2020年河南省高考数学(理科)模拟试卷(2)

2020年河南高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.下列命题中正确的是（ ）．A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则3.设方程的根为，表示不超过的最大整数，则（ ）．A.B.C.D.4.在中，已知，，，则等于（ ）．A.或B.C.D.5.下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”．②若是真命题，则可能是真命题．③“且”是“”的充要条件．④当时，幂函数在区间上单调递减．其中正确的是（ ）．A.①④B.②③C.①③D.②④6.已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）．A.B.C.D.7.的展开式中的系数为（ ）．A.B.C.D.8.直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.9.某校有人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分分，统计结果显示数学成绩优秀（高于分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在分到分之间的人数约为（ ）．A.B.C.D.10.已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：与椭圆相交于、两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为（ ）．A.B.C.D.11.若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ）．A.B.C.D.12.已知关于的方程恰有四个不同的实数根，则当函数时，实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若平面向量、满足，平行于轴，，则 ．14.实数，满足约束条件：，则的取值范围为 ．15.半径为的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，则，与面积之和的最大值为 ·16.如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.数列中，，当时，其前项和满足．求的表达式．设，求数列的前项和．（1）（2）18.在如图所示的三棱柱中，平面，，，的中点为，若线段上存在一点使得平面．求的长．求二面角的大小．19.部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟）．将统计数据按，，，，分组，制成频率分布直方图：（1）（2）频率组距乘车等待时间甲站（分钟）频率组距乘车等待时间乙站（分钟）假设乘客乘车等待时间相互独立．在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为；从乙站的乘客中随机抽取人，记为．用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率．从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．（1）（2）20.已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为．求椭圆的标准方程．设为直线上任意一点，过的直线交椭圆于点，，且，求的最小值．（1）（2）21.已知函数，．若存在极小值，求实数的取值范围．设是的极小值点，且，证明：．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求的普通方程和的直角坐标方程．已知直线的极坐标方程为，是与的交点，是与的交点，且，均异于原点，，求的值．【答案】解析:，；∴；∴．故选：．解析:构造函数，由于函数与在定义域上都是单调递增函数，故在定义域上单调递增，由，．则函数的零点在之间，故，．解析:由正弦定理知，，∵，∴或又∵，∴，（1）（2）23.已知函数．当，求不等式 的解集．设对恒成立，求的取值范围．C1.或C2.B3.C4.∴∴故选．解析:①命题“，”的否定是“，”．满足命题的否定形式，正确．②若是真命题，是真命题，则是假命题．所以②不正确．③“且”可得“”成立，“”得不到“且”所以③不正确．④当时，幂函数在区间上单调递减，正确，反例：，可知：时，函数是增函数，在上单调递减，所以④正确．故选．解析:正项等比数列的前项和为，，，∴，解得，，∴．故选：．解析:∵，二项展开式的通项为，二项展开式的通项为，令，得，A 5.B 6.C 7.所以，展开式中的系数为．故选：．解析:如图所示，直线过点，圆的圆心坐标，，直线与曲线有且只有个公共点，设为，，则，，直线与曲线相切时，或（舍去），直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是．故选．解析:∵，∴，∴，∴此次数学考试成绩在分到分之间的人数约为．故选．解析:C 8.C 9.C 10.设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：，，∴，解得，∵点到直线的距离不小于，∴，解得，又，∴，∴，∴离心率，故选．解析:函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，与在区间上单调递减，在上单调递增，所以：这两个函数在区间单调递减，故：即所求的最大值．故选．解析:B 11.B 12.函数，由得，得或，此时为增函数，由得，得，此时为减函数，即当时，函数取得极小值，极小值为，当时，函数取得极大值，极大值为当，，且，作出函数的图象如图：设，则当 时方程有个根，当时，方程有个根，当或时，方程有个根，则方程等价为，若恰有四个不同的实数根，等价为有两个不同的根，当，方程不成立，即，其中或设，则满足，得，即，即，即实数的取值范围是．故选：．解析:方法一：由题设得或，则或．故填或方法二：设，则由及得．又由平行于轴，得，于是，解得：或，从而得，或．方法三：设，那么，由或．解析:作出不等式组表示的平面区域如下图：xyO 其中，因为表示与点连线斜率，由图可得：当点在点处时，它与点连线斜率最小为，所以的取值范围为．故答案为：．解析:或13.14.15.如图所示，将四面体置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为，不妨设，﹐，则有：，即.记,从而有，即，从而.当且仅当，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为.16.解析:连结、，可得是边长为的等边三角形，∴，可得直线的斜率，直线的斜率，因此直线的方程为，直线的方程为，设，联解、的方程可得．（1）（2）∵圆与直线相切于点，∴，可得，直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆，消去，得，解之得或．直线交椭圆于与点，∴设，可得．由此可得．故答案为：．解析:由和得，即，由题意知，上式两边同除以得．是首项为，公差为的等差数列，．．