10.连续函数的多项式一致逼近

一次一致逼近多项式一次一致逼近多项式是数学中的一个重要概念，它是一种通过多项式来逼近一个给定函数的方法。

在数学分析中，多项式通常被用来近似表示复杂的函数，而一次一致逼近多项式是多项式中次数最低的一种，它的优点在于计算简单，并且在某些情况下能够提供较好的逼近效果。

一次一致逼近多项式的定义是：对于给定的函数f(x)，如果存在一个一次多项式P(x) = a0 + a1x，使得对于任意的x，都有|f(x) - P(x)| ≤ M，其中M是一个常数，则我们称P(x)是f(x)的一次一致逼近多项式。

要找到一个一次一致逼近多项式，首先我们需要确定多项式的系数a0和a1。

一种常用的方法是最小二乘法，它的基本思想是使得残差平方和最小化。

具体地，给定一组离散的数据点(xi, yi)，我们可以定义残差函数R(a0, a1) = ∑[f(xi) - P(xi)]^2，然后通过求导来求解最小化残差的系数。

那么，如何确定系数a0和a1呢？我们可以先根据最小二乘法来建立残差函数R(a0, a1)。

假设我们有n个数据点(xi, yi)，则残差函数可以表示为：R(a0, a1) = ∑[f(xi) - (a0 + a1xi)]^2为了最小化残差函数，我们对a0和a1分别求偏导数，并令偏导数等于零，得到以下两个方程：∂R/∂a0 = ∑[f(xi) - (a0 + a1xi)] = 0∂R/∂a1 = ∑[f(xi) - (a0 + a1xi)]xi = 0通过解这两个方程组，我们可以得到a0和a1的值。

具体的求解方法可以是通过代数运算或者数值优化算法，例如最速下降法或牛顿法。

一旦我们确定了一次一致逼近多项式的系数，我们就可以使用这个多项式来逼近给定的函数f(x)。

由于一次多项式具有较简单的形式，计算也较为简单，因此在一些实际应用中具有一定的优势。

但需要注意的是，一次一致逼近多项式的逼近效果可能有限，在一些复杂的函数上可能无法达到较高的精确度。

多元连续函数的多项式逼近
多项式逼近是一种基于最小二乘拟合的数值分析算法，可用来进行多元连续函
数的拟合和估计。

它能够有效地分析大量样本数据，从而获得函数模型，并得到函数形式表示中的各项系数。

因此，多项式逼近可用于统计分析、曲线拟合，以及机器学习的多元函数建模等场景中。

传统上，多项式逼近主要分为一阶和二阶多项式逼近。

一阶多项式逼近是指将
多元函数逼近为一次函数的过程，其中多元函数只有一阶项，而不包括二阶及以上的项。

而二阶多项式逼近则是将多元函数逼近为二次函数的过程，其中多元函数除一阶项外，还包括二阶以及以上项。

在数据挖掘领域，多项式逼近在多元函数建模中被普遍应用，尤其是用于拟合
具有非线性特性的数据。

这种算法能够从数据中捕捉局部变化，并有效地拟合复杂的数据关系，以获得更加准确的数学模型。

同时，多项式逼近也有利于提升模型的准确性和可靠性，有助于进一步提高模型的预测效率。

此外，多项式逼近还可以用于解决多元非线性函数优化问题，即通过多项式逼
近来求函数的最优解。

通过该方法，可以将极端复杂的函数拆分为相对简单的模型，从而减少优化过程当中的计算复杂性。

总的来说，多项式逼近是一种非常重要的数值分析算法，可用于多元连续函数
的拟合和估计，在数据挖掘领域有着广泛的应用。

未来，随着数据挖掘技术的不断发展，多项式逼近在优化问题中的应用也将受到更多关注，并有望带来更多的发现。

教案用多项式逼近连续函数教学内容介绍前苏联数学家Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一种证明。

指导思想用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都比较艰深，学生难以理解。

我们发现了前苏联数学家Korovkin的一种证明，思想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理解一致收敛的概念。

教学安排先给出多项式一致逼近连续函数的定义：定义10.5.1设函数f (x)在闭区间[a, b] 上有定义，如果存在多项式序列｛P n (x)｝在[a, b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近。

应用分析语言，“f (x)在[a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为：对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使得｜P(x) - f (x)｜＜ε对一切x∈[a, b] 成立。

这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家Korovkin在1953年给出的证明。

定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理) 设f (x)是闭区间[a, b] 上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使｜P(x) - f (x)｜＜ε对一切x∈[a, b] 成立。

证不失一般性，我们设[a, b] 为[0, 1] 。

设X是[0, 1] 上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，现定义映射B n : X →Yf (t) B n (f , x) = ∑=--n kknkknxxnkf)1(C)(，这里B n (f , x) 表示f ∈X在映射B n 作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称为Bernstein多项式。

