绝对值

数的绝对值知识点数的绝对值是数学中一个基本的概念，它可以用来表示一个数与零的距离，而不考虑这个数的实际取值是正数还是负数。

在数学中，数的绝对值常常和绝对值函数一起讨论。

本文将介绍数的绝对值的定义、性质以及在不同数学领域中的应用。

一、数的绝对值的定义数的绝对值的定义非常简单，即一个数的绝对值等于这个数的绝对值函数所得到的值。

当一个数为正数或者零时，它的绝对值等于本身；当一个数为负数时，它的绝对值等于它的相反数。

绝对值可以用一个竖线 "|" 来表示。

例如：-5的绝对值为|-5| = 50的绝对值为|0| = 07的绝对值为|7| = 7二、数的绝对值的性质数的绝对值有以下几个基本的性质：1. 非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即对于任意实数x，|x| ≥ 0。

2. 正数的绝对值为本身：对于任意正数x，|x| = x。

3. 负数的绝对值为相反数：对于任意负数x，|x| = -x。

4. 零的绝对值为零：|0| = 0。

5. 三角不等式：对于任意实数x和y，有|xy| = |x| |y|。

三、数的绝对值的应用1. 绝对值的意义：绝对值可以用来衡量一个数与零的距离，而不考虑这个数的符号。

在实际应用中，我们常常使用绝对值来表示误差、距离、温度差等概念。

2. 绝对值的运算：绝对值也可以进行加减乘除运算。

当进行加减运算时，只需考虑数的绝对值，不用考虑它们的符号。

当进行乘除运算时，需要将数的绝对值进行运算，并根据原数的符号来确定结果的符号。

3. 不等式的解：绝对值在不等式的求解中经常出现。

当我们需要求解一个绝对值不等式时，可以将它转化为两个简单的不等式来求解，分别考虑被绝对值函数包围的正负部分。

4. 函数的图像：绝对值函数的图像可以帮助我们更直观地理解绝对值的性质。

绝对值函数的图像是一条以原点为对称中心的折线，当自变量为正数时，函数值等于自变量；当自变量为负数时，函数值等于自变量的相反数。

5. 复数的模：复数的模也是一种绝对值的概念。

绝对值不等式绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它与绝对值的性质和运算相关。

通过研究绝对值不等式，我们可以解决许多实际问题，同时也提升了我们的数学思维和解题能力。

一、绝对值的定义绝对值是表示一个数离原点的距离。

对于一个实数x，它的绝对值记作|x|，定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

例如，|5|=5，|-3|=3。

二、绝对值不等式的性质1. 绝对值的非负性质：对于任意实数x，有|x|≥0。

2. 绝对值的等价性：若|x|=0，则x=0。

3. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。

三、一元绝对值不等式的求解方法当我们遇到一元绝对值不等式时，可以采用以下两种方法求解：1. 列举法：根据不等式的性质及绝对值的定义，列举出满足不等式条件的数。

例题1：|x-2|<3根据绝对值的定义，可以得到以下两个不等式：x-2<3 ==> x<5；-(x-2)<3 ==> -x+2<3 ==> 2-x<3 ==> x>-1。

综合以上两个不等式的解，得到-1<x<5。

2. 分类讨论法：将绝对值拆分成正负两种情况，分别求解。

例题2：|2x-3|>4当2x-3>0时，可以得到以下不等式：2x-3>4 ===> 2x>7 ===> x>3.5。

当2x-3<0时，可以得到以下不等式：-(2x-3)>4 ===> -2x+3>4 ===> -2x>1 ===> x<-0.5。

综合以上两个情况的解，得到x>3.5或x<-0.5。

四、二元绝对值不等式的求解方法对于二元绝对值不等式，我们需要分别对两个变量进行分类讨论，并结合不等式的特点进行求解。

例题3：|x-2|+|y+1|<5当x-2>0且y+1>0时，可以得到以下不等式：x-2+y+1<5 ==> x+y<6。

绝对值与绝对值不等式绝对值是数学中的一个重要概念，它表示一个数与零之间的距离。

绝对值可以用符号“| |”来表示，其内部的数值可为正数或负数。

绝对值有时会与不等式一起讨论，这就是我们所说的绝对值不等式。

一、绝对值的定义绝对值的定义非常简单，对于任意的实数a，它的绝对值为|a|，表示数a与0之间的距离，计算公式如下：若a ≥ 0 ，则|a| = a若a < 0 ，则|a| = -a例如，|5| = 5，|-3| = 3，|0| = 0。

