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高中数学巧学巧解大全第一部分 高中数学活题巧解方法总论一、代入法若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y =，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。
【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C ：2x y =与直线l ：02=+-y x 交于两点),(A A y x A 和),(B B y x B ，且B A x x <，记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D .设点是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合.若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；【巧解】联立与得，则中点，设线段 的中点坐标为，则，即，又点在曲线上， ∴化简可得，又点是上的任一点， 且不与点和点重合，则，即， ∴中点的轨迹方程为（）. 【例2】（2008年，江西卷）设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上，过点P作双曲线122=-y x 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M )0,(1m。
过点A ),(t s P 2x y =2+=x y 2,1=-=B A x x AB )25,21(Q PQ M ),(y x 225,221ty s x +=+=252,212-=-=y t x s P C 2)212(252-=-x y 8112+-=x x y P L A B 22121<-<-x 4541<<-x M 8112+-=x x y 4541<<-x作直线0=-yx的垂线，垂足为N，试求AMN∆的重心G所在的曲线方程。
【巧解】设1122(,),(,)A x yB x y，由已知得到120y y≠，且22111x y-=，22221x y-=，（1）垂线AN的方程为：11y y x x-=-+，由11y y x xx y-=-+⎧⎨-=⎩得垂足1111(,)22x y x yN++，设重心(,)G x y所以11111111()321(0)32x yx xmx yy y+⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩解得1139341934x ymxy xmy⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩由22111x y-=可得11(33)(33)2x y x ym m--+-=即2212()39x ym--=为重心G所在曲线方程巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线2:xyC=的焦点为F，动点P在直线02:=--yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C 分别相切于A、B两点.，求△APB的重心G的轨迹方程.巧练二：（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系xOy中，有一个以)3,0(1-F和)3,0(2F为焦点、离心率为23的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OBOAOM+=，求点M 的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。
换元法破解复合函数方程的解本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
复合函数是高考的重点和热点内容之一，可以全面考察学生对函数概念和性质的理解，考察函数与方程、转化与化归、数学结合、分类讨论等数学思想，是高中数学的一个难点．如何破解复合函数的有关问题呢？此类问题的破解途径是主要借助于换元法，应用数形结合的数学思想进展求解．【例1】函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对()0,x ∈+∞都有()44f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，那么()f x =_____．【分析】由于函数具有单调性，函数值为4的值只有一个，()4f x x-必定为一个常数，因此，可以借助于换元法求解函数的解析式..【解析】因为函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，所以()4f x x-为一个常数； 令()4,t f x x =-那么()4f t =，且()4,f x t x=+所以()4f t t t=+，即44t t =+，解得：2t =．故4()2,f x x =+答案为4()2f x x=+．【点评】一般地，此类复合函数方程的问题的解决方法是结合函数的图象与性质，应用函数与方程、数形结合的数学思想，结合换元法，灵敏赋值，进而探求函数的解析式.【变式1】()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，那么(2)f = .【例2】〔2021〕假设函数()y f x =在0x x =处获得极大值或者极小值,那么称0x 为函数()y f x =的极值点.a b ，是实数,1和1-是函数()32f x x ax bx =++的两个极值点.(1)求a 和b 的值；(2)〔略〕(3)设()()()h x f f x c =-,其中[22]c ∈-，,求函数()y h x =的零点个数.【分析】函数()y h x =的零点亦即函数对应方程()()ff x c =的解．此题是复合函数的零点问题，势必要借助于换元法，令()t f x =，转化为函数()f t c =的解的问题，应用数形结合的数学思想讨论()f t c =的解的各种情形，最后，根据所求的t 的值，再次应用数形结合的数学思想求解()f x t =的解．【解析】解:(1) 3()3f x x x =-. (2) (略)(3)首先，复原复合函数的复合过程. 