04微商与微分

§4 高阶微商与高阶微分1．高阶微商物体运动规律)(t S 瞬时速度 ()v t ＝()s t '＝ds dt瞬时加速度 ()a t ＝()v t '＝(())s t ''，或 ()a t ＝dvdt＝()d ds dt dt ． 由此产生了高阶导数的概念．一般地，设()y f x =在(,)a b 可导，则()f x '仍是(,)a b 上的函数．若()f x '也在(,)a b 可导，则称()f x '的微商(())f x ''为()f x 的二阶微商(二阶导数)，记为()f x ''或(2)()fx 或22d ydx类似地可定义()f x ''的微商为()f x 的三阶微商(三阶导数)，记为 ()f x '''或(3)()fx 或33d y dx．定义(1)()n f x -的微商为()f x 的n 阶微商(n 阶导数)，记为 ()()n f x 或n n d ydx＝11()n n d d y dx dx --．下面给出几个常用的n 阶导公式 例1例2 设sin y x =，求()n y解 'c o s y x =，''s i n y x =-，'''c o s y x =-，(4)y s i n x =。

设n y x = (n 是正整数)，若n k ≤，则 k n k x k n n n y -+--=)1()1()( 若n k >，则 0)(=k y研究规律，得 'c o s y x =s i n ()2x π=+，''y =cos()2x π+＝sin()22x ππ++＝2sin()2x π+，'''y =2cos()2x π+＝2sin()22x ππ++＝3sin()2x π+由此我们不难归纳出对于cos y x =，则 c o s s i n ()2y x x π==+()n y =sin()22n x ππ++cos()2n x π=+例3 设arctan y x =，求()n y 解 21'1y x=+211t a n y =+2c o s y =； 方程两边再对x 求导并注意y 是x 的函数，得 =-='⋅-=''y y y y y y 2cos 2sin sin cos 22cos y sin 2(2y π+)；2'''[2c o s s i n s i n 2()2c o s 2()c o s ]'22y y y y y y y ππ=-+++32c o s [c o s 2()c o s s i n s i n 2()]22y y y yy ππ=+-+ )3c o s (c o s 23π+=y y ＝332c o s s i n (3)2y y π+)2(3s i nc o s 23π+=y y ； 若()(1)!cos sin ()2n n y n y n y π=-+，则x y sin =()n y = sin()2n x π+ x y cos = )(n y cos()2n x π=+(1)n y +1(1)![c o ss i n s i n ()c o s c o s ()]'22n nn n y y n y ny n y y ππ-=--+++1()!cos [cos cos ()sin sin ()]22n n y y n y y n y ππ+=+-+1!cos cos[(1)]2n nn y n y π+=++1!cos sin(1)()2n n y n y π+=++由数学归纳法得例4高阶微商的运算法则：若,u v 都是x 的函数 1、 ()()n u v ±＝()n u ()n v ±． 2、若v u y ⋅=，则()n y ＝()()nk n k k nk C u v -=∑，n ＝1，2…． （莱布尼兹公式） 这里，函数的零阶导数理解为函数本身．下面用数学归纳法证明．事实上，1=n 时就是导数的乘积公式，设公式对n 成立，则 (1)()()0()'nn kn k k n k yC u v +-==∑ (1)()()(1)0[]n kn k k n k k nk C u v u v -+-+==+∑ arctan y x =()n y ＝(1)!cos sin ()2n n y n y π-+xy 1=1)(!)1(+-=n nn x n y(1)()()(1)nnk n k k k n k k nn k k C uvC u v -+-+===+∑∑ （令j k =+1） 1(1)()1(1)()1nn kn k k k n k k nn k k C uvC u v +-+-+-===+∑∑ 0(1)(0)1(1)()(0)(1)1()nn k k n k k n n nn n n k C uvC C u v C u v +--++==+++∑ 1(1)()10n k n k k n k C uv +-++==∑ 其中用等式 001n n C C +=，11n n n n C C ++=， kn k nk n C C C 11+-=+ 由数学归纳法知公式对一切正整数n 成立。