绝对值的本质是将一个数的正负情况抹去，只关注它与零之间的距离。

二、绝对值不等式的定义绝对值不等式是指将绝对值与不等式相结合，表示一个数与另一个数之间的关系。

绝对值不等式的一般形式为：|a - b| < c其中a、b、c为实数，且c > 0。

这种不等式的含义是，表示a与b之间的距离小于c。

例如，|x - 2| < 3，表示x与2之间的距离小于3。

三、绝对值不等式的求解方法要解决绝对值不等式，我们需要掌握一些基本的求解技巧。

1. 消去绝对值符号当绝对值不等式中只含有一个绝对值符号时，我们可以通过判断绝对值内部的值的范围来消去绝对值符号。

例如，对于不等式|2x - 3| < 5，我们可以考虑两种情况：当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，原不等式变为2x - 3 < 5，解得2x < 8，x < 4。

当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3)，原不等式变为-(2x - 3) < 5，解得2x > -2，x > -1。

综合以上情况可得，x的取值范围为-1 < x < 4。

2. 利用绝对值的性质绝对值有一个重要的性质：|a - b| ≤ c等价于 -c ≤ a - b ≤ c。

例如，对于不等式|3x - 1| ≤ 2，我们可以利用这个性质进行求解：-2 ≤ 3x - 1 ≤ 2，-1 ≤ 3x ≤ 3，-1/3 ≤ x ≤ 1。

绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛.在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。

对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。

总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x| > 0，请牢牢记住这一点。

二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

例1.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c| 化简结果为（）A. 2a+3b-c B . 3b-c C . b+c D . c-b（第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题）解：由图形可知a v 0, c>b>0,且|c| > |b| >|a|，贝U a+b> 0, b-c v 0. 所以原式=-a+b+a+b-b+c = b+c，故应选（C）.三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x| > 0，绝对值最小的数是零。

2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x< |x|。

3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。

4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等（显然如|6| = |-6| ，但6丰-6），只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。

四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。

即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

例 2. 已知：|x-2|+x-2 = 0,求：(1)x+2 的最大值；(2)6-x 的最小值。

解：•/ |x-2|+x-2 = 0 ,••• |x-2| = -(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，• x-2 w 0,即卩x w 2，这表示x的最大值为2(1) 当x= 2时，x+2得最大值2+2= 4;(2) 当x= 2时，6-x得最小值6-2 = 42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的,就需先求零点,再分区间定性质,最后去掉绝对值符号。

第三讲绝对值【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）．A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C．（方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C．【答案】C．【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________．【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6．所以a＋b＝2＋（－6）＝－4．【答案】－4．知识点2 有理数比较大小（1）利用有理数的性质比较大小①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.②比较两个负数大小的步骤：a.分别求出这两个负数的绝对值；b.比较这两个绝对值的大小；c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．（2）利用数轴比较大小数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．【注意】比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小．【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）．A．0 B．C．－2 D．【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小．（方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论．【答案】C．【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，0，1.5，－2.5．【解析】先把数2，－0.5，0，1.5，－2.5分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论．【答案】由数轴可得，－2.5＜－0.5＜0＜1.5＜2 ．【例7】已知a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，则a，－a，b，－b的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，可以得到a＞b＞0．由此再得到－a＜－b＜0，所以a，－a，b，－b的大小关系是－a＜－b＜b＜a．【答案】－a＜－b＜b＜a．2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_____，b =_____，c =_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21|（2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| 14.计算 （1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____ （3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____ 15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于016.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（ ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？1．在数轴上看，零一切负数，零一切正数；两个数，右边的数左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越，即离原点越远，表示的数越，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而。

绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式是一种重要的数学概念，它涉及到求出
未知数的绝对值在运算中扮演着重要的作用。

