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莫比乌斯带莫比乌斯带（德语：Möbiusband），又译梅比斯环或麦比乌斯带，是一种拓扑学结构，它只有一个面（表面），和一个边界。
它是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·李斯丁（Johhan Benedict Listing）在1858年独立发现的。
这个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。
事实上有两种不同的莫比乌斯带镜像，他们相互对称。
如果把纸带顺时针旋转再粘贴，就会形成一个右手性的莫比乌斯带，反之亦类似。
莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质。
如果从中间剪开一个莫比乌斯带，不会得到两个窄的带子，而是会形成一个把纸带的端头扭转了两次再结合的环（并不是梅比斯环），再把刚刚做出那个把纸带的端头扭转了两次再结合的环从中间剪开，则变成两个环。
如果你把带子的宽度分为三分，并沿着分割线剪开的话，会得到两个环，一个是窄一些的莫比乌斯带，另一个则是一个旋转了两次再结合的环。
另外一个有趣的特性是将纸带旋转多次再粘贴末端而产生的。
比如旋转三个半圈的带子再剪开后会形成一个三叶结。
剪开带子之后再进行旋转，然后重新粘贴则会变成数个Paradromic。
莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。
但是这是一个不真实的传闻，因为“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。
几何学与拓扑学结构用Matlab描绘的莫比乌斯带一个利用参数方程式创造出立体莫比乌斯带的方法：这个方程组可以创造一个边长为1半径为1的莫比乌斯带，所处位置为x-y面，中心为（0，0，0）。
参数u在v从一个边移动到另一边的时候环绕整个带子。
如果用圆柱坐标系（r,θ,z）表示的话，一个无边界的莫比乌斯带可以表示为：从拓扑学上来讲，莫比乌斯带可以定义为矩阵[0,1]×[0,1]，边由在0 ≤x≤1的时候（x,0）~（1-x,1）决定，如右图所示。
关于莫比乌斯环的趣味数学问题【实用版】目录1.莫比乌斯环的简介2.莫比乌斯环的特点3.莫比乌斯环的制作方法4.莫比乌斯环的应用领域5.莫比乌斯环的趣味数学问题正文一、莫比乌斯环的简介莫比乌斯环，又称莫比乌斯带，是由德国数学家莫比乌斯于 1858 年发现的一种奇特的纸带。
它只有一个面，却能将整个纸带覆盖。
这是一个极具趣味性的数学问题，让我们来一起探讨。
二、莫比乌斯环的特点莫比乌斯环最神奇的地方在于它只有一个面。
一般来说，一个纸带会有两个面，一个是正面，一个是反面。
但是莫比乌斯环却只有一个面，这是怎么回事呢？实际上，这是因为莫比乌斯环在制作过程中，将纸带的一端翻转 180 度后与另一端粘接在一起，形成一个闭合的曲面。
因此，纸带上的每个点都与其他点相邻，从而形成了一个只有一个面的纸带。
三、莫比乌斯环的制作方法制作莫比乌斯环非常简单。
首先，准备一个长纸条，然后将纸条的一端翻转 180 度，与另一端粘接在一起。
这样就完成了一个莫比乌斯环的制作。
你可以尝试自己动手制作一个，感受一下这个神奇的纸带。
四、莫比乌斯环的应用领域莫比乌斯环在数学领域有很多有趣的应用，比如拓扑学、几何学等。
此外，莫比乌斯环也在现实生活中有所应用，比如在魔术表演中，魔术师会利用莫比乌斯环制造一些神奇的效果。