第五章 微商与微分1 微商概念及其计算1．求抛物线2y x = 在(1,1)A 点和(2,4)B -点的切线方程和法线方程．2．若212S vt gt =-，求 （1）在1,1t t t ==+∆之间的平均速度（设1,0.1,0.01t ∆=）；（2）在1t =的瞬时速度．3．试确定曲线ln y x = 在哪些点的切线平行于下列直线：（1）1y x =-；（2）23y x =-．4．设2,3(),3,x x f x ax b x ⎧ ≥=⎨+ <⎩试确定,a b 的值，使()f x 在3x = 处可导．5．求下列曲线在指定点P 的切线方程和法线方程：（1）2,(2,1)4x y P =； （2）cos ,(0,1)y x P = ．6．求下列函数的导函数.（1）3()f x x =； （2）10,()10;x x f x x + , ≥⎧=⎨ , <⎩7．设函数1sin ,0()0,0m x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩（m 为正整数）． 试问：（1）m 等于何值时，()f x 在0x =连续；（2）m 等于何值时，()f x 在0x =可导；（3）m 等于何值时，'()f x 在0x =连续．8．设(0)'(0)0g g ==，1()sin 0,()00.g x x f x x x ⎧ , ≠⎪=⎨⎪ , =⎩ 求'(0)f ．9．证明：若0'()f x 存在，则0000()()lim '()2x f x x f x x f x x∆→+∆--∆=∆． 10．设()f x 是定义在(,) -∞+∞ 上的函数，且对任意12,(,)x x ∈ -∞+∞，有1212()()()f x x f x f x +=.若'(0)1f =，证明任意(,)x ∈ -∞+∞ ，有'()()f x f x =．11．设()f x 是偶函数，且'(0)f 存在，证明：'(0)0f =．12．设()f x 是奇函数，且0'()3f x =，求0'()f x -.13．用定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数．14．求下列函数的导函数：（1）2sin y x x =；（2）2cos 3y x x x =+；（3）tan 76y x x x =-+；（4）2sin 7cos 5x y e x x x =-+； （5）312y x x=-； （6）373y x x =+； （7）2211x y x +=-； （8）211y x x =++； （9）(1)(2)x y x x =--；（10）y =-；（11）y =；（12）y =+； （13）31ln n y x x x n=-； （14）4cos 1ln x y x x =； （15）1()ln y x x x=+； （16）cos ln 1x x x y x -=+； （17）1cos y x x=+； （18）sin cos sin cos x x x y x x x +=-； （19）1sin x xe y x-=； （20）sin ln y x x x =．15．求下列复合函数的导函数：（1）33(4)y x =-；（2）22(y x a x =+（3）y =（4）y = （5）ln(ln )y x =；（6）1ln 2a x y a x+=-；（7）ln(y x =+；（8）ln tan 2x y =；（9）y =；（10）3cos cos3y x x =-；（11）23x y -=； （12）arcsin(sin cos )y x x =；（13）22arctan1x y x =-； （14）22x x y e -+=；（15）y = （16）22sin 32xx y e x =+； （17）sin (,)1kx e x y k xωω-= +为常数；（18）y =+（19）sin cos n y x nx =；（20）y =16．用对数求导法求下列函数的导函数：（1）y =（2）y =（3）(n y x =；（4）(0)x y x x = , >；（5）ln (0)x y x x =, >；（6）1(1)(0)x y x x =+, >；（7）tan (0)x y x x = , >；（8）sin (0)x y a a = , >．17．设()f x 是对x 可导的函数，求dy dx： （1）2()y f x =；（2）()()x f x y f e e = ；（3）((()))y f f f x =． 18．设()x ϕ和()x ψ是对x 可求导的函数，求dy dx：（1）y = （2）()arctan (()0)()x y x x ϕψψ= ≠；（3）(()0,()0)y x x ϕψϕ=>≠；（4）()log ()(()0,()0,())x y x x x x ϕψψϕϕ= >> ≠1．19．求下列函数的导函数：（1）(cos sin )ax y e bx bx =+；（2）21arctan ln(1)2y x x x =-+；（3）212arctan arctan 1x y x x -=+-； （4）2arctan(tan )y x =；（5）()()()(,0)x a babxy a b b x a = >；（6）2arcsin (0)2a x y a a= >；（7）2ln (0)2a y x a =+>；（8）y=； （9）(0)a a x a x a y x a a a =++ >；（10）221(1)ln 61x y x x +=+-+2 微分概念及其计算1．求下列函数在指定点的微分：（1） 1110n n n n y a x a x a x a --=++++…，求(0),dy dy (1)；（2）sec tan y x x =+，求(0),()4dy dy π和()dy π； （3）1arctan x y a a=，求(0)()dy dy a ； （4）211y x x =+ ，求(0.1)(0.01)dy dy , ． 2．求下列函数的微分：（1）21x y x =-； （2）ln y x x x =-；（3）ln y x=-（4）y =；（5）2sin x y e =；（6）ln tan()24xy π=+．3．设,u v 是x 的可微函数，求dy ：（1）arctan u y v=；（2）y =（3）ln sin()y u v =+；（4）y =4．求下列函数的微分dy ：（1）2sin ,ln(31)y t t x ==+；（2）2ln(31),sin y t t x =+=；（3）331,ln ,252u y e u t t x x ===-+； （4）22arctan ,(ln ),1cot y u u t t x x = ==+-．3 隐函数与参数方程微分法1.求下列隐函数的导数dy dx： （1）22221(,)x y a b a b+= 为常数； （2）22()y px p = 为常数；（3）222()x xy y a a ++= 为常数；（4）330x y xy +-=；（5）1sin 2y x y =+； （6）222333()x y a a += 为常数；（7）cos()y x y =+；（8）arctan y x y =+；（9）1ln()y y x y e =-++；（10）arctan ln y x= 2．求下列参数方程的导数：（1）111t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩；（2）22sin cos x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩； （3）2222cos sin t t x e t y e t⎧=⎪⎨=⎪⎩； （4）(ln tan cos )2sin t x a t y a t⎧=+⎪⎨⎪=⎩． 3．求函数()y y x =在指定点的导数：（1）1cos sin ,(,0)22y x y π=+； （2）ln 1,(0,1)x ye y += ；（3）sin ,,1cos 2x t t t y t ππ=-⎧ =⎨=- ,⎩在处； （4）231,2,x t t y t t ⎧=-⎪ =⎨=-⎪⎩在． 4．一个圆锥型容器，深度为10m ，上面的顶圆半径为4m.（1）灌入水时，求水的体积V 对水面高度h 的变化率；（2）求体积V 对容器截面圆半径R 的变化率．5．设33cos ,sin x a t y a t ==．（1）求'()y t ；（2）证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数．6．证明：曲线(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=- ⎩上任一点的法线到原点的距离恒等于a ．4 高阶微商与高阶微分1.求下列函数在指定点的高阶导数：（1）32()3459f x x x x =+--，求(4)''(1),'''(1),(1)f f f； （2）()f x =求''(0),''(1),''(1)f f f -．2．求下列函数的高阶导数：（1）ln y x x =，求''y ；（2）2x y e -=，求'''y ；（3）22,x y x e =求()n y ；（4）y =，求()n y ；（5）5cos y x x =，求(50)y ；（6）32x xe e y x --=，求(30)y ． 3．求下列函数的n 阶导数：（1）x y a =；（2）ln y x =．4．求下列函数的n 阶导数：（1）1(12)y x x =-； （2）2sin y x =；（3）128y x x 2=--； （4）xe y x=； （5）2ln1x y x +=-； （6）2ln x y x =．5．设()f x 的各阶导数存在，求''y 及'''y ．（1）2()y f x =；（2）1()y f x=；（3）()x y f e -=；（4）(ln )y f x =；（5）(())y f f x =．6．若21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪ ≠= ⎨⎪ =⎩，证明()(0)0n f =．7．求下列函数的二阶微分：（1）y =；（2）arctan y x x =；（3）2(),()u y f u e u x x ϕ====．8．求下列函数的三阶微分：（1）设()ln ,(),x u x x v x e == 求33(),()ud uv d v； （2）设2(),()cos2x u x e v x x ==，求3(),()u d uv d v．9．求下列参数方程的二阶导数：（1）2323x t t y t t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩； （2）cos sin x a t y a t= ⎧⎨=⎩；（3）(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩； （4）cos sin t t x e t y e t⎧=⎪⎨=⎪⎩； （5）33cos sin x a t y a t⎧= ⎪⎨=⎪⎩； （6）'()'()()x f t y tf t f t =⎧⎨=-⎩．10．求下列隐函数的二阶导数22d y dx： （1）0x y e xy +-=；（2）3330x y axy +-=；（3）242ln 0y y x +-=．11．设函数()y f x =在点x 二阶可导，且'()0f x ≠，若()f x 存在反函数1()x f y -= ，试求1)''()f y -(．12．设12sin cos y c x c x =+，证明y 满足方程''0y y +=．13．设arctan y x =．（1）证明y 满足方程2(1)''2'0x y xy ++=；（2）求()(0)n y ．14．设()y y x =存在反函数，且满足方程232()0d y dy dx dx+=． 证明：反函数()x x y = 满足221d x dy =，并且由此求出一个()y y x =．。