令()f x t =,那么()y f t c =-. 其次，研究内层函数的单调性.因为3()3f x x x =-,()()()=311f'x x x +-，所以，当(),1x ∈-∞-时, 3()3f x x x =-单调递增；当()1,1x ∈-时, 3()3f x x x =-单调递增；当()1,x ∈+∞时,3()3f x x x =-单调递增，()()()()212,122f f f f -==--==如下图：再次，研究外层函数()y f t c =-的零点，即对应方程()f t c =的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的解.关于x 的函数()[]()2, 2y f t c t =-∈-的零点情况，即方程()[]()2, 2f t c t =∈-的解的情况. 当2c =时，()2f t =-的两个不同的根为122,1t t =-=，此时，()12f x t ==-有两个解，()21f x t ==有三个解，故()y h x =有5个解；注意到()y f t =是奇函数，()2f t =也有5个解.当2c <时，()f t c =的三个不同的根为()123,,2,2t t t ∈-，此时，()()12,2f x t =∈-有三个解，同理，()()22,2f x t =∈-有三个解，()()32,2f x t =∈-有三个解，故()y h x =有9个解；综上所述,当2c =时,函数()y h x =有5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点. 【评注】复合函数的零点的个数问题主要考察数形结合思想和分类讨论思想，综合性较强，全方位地考察分析问题和解决问题的才能.此类问题的解决的三个环节是：〔1〕复原复合函数的复合过程； 〔2〕研究内层函数的单调性；〔3〕研究外层函数的零点，即对应方程的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的解.【变式2】设函数()()()220log 0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为 ． 【变式3】函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称．据此可推测，对任意的非零实数,,,,,,a b c m n p 关于x 的函数()()2y mf x nf x p =++的零点不可能是A. {}1,2B. {}1,5C. {}1,2,3,4D. {}1,4,16,64【变式4】函数()()()12212x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩ ，关于x 的方程()2()0f x bf x c ++=的有三个解123,,x x x ，那么222123x x x ++= .【例3】关于x 的函数()()22211f x x x k =---+，给出以下四个命题：①存在实数k ，使得函数恰有2个零点； ②存在实数k ，使得函数恰有4个零点； ③存在实数k ，使得函数恰有5个零点； ④存在实数k ，使得函数恰有8个零点.其中假命题的个数是 〔 〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4【分析】函数()y f x =的零点亦即函数对应方程()0f x =的解．复合函数()y f x =的零点问题，令21t x =-(0)t ≥，转化为函数()20y t t k t =-+≥的零点问题．而含有参数的方程()20y t t k t =-+≥的解的个数须转化为两个函数()212,0y k y t t t ==-≥的图象的交点的个数来求解，进而借助于数形结合、分类讨论思想数学思想加以解决．【解析】首先，复原复合函数的复合过程；令21t x =-(0)t ≥，那么函数()20y t t k t =-+≥；其次，研究内层函数的单调性； 作出函数21y x =-的图象，如图：程再次，研究外层函数()20y t t k t=-+≥的零点，即对应方解.()20k t t t =-+≥的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的此〔1〕当0k <时，方程()20k t t t =-+≥有一个解1t >，时，211t x =->有2解，故函数()y f x =有2解；〔2〕当0k =时，方程()20k t t t =-+≥有两个解121,0t t ==，此时，2110t x =-=有2解，2211t x =-=有3解，故函数()y f x =有5解；〔3〕当104k <<时，方程()20k t t t =-+≥有两个解()12,0,1t t ∈，此时，()2110,1x t -=∈有4解，()2210,1x t -=∈也有4解，故函数()y f x =有8解；〔4〕当14k =时，方程()20k t t t =-+≥有一个解12t =，此时，2112x -=有4解，故函数()y f x =有4解；〔5〕当14k >时，方程()20k t t t =-+≥无解，故函数()y f x =无解. 应选A.【评注】数形结合的思想，其本质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的互相转化，可以使代数问题几何化，几何问题代数化．复合函数的零点问题，实际上就是复合函数对应方程的解的个数问题，假设是仅从方程的角度考虑，难以奏效，而从函数图象的角度来考虑却轻松获解，这也就是思维的灵敏性．【变式5】关于x 的函数()sin sin 29438xx f x a a a =⋅+⋅+-有零点，那么a 的取值范围〔 〕A.0>a 或者8-≤aB.0>aC.3180≤<a D.2372318≤≤a【变式6】〔2021年〕函数()32f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，假设()112f x x x =<，那么关于x 的函数()()2320f x af x b ++=的解的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【变式7】函数()()()()333log 22log 52log 2x x x f x a =-+---，求函数()y f x =的零点个数.变式训练提示：变式1【提示】因为函数()f x 是定义在R 上的增函数，所以()3xf x -为一个常数；设()3x f x m -=，那么()4f m =，()3xf x m =+。