五、莫比乌斯环的趣味数学问题莫比乌斯环还有一个有趣的数学问题，那就是如何在莫比乌斯环上绘制一条直线。
一般来说，在平面上绘制一条直线是非常容易的，但是在莫比乌斯环上绘制一条直线却非常困难。
这是因为莫比乌斯环的曲面结构使得传统的直线绘制方法不再适用。
这个问题引发了数学家们的广泛讨论和研究，也成为了一个有趣的数学话题。
总的来说，莫比乌斯环是一个充满趣味性的数学问题，它让我们看到了数学的奥妙和魅力。
从莫比乌斯环的发现到制作，再到应用和趣味问题，我们可以看到数学家们在这个问题上的不断探索和研究。
莫比乌斯带的生活用途
莫比乌斯带，是一种奇特的几何结构，其特殊的形状使得它在生活中有着各种
各样的用途。
从科学研究到日常生活，莫比乌斯带都展现出了它的独特魅力。
首先，莫比乌斯带在数学和物理学领域有着重要的应用。
它被用来研究拓扑学
和流体力学等领域的问题，因为它的非常规形状使得它在这些领域有着独特的优势。
科学家们可以通过研究莫比乌斯带来探索宇宙的奥秘，解决一些复杂的数学难题，甚至应用到工程技术中。
其次，莫比乌斯带在艺术和设计领域也有着广泛的应用。
它的独特形状和结构
使得它成为了设计师们的创意灵感之源。
从建筑设计到时尚潮流，莫比乌斯带都可以被灵活地运用，为作品增添一份独特的魅力和创意。
此外，莫比乌斯带还可以在日常生活中发挥作用。
例如，一些家居用品的设计
就采用了莫比乌斯带的形状，如莫比乌斯带形状的椅子、桌子等，不仅美观大方，而且还可以节省空间，方便使用。
另外，莫比乌斯带还可以被用来制作一些特殊的工艺品，成为家居装饰的一部分。
总的来说，莫比乌斯带在生活中有着丰富多彩的用途，它不仅是科学研究的工具，还可以成为艺术创作的灵感，甚至可以融入到日常生活中。
它的独特形状和结构给我们带来了无限的想象空间，让我们在生活中感受到了数学和艺术的奇妙之处。
希望未来能够有更多的人们发现莫比乌斯带的魅力，将它应用到更多的领域中，为生活带来更多的美好和创意。
什么是莫比乌斯环？莫比乌斯环是一种神奇的物体，它看上去只是一个普通的环形带子，但实际上却具有令人惊异的几何性质。
它的独特之处在于，如果你把它沿着一条中心线剪开并扭转一下再粘合在一起，你会得到一个令人惊异的结果。
接下来，我们将深入探讨莫比乌斯环的奇妙之处，帮助你全面了解这个令人着迷的物体。
1. 莫比乌斯环的构造莫比乌斯环最初是由德国数学家奥古斯特·莫比乌斯于1858年发现的。
它的构造非常简单，只需要取一个带有端点的长方形纸片，然后将一端反向粘合另一端，即可制成一个莫比乌斯环。
2. 莫比乌斯环的特性在我们剪开并扭转一下再粘合在一起之前，莫比乌斯环看起来就像一个普通的环形带子，但一旦我们将它剪开并扭转再粘合在一起，它就变成了一个带有一个面和一个边界的物体。
另一个有趣的特性是，如果我们在莫比乌斯环上画一条线从任意一点开始，一直沿着表面行进，最终会返回原点，但这期间它经历了一个完整的环绕过程，这样的线被称为莫比乌斯带。
3. 莫比乌斯环的应用莫比乌斯环在现代数学和物理中有着广泛的应用，特别是在与曲面理论、拓扑学和量子场论等相关领域中。
在曲面理论中，莫比乌斯环被广泛应用于描述圆柱、球面、圆盘和环面等复杂的曲面结构。
在拓扑学中，它被用来研究可连通性、同伦等基本概念。
当然，莫比乌斯环的应用不仅限于数学领域，它还被广泛运用于模型制作、游戏开发、视觉设计等领域。
结论莫比乌斯环是一种奇特而有趣的物体，它具有许多出人意料的几何和物理性质。
虽然它看似很简单，但实际上它却在许多学科中具有非常广泛的应用。
我们希望这篇文章可以帮助你更深入地了解这个神奇的物体，也可以让你在未来的学习和工作中更好地应用它。
有趣的拓扑学现象嘿，大家好啊！今天咱来聊聊有趣的拓扑学现象。