绝对值是实数或复数的
一种计算方法，即不考虑数的符号，只考虑数的大小。

如果a表示一个实数，可表示为绝对值的形式：
| a | = a (实数)
如果z是一个复数，可以用复平面上的模量表示为绝对值的形式：| z | = √(x² + y² ) (复数)
绝对值的运算规则有以下三条：
1、绝对值的加法法则：
| a + b | = |a| + |b|
2、绝对值的乘法法则：
| a × b | = |a| × |b|
3、绝对值的减法法则：
| a - b |≤|a| + |b|
此外，绝对值还有三个基本性质：
1、不等式性质：对任意实数a，都有0 ≤ | a | 。

2、加法性质：对任意实数a，都有| a + b |≤|a| + |b| 。

3、乘法性质：对任意实数a，都有| a × b |=|a| × |b| 。

以上就是绝对值的运算规则及公式，它们不但在数学中有着广泛
的应用，而且在日常生活中也是重要的数学知识。

因此，了解绝对值
运算的基本规则和公式，对我们的数学学习和生活有着重要的意义。

绝对值(absolute value)是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数(rational number)运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程(组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：1.去绝对值的符号法则：|a|=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(00a a a a a ）（ 2.绝对值基本性质 ① 非负性：|a|≥0；②|ab|=|a||b|；③|b a |=||||b a （b ≠0）； ④222||||a a a ==；⑤|a+b|≤|a|+|b|；⑥||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.3．绝对值的几何意义从数轴上看，|a|表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；|a-b|表示数a 、数b 的两点间的距离．【例l 】(1)已知|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=_______．(北京市“迎春杯”竞赛题)(2)已知a 、b 、c 、d 是有理数，|a-b|≤9，|c-d|≤16，且|a-b-c+d|=25,那么|b-a|-|d-c|=_______．(第14届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 (1)由已知条件求出a 、b 、c 的值，注意条件a>b>c 的约束；(2)若注意到9+16=25这一条件，结合绝对值的性质。

问题可获解．【例2】如果a 、b 、c 是非零有理数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ．1或一1C ．2或一2D ．0或一2(2003年山东省竞赛题)思路点拨 根据a 、b 的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关 镩．【例3】 已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式)2002)(2002(1)2)(2(1)1)((11+++++++++b a b a b b a ab 的值. 思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出a 、b 的值．【例4】 化简(1)|2x 一1|；(2)|x-1|一|x-3|；(3)||x-1|一2|+|x+1|．思路点拨 (1)就2x 一1≥0，2x 一1<O 两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1，3(使x-1=0，3-x=0的值)在同一数轴上表示出来，就x<l ，1≤x<3，x≥3三种情况进行讨论；(3)由|x+1|=0，|x-1|-2=0得x=-1，x=1，x=3．【例5】 已知a 为有理数，那么代数式|a-1|+|a-2|+|a-3|+|a-4|的取值有没有最小值?如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．思路点拨 a 在有理数范围变化，a-1、a-2、a-3、a-4的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉,为此要对a 的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．1.若有理数x 、y 满足20022)1(-x +|x-12y+1|=0,则=+22y x ________. 2.已知|a|=5,|b|=3,且|a －b|=b-a,那么a+b=________. 3.已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图所示:则|c-1|+|a-c|+|a-b|化简后的结果是___________.(2000湖北省选拔赛题) （第3题）4.若a,b 为有理数，那么，下列判断中：（1）若|a|=b ，则一定有a=b ； (2)若|a|>|b|，则一定有a>b ； (3)若|a|>b,则一定有|a|>|b|； (4)若|a|=b ，则一定有22)(b a -=。

什么是绝对值
绝对值就是在数轴上任意一个点到原点的距离，用符号“∥”表示。

比如：数字3在数轴上距离原点为3个单位，那么3的绝对值便为3，用数学符号表示为，3，＝3，数字－6在数轴上距离原点为6个单位，所
以－6的绝对值为6，表示为，－6，＝6，特殊数字0距离原点为0，所
以0的绝对值还是为0，具体表示为，0，＝0。

绝对值有关性质：
（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非
负性。

（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0。

（3）绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数或相等。

（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。

绝对值等式、不等式：
（1），a，b，=，ab，。

（2），a，、，b，=，a、b，（b≠0）。

（3）a^2=，a，^2。