一个万能公式秒杀数学压轴题!高考高中数学高考数学学习方法数学是一门需要理解和掌握基本概念和方法的学科，传统的学习方法是通过反复练习习题来巩固知识。
然而，在高考中，数学题目的难度和类型千差万别，单一的学习方法难以完全胜任。
因此，我们需要找到一个万能公式，可以帮助我们解决各种数学问题。
首先，我们需要明确一个事实，没有一个真正的万能公式可以解决所有数学问题。
不同的题目有不同的解题思路和解题方法，我们需要根据具体情况进行分析和处理。
然而，我们可以通过掌握一些数学的基本原理和方法，提高我们解题的能力。
2.提高分析问题能力：解决数学问题的关键在于分析问题，搞清楚问题的本质和要求。
我们需要学会运用数学的思维方法，将复杂的问题分解成简单的小问题，通过逐步求解来解决整个问题。
3.掌握解题方法：数学学科有很多解题方法，如倒推法、递推法、分类讨论法、一刀两断法等。
我们需要学会根据题目的特点和要求选择合适的解题方法，灵活运用。
经典的数学题目往往有固定的解题方法，我们可以通过反复练习来掌握。
4.培养逻辑思维：数学是一门逻辑性很强的学科，我们需要培养自己的逻辑思维能力。
通过学习和解题，我们可以锻炼自己的逻辑思维，提高分析问题和推理的能力。
5.多角度思考问题：解决数学问题的途径不仅仅是一种，我们可以通过多种角度和角度思考问题。
有时候，改变思考的角度就能够找到问题的突破口。
6.多做题目、理解思路：高考数学考试往往出现一些经典题型，我们需要在平时的学习中多做一些题目，掌握题目的解题思路和方法。
在解题的过程中，我们需要理解每一步的思路和原理，而不仅仅是死记硬背。
7.复习和总结：高考数学是一个全面考查学生的数学素养的考试，我们需要进行系统的复习和总结。
通过复习和总结，我们可以查漏补缺，巩固已有的知识，提高解题的能力。
综上所述，通过建立知识体系、提高分析问题能力、掌握解题方法、培养逻辑思维、多角度思考问题、多做题目、理解思路以及复习和总结这些方法，我们可以提高解题的能力，应对各种数学题目。
高考数学技巧如何利用数学公式解决难题高考数学考试对于许多学生来说是一项具有挑战性的任务。
随着难度级别的提高，解决数学难题变得更加困难。
然而，运用正确的数学技巧和公式，可以大大提高解题效率和准确性。
本文将介绍一些在高考数学中常用的技巧和公式，并探讨如何利用它们来解决各类难题。
一、二次函数的求解二次函数是高考数学中经常出现的题型。
求解二次函数难题的关键在于运用恰当的公式。
在给定函数y=ax^2+bx+c的情况下，可以使用以下公式来求解：1.求顶点坐标：顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=f(x)。
2.求轴对称线方程：轴对称线的方程为x=-b/2a。
3.求判别式：判别式D=b^2-4ac可以用来判断二次方程的根的性质。
4.求零点：零点可以通过解二次方程ax^2+bx+c=0得到。
当判别式D大于0时，有两个实数根；当D等于0时，有一个实数根；当D小于0时，没有实数根。
二、三角函数的应用三角函数是高考数学中另一个常见的考点。
许多难题需要根据给定的三角函数关系来求解未知角度或边长。
以下是一些常用的三角函数公式：1.正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为对应的内角，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC。
2.余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为对应的内角，则有c^2=a^2+b^2-2ab*cosC。
3.正切定理：在任意三角形ABC中，tanA=(2sina)/(cosa-cosb)。
通过灵活运用以上三角函数公式，可以解决高考数学中的许多难题，如不等式、三角方程、向量等题目。
三、概率与统计的技巧概率与统计是高考数学中的另一个重要考点。
在解决相关难题时，以下技巧可以帮助考生更好地应对：1.熟悉概率与统计的基本概念和公式，如概率的定义、条件概率、独立事件等。
2.掌握排列与组合的计算方法，包括阶乘、组合数、排列数等。
3.灵活运用贝叶斯定理解决条件概率问题。
课堂艺术基于高考试卷分析的高中数学教学探究■姚全刚摘要：近年来随着教育不断改革，高考内容对于学生不同能力的考查形式也发生了相应变化。
2020年全国高考命题落实立德树人的根本任务，在试卷中倡导德智体美劳“五育并举”。
全国各地高考数学试卷已从“知识立意”“能力立意”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”转变。
这给我们的启示是，要推进精准教学实践适应教学考评转变，具体措施是优化校本教材，深耕原则方法，培养阅读习惯，把脉教学动态。
关键词：高考数学；高中数学教学；教学启示一、高中数学课程标准与考试大纲的相关内容随着教育改革的不断推行，高中数学课程标准指出，教师要突出学生的主体地位，培养学生良好的品德与人格，在教学中帮助学生树立正确的价值观念和数学核心素养。
这些教学理念提醒教师要在教学中明确教学目标，针对教学内容，呼应高考内容改革理念对学生进行规范教学。
因此在高考内容改革的背景下，数学就是围绕学生进行综合培养，通过高考进行考查，通过试题检验学生的数学思想、数学能力、数学文化、数学意识、数学的核心素养等。
二、高考改革背景下高中数学教学的有效策略1.开展生活化教学高中数学内容较为抽象，学科难度较大，不易理解，许多学生都会在学习新知识的时候无法理解，不容易跟上老师的讲课进度，从而导致日后学习知识拖延、成绩掉队等诸多问题。
从近年来高考出题形式变化来看，高考题目与生活之间的联系日益紧密，所以进行生活化教学既是适应考试的需要，也是为了帮助学生更好地理解题目意思，提升数学实践能力。
例如2020年高考理科数学全国Ⅱ卷第4题，将北京天坛作为切入点，考查学生的计算能力和对数列求和的掌握情况。
此外教师教学时可以引入生活中的实例，帮助学生从解题转向解决问题。
例如2020年理科数学全国Ⅱ卷第3题，给出实例，以新冠肺炎疫情为背景，结合时事，考查学生对概率统计的基本掌握情况。
因此教师在讲概率统计时可以举出相应实例，以便学生化抽象为具象，更好地理解并掌握相关知识点。
