第三章差分方程模型

• 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 • 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标
分 析
• 体重变化由体内能量守恒破坏引起 • 饮食（吸收热量）引起体重增加 • 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少
模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量— —每8000千卡增加体重1千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
称如下形式的差分方程
a 0 y n t a1 y n t 1 a n y t b ( t ) (1)
为n 阶常系数线性差分方程， 。其对应的齐次方程为
a 0 y n t a1 y n t 1 a n y t 0 (2)
差分方程解的理论和微分方程解的理论类似。
§1 差分方程
1.1 差分方程简介
规定t只取非负整数。yt为y在t点的取值，则称 y t y t 1 y t 为yt的一阶向前差分，简称差分，称 2 y t ( y t ) y t 1 y t y t 2 2 y t 1 y t 为yt的二阶差分。 由 t、 yt及yt的差分给出的方程称为 yt的差分方程，其中含 yt的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以 写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
生产者的供应关系

预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。

基本模型
w(k)~第k周(初)体重 (kg) , k=1,2,…
c(k) ~第k周吸收热量 (kcal)
~热量转换系数
平均8000kcal增加体重1kg
=1/8000(kg/kcal)
~代谢系数(因人而异).
w(k 1) w(k) c(k) w(k), k 1,2,
xk 1 axk b, x0已知，k 0,1,2,
a,b~常数
• 由x0按照方程递推计算x1, x2, …
• 求解公式
xk
ak (x0
b ) b , 1 a 1 a
k 1,2,
a <1
k→∞,
xk

x
b 1 a
~稳定平衡点
2. 二阶线性常系数差分方程
xk 2 a1xk 1 a2 xk b, x0 , x1已知， k 0,1,2,
k=n递推至k=１
xn= na+ar(1+2+…+n)
a =3000, r =0.035/12, n =125 (月)
xn= 196,012.50
等额本息贷款和等额本金贷款
房贷计算器的选项 • 贷款类别：商业贷款, 公积金, 组合型 • 计算方法：根据贷款总额或面积、单价计算. • 按揭年数：可选１至30年. 选择20年.
2）代谢引起的体重减少正比于体重, 每周每千克 体重消耗200 ~ 320kcal (因人而异). 体重70kg每天消耗2000 ~ 3200kcal.
3）运动引起的体重减少正比于体重, 且与运动 形式和运动时间有关.
模型假设
4）为了安全与健康, 每周吸收热量≥10000kcal,且每周 减少量≤1000kcal; 每周体重减少量≤ 1.5kg.

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单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.75%, 到期后本 息(本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
3. 差分方程模型
• 差分方程的基本类型及求解 3.1 贷款购房 3.2 管住嘴迈开腿 3.3 物价的波动 3.4 动物的繁殖与收获 3.5 中国人口增长预测——全国大学生
数学建模竞赛2007年A 题
差分方程的基本类型及求解
xk~未知变量x在时段k的数值(k=0,1,2, …)
1. 一阶线性常系数差分方程 xk 1 axk b, x0已知，k 0,1,2,
• 由x0, x1按照方程递推地计算x2, x3,…
•
求解公式
xk
c11k
c2k2
b 1 a1 a2
,
k 0,1,2,
1, 2～特征根 2 a1 a2 0 ~ 特征方程
c1, c2 ～常数, பைடு நூலகம்始值x0, x1代入求解公式确定.
1, 2<1
k→∞,
xk

x
1
b a1 a2
~稳定平衡点
3. 线性常系数差分方程组
x1(k), x2(k),, xn(k) ~n个未知变量在时段k的数值
x1(k 1) a11x1(k) a12x2 (k) a1n xn (k) b1 x2 (k 1) a21x1(k) a22x2 (k) a2n xn (k) b2 xn (k 1) an1x1(k) an2x2 (k) ann xn (k) bn