啥是拓扑学呢？哎呀，其实我一开始也不太明白，后来慢慢了解了一些，才发现这玩意儿还挺有意思的。
简单来说呢，拓扑学就是研究图形在变形过程中不变的性质。
比如说，一个甜甜圈和一个咖啡杯，从拓扑学的角度来看，它们是一样的哦！惊不惊喜，意不意外？我记得有一次，我和朋友去参加一个科普活动。
活动现场有个老师拿着一个橡胶圈，给我们演示拓扑学现象。
他把橡胶圈扭了几下，然后就变成了一个奇奇怪怪的形状。
我们都看得目瞪口呆，这也太神奇了吧！老师还说，这就是拓扑学的魅力，它能让我们看到一些平时看不到的东西。
还有一个很有趣的拓扑学现象，就是莫比乌斯带。
这玩意儿可好玩了。
你知道吗？莫比乌斯带只有一个面和一条边。
听起来很不可思议吧？我自己也动手做了一个莫比乌斯带。
我拿了一张纸条，把一端扭转 180 度，然后再和另一端粘起来。
哇，真的就变成了一个只有一个面和一条边的神奇带子。
我拿着铅笔在上面画，一直画一直画，居然能把整个带子都画满，而且不会重复。
这可把我乐坏了。
另外，还有一个叫克莱因瓶的东西。
这瓶子也很神奇哦！它没有内外之分。
就好像一个瓶子被打通了，然后把里面和外面连在了一起。
我在网上看到过克莱因瓶的图片，那形状真的很奇特。
我就想啊，要是有一个真正的克莱因瓶，那该多好玩啊！可以把东西放进去，然后不知道会从哪里出来呢。
拓扑学现象真的很有趣，它让我们看到了世界的奇妙之处。
虽然有时候我们可能不太理解那些复杂的理论，但是通过一些简单的实验和演示，我们也能感受到拓扑学的魅力。
说不定哪天，我们在生活中也能发现一些有趣的拓扑学现象呢。
嘿嘿，到时候可就有的玩了。
总之啊，拓扑学虽然有点神秘，但也很有趣。
大家有时间可以去了解了解，说不定会给你带来很多惊喜哦！好啦，今天就聊到这里吧。
下次有好玩的事儿，再跟大家分享。
拜拜！。
莫比乌斯圈原理莫比乌斯圈原理，又称莫比乌斯带原理，是数学中的一个重要概念，它源自德国数学家莫比乌斯的研究成果。
莫比乌斯圈原理是拓扑学中的一个基本原理，它描述了一个特殊的几何结构，即莫比乌斯带。
莫比乌斯带是一种特殊的曲面，其最大的特点是只有一个面和一个边。
在莫比乌斯带上，沿着边走一圈，当回到起点时，会发现自己正好处于带的另一面。
这种奇特的性质引发了许多数学家和物理学家的兴趣，莫比乌斯圈原理也因此成为了研究的热点之一。
莫比乌斯圈原理的应用非常广泛，不仅在数学领域有重要的作用，还在物理学、工程学等领域有着重要的应用价值。
在数学中，莫比乌斯圈原理被广泛应用于拓扑学、微分几何学等领域的研究中，它为研究者提供了一种全新的思路和方法。
在物理学中，莫比乌斯圈原理被应用于描述一些特殊的物理现象，如量子力学中的拓扑绝缘体和拓扑超导体。
在工程学中，莫比乌斯圈原理被应用于设计一些特殊的结构和材料，以实现一些特殊的功能和性能。
莫比乌斯圈原理的研究不仅有着理论上的重要意义，还有着实际应用上的重要价值。
通过对莫比乌斯圈原理的深入研究，人们可以更好地理解自然界中一些特殊的现象，设计出更加优秀的材料和结构，推动科学技术的发展。
因此，莫比乌斯圈原理的研究具有非常重要的意义，它将为人类社会的发展做出更大的贡献。
总之，莫比乌斯圈原理是数学中的一个重要概念，它描述了一个特殊的几何结构，即莫比乌斯带。
莫比乌斯带具有非常特殊的性质，这种性质不仅引发了许多数学家和物理学家的兴趣，还在实际应用中具有重要的价值。
通过对莫比乌斯圈原理的研究，人们可以更好地理解自然界中的一些特殊现象，设计出更加优秀的材料和结构，推动科学技术的发展。
因此，莫比乌斯圈原理的研究具有非常重要的意义，它将为人类社会的发展做出更大的贡献。
有趣的拓扑原理拓扑原理是数学中的一个分支，研究的是空间和形状的性质。
下面我将介绍一些有趣的拓扑原理。
