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1第1章 质点力学1—1 一质点的运动方程为x = 6t-t 2（SI ），则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 ；质点所走过的路程为 .1-3 一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为a=2+6x 2(SI ），如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。
1-4一质点沿半径R 的圆周运动,运动方程为 θ=3+2t 2（SI ），则t 时刻质点的法向加速度大小为 an；角加速度 β= 。
1—5 某质点的运动方程为x= 3t —5t 3+6（SI),则该质点作 （A)匀加速直线运动,加速度沿x 轴正方向. （B ）匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向。
(C ）变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向。
（D ）变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向。
［ ］ 1—9 一质点作直线运动，其坐标x 与时间t 的函数曲线如图所示，则该质点在第秒瞬时速度为零；在第 秒至第 秒间速度与加速度同方向。
1—10 一物体作斜抛运动,初速度0v与水平方向夹角为θ， 如图所示，则物体到达最高点处轨道的曲率半径ρ为 .1-11一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°。
则物体在A 点的切向加速度a t = ，轨道的曲率半径ρ= 。
6t(s)题1—10图 题1-11图21-12 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 的速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向,B 船沿y 轴正向。
今在船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x 、y 方向单位矢用i 、j表示)，那么在A 船的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为 ：(A)j 2i 2 + （B ）j 2i 2+-(C ）j 2i 2 -- （D ）j 2i 2- [ ]1—13 一飞机相对空气的速度大小为200km/h ，风速为56 km/h ，方向从西向东，地面雷达测得飞机速度大小为192 km/h ，方向是（A)南偏西 16。
质点力学的应用及原理1. 引言质点力学，也被称为牛顿力学，是经典力学的一个重要分支，研究物体的运动以及受力的原理。
它是基于质点模型建立起来的，假设物体可以视为无限小的质点，忽略其形状和内部结构。
本文将介绍质点力学的应用案例以及相关原理。
2. 质点力学的应用以下是几个质点力学在实际生活中的应用案例：2.1 弹球的运动弹球是一个常见的游戏，质点力学可以用来描述弹球的运动。
根据物体受力的原理，我们可以计算出弹球在碰撞过程中的运动轨迹以及速度变化。
这对于游戏设计者来说是非常重要的，可以帮助他们确定弹球的行为，并提供更好的游戏体验。
2.2 汽车行驶的力学分析质点力学可以用于分析汽车在不同道路条件下的行驶情况。
通过考虑汽车受到的各种力（例如摩擦力、重力等），可以计算出汽车的加速度和速度变化。
这对于汽车制造商和驾驶员来说是非常重要的，能够帮助他们设计更稳定的汽车和驾驶更安全的方式。
2.3 弹簧振子的运动弹簧振子是一个重要的物理模型，广泛应用于工程和科学领域。
质点力学可以用来描述弹簧振子的运动规律。
通过考虑弹簧的弹性力和阻尼力，可以预测弹簧振子的振幅和频率，这对于设计振动系统和测量仪器是非常重要的。
2.4 行星的轨道运动质点力学可以应用于天体运动的研究。
例如，我们可以通过牛顿万有引力定律来描述行星在太阳的引力作用下的轨道运动。
这种应用对于天文学家来说是至关重要的，能够帮助他们解释行星和其他天体的运动规律。
3. 质点力学的原理质点力学的原理主要包括以下几个方面：3.1 牛顿第一定律牛顿第一定律，也被称为惯性定律，指出一个物体在没有受到外力作用时将保持静止或匀速直线运动的状态。
这个定律为质点力学建立了一个重要的基础，使我们能够理解质点的运动方式。
3.2 牛顿第二定律牛顿第二定律为质点力学提供了力与物体加速度之间的关系。
定律表明，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的质量成反比。
这个定律为我们计算物体的加速度和力提供了一个重要的工具。
力学总结(质点力学和刚体力学的比较)
力学是研究物体运动及其动力学规律的学科。
在力学中，质点力学和刚体力学是两个