第四章 微商与微分
一、学习要求：
（1）正确理解微商的概念；
（2）知道微商的几何意义与物理意义；
（3）掌握可导与连续的关系；
（4）牢固掌握求导的四则运算公式、复合函数求导的法则和反函数求导的法则，能迅速正确地求初等函数的导数；
（5）熟悉基本初等函数的求导公式；
（6）掌握隐函数的求导法，对数求导法，由参数方程确定的函数的求导法；
（7）正确理解微分概念；
（8）了解可微与可导的关系，知道导数与微分的区别与联系；
（9）正确理解一阶微分的形式不变性，并会用它求导．
二、学习的重点与难点
重点：微商与微分的概念，求导的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本
初等函数的求导公式．
难点：复合函数的求导法则，一阶微分的形式不变性．
三、导数的常用计算方法
（1）利用微商的定义求导；
（2）利用求导的四则运算法则及基本初等函数的导数公式求导；
（3）利用反函数求导法则求导；
（4）利用复合函数的链式法则求导；
（5）利用对数求导法则求导；
（6）隐函数求导法；
（7）由参数方程给出的函数的求导；
（8）用莱布尼兹公式求高阶导数．
四、微分的求法
（1）用()dx x f dy '=来求；
（2）利用微分的四则运算公式来求；
（3）利用一阶微分的形式不变性来求复合函数的微分．。