关于映射B n，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式：(1) B n是线性映射，即对于任意f , g ∈X及α,β∈R，成立B n (αf +βg, x) = αB n (f , x) +βB n (g, x)；(2) B n 具有单调性，即对于任意f , g ∈X，若f (t)≥g(t) （t∈[a, b]）成立，则B n (f , x ) ≥ B n (g , x )对一切x ∈[a , b ]成立；(3) B n (1, x ) = ∑=--n k k n k k nx x 0)1(C = [x + (1- x )] n = 1； B n (t , x ) = ∑=--n k k n k k n x x n k 0)1(C = x ∑=-----n k k n k k n x x1111)1(C = x [x + (1- x )] n -1 = x ；B n (t 2, x ) = ∑=--n k k n k k n x x nk 022)1(C = ∑=----n k k n k k n x x n k 111)1(C = ∑=-----n k k n k k n x x n k 211)1(C 1 + ∑=----n k k n k kn x x n 111)1(C 1 = ∑=------n k k n k k n x x x n n 22222)1(C 1 + ∑=-----n k k n k k n x x n x 1111)1(C = 21x n n - +n x = 2x +nx x 2-。

§3最佳一致逼近多项式2-1 最佳一致逼近多项式的存在性切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他不让多项式次数n 趋于无穷，而是固定n ，记次数小于等于n 的多项式集合为n H ，显然],[b a C H n ⊂。

记{1,,,}n n H span x x =L , n x x ,,,1L 是],[b a 上一组线性无关的函数组，是n H 中的一组基。

n H 中的元素)(x P n 可表示为01()n n n P x a a x a x =+++L ，其中n a a a ,,,10L 为任意实数。

要在n H 中求)(*x P n 逼近],[)(b a C x f ∈，使其误差)()(max min )()(max *x P x f x P x f n bx a H P n b x a n n −=−≤≤∈≤≤ 这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。

为了说明这一概念，先给出以下定义。

定义1 ],[)(,)(b a C x f H x P n n ∈∈，称)()(max ),(x P x f P f P f n bx a nn −=−=∆≤≤∞ 为)(x f 与)(x P n 在],[b a 上的偏差。

显然),(,0),(n n P f P f ∆≥∆的全体组成一个集合，记为)},({n P f ∆，它有下界0。

若记集合的下确界为,)()(max inf )},({inf x P x f P f E n b x a H P n H P n n n n n −=∆=≤≤∈∈ 则称之为)(x f 在],[b a 上最小偏差。

定义2 假定],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(*，n n E P f =∆),(*， 则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。

注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理。

魏尔施特拉斯逼近定理
[from wiki]
基本定理
魏尔斯特拉斯逼近定理有两个：
闭区间上的连续函数可⽤多项式级数⼀致逼近。

闭区间上周期为2π的连续函数可⽤三⾓函数级数⼀致逼近。

证明
第⼀逼近定理可以从第⼆逼近定理直接推出。

第⼆逼近定理的证明；
⾸先证明，为⼀个正交函数系： (因为)。

故令，于是可以求出。

将c n代⼊f a(t) 的定义式中，有：
下⾯对积分号中的和式S求和，令w = e in(t - s)，那么就有：，分成正负两部分求和，可知: 代回原积分，有，这就是f(s)泊松核。

故有：我们要检验的的是在时的情况，可以证明：
的泊松积分。

其中称为泊松核
由f(t)的⼀致连续性，可以证明，上式在时，满⾜⼀致收敛的条件，故可以⽤f r(t)来⼀致逼近f(t)。

参阅
傅⾥叶级数。

连续函数的一致连续性与逼近性连续函数是数学中非常重要的一类函数，它在各个领域都有广泛的应用。

在研究连续函数的性质时，一致连续性与逼近性是两个重要的概念。

本文将就连续函数的一致连续性与逼近性进行论述，并进行相关的分析。

1. 一致连续性连续函数的一致连续性是指函数在整个定义域上满足一致性条件，并且对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，当|x-y|<δ时，总有|f(x)-f(y)|<ε。

一致连续性的定义表明了函数在整个定义域上对于任意小的ε值都能找到相应的δ值，使得函数值的差距小于ε。

这种性质保证了函数的连续性在整个定义域上都是平滑的，避免了在某些特定点处出现跳跃或不连续的情况。

2. 逼近性逼近性是指连续函数能够用一系列接近它的函数来逼近。

对于给定的连续函数f(x)，存在一列连续函数{f_n(x)}，使得当n趋向于无穷大时，f_n(x)逐渐逼近于f(x)。

逼近性的概念体现了连续函数的近似性质。

通过逼近，我们可以用一系列更加简单或易于计算的函数来近似描述原函数，简化问题的求解过程。

逼近理论在数学分析、数值计算等领域有着广泛的应用。

3. 连续函数的一致连续性与逼近性的关系一致连续性是逼近性的基础。

如果一个函数在定义域上是一致连续的，那么它是可逼近的。

这是因为对于给定的ε>0，由于函数的一致连续性，我们可以找到一个δ>0，使得当|x-y|<δ时，总有|f(x)-f(y)|<ε/2成立。

然后通过选取适当的函数n，我们可以使得当n足够大时，|f_n(x)-f(x)|<ε/2。

因此，当|x-y|<δ时，有：|f_n(x)-f(x)| ≤ |f_n(x)-f(y)| + |f(y)-f(x)| < ε/2 + ε/2 = ε因此，函数f_n(x)在定义域上是一致连续的，并且逐渐逼近于函数f(x)。

综上所述，连续函数的一致连续性与逼近性是密切相关的。

一致连续性为函数提供了逼近的基础，使得我们可以使用一系列逼近函数来近似描述原函数。