1. 无法投影的球面在三维空间中，球面是一个常见的几何形状。
然而，拓扑学告诉我们，无法在三维空间中将整个球面投影到平面上。
这是由于球面具有一个称为欧拉特征数的量，而平面的欧拉特征数是1，球面的欧拉特征数是2。
因此，我们无法通过一个连续的变换将整个球面展现在平面上。
2. 莫比乌斯带莫比乌斯带是一个具有非常特殊性质的物体。
它只有一个面和一个边。
如果我们沿着莫比乌斯带的中心线旋转一圈，会得到一个正常的环，并且它的两个面都是连接在一起的。
这使得莫比乌斯带具有令人迷惑和有趣的性质。
3. 无限迭代在拓扑学中，有一种叫做分形的特殊图形。
分形是一种具有自相似性的几何图形，例如科赫雪花和曼德尔布罗集。
这些图形可以无限地迭代下去，每一次迭代都会生成更多的细节。
这使得拓扑学与自然界中很多现象有着紧密的联系，例如树木的分枝结构和河流的分布。
4. 赛德尔绕线赛德尔绕线是一种具有非常特殊形状的线条。
它是由一根线从一个曲线的两侧绕着曲线而得到的。
赛德尔绕线有着奇异的性质，例如在某些点上，它不是一条曲线，而是一个集合。
这使得赛德尔绕线成为了数学中的一个经典问题。
5. 赫伯德曲线赫伯德曲线是一种通过无限次细分等分线段得到的连续曲线。
这条曲线具有很多有趣的性质，例如它是无界的、连续的、覆盖了整个平面。
赫伯德曲线的构造过程非常简单和直观，但是它的性质却非常复杂和令人惊奇。
拓扑原理不仅仅在数学中有用，它还可以应用于其他领域。
例如，在计算机图形学中，拓扑原理可以用来构建3D模型和处理形状。
在物理学中，拓扑原理可以帮助我们理解物质的性质和相变过程。
在生物学中，拓扑原理可以用来研究分子的结构和蛋白质的折叠。
总之，拓扑原理是一个非常有趣和强大的数学工具。
它可以帮助我们理解形状和空间的性质，并在各个领域中应用。
无论是在纯数学研究中还是在实际应用中，拓扑原理都有着重要的作用。
1生生不息的莫比烏斯帶 ―拓 撲 學 奇 趣
一、 什麼是拓撲學 拓撲學（Topology）是在19世紀末興起並在20世紀中迅速蓬勃發展的一門數學分支，其中拓撲變換在許多領域均有其用途。直至今日，從拓撲學所衍生出來的知識已和近世代數、分析共同成為數學理論的三大支柱。 拓撲學的最簡單觀念產生於對周圍世界的直接觀察。直觀的說，關於圖形的幾何性質探討，不限於它們的“度量”性質（長度、角度等等）方面的知識。拓撲學探討各種幾何形體的性質，但是其內容卻與幾何學的範疇不盡相同，多數的討論都是圍繞在那些與大小、位置、形狀無關的性質上。 例如，曲線（繩子、電線、分子鏈 …）不論有多長，它可以是閉合或不是閉合的。如果曲線是閉合的，則它可以是“纏繞”得很複雜的。兩條以上的閉曲線可以互相套起來，而且有很多型式。立體及它們的表面可以是有“孔洞”的，在不割裂、破壞孔洞下，它們允許做任意的伸縮及變形。這種變形不會減少或增加孔動數量，就叫做它的“拓撲性質”。一個橡皮圈，在它的彈性限度內，任憑我們把它拉長、扭轉，只要不把它弄斷，那麼它永遠是一個圈圈。拉長使它的長度改變了，扭轉使它的形狀改變了，然而在拓撲學上不會理會這些，只是專注在“它永遠有一個圈圈”上。 A. 拓撲同胚與等價性質
拓撲學只探討各種幾何形體的內稟特質。一個幾何圖形的性質，經由一拓撲變換作用後維持不變，該性質稱為圖形的拓撲性質。下面兩組圖形從拓撲變換角度來看，它們分別是“等價”的。
等價 等價 任何三角形、方形、圓形及橢圓的內稟特質，從拓撲學的立場看來，它們都沒有任何區別。然而，在初等幾何學中，這些圖形的形狀、面積、周長等都是不相同的。 2