高考数学答题万能公式及解题技巧：公式篇1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(π2-a)=cos(a)cos(π2-a)=sin(a)sin(π2+a)=cos(a)cos(π2+a)=-sin(a)sin(π-a)=sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)2.两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)3.和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)4.二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(b)cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)5.半角公式sin2(a2)=1-cos(a)2cos2(a2)=1+cos(a)2tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)6.万能公式sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)7.其它公式(推导出来的 )a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=baa⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))21-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2公式分类公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+co sA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱一生受用的数学公式坐标几何一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。
巧用三角函数定义，妙解2024年高考题近年来，高考数学的题目越来越注重考查学生的综合运用能力和创新思维。
其中，三角函数作为高中数学的重要知识点，常常出现在高考试题中。
本文将通过巧用三角函数定义，妙解2024年高考题。
`x−1/3=y−1/4=z`(1)证明：AD⊥AE且DG⊥GF.(2)求证：∠DGF不是直角。
(3)设∠DGF=α，求平面DGF与平面ABC的夹角。
首先，我们需要利用三角函数的定义来解决这道题目。
对于一般的三角形ABC，我们可以利用向量AB和向量AC的点乘来求解夹角BAC的余弦值，然后通过反余弦函数求解夹角BAC的角度值。
(1)首先，我们可以通过坐标点A(1,3,1)和直线l的方程来求解线段AD和AE的方向向量。
分别计算得到：向量AD=(1-1,3-1/4,1-1/3)=(0,3/4,2/3)向量AE=(1-1,1-1/4,1-1/3)=(0,-1/4,-2/3)然后，我们可以通过计算这两个方向向量的点乘来判断它们是否垂直。
即：AD·AE=0*0+(3/4)*(-1/4)+(2/3)*(-2/3)=0由于AD和AE的点乘等于0，所以可以证明AD⊥AE。
同样的方法，我们可以计算线段DG和GF的方向向量，并判断它们是否垂直。
结果证明也成立。
(2)我们需要求解∠DGF的角度值。
根据题目已知条件，我们可以通过向量DG和向量GF的点乘来计算它们的夹角余弦值。
向量DG和向量GF 的计算结果分别为：向量DG=(4-1,-1/4-3,-2/3-1)=(3,-17/4,-5/3)向量GF=(4-1,1-3/4,1-2/3)=(3,5/4,1/3)接下来，我们计算两个向量的点乘，并通过反余弦函数求夹角DGF的角度值。
计算得到：DG·GF=3*3+(-17/4)*(5/4)+(-5/3)*(1/3)=46/8=23/4cos∠DGF = (DG·GF)/(，DG，*，GF，) ≈ (23/4)/(，(3, -17/4, -5/3)，*，(3, 5/4, 1/3)，)因为夹角DGF的余弦值不等于0，所以可以证明∠DGF不是直角。
高考数学全真模拟卷详细解析高考是每个学生都会经历的一场考试，数学作为其中的一门科目，一直以来都是学生们的难点和重点。
为了帮助同学们更好地备战高考数学，下面我们将对一份全真模拟卷进行详细解析。
第一部分：选择题选择题是高考数学中的重要部分，也是考生们容易得分的地方。
以下是一道典型的选择题：1. 已知函数 f(x) = x^2 - 2x + 3，求 f(2) 的值。
解析：将 x = 2 代入函数 f(x) 中，得到 f(2) = 2^2 - 2*2 + 3 = 7。
因此，f(2) 的值为 7。
第二部分：填空题填空题是考察学生计算能力和思维逻辑的重要环节。
以下是一道填空题：2. 若 a + b = 5，且 a^2 + b^2 = 13，则 a*b 的值为 ______。
解析：通过观察可以发现，a 和 b 的值分别为 2 和 3。
因此，a*b 的值为 6。
第三部分：解答题解答题是高考数学中的难点，需要学生们具备一定的数学思维和解题能力。
以下是一道典型的解答题：3. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，行驶了 t 小时后，行驶的距离为 d 公里。
若行驶的速度提高到每小时 80 公里，则行驶 t 小时后的距离为多少？解析：根据题意，汽车行驶的距离可以表示为 d = 60t。
当行驶速度提高到每小时 80 公里时，行驶的距离可以表示为 d' = 80t。
因此，行驶 t 小时后的距离为 80t 公里。
第四部分：应用题应用题是考察学生将数学知识应用到实际问题中的能力。
以下是一道典型的应用题：4. 甲乙两地相距 200 公里，甲地有一辆以每小时 60 公里的速度行驶的汽车，乙地有一辆以每小时 80 公里的速度行驶的汽车。
两辆汽车同时出发，相向而行，那么多少小时后两车相遇？解析：设两车相遇的时间为 t 小时。
根据题意，甲地汽车行驶的距离为 60t 公里，乙地汽车行驶的距离为 80t 公里。
由于两车相向而行，所以他们的行驶距离之和等于两地的距离，即 60t + 80t = 200。