重要的分支，它们主要研究不同类型物体的运动和受力情况。
质点力学是研究质点在空间中的运动及其受力情况的力学分支。
质点是指无限小、质
量均匀、大小可以忽略不计的物体。
在质点力学中，主要研究质点的运动状态和运动规律。
根据牛顿第二定律，物体的运动状态与所受的合力有关，因此质点力学主要研究质点所受
的力及其对运动状态的影响。
质点力学的重要内容还包括能量守恒和动量守恒原理，通过
这些守恒原理可以描述物体在各种运动过程中的能量和动量变化情况。
刚体力学是研究刚体在空间中的运动及其受力情况的力学分支。
刚体是指形状、体积
和质量都保持不变的物体，其内部各点的相对位置保持不变。
与质点力学不同，刚体力学
需要考虑不同部位所受的不同力及相应的力矩，因为刚体的形状和尺寸不同，所受的力和
力矩也不同。
刚体力学主要研究刚体受力平衡的情况和旋转运动的规律。
在研究刚体的运
动状态时，我们需要考虑刚体的转动惯量和角动量等因素。
在日常生活中，我们所遇到的物体有的是质点，比如小球、电子等；有的是刚体，比
如机器人、汽车等。
因此，质点力学和刚体力学的研究成果不仅可以应用于科学研究，还
可以应用于工程设计和日常生活。
第一章 质点力学
§1.1 运动的描述方法
一、参考系与坐标系
1、参照系
物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。
物体的位置只能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。
① 参照物是有限大小，但定上框架后，框架可延长到无穷远，可见参照系可理解为参照物固连的整个空间；② 观察者是站在参照系的观察点上；③ 不特别说明都以地球为参照系。
2、坐标系
为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标系。
参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。
3、质点及位置的描述
(1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽略，物体作平动）。
在研究物体的机械运动时，不考虑物体的大小和形状，而只计及其质量的力学模型就叫质点。
(2) 位置描述：①质点相对某参照系的位置，可由位矢r 确定;②坐标描述：直角坐标系；极坐标系等。
二、运动学方程及轨道
1、运动方程
描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数学表达式称为运动学方程。
质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位置，并由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度和加速度。
写出质点的运动学方程是研究质点的运动学的首要任务。
一般常用的方程有
（1）矢量形式的运动学方程
)(t r r →
→= 当质点运动时r 是时间t 的单值连续函数。
此方程常用来进行理论推导。
它
的特点是概念清晰，是矢量法分析质点运动的基础。
（2）直角坐标形式的运动学方程
⎪⎭⎪⎬⎫=== )()()(t z z t y y t x x
这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。
它是代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。
（3）自然坐标形式的运动学方程
)(t s s =
对运动轨迹已知的质点，常用此方程。
用自然法研究运动，运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。
（4）极坐标下的运动学方程
⎭⎬⎫= ＝ )()(t t ϕϕρρ
当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐标确定。
质点在参考空间中的位置还可用其它的方法确定，例如柱坐标法或球坐标法。
通过坐标形式的方程表示质点的运动方程，并由此继续描述质点的其它运动量的方法称为分析方法。
2、轨道：质点运动过程中空间描述出的连续曲线, 运动学方程中消去t 得轨道方程。
(直线运动、曲线运动)。
三、位移、速度、加速度
1、位移： 质点由A 经Δt 到B ， 称质点在时间Δt 内的位移。
注意: 位移是矢量；位移与路径不同。
2、速度：
d dt =r
v 速度方向：沿该曲线的切线指向运动的一方。
3、加速度：
d dt =v
a
§1.2 速度、加速度分量表示式
一、直角坐标系
222222d d d d d d d d d d d d d d d d d d t z t v a t y t v a t x t v a t
z v t y v t x v z z y y x x z y x =========
， ， ， ，
那么，该质点的速度k v j v i v v z y x ρρρρ++=，大小为 222222z y x v v v v z y x &&&++=++=