如果我們把一個橡皮製的物體X任意的扭轉、拉長，但不可把它撕開或弄斷，而得到另一形狀的物體Y，我們稱這兩個物體X和Y在拓撲上是一種“同胚”或“等價”的結構。廣義的來說，在一個物體到另一個物體的對應關係，如果它是不間斷，又不重複，則在拓撲上稱這個關係在兩物體間建立一個“同胚”變換。兩個物體間如果存在有這種關係，則稱它們為“拓撲同胚”。 例如，任意一個三角形在任意延伸、伸縮的變形變換中，可以疊合住一個圓形。所以這個延伸、伸縮變換是一種同胚變換，因而三角形和圓形在拓撲上被視為是同胚或等價的。
拓撲學就是探討同胚的拓撲空間所共有的性質之一門學科。網路、歐拉定理、曲面、向量場、四色問題、結、覆蓋等，都是拓撲學研究的重要課題。 B. 不可思議的拓撲變換
法國著名數學家龐加萊（Poincaré, 1854〜1912）以他豐富的想像力及抽象的思維能力，提出下圖中的兩個物體是等價（同胚）的，也就是說，您可以從其中一個開始，經由拓撲變換得出另一個，您認為可能嗎？
龐加萊的變換魔術：請注意下面的變換！在拓撲上，只要不破壞原有結構，任意伸縮變形是被允許的，因為總能找到一個同胚的對應來描述這個動作。
龐加萊的奇怪想法： 在車輪內胎上有一個小洞，能否在不撕壞車胎的前提下，通過小洞將車內胎翻面過來（裡面翻到外面）？如果可以，該如何操作？
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二、 莫比烏斯（Möbius）帶 在1862〜1865年，德國數學家莫比烏斯（Möbius）和利斯廷的著作中出現了一種有邊緣的曲面。它可以這樣得到：把長方形紙條扭轉一次，然後把兩端接起來。這樣得到的曲面叫做Möbius帶。
關於Möbius帶是怎樣發現的﹐有這樣一個故事：有一次﹐莫比烏斯在海濱度假。到了晚上﹐蒼蠅太多﹐使他難以入睡。於是他把黏蠅紙扭轉半圈﹐然後把兩端粘到一起﹐形成一個紙環。再把這樣的紙環掛在假期別墅的椽頭上。他臨時製作的捕捉蒼蠅的紙帶很管用﹐他睡覺沒有再受蒼蠅的干擾。早晨醒來﹐他的目光落在那個紙環上﹐驚訝地發現這條紙只有一個面﹐並且只有一條稜。著名的Möbius帶於是誕生。 A. 單側的曲面
這個扭轉一次紙帶所得到的Möbius帶有何特別的幾何性質呢？我們看下面這個一般的紙環，在紙環內，垂直於紙面的一個法向量，總是由紙面指向圓形紙環的環心處，在紙環外，垂直於紙面的一個法向量，總是指向外面；但是對Möbius帶而言，就沒有這種情形。
對Möbius帶而言，它是一種單側的曲面。譬如說，在九章的標誌中，沿著帶子上移動的人，路途中會經過他移動的起始點，但是卻在另一側。如果他繼續移動，則會把整個Möbius帶都走遍。所以可以確定它沒有第二側！ 4
B. 從Möbius帶中間剪一刀 取一隻筆，在製作好的Möbius帶上畫上下圖中昆蟲所走的軌跡，然後取一把剪刀，將Möbius帶沿軌跡剪開。您有什麼發現呢？
從上面操作中發現，剪一刀後的Möbius帶並不會被分成兩個紙環，而是形成一個更大的紙環。您知道為什麼嗎？ 如果我們將Möbius帶的紙面寬畫上三等份，沿兩條等分線剪開，及結果會如何？又剪三刀成為四等份呢？ C. Möbius帶與紙環的拓撲同胚結構
從一條紙帶扭轉一次接合後得到Möbius帶，經過剪刀剪一刀後，得到一個瘦長的紙環，它是一個紙帶扭轉三次接合後的圖形。可以發現它們都是單側的圖形。 從上述拓撲觀點來看，在它們之間存在一個變換，維持了它們都是單側的性質，稱它們是同胚的。想一想，一個未經扭轉的紙環和一個經由兩次扭轉所得的紙環，是否是同胚？ 三、 雙人脫困遊戲
在下圖中，如果不解開手腕上的繩結，不破壞、剪斷繩子下，怎樣幫助他們脫困？將這一對男女分開呢？找一個周遭的同伴一起動手操作試試看！ 5
四、 Puzzle !!! 在下圖中，最初在位置A的金屬環能否被移往位置B的地方呢？如果可以，該怎麼移動？用塊厚紙板鑽幾個洞，作個玩具試試。