适合，．．．解析:（1）．（2）．17.（1）．（2）．18.（1）（2）由题意知，，两两垂直．以点为原点，，，分别为轴，轴，轴建立建立空间直角坐标系．设，则，，，，，，设，由题意，，，所以，故，设面的法向量为，则，，所以，取，由面，则得，，所以．由（）得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，，则，取，，，（1）（2）则．故二面角所成角的大小为．解析:设表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，表示事件“乘客，乘车等待时间都小于分钟”，由题意知，乘客乘车等待时间小于分钟的频率为：，故的估计值为，乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，故的估计值为，又，故事件的概率为．由可知，乙站乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，所以乙站乘客乘车等待时间小于分钟的概率为，显然，的可能取值为，，，且，所以；；；；故随机变量的分布列为：，（1）．（2）的分布列为：．19.（1）（2）．解析:，而，又，得，，故椭圆的标准方程为．由（）知，∵，故，设，∴，直线的斜率为，当时，直线的方程为，也符合方程，当时，直线的斜率为，直线的方程为，设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去，得，，，，，（1）．（2）．20.（1）（2），当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为．解析:，令，则，所以在上是增函数，又因为当时，，当时，，所以，当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点，当时，的值域为，必存在使，所以当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以存在极小值点，综上可知实数的取值范围是．由（）知，即，所以，，由，得，令，显然在区间上单调递减，又，所以由，得，令，，当时，，函数单调递增；（1）．（2）证明见解析．21.（1）（2）（1）当时，，函数单调递减；所以，当时，函数取最小值，所以，即，即，所以，，所以，即．解析:对于，所以的直角坐标方程为．由，得，又，，所以的直角坐标方程为．由知曲线的普通方程为，所以其极坐标方程为．设点，的极坐标分别为，，则，，所以，所以，即，解得，又，所以．解析:当时，，即，当时，原不等式化为，得，即；当时，原不等式化为，得，即；当时，原不等式化为，得，即．综上，原不等式的解集为．（1），．（2）．22.（1）．（2）．23.（2）因为，所以可化为，所以，即对恒成立，则，所以的取值范围是．。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ð（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得： 1,0,1,2A B ，则 U 2,3A B ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D 【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当6时，cos 2cos 03，选项B 错误；当3时，2cos 2cos 03，选项A 错误；由 在第四象限可得：sin 0,cos 0 ，则sin 22sin cos 0 ，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S ，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n ，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S ，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S ，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n 即29729n ，解得9n ，所以32727(9927)34022n S S .故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.5B.5C.5D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 距离均为255d；所以，圆心到直线230x y 的距离为5.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{}n a 中，12a ，m n m n a a a ，若155121022k k k a a a ，则k （）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】取1m ，可得出数列 n a 是等比数列，求得数列 n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a 中，令1m ，可得112n n n a a a a ，12n na a，所以，数列 n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a ，1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a，1522k ，则15k ，解得4k .故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A 【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2c ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为28c当且仅当a b C 的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x ，则f (x )（）A.是偶函数，且在1(,)2 单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x时，利用函数单调性的性质可判断出 f x 单调递增，排除B ；当1,2x时，利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由 ln 21ln 21f x x x 得 f x 定义域为12x x，关于坐标原点对称，又 ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x ，f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x时， ln 21ln 12f x x x ， ln 21y x Q 在11,22 上单调递增， ln 12y x 在11,22上单调递减，f x 在11,22上单调递增，排除B ；当1,2x时， 212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x，2121x∵在1,2上单调递减， ln f 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： f x 在1,2上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC 是面积为4的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.B.32C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为4的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，2233r球心O 到平面ABC 的距离1d .