天津高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设为实数，是虚数单位，若是实数，则等于（）A．B．1C．2D．2.已知全集，任取一个元素，则的概率为（）A．B．C．D．3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A．98B．86C．72D．504.命题“”的否定是（）A．B．C．D．5.如图，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，若，点到圆的切线，弦平分弦于点，且，则等于（）A．B．C．4D．36.已知双曲线上的点到其焦点的最小距离为2，且渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．7.设函数，则（）A．B．C．D．8.已知函数，函数则关于的方程的实根最多有（）A．4个B．5个C．6个D．7个二、填空题1.一个几何体的三视图如图所示（单位），则该几何体的体积为______．2.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是______．3.若从区间中随机取出两个数和，则关于的一元二次方程有实根，且满足的概率为______．4.若函数，则的值为______．5.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为______．6.已知是的边上一点，若，其中，则的值为______ .三、解答题1.的内角的对边分别为，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求和．2.某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地的长途客运业务，每车每天往返一次．、两种型号的车辆的载客量分别是32人和48人，从甲地到乙地的营运成本依次为1500元/辆和2000元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的车队，并要求种型号的车不多于种型号的车5辆．若每天从甲地运送到乙地的旅客不少于800人，为使公司从甲地到乙地的营运成本最小，应配备、两种型号的车各多少辆？并求出最小营运成本．3.如图，在四棱锥中，底面，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．4.已知数列中，．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设，若，使成立，求实数的取值范围．5.椭圆的上顶点为是椭圆上一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动直线与椭圆只有一个公共点，且轴上存在着两个定点，它们到直线的距离之积等于1，求出这两个定点的坐标．6.已知函数．（Ⅰ）若，求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若函数在上单调递增，求的取值范围；（Ⅲ）函数是否可为上的单调函数？若是，求出的取值范围；若不是，请说明理由．天津高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.设为实数，是虚数单位，若是实数，则等于（）A．B．1C．2D．【答案】B【解析】为实数，则，选B.【考点】复数的运算.2.已知全集，任取一个元素，则的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,,任取一个元素，则的概率为,选D.【考点】古典概型.3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A．98B．86C．72D．50【答案】C【解析】运行程序，，，，，，，不满足，输出，选C.【考点】程序框图.4.命题“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“”的否定是“”，选B.【考点】全称量词和特称量词.5.如图，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，若，点到圆的切线，弦平分弦于点，且，则等于（）A．B．C．4D．3【答案】B【解析】根据切割线定理，，解得，，设,利用相交弦定理，即，又，则与相似，，即，解方程组得：，选B.【考点】平面几何选讲.6.已知双曲线上的点到其焦点的最小距离为2，且渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，右焦点点A在轴右侧，双曲线的渐近线方程为，设，，解得，有在抛物线上，则，得，该抛物线的方程为.选B.【考点】双曲线和抛物线的有关问题.7.设函数，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,,又，，又，，即.选D.【考点】分段函数求值、指数与对数运算、比较大小.8.已知函数，函数则关于的方程的实根最多有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】C【解析】，，令，得，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，取最大值为2，当时取最小值；由函数的图像可知，当或时，；（1）当时，方程，则，有一个实根，，方程有三个实根，此时关于的方程共有4个实根;（2）当时，方程，则，方程只有一个实根，或，方程只有一个实根，此时关于的方程共有2个根；（3）当时，方程，则，方程有三个实根，或，方程可能有1个、两个或三个实根，此时关于的方程共有4个、5个或6个实数根；综上所述：关于的方程的实根最多有6个，选C【考点】函数图象，函数的零点，数形结合思想.【方法点睛】给出两个函数研究某个函数复合形式构成的方程的根的个数问题，是今年出现的新题型，常常方程中含有参数，因此首先要具备讨论思想.解题时，首先画出两个函数的草图，利用数形结合思想，借助图形解题更为直观；本题借助的图象，根据，由的值反看的值或其取值范围，然后借助的图象，根据的值或范围反看的值或的个数.二、填空题1.一个几何体的三视图如图所示（单位），则该几何体的体积为______．【答案】16【解析】根据三视图恢复原几何体，原几何体为一个四棱锥，底面为直角梯形，其中，底面，，则该几何体的体积为．【考点】三视图、棱锥的体积.2.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是______．【答案】【解析】由于圆的半径为2，若，则圆心到直线的距离不大于1，因此，，填.