五、 繩圈 人類自從會使用繩子，就會打繩結，結繩圈。各種的繩結的功用可能都一樣，為了穩固物體而做，但是打繩結的方法卻是千奇百怪。為了研究它們在幾何形狀上本質的差異性，我們把繩的兩端黏合起來，成為沒有端點的繩圈。這個想法就像上述討論Möbius帶一樣。對許許多多的繩圈而言，能不能經過一連串的連續變換，變成一種相同的繩圈呢？如果可以，那麼在拓撲觀點上這些繩圈也就沒有分別了。 下面是兩個繩結，做兩個實物模型把玩一番，您就會發現它們是不同的！
如果把繩的兩端黏合起來，成為具有繩結又沒有端點的繩圈，那麼就更容易用數學來描述它們。如下圖所示，我們分別稱它們為“右手三葉結”及“8字形結”。
A. 什麼是紐結、鏈環 為了在數學上更貼切的描述繩圈，我們定義什麼是“紐結”。簡單地說， 6
紐結就是三維空間中簡單的閉曲線，而簡單的閉曲線，意思是連通的（連成一體的）、封閉的（沒有端點的）、不自交的（自己跟自己不相交，即沒有黏合處的）曲線。所以，一個平面上的圓圈是一個紐結，它是一個未打結的紐結，我們稱它為一個“平凡紐結”。 除了繩圈可以打結外，繩圈與繩圈之間還可以互相鈎連、套扣，這也是日常生活中常見的現象，諸如鐵鏈、鑰匙圈等等。因此，我們再定義“鏈環”的概念：由許多條互不相交的簡單閉曲線所構成的空間圖形稱為鏈環，並稱每一條閉曲線為其“分支”。下面是具有兩個分支的鏈環。
如果一個紐結（或鏈環）可以經過繩圈的移位變形變成另一個，我們就說這兩個紐結（或鏈環）是等價的，或同痕的，有時乾脆把兩個等價的紐結（或鏈環）視為相同的。 B. 紐結的投影圖
在現實生活中，描述空間的圖形通常是用照片，而照片就是一種取適當方位投影的圖像。對於紐結與鏈環，我們也選取它的一個投影圖來描述它。但是，這種投影圖要能很適切地表示紐結與鏈環，所以選什麼樣的投影圖是有一定標準的，不能隨意給出一張重疊處圖意不清，無法辨別有幾個重疊點的投影圖來描述一個紐結或鏈環，因為這無助於進一步的判別與分析。 準確地說，我們要求投影圖要滿足：只有有限多個重疊點；每個重疊點都是二重點；在每個二重點處，上下兩線的投影都是互相穿越交叉的。也就是說要避免下面的圖像：
當我們說到投影圖時，總是指已經用虛實線標示出交叉情況的圖。在左下圖這樣一個由自身相交的閉曲線所構成的平面圖形，在每個分岔點處都是四個岔的，我們稱之為“四岔地圖”。所以每張投影圖都可以確定一張四岔地圖，但是反過來說，從四岔地圖卻無法確定該投影圖，因為每個分岔點有兩種可能 7
交叉的情況。 因此，從有n個分岔點的四岔地圖一共可以得到2n張不同的投影圖，它們所代表的紐結或鏈環卻不一定互不相同。下圖是從最左邊那張四岔地圖所得到的幾張投影圖。
C. 用實驗的方法來判斷以下各對鏈環是否等價？ (a) 右手三葉結 (b) 8字形結
(c) 最簡單的圈套 (d) 懷特海德鏈環 (e) 右手三葉結與左手三葉結 (f) 方結與懶散結 右手三葉結 左手三葉結 方結 懶散結 (g) 反懷特海德鏈環與正懷特海德鏈環
反懷特海德鏈環 正懷特海德鏈環 8R1 R3
D. 投影圖的三種基本變換 紐結與鏈環可以用投影圖來確定，然而等價的鏈環可以有不同的投影圖。因此，要利用投影圖來研究紐結理論，就必須弄清楚繩圈在空間中的移動變形是如何在投影圖上反映出來的。 德國數學家瑞德邁斯特（Reidemeister）在20年代指出，紐結與鏈環的同痕本質上是由投影圖的三種基本初等變換（R1、R2、R3）來刻劃的。 R1 : 消除或添加一個卷
R2 : 消除或添加一個疊置的二邊形 R3 : 三角形變換
這三種初等變換是在投影圖的局部進行的，在變換的那部份除了所畫出的線以外不能有別的線介入。例如
不是一個合法的R1變換，它與正確的作法所得到的結果不一樣：