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k 的序列是（）A 11010 B.11011C.10001D.11001【答案】C 【解析】【详解】由i m i a a 知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m ，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】2【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a，即：202k a a b k ，解得：2k .故答案为：2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636 种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z ，则12||z z =__________.【答案】【解析】【分析】令12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，根据复数的相等可求得1cos cos sin sin 2，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】122z z ∵，可设12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，122cos cos 2sin sin z z i i ，2cos cos 2sin sin 1，两式平方作和得： 422cos cos 2sin sin 4 ，化简得：1cos cos sin sin 2122cos cos 2sin sin z z i故答案为：.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23；（2）3 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到 29AC AB AC AB ，利用基本不等式可求得AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB ，2221cos 22AC AB BC A AC AB ， 0,A ∵，23A .（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，即 29AC AB AC AB .22AC AB AC AB∵（当且仅当AC AB 时取等号）， 22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ，解得：AC AB （当且仅当AC AB 时取等号），ABC周长3L AC AB BC ，ABC周长的最大值为3 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ，2011200i i y，202180i i x x （，20219000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r)ni i x y x y（（=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20()()ii x x y y r 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000（2）样本(,)i i x y的相关系数为20()()0.943i i x x y y r （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C ，22:12C y x .【解析】【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】（1） ,0F c ∵，AB x 轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c ，联立22222221x c x y a b a b c，解得2x c b y a ，则22b AB a，抛物线2C 的方程为24y cx ，联立24x c y cx，解得2x c y c ，4CD c ，43CD AB ∵，即2843b c a，223b ac ，即222320c ac a ，即22320e e ，01e Q ，解得12e ，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c，b ，椭圆1C 的方程为2222143x y c c，联立222224143y cx x y c c，消去y 并整理得22316120x cx c ，解得23x c 或6x c （舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c ，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y ，曲线2C 的标准方程为212y x .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）10.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP ，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案.【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB 1//MN AA 在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF 11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMNEF ∵平面11EB C F平面11EB C F 平面1A AMN（2）连接NP∵//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP //AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA 平面ABC AM ，面1A NMA 平面1111A B C A N //ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m )可得：ON AP ，6NP AO AB m∵O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m 16sin 603ON故：ON AP ∵//EF BC AP EP AM BM3EP 解得：EP m在11B C 截取1B Q EP m ，故2QN m∵1B Q EP 且1//B Q EP四边形1B QPE 是平行四边形，1//B E PQ由（1）11B C 平面1A AMN故QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQsin10QN QPN PQ 直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：()8f x ；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn .【答案】（1）当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x 时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n f x x x x x x x x x ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： 32sin cos f x x x ，则： 224'23sin cos sin f x x x x2222sin 3cos sin x x x 222sin 4cos 1x x 22sin 2cos 12cos 1x x x ，'0f x 在 0,x 上的根为：122,33x x，当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.(2)注意到 22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x ，故函数 f x 是周期为 的函数，结合(1)的结论，计算可得： 00f f ，233333228f ，2233333228f ，据此可得： max 338f x， min 338f x ，即 338f x .(3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x x2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x232sin sin 2888n x x 23338n 34n .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

高中毕业班第一次模拟考试数 学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝N ﹡，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为A ．{2}B ．{2，4，6}C ．{l ，3，5}D ．{4，6}2．已知i 是虚数单位，复数z 满足（i －1）z ＝i ，则z 的虚部是A ．12B ．－12C ．12iD ．－12i 3．若cos （2π2，则cos （π－2α）＝ A ．－59 B ．59C ． －29 D ．29 4．在区间上任选两个数x 和y ，则y ＜sinx 的概率为A ．24π B ．1－24πC ．22πD ．1－22π5．将函数y ＝cos （2x ＋6π）图象上的点P （4π，t ）向右平移m （m ＞0）个单位长度得到点P '，若P '位于函数y ＝cos2x 的图象上，则A ．t ＝－12，m 的最小值为12πB ．t ＝32－，m 的最小值为12π C ．t ＝－12，m 的最小值为6π D ．t ＝32－，m 的最小值为6π 6．执行如图所示的程序框图，若输入m ＝4，t ＝3，则输出y ＝A ．61B ．62C ．183D ．1847．在31()n x x －的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为A ．－1 10B ．110C ．220D ．－2208．已知M 是抛物线C ：2y ＝2px （p ＞0）上一点，F 是抛物线C 的焦点．若｜MF ｜＝p ，K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则∠MKF ＝A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9．函数f （x ）＝｜x ｜＋2a x （其中a ∈R ）的图象不可能是10．已知P 为矩形ABCD 所在平面内一点，AB ＝4，AD ＝3，PA 5PC ＝5PB uu r ·PD uu u r ＝A．－5 B．－5或0 C．5 D．0 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．16B．13C．1 D．212．已知函数f（x）＝（22x－x－1）x e，则方程e2＋tf（x）－9e＝0（t∈R）的根的个数为A．2 B．3C．4 D．5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．双曲线22221x ya b－＝（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x－y＋3＝0平行，则此双曲线的离心率为______________．14．若实数x，y满足100,2,x yxy⎧⎪⎨⎪⎩－＋≤＞≤则221yx＋的取值范围是_______________15．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺．问受粟几何?”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米．”则该圆柱形容器能装米_________斛．（古制1丈＝10尺，1斛＝1．62立方尺，圆周率π≈3）16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞b ，a ＞c ．△ABC 的外接圆半径为1，a ＝3．若边BC 上一点D 满足BD ＝2DC ，且∠BAD ＝90°，则△ABC 的面积 为______________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足n a ＝2n S ＋1（n ∈N ﹡）．