数学物理中的微分方程与偏微分方程微分方程（Differential Equation）是指含有未知函数及其偏导数（微商、微分）的方程式，它构成了数学物理中非常重要的一部分，得到了广泛的应用。

微分方程可以分为两类：常微分方程和偏微分方程。

常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是指只含有未知函数在一自变量上的微分方程，如：$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$因此常微分方程的解是一个函数，函数的含义是描述未知函数随自变量的变化规律。

常微分方程的求解方法很多，如分离变量、同构变换、变量替换等等。

然而，有时候微分方程的求解是非常困难的。

偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是指既含有未知函数在多个自变量上的微分方程，如：$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$其中，$u(x,t)$表示未知函数，$x$和$t$分别是自变量，这类方程的解为一个函数，函数的含义是描述未知函数随自变量的变化规律。

偏微分方程的求解方法较少，通常需要进行数值模拟或是利用特殊解的方法解出一般解。

偏微分方程在物理学领域里有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程、薛定谔方程等等，都是重要的偏微分方程。

以热传导方程为例，它描述了在热传导过程中温度的变化规律。

简单来说，热的传播就是热量从高温区域向低温区域传递的过程，温度高低的变化就可以用热传导方程来表示。

热传导方程的一般形式如下：$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = k \nabla ^ 2 T$其中，$T$表示温度，$\rho$是密度，$c_p$是比热容，$k$是导热系数，$\nabla ^2$ 是 Laplace 算子，代表二阶偏导数的和。

根据这个方程，热传导的速度可以通过求解 $T$ 的空间和时间的函数得到。