【考点】直线与圆的位置关系..3.若从区间中随机取出两个数和，则关于的一元二次方程有实根，且满足的概率为______．【答案】【解析】在（0，2）上随机取两个数，则，对应区域面积为,关于的方程有实根，，对应区域为，满足，即以原点为圆心，2为半径的圆上及圆内，符合要求的可行域的面积为，概率为.【考点】几何概型4.若函数，则的值为______．【答案】【解析】，，则【考点】导数5.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为______．【答案】【解析】【考点】函数的周期性，函数的奇偶性，求函数值.6.已知是的边上一点，若，其中，则的值为______ .【答案】【解析】D是的边AB上的一点，设（），则，又，，，，所以，解得，因为，故【考点】平面向量.三、解答题1.的内角的对边分别为，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），；【解析】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得．由余弦定理得，故，所以．（Ⅱ）由，得．由，得．故，．【考点】正、余弦定理、解三角形.2.某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地的长途客运业务，每车每天往返一次．、两种型号的车辆的载客量分别是32人和48人，从甲地到乙地的营运成本依次为1500元/辆和2000元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的车队，并要求种型号的车不多于种型号的车5辆．若每天从甲地运送到乙地的旅客不少于800人，为使公司从甲地到乙地的营运成本最小，应配备、两种型号的车各多少辆？并求出最小营运成本．【答案】备型号7辆、型号车12辆，最小营运成本为3.45万元【解析】设应配备种型号的车辆、种型号的车辆，营运成本为元．则有即目标函数为．如图，作出不等式组所表示的可行域，把，变形为，其中是这条直线在轴上的截距．当直线经过可行域上点时，截距最小，即最小，解方程组得点的坐标为．所以．答：应配备型号7辆、型号车12辆，最小营运成本为3.45万元．【考点】线性规划应用题.3.如图，在四棱锥中，底面，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）为的中点；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）证明：∵，∴．∵平面，平面，∴．∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）解：作于点，∵在中，，∴．∴平面．设，则．．由，得，解得．，故为的中点．（Ⅲ）解：连接、，与交于点，连接，由（Ⅱ）可知平面，所以．∵为正方形，∴．∵，∴平面，故．∴是二面角的平面角．由平面，可知平面平面．∴二面角与平面角互余．设二面角的平面角为，则，在中，，，所以二面角的余弦值为．【考点】空间直线与平面的平行与垂直，二面角的求法.4.已知数列中，．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设，若，使成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）证明：∵，∴．∵，∴．∴．∴数列是首项、公比均为2的等比数列．（Ⅱ）解：∵是等比数列，首项为2，通项，故，当时，符合上式，∴数列的通项公式为．（Ⅲ）解：∵，∴．∴故．若，使成立，由已知，有，解得，所以的取值范围为．【考点】累加法求数列通项公式，裂项相消法数列求和，恒成立问题.【方法点睛】证明数列为等比数列，就是证明数列的后一项与前一项的比为同一个常数，证明时千万注意题目的暗示，谁是等比数列？证明什么？目标明确了，就有了证明的方向.掌握求数列的通项公式的基本方法，特别是累加与累乘法及构造法，是高考常见考法，数列求和常用方法有分组求和法、倒序相减法、裂项相消法、错位相减法等，而近年高考命题中的数列求和，则偏向分析法分组求和.5.椭圆的上顶点为是椭圆上一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动直线与椭圆只有一个公共点，且轴上存在着两个定点，它们到直线的距离之积等于1，求出这两个定点的坐标．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）∵，∴．由，得．由点在椭圆上，得，解得．再由解得．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，整理，得．由，得．假设存在着定点满足题设条件．、到直线的距离分别为、，则由对于恒成立，可得解得或故满足条件．当直线的斜率不存在时，经检验，仍符合题意．【考点】求椭圆方程，直线与椭圆相切问题，定点定值问题.6.已知函数．（Ⅰ）若，求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若函数在上单调递增，求的取值范围；（Ⅲ）函数是否可为上的单调函数？若是，求出的取值范围；若不是，请说明理由．【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）；（Ⅲ）不可能【解析】（Ⅰ）当时，，．令，即，解或．所以的单调递减区间是和．（Ⅱ）因为函数在上单凋递增，所以对于都成立，即对于都成立，故有．令，则恒成立，故在上单调递增，则，所以的取值范围是．（Ⅲ）假设为上的单调函数，则为上单调递增函数或为上单调递减函数．①若函数在上单凋递增，则对于都成立，即恒成立，因为，所以对于都成立，而函数的图象是开口向上的抛物线，则不可能恒成立，所以不可能为上的单调递增函数．②若函数在上单调递减，则对于都成立，即恒成立，因为，所以对于都成立，故有，整理，得，显然不成立．所以不可能为上的单调递减函数，综上，可知函数不可能为上的单调函数．【考点】导数与函数的单调性.【名师点睛】求函数的单增区间，就是在定义域下解不等式，函数在某区间上是增函数，就是在区间上恒成立；一要注意应用分离参数法，使用极端原理，二要注意利用一元二次方程的根的分布.。
高考数学技巧如何利用数学公式解决函数题在高考数学中，函数题一直是考试中的重点和难点之一。
解决函数题需要掌握一定的数学技巧，并灵活运用数学公式。
本文将介绍几种常见的数学技巧，以及利用数学公式解决函数题的方法。