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）若n b ＝（2n －1）·n a ，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中m 的值并估计居民月均用电量的中位数；（Ⅱ）从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用X 表示月均用电量不低于800度的用户数，求随机变量X 的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，侧面ABB 1A 1是边长为2的正方形，点E ，F 分别在线段AA 1，A 1B 1上，且AE ＝12， A 1F ＝34，CE ⊥EF （Ⅰ）证明：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；（Ⅱ）若CA ⊥CB ，求直线AC 1与平面CEF 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知圆O ： 221x y ＋＝过椭圆C ：22221y x a b ＋＝(a ＞b ＞0)的短轴端点，P ，Q 分别是圆O 与椭圆C 上任意两点，且线段PQ 长度的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0，t)作圆O 的一条切线交椭圆C 于M ，N 两点，求△OMN 的面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝2x ＋2ax ＋bcosx 在点（2π、f （2π））处的切线方程为y ＝34π． （Ⅰ）求a ，b 的值，并讨论f （x ）在上的增减性；（Ⅱ）若f （x 1）＝f （x 2），且0＜x 1＜x 2＜π，求证：12()2x x f '＋＜0． （参考公式cos θ－cos ϕ＝－2sin 2θϕ＋sin 2θϕ－）请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝1（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ．（Ⅰ）判断直线l 与圆C 的交点个数；（Ⅱ）若圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f （x ）＝｜x ＋2｜－｜x －2｜＋m （m ∈R ）．（Ⅰ）若m ＝1，求不等式f （x ）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f （x ）＝x 有三个实根，求实数m 的取值范围．。

2022年河南省高考理科数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p ：∃x 0＞3，log 3x 0≤1，则￢p 为（ ）A ．∃x 0＞3，log 3x 0＞1B ．∃x 0＜3，log 3x 0＞1C ．∀x ＞3，log 3x ≤1D ．∀x ＞3，log 3x ＞1 2．（5分）已知复数z 满足（4+3i ）（z +i ）＝25，则|z |＝（ ）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．323．（5分）已知集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈N }，B ＝{x |x ＝2n +1，n ∈N }，则下列集合为A ∩B 的子集的是（ ）A ．{1，7，13，19}B ．{1，5，7，11，13}C ．{1，3，5，9，11}D ．{1，3，5，7，9，11}4．（5分）某同学用一个半径为100√10mm ，圆心角为√10π5的扇形铁片卷成了一个简易的圆锥形状的容器（接缝处忽略不计），口朝上放在院子中间接雨水来测量降雨量（容器不漏），24h 所收集的雨水的高度达到容器高度的一半，然后将这些雨水倒入底面半径为100mm 的圆柱形量杯中，则量杯中水面高度为（ ）A ．37.5mmB ．25mmC ．15mmD ．12.5mm 5．（5分）若x ，y 满足不等式组{x ≤4，x −2y +4≥0，x +y −2≥0，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．166．（5分）圆C 1：（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16与曲线C 2：（x ﹣1）（3x +4y ﹣20）＝0的公共点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB 1与A 1C 1所成的角的余弦值为√24，则该三棱柱的高为（ ） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．48．（5分）已知函数f （x ）＝x 2+px ﹣q （p ，q ∈N *）有两个不同的零点a ，b ，若a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q ﹣p ＝（ ）A ．36B ．28C ．9D ．﹣19．（5分）已知人的血压在不断地变化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压．已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126mmHg ，舒张压为78mmHg ，心动周期约为0.75s ，假设他的血压p （mmHg ）关于时间t （s ）近似满足函数式p （t ）＝b +a sin ωt （ω＞0），当t ∈[0，0.75]时，此人的血压在[90，114]mmHg 之间的时长约为（ ）A ．0.125sB ．0.25sC ．0.375sD ．0.5s10．（5分）已知抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜6）的焦点为F ，P 为C 上一点，点A （3，0），B （1，﹣2），设∠ABP 取最小值和最大值时对应的点分别为P 1，P 2，且BP 1→•BP 2→=0，则p ＝（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 11．（5分）下列各组x ，y 的值满足x 2﹣y 2＜2（2log 4y ﹣log 2x ）的是（ ）A ．x ＝e 3，y ＝3eB ．x ＝e π，y ＝πeC ．x ＝3π，y ＝π3D ．x ＝3e ，y ＝e π12．（5分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，AA 1＝1，cos ∠DAA 1＝cos ∠BAA 1=14，则下列结论中正确的个数为（ ）①A 1C ⊥DB ；②A 1C =√11；③A 1C ⊥平面B 1BDD 1；④四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为√11．A ．4B ．3C ．2D ．1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f(x)=x 3cos(x +n 2π)为偶函数，且当x ∈（0，π）时，f （x ）＞0，则n 的值可能为 ．14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），点A （0，√3c ），且线段F 2A 的中点在C 的渐近线上，当点P 在C 的右支上运动时，|PF 1|+|P A |的最小值为6，则双曲线C 的实轴长为 ．15．（5分）已知点A ，B 是⊙O 上的两个点，∠AOB ＝θ（0＜θ＜π2），点C 为劣弧AB̂的中点，若sin θ+sin （θ+π3）=√3，OC →=xOA →+yOB →，则x +y ＝ ． 16．