是一种确定性关系，如y=kx+b，变量x取的每一个值，y 都有唯一确定的值和它相对应。

2．相关关系
变量间确定存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性
相关关系分为两种:
正相关和负相关
要点诠释：
对相关关系的理解应当注意以下几点：
（1）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.
（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.
（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下
可以相互转化.例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计.
3．散点图
将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图叫做散点图。

通过散点图可初步判断两个变量之间是否具有相关关系，她反映了各数据的密切程度。

一、變數間的相關關係1.常見的兩變數之間的關係有兩類：一類是函數關係，另一類是相關關係;與函數關係不同，相關關係是一種非確定性關係.2.從散點圖上看，點分佈在從左下角到右上角的區域內，兩個變數的這種相關關係稱為正相關，點分佈在左上角到右下角的區域內，兩個變數的相關關係為負相關.二、兩個變數的線性相關1.從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分佈在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變數之間具有線性相關關係，這條直線叫回歸直線.當r>0時，表明兩個變數正相關;當r<0時，表明兩個變數負相關.r的絕對值越接近於1，表明兩個變數的線性相關性越強.r的絕對值越接近於0時，表明兩個變數之間幾乎不存在線性相關關係.通常|r|大於0.75時，認為兩個變數有很強的線性相關性.三、解題方法1.相關關係的判斷方法一是利用散點圖直觀判斷，二是利用相關係數作出判斷.2.對於由散點圖作出相關性判斷時，若散點圖呈帶狀且區域較窄，說明兩個變數有一定的線性相關性，若呈曲線型也是有相關性.3.由相關係數r判斷時|r|越趨近於1相關性越強.【同步練習題】1.(2014•銀川模擬)為了解兒子身高與其父親身高的關係，隨機抽取5對父子的身高數據如下：父親身高x(cm)174176176176178；兒子身高y(cm)175175176177177，則y對x的線性回歸方程為()A.y^=x-1B.y^=x+1C.y^=88+12xD.y^=176解析：因為x=174+176+176+176+1785=176，y=175+175+176+177+1775=176，又y對x的線性回歸方程表示的直線恒過點(x，y)，所以將(176,176)代入A、B、C、D中檢驗知選C.答案：C2.(2014•衡陽聯考)已知x與y之間的一組數據：x0123ym35.57已求得關於y與x的線性回歸方程y^=2.1x+0.85，則m的值為()A.1B.0.85C.0.7D.0.5解析：回歸直線*樣本中心點(1.5，y)，故y=4，m+3+5.5+7=16，得m=0.5.答案：D3.有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大於等於85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績，得到如下所示的列聯表：優秀非優秀總計甲班10b乙班c30總計105已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優秀的概率為27，則下列說法正確的是()A.列聯表中c的值為30，b的值為35B.列聯表中c的值為15，b的值為50C.根據列聯表中的數據，若按95%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”D.根據列聯表中的數據，若按95%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”解析：由題意知，成績優秀的學生數是30，成績非優秀的學生數是75，所以c=20，b=45，選項A、B錯誤.根據列聯表中的數據，得到K2=105×10×30-20×45255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握認為“成績與班級有關系”.答案：C4.在吸煙與患肺病這兩個分類變數的計算中，下列說法正確的是()①若K2的觀測值滿足K2≥6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那麼在100個吸煙的人中必有99人患有肺病;②從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那麼他有99%的可能患有肺病;③從統計量中得知有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現錯誤.A.①B.①③C.③D.②解析：①推斷在100人吸煙的人中必有99人患有肺病，說法錯誤，排除A，B;③正確.答案：C5.調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關係，並由調查數據得到y對x的回歸直線方程：y^=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元.解析：解法一：特殊值法.令x1=1得y^1=0.254+0.321.令x2=1+1=2得y^2=2×0.254+0.321.y^2-y^1=0.254.解法二：由y^1=0.254x1+0.321，y^2=0.254(x1+1)+0.321，則y^2-y^1=0.254. 答案：0.254。

高二数学必修三第二章重点：变量间的相关关系（2021最新版）作者：______编写日期：2021年__月__日1.常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系;与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.2.从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.二、两个变量的线性相关1.从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.当r>0时，表明两个变量正相关;当r3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.答案：C4.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误.A.①B.①③C.③D.②解析：①推断在100人吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A，B;③正确.答案：C5.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y–0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元.解析：解法一：特殊值法.令x1=1得y =0.254+0.321.令x2=1+1=2得y =2×0.254+0.321.y -y =0.254.解法二：由y =0.254x1+0.321，y =0.254(x1+1)+0.321，则y -y =0.254.答案：0.254。

变量间的相关关系(线性回归)一、变量之间的相关关系1、凭我们的学习经验可知，物理成绩与数学成绩有一定的关系，数学成绩的好坏会对物理成绩造成影响。

但除此以外，还存在其他影响物理成绩的因素。

例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等。

当我们主要考虑数学成绩对物理成绩的影响时，就要考察这两者之间的相关关系。

自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。

2、相关关系与函数关系的异同点相同点：两者均是指两个变量的关系。

不同点：（1）函数关系是一种确定的关系。

如匀速直线运动中时间t 与路程s 的关系；相关关系是一种非确定的关系。

如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系。

事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。

例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素――年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大。

（3）相关关系的分析方向由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作用。

我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断。

二、两个变量的线性相关 1、回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。

通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。

一般地，对于某个家庭来说，它的年饮食支出不一定随年收入的增加而增加或减少。

但如果是大量的个体，可能就会表现出一定的规律来。

观察表中数据，大体上来看，随着家庭看收入的增加，年饮食支出也在增加。

为了确定这一相关关系的细节，我们需要进行数据分析。

与以前一样，我们可以作统计图、表。

通过作统计图、表，可以使我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断。