一、函数图像的性质在解决函数题时，我们可以通过观察函数图像的性质来得到一些有用的信息。
例如，函数关于y轴对称时，可以利用对称性质化简计算；函数的单调性可以帮助我们判断函数的增减区间。
二、函数的基本性质函数的基本性质是解决函数题的基础。
例如，函数的定义域、值域等信息可以帮助我们确定变量的取值范围，从而简化计算过程。
同时，我们还需熟练掌握函数的复合、反函数等运算法则，以便将复杂的函数关系简化为简单的形式。
三、零点和极值点的判断对于函数题中的零点和极值点，我们可以利用一些数学公式来求解。
例如，使用二次函数的求根公式可以快速求得函数的零点，从而找到方程的解。
对于极值点，我们可以通过求导数的方法判断函数的单调性，从而得到极值点的位置。
四、曲线的拐点拐点是函数图像上曲线方向发生变化的点，解决涉及拐点的题目需要运用到某些数学公式。
例如，通过求二阶导数可以得到函数的凹凸性质，从而判断拐点的存在与位置。
五、函数的周期性一些函数具有周期性，在解决周期函数题时，我们可以利用函数的周期性质来简化计算。
例如，对于正弦函数题，我们可以利用正弦函数的周期性质，将函数的取值范围缩小到一个周期内进行计算。
六、常见函数的性质高考数学中有一些函数的性质是经常被考察的，我们需要了解这些函数的特点，并掌握相应的计算方法。
例如，对数函数的性质和计算方法、指数函数的性质和计算方法等。
通过以上几种数学技巧和数学公式的灵活运用，我们可以更加高效地解决函数题。
在应用中要注意灵活运用，根据题目的具体要求选取适用的方法，并加强一些基础概念和性质的理解与记忆。
总结起来，高考数学中的函数题需要我们熟练掌握相关的数学技巧，并善于利用数学公式解决问题。
通过多做题、多总结，我们可以提高解决函数题的能力，顺利应对高考数学。
高考数学探究利用高中数学拓展公式巧解高考或模拟试题★角平分线定理如下图所示，若P 为ABC ∆中A ∠的内（外）角平分线与BC 的交点，则PCBPAC AB =。
【示例1】已知1F 、2F 分别为双曲线C ：127922=-y x 的左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)02(，，AM 为21AF F ∠的平分线，则=2AF 。
【简答】：依据题意可得)0,6(1-F ，)0,6(2F ，因为AM 为21AF F ∠的平分线，且点M 的坐标为)02(，，所以由角平分线定理得2482121===MF M F AF AF ，即212AF AF =。
由双曲线的定义知6221==-a AF AF ，故可得62=AF 。
【示例2】已知I 是ABC ∆的内心，2=AC ，3=BC ，4=AB ，若AC y AB x AI +=，则y x +的值为（ ） （A ）31 （B ）32 （C ）94 （D ）95【简答】：如上图所示，因为I 是ABC ∆的内心，即AD 平分BAC ∠，BI 平分ABC ∠，所以由角平分线定理得224===DC BD AC AB ，从而得232==BC BD 224===ID AI BD AB ，AD AI 32= （评注：目的是为了确定I D ,的位置） 所以)32(32)(3232BC AB BD AB AD AI +=+==BC AB 9432+= 9492)(9432+=-+=，即329492=+=+y x ，故选B 。
【示例3】已知双曲线C ：12222=-by a x 的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N 。
若=2，则双曲线的离心率=e 。
【简答】：如上图所示，因为)(222b ac c OF +==，所以依据题意可得b MF =，a OM =，b FN 2=。
注意到，x 轴为MON ∠的平分线，所以由角平分线定理可得到21==FN MF ON OM ，所以a ON 2= 进而在直角三角形OMN 中，由勾股定理可得222)2()2(a b b a =++，即3122=a b所以332311122=+=+=a b e★广义托勒密定理（不等式）设ABCD 为任意凸四边形，则BD AC AD BC CD AB ⋅≥⋅+⋅，当且仅当D C B A ,,,四点共圆时取等号。
【示例1】在平面四边形ABCD 中，1=AB ，5=AC ，BC BD ⊥，BC BD 2=，则AD 的最小值为 。
【简答】：依据题意可设t BC BD 22==，则t CD 5=。
所以由托勒密定理得，BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅ 即t t AD t 2551⋅≥⋅+⋅化简得5≥AD ，故AD 的最小值为5。
【示例2】如图，在凸四边形ABCD 中，1=AB ，3=BC ，CD AC ⊥，CD AC =。
当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为 。
【简答】：依据题意可设t CD AC ==，则t AD 2=。
所以由托勒密定理得，BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅ 即BD t t t ⋅≥⋅+⋅231化简得61+≤BD ，故BD 的最大值为61+。
★阿波罗尼斯圆（轨迹问题）若平面内一动点C 到两定点B A ,的距离之比等于非1的正常数λ，即，0(>=λλCBCA 且)1≠λ，则此动点C 的轨迹即为阿波罗尼斯圆。
【示例1】满足条件2=AB ，BC AC 2=的三角形ABC 的面积的最大值是 。
【简答】：根据题意有2=BCAC，若把B A ,看作定点，C 看作动点，则由阿波罗尼斯圆的轨迹定义知点C 的轨迹为圆。
不妨设)0,1(-A ，)0,1(B ，),(y x C ，由222BC AC =化简得8)3(22=+-y x ，此即为动点C 的轨迹方程，结合图形易知222222121=⨯⨯=⨯⨯≤∆C ABC r AB S ，故A B C ∆面积的最大值为22。
★重心性质（Ⅰ）0=++GC GB GA ；（Ⅱ）2==GEBGGD AG （另一条中线亦如此）； （Ⅲ）若),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，则ABC ∆的重心G 的坐标为)3,3(321321y y y x x x ++++； （Ⅳ）三条中线将ABC ∆分成6个面积相等的小三角形。
【1】ABC ∆中，=++，且0=⋅，若Cm B A B A t a n t a n t a n t a n t a n =+，则实数m 的值是 。