（5分）已知函数f （x ）＝ax 3+bx 的图象在点（1，1）处的切线方程为2x ﹣y ﹣1＝0，则函数h （x ）＝[f （x ）]3+f （x ）﹣2x 的零点个数为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，M 为对角线AC 的中点，BC ＝3，BM ＝3√2，AD =√11，cos ∠ABC =13．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）求sin ∠ACD ．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ﹣1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n +1＝2a n +3b n ，求{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）如图所示，在四棱锥A ﹣BCDE 中，CD ∥EB ，CD ＝2DE ＝2BE ＝2BC ＝2，△ADE 为等边三角形，AC ＝2，F 为棱AC 的中点．（Ⅰ）证明：CE ⊥BF ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BDF 所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥梁及山谷的竖直截面图如图所示，谷底为点O ，O 'O 为铅垂线（O '在桥梁AB 上）．以O 为原点建立直角坐标系，左侧山体曲线AO 的方程为y =149x 2−17x （﹣70≤x ≤0），右侧山体曲线BO 的方程为y =−1675x 3+5x （0≤x ≤30），其中x ，y 的单位均为m ．现在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，其中C 在线段O 'A 上，E 在线段O 'B 上，且O 'E ＝15m ，CD ＝2EF ．（Ⅰ）求CE 的长；（Ⅱ）为了增加桥梁的结构强度，要在桥梁上的C ，E 之间找一点P ，修建两个支撑斜柱DP 和FP ，当∠DPF 最大时，求CP 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：√82≈9.06．）21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率为√32，F 1，F 2是C 的左、右焦点，P 是C 上在第一象限内的一点，F 1关于直线PF 2对称的点为M ，F 2关于直线PF 1对称的点为N ．（Ⅰ）证明：|MN |≤4；（Ⅱ）设A ，B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆C 相交于E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +x ﹣1（a ∈R ）．（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若函数y＝f（e x）﹣ax+1与y＝e a（lnx+a）的图象有两个不同的公共点，求a的取值范围．2022年河南省高考理科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p ：∃x 0＞3，log 3x 0≤1，则￢p 为（ ）A ．∃x 0＞3，log 3x 0＞1B ．∃x 0＜3，log 3x 0＞1C ．∀x ＞3，log 3x ≤1D ．∀x ＞3，log 3x ＞1 【解答】解：根据题意，命题p ：∃x 0＞3，log 3x 0≤1是特称命题，其否定为∀x ＞3，log 3x ＞1；故选：D ．2．（5分）已知复数z 满足（4+3i ）（z +i ）＝25，则|z |＝（ ）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．32【解答】解：∵（4+3i ）（z +i ）＝25，∴z +i =254+3i =25(4−3i)(4+3i)(4−3i)=4−3i ， ∴z ＝4﹣4i ，∴|z |=√42+(−4)2=4√2．故选：C ．3．（5分）已知集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈N }，B ＝{x |x ＝2n +1，n ∈N }，则下列集合为A ∩B 的子集的是（ ）A ．{1，7，13，19}B ．{1，5，7，11，13}C ．{1，3，5，9，11}D ．{1，3，5，7，9，11}【解答】解：因为集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈N }，B ＝{x |x ＝2n +1，n ∈N }，所以A ∩B ＝{x |x ＝6n +1，n ∈N }，故选：A ．4．（5分）某同学用一个半径为100√10mm ，圆心角为√10π5的扇形铁片卷成了一个简易的圆锥形状的容器（接缝处忽略不计），口朝上放在院子中间接雨水来测量降雨量（容器不漏），24h 所收集的雨水的高度达到容器高度的一半，然后将这些雨水倒入底面半径为100mm 的圆柱形量杯中，则量杯中水面高度为（ ）A ．37.5mmB ．25mmC ．15mmD ．12.5mm【解答】解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ，由题意得：2πr ＝100√10×√10π5，解得r ＝100，h =√(100√10)2−1002=300，所以雨水的体积为V =13×3002×π(1002)2=(1002)3π，设量杯中水面高度为h ′，则π1002•h ′＝（1002）3π，解得h ′＝12.5，故选：D ．5．（5分）若x ，y 满足不等式组{x ≤4，x −2y +4≥0，x +y −2≥0，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16 【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =4x −2y +4=0，解得A （4，4）， 由z ＝2x +y ，得y ＝﹣2x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣2x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为12．故选：C ．6．（5分）圆C 1：（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16与曲线C 2：（x ﹣1）（3x +4y ﹣20）＝0的公共点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：因为圆C 1：（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16的圆心为（5，5），半径为4， 曲线C 2：（x ﹣1）（3x +4y ﹣20）＝0，即x ＝1或3x +4y ﹣20＝0，由于圆心到直线x ＝1的距离为4，故直线x ＝1与圆相切，切点为A （1，5），即有1个交点，圆心到直线3x +4y ﹣20＝0的距离d =√3+4=3＜4，所以直线3x +4y ﹣20＝0与圆相交，即有2个交点，且不经过点（1，5），故有3个公共点．