方向可用v ρ与三个坐标轴的方向余弦表示
222222222/
/),(cos /
/),(cos /
/),(cos z y x z v v k v z y x y v v j v z y x x v v i v z y x &&&&ρρ&&&&ρρ&&&&ρρ++==++==++==
加速度为 →→→→++=k
a j a i a a z y x 加速度大小 222222z y x a a a a z y x &&&&&&++=++=
加速度方向也同样可以用方向余弦表示
222222222//),cos(//),cos(//),cos(z y x z a a k a z
y x y a a j a z
y x x a a i a z y x &&&&&&&&ρρ&&&&&&&&ρρ&&&&&&&&ρρ++==++==++==
二、极坐标系中的速度、加速度投影分别为
ϕρϕρϕρρϕ
ρρϕρϕρ&&&&&&&&&22+=-===a a v v ， ，
因此，该质点的速度
→→→→+=+=0000ϕϕρρρϕρϕρ&&ρv v v
大小为 22)(ϕρρ
&&+=v ，
方向（图2.1）
加速度为 →→→→→
++-=+=00200)2()(ϕϕρϕρρϕρρϕρϕρ&&&&&&&a a a ，
大小 22)2()(ϕρϕρϕρρ&&&&&&++-=a
方向（图2.2） ρϕαa a /tg 1=
三、自然坐标系中的速度、加速度投影分别为
0/0
02======b n b n a s a s a v v s v ， ， ， ρττ&&&&
那么，该质点速度τττρ&ρρs v v ==，其大小s &，方向与该质点所在轨迹的切向τρ相
平行，当τρ& 时，0>s 的方向为v ρ的方向，τρ& 时，0<s 的负方向为v ρ的方向。
加速度为n s s n a a a n ρ&ρ&&ρρρρτττ/2+=+=，大小为 2
42/ρs s a &&&+= 方向
n a a τ
θ=tg
其中θ是加速度a ρ（也称全加速度，位于密切面内）与主法向n ρ的夹角。
切向加速度τττ
ρρa a =，改变质点的速度大小；法向加速度n a a n n ρρ=，改变质点的速度方向。
§1.3 质点运动定律
1、第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系——惯性参考系基本定律。
2、第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比，近年来的实验结果已经证实相差不到10-12。
爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设。
3、一般工程问题地球可以看作惯性参考系；如果物体运动的尺度很大问题的精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心为惯性参考系；在分析行星的运动时,地心本身作公转，必须取日心参考系。
太阳本身在银河系的加速度大约是3×10-8厘米/秒2，一般来说可以不用考虑了，可以认为足够精确的了。
牛顿第二定律：质量为m 的质点受力F i (i =1,2,….n )的作用,在惯性系中的加速
度为a , 则:
∑==
n i i F a m 1
ϖϖ §1.4 质点运动微分方程
一、微分方程建立
1、自由质点的运动限制质点运动的条件称为约束，不受约束作用的质点称为自由质点。
微分方程为
()t r r F r m ,,&ϖϖϖ&&ϖ=
在直角坐标系中，微分方程成为
()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z y x z y x F z
m t z y x z y x F y m t z y x z y x F x m z y x ,,,,,,,,,,,,,,,,,,&&&&&&&&&&
&&&&& 在平面极坐标系中，微分方程成为
()()()(
)⎩⎨⎧=+=-t r r F r r m t r r F r r m r ,,,,2,,,,2θθθθθθθθ&&&&&&&&&&&
2、非自由质点的约束运动若质点被限制在某一曲线或曲面上运动，该曲线或曲面称为约束, 其方程为约束方程, 约束对质点的作用力为约束力(约束反力),约束力是待定的，取决于约束本身的性质，质点的运动状态及其质点受主动力的情况,只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为被动力。
微分方程为
()R t r r F r m ϖ&ϖϖϖ&&ϖ+=,,
其中R 为约束反力。
在自然坐标系中，上式变为：
b n n R R F F dt d m +=+==b 2
F 0 m ρ
υυτ 3、运动微分方程求解
两类基本问题：1)已知运动求力，2)已知力求运动，解微分方程，为理论力学主要课题。
解体步骤：1）理解题意，作图，受力分析；2）写出方程，选坐标系投影；3）求解方程，分析解的物理意义。