【简答】：因为C m B A B A tan tan tan tan tan =+，所以CC mB A B A B B A A cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin =+，即C C m B A C sin cos sin sin sin =；所以22222222222cos sin sin sin cb ac c b a ab ab c C B A C m -+=-+⋅== ①又因为0=++GC GB GA ，且0=⋅GB GA ，所以G 为ABC ∆的重心且GB GA ⊥。
根据重心的相关性质，不妨设t GD AG 22==，n GE BG 22==， 所以2222222416)4(44t n t n BD BC a +=+===同理22222416)4(4n t n t b +=+=，22244n t c +=将这三个式子的结果均代入①式可算出21=m 。
★圆的相交弦定理如图所示，弦AB 与弦CD 相交于点P ，则有PD PC PB PA ⋅=⋅。
【示例1】函数)2015)(2014()(+-=x x x f 的图像与x 轴，y 轴有三个交点，有一个圆恰经过这三个点， 则此圆与坐标轴的另一个交点是（ ）（A ）)1,0(- （B ）)1,0( （C ）)20152014,0(⨯ （D ）)20152014,0(【简答】：根据题意得到三个交点分别为)0,2014(A ，)0,2015(-B ，)20152014,0(⨯-C 。
设过C B A ,,三点的圆与坐标轴交的第四个点为),0(a D ，且在y 轴的正半轴上。
易知AB 与CD 的交点为O ，所以由相交弦定理得OD OC OB AO ⨯=⨯，即a ⨯⨯=⨯2015201420152014，解得1=a 。
所以)1,0(D ，故选B 。
★海伦公式边长为c b a ,,的三角形的面积公式为))()((c p b p a p p S ---=∆，其中)(21c b a p ++=。
【1】设n n n C B A ∆的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n C B A ∆的面积为n S ，⋅⋅⋅=,3,2,1n 。
若11c b >，1112a c b =+，n n a a =+1，21n n n a c b +=+，21nn n a b c +=+，则（ ） （A ）}{n S 为递减数列 （B ）}{n S 为递增数列（C ）}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列 （D ）}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列 【简答】：本题采用特殊值法。
为了便于利用海伦公式算面积，不妨设41=a ，31=c ，51=b ，周长的一半61=p ，则)56()36()46(61-⨯-⨯-⨯=S)14(12)12()12(121312-⨯=-⨯+⨯=⨯⨯=；42=a ，292=c ，272=b ，周长的一半62=p ，则)276()296()46(62-⨯-⨯-⨯=S)414(12)212()212(12-⨯=+⨯-⨯=；43=a ，4153=c ，4173=b ，周长的一半63=p ，则)4176()4156()46(63-⨯-⨯-⨯=S)1614(12)412()412(12-⨯=-⨯+⨯=； 44=a ，8334=c ，8314=b ，周长的一半64=p ，则)8336()8316()46(64-⨯-⨯-⨯=S)6414(12)812()812(12-⨯=-⨯+⨯=； 从而易看出4321S S S S <<<，故选B 。
（根据选项此题至少算4个）★圆的切割线定理如图所示，过点P 引两条割线PCD PAB ,，一条切线PT ，则有2PT PD PC PB PA =⋅=⋅。
【1】如图，抛物线E ：x y 42=的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A 。
点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，CO 为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N 。
（Ⅰ）若点C 的纵坐标为2，求MN ； （Ⅱ）若AN AM AF ⋅=2，求圆C 的半径。
【简答】：（Ⅰ）根据题意易得到)2,1(C ，点C 到直线MN 的距离2=d ；从而2452222=-=-=d r MN 。
（Ⅱ）先设直线AF 与圆C 交另外一点为B 。
由圆的切割线定理得到AB AO AM AN ⋅=⋅；因为4222===⋅AF AM AN ，所以4=⋅AB AO ，即4=AB ，所以)0,3(B 。
此时OB 为圆C 的一条弦，根据垂径定理，易知线段OB 的垂直平分线必过圆心C ，所以23=C x 从而62342=⨯=C y ；所以4336492222=+=+==C C y x OC r ，故圆C 的半径为233。
★三角形内切圆半径公式c b a S r ABC ++=∆2 r c b a S ABC )(21++=∆（其中r 为ABC ∆的内切圆半径）【1】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =， 则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【简答】：根据题意只需考虑两方面的情形：一是保证球与上下底面相切，二是保证与三侧面相切。
当球与上下底面相切时，球的半径应为232111==AA R ， 当球与三侧面相切时，球的半径应为21086862122=++⨯⨯⨯=R ， 因此最终确定球半径的最大值23=R ，进而体积最大值ππ2982734=⨯=V 【评注】：多面体的内切球半径公式：表面积内切球S V r 3=（推导原理是体积分割法）。
★抛物线焦半径、焦点弦公式（该课外公式仅解小题）①AB 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦，F 为焦点，),(11y x A ，),(22y x B ，α为直线AB 的倾斜角，则有（课内）21p x AF += 22px BF += p x x AB ++=21；（课外）αcos 1-=p AF αcos 1+=p BF α2sin 2pAB =。