故选：C ．7．（5分）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB 1与A 1C 1所成的角的余弦值为√24，则该三棱柱的高为（ ） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4【解答】解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，设该三棱柱的高为a ，则AB 1＝CB 1=√4+a 2，∵AC ∥A 1C 1，∴∠B 1AC 是异面直线AB 1与A 1C 1所成的角（或所成角的补角），∵异面直线AB 1与A 1C 1所成的角的余弦值为√24， ∴cos ∠B 1AC =AB 12+AC 2−CB 122×AB 1×AC =4+a 2+4−4−a 22×2×√4+a=√24， 解得a ＝2．故选：C ．8．（5分）已知函数f （x ）＝x 2+px ﹣q （p ，q ∈N *）有两个不同的零点a ，b ，若a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q ﹣p ＝（ ）A ．36B ．28C ．9D ．﹣1【解答】解：由题意可得a +b ＝﹣p ，ab ＝﹣q ，因为p ，q ∈N *，可得ab ＜0，a +b ＜0，不妨设a ＜0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得{−2a =b 2a +b =−4或{−2a =b 2b −2=2a ，解得{a =−8b =4或{a =−12b =1， 若a ＝﹣8，b ＝4，则p ＝4，q ＝32，此时q ﹣p ＝28；若a =−12，b ＝1，则q =12∉N *，不合题意．综上可得q ﹣p ＝28．故选：B ．9．（5分）已知人的血压在不断地变化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压．已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126mmHg ，舒张压为78mmHg ，心动周期约为0.75s ，假设他的血压p （mmHg ）关于时间t （s ）近似满足函数式p （t ）＝b +a sin ωt （ω＞0），当t ∈[0，0.75]时，此人的血压在[90，114]mmHg 之间的时长约为（ ）A ．0.125sB ．0.25sC ．0.375sD ．0.5s 【解答】解：由题意可知{b +a =126b −a =78，解得b ＝102，a ＝24， 由ω=2πT =2π×43=8π3，则p （t ）＝24sin 8π3t +102， 由90≤24sin8π3t +102≤114，得出−12≤sin 8π3t ≤12， 令x =8π3t ，x ∈[0，2π]，则−12≤sin x ≤12，函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象如图所示，由图可知，此人的血压在[90，114]mmHg 之间的时长约为[π6+（7π6−5π6）+（2π−11π6）]×38π=0.25． 故选：B ．10．（5分）已知抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜6）的焦点为F ，P 为C 上一点，点A （3，0），B （1，﹣2），设∠ABP 取最小值和最大值时对应的点分别为P 1，P 2，且BP 1→•BP 2→=0，则p ＝（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【解答】解：如图：当BP 1与抛物线相切时，∠ABP 取最小值，当BP 2与抛物线相切时，∠ABP 取最大值，不妨令P （x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），∵x 2＝2py ，∴y =x 22p， ∴y ′=x p ，则直线BP 1的斜率k 1=x 1p =y 1+2x 1−1=x 122p +2x 1−1，即12x 12﹣x 1＝2p ，①， 同理可得直线BP 2的斜率k 2=x 1p ，即12x 22﹣x 2＝2p ，②， 由①②可得x 1，x 2是方程12x 2﹣x ﹣2p ＝0的两个根， ∴x 1x 2＝﹣4p ，∵BP 1→•BP 2→=0，∴k 1k 2=x 1x 2p 2=−1，即x 1x 2＝﹣p 2， ∴p 2＝4p ，解得p ＝4，故选：A ．11．（5分）下列各组x ，y 的值满足x 2﹣y 2＜2（2log 4y ﹣log 2x ）的是（ ） A ．x ＝e 3，y ＝3eB ．x ＝e π，y ＝πeC ．x ＝3π，y ＝π3D ．x ＝3e ，y ＝e π【解答】解：因为x 2﹣y 2＜2（2log 4y ﹣log 2x ）等价于x 22+log 2x ＜y 22＜log 2y ，于是构造函数f （x ）=x 22+log 2x ，上式子等价于f （x ）＜f （y ），又因为函数f （x ）=x 22+log 2x 是增函数，故只需要x ＜y 即可． 构造函数g （x ）=lnx x ，g '（x ）=1−lnxx 2， 可得到函数g （x ）在（0，e ）上为增函数，在（e ，+∞）上为减函数， 所以g （e ）＞g （3）＞g （π），即lne e＞ln3π＞lnππ，所以e 3＞3e ，e π＞πe ，3π＞π3，故可排除A ，B ，C ； 对于D ，因为ln3π＜lnππ＜lne e，所以3e ＜e π，故选项D 正确．故选：D ．12．（5分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，AA 1＝1，cos ∠DAA 1＝cos ∠BAA 1=14，则下列结论中正确的个数为（ ） ①A 1C ⊥DB ； ②A 1C =√11； ③A 1C ⊥平面B 1BDD 1；④四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为√11．A．4B．3C．2D．1【解答】解：对于①，∵在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，AA1＝1，cos∠DAA1＝cos∠BAA1=1 4，∴A1D＝A1B=√1+4−2×1×2×14=2，BD＝2，连接AC，BD，交于点O，连接A1O，A1C，则AC⊥BD，A1O⊥BD，∵AC∩A1O＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵A1C⊂平面ACC1A1，∴A1C⊥DB，故①正确；对于②，∵AA1＝1，A1O＝AO=√4−1=√3，AC＝2√3，∴cos∠A1AC=2×1×√3=√36，∴A1C=1+12−2×1×2√3×√36=√11，故②正确；对于③，∵BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥A1C，∵AA12+A1C2＝AC2，∴AA1⊥A1C，∵DD1∥AA1，∴DD1⊥A1C，∵DD1∩BD＝D，∴A1C⊥平面B1BDD1，故③正确；对于④，S四边形ABCD＝2×12×2×√3=2√3，A1到平面ABCD的距离d＝sin∠A1AC=1−(√36)2=√336，∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为：V＝S四边形ABCD•d＝2√3•√336=√11，故④正确．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f(x)=x 3cos(x +n2π)为偶函数，且当x ∈（0，π）时，f （x ）＞0，则n 的值可能为 n ＝4m ﹣1，m ∈Z ．【解答】解：函数f(x)=x 3cos(x +n2π)为偶函数，可得f （﹣x ）＝f （x ），即﹣x 3cos （﹣x +n2π）＝x 3cos （x +nπ2）， 即有cos （﹣x +n2π）＝﹣cos （x +nπ2）， 可得cos x cos nπ2+sin x sin nπ2=−（cos x cosnπ2−sin x sinnπ2），化为cos x cos nπ2=0，可得cosnπ2=0，可得nπ2=k π+π2，k ∈Z ，解得n ＝2k +1，k ∈Z ，当x ∈（0，π）时，f （x ）＞0， 即有cos （x +nπ2）＞0，而k 为偶数时，cos （x +nπ2）＝cos （x +k π+π2）＝﹣sin x ＜0， k 为奇数时，cos （x +nπ2）＝cos （x +k π+π2）＝sin x ＞0， 则n 的值可能为n ＝4m ﹣1，m ∈Z ， 故答案为：n ＝4m ﹣1，m ∈Z ． 14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），点A （0，√3c ），且线段F 2A 的中点在C 的渐近线上，当点P 在C 的右支上运动时，|PF 1|+|P A |的最小值为6，则双曲线C 的实轴长为 2 ． 【解答】解：∵F 2（c ，0），点A （0，√3c ）， ∴F 2A 的中点为：（c2，√32c ）， ∵线段F 2A 的中点在C 的渐近线上， ∴√32c =b a •c2⇒b =√3a ，① ∵|PF 1|+|P A |＝2a +|PF 2|+|P A |≥2a +|AF 2|＝2a +√c 2+(√3c)2=2a +2c ，∵|PF 1|+|P A |的最小值为6， ∴2a +2c ＝6⇒a +c ＝3，② 又a 2+b 2＝c 2，③联立①②③解得a ＝1，b =√3，c ＝2， ∴双曲线C 的实轴长为2a ＝2． 故答案为：2．15．（5分）已知点A ，B 是⊙O 上的两个点，∠AOB ＝θ（0＜θ＜π2），点C 为劣弧AB̂的中点，若sin θ+sin （θ+π3）=√3，OC →=xOA →+yOB →，则x +y ＝2√33． 【解答】解：根据题意，如图，连接AB ，设OC 与AB 交于点G ， 点C 为劣弧AB ̂的中点，则G 为AB 的中点，则有OG →=12（OA →+OB →）， 若sin θ+sin （θ+π3）=√3， 即sin θ+sin θcos π3+cos θsinπ3=32sin θ+√32cos θ=√3sin （θ+π6）=√3，则有sin （θ+π6）＝1，又由0＜θ＜π2，则π6＜θ+π6＜2π3，则θ+π6=π2，即θ=π3，则有OG OA =cosπ6=√32，则有OG →=√32OC →，则有12（OA →+OB →）=√32OC →，变形可得OC →=√33（OA →+OB →）=√33OA →+√33OB →，又由OC →=xOA →+yOB →，则x ＝y =√33，故x +y =2√33，故答案为：2√33．16．（5分）已知函数f （x ）＝ax 3+bx 的图象在点（1，1）处的切线方程为2x ﹣y ﹣1＝0，则函数h （x ）＝[f （x ）]3+f （x ）﹣2x 的零点个数为 3 ．【解答】解：因为f （x ）＝ax 3+bx ，则f ′（x ）＝3ax 2+b ，则{f′(1)=2f(1)=1，即{3a +b =2a +b =1，解得{a =12b =12， 则f(x)=x 3+x 2，而f′(x)=3x 2+12＞0， 所有f （x ）是R 上的增函数，令h （x ）＝0，可得[f （x ）]3+f （x ）＝2x ，即 [f(x)]3+f(x)2=x ，ℎ(x) 的零点对应方程f （f （x ））＝x 的实根，利用函数的单调性知，函数f （x ）是R 上的增函数，任取f （f （x ））＝x 的实根x 0，若f （x 0）＞x 0，则必有x 0＝f （f （x ））＞f （x 0）＞x 0，矛盾， 若f （x 0）＜x 0，则必有x 0＝f （f （x ））＜f （x 0）＜x 0，矛盾， 所以f （x 0）＝x 0，即x 03+x 02=x 0，可知h （x ）的所有零点为0，1，﹣1三个，故答案为：3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，M 为对角线AC 的中点，BC ＝3，BM ＝3√2，AD =√11，cos ∠ABC =13． （Ⅰ）求AB ； （Ⅱ）求sin ∠ACD ．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，BA →+BC →=2BM →，两边平方得BA →2+BC →2+2BA →⋅BC →=4BM →2，即|BA →|2+9+2×|BA →|×3×13=4×18， 解得|BA →|=7或|BA →|=−9（舍去），即AB ＝7．（Ⅱ）由余弦定理可得AC 2＝BA 2+BC 2﹣2BA ⋅BC cos ∠ABC ＝44，所以AC =2√11， 由题意知∠ABC +∠ADC ＝π，所以cos∠ADC =−13， 所以sin∠ADC =√1−19=2√23． 根据正弦定理得ACsin∠ADC−AD sin∠ACD，因此sin∠ACD =ADsin∠ADC AC =√11×2√232√11=√23． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ﹣1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n +1＝2a n +3b n ，求{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ﹣1，① ∴S 1＝2a 1﹣1⇒a 1＝1，当n ≥2时，S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣1，② ①﹣②整理得：a n ＝2a n ﹣1，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n ﹣1，（Ⅱ）∵数列{b n }满足b 1＝a 1，b n +1＝2a n +3b n ， ∴b n +1＝2n +3b n ⇒b n +1+2n +1＝3（b n +2n ）， 又b 1+21＝3，∴{b n +2n }以3为首项，3为公比的等比数列， ∴b n +2n ＝3n ， ∴b n ＝3n ﹣2n ，∴{b n }的前n 项和T n ＝（31﹣21）+（32﹣22）+......+（3n﹣2n）=3(1−3n)1−3−2(1−2n)1−2=3n+12−2n +1+12． 19．（12分）如图所示，在四棱锥A ﹣BCDE 中，CD ∥EB ，CD ＝2DE ＝2BE ＝2BC ＝2，△ADE 为等边三角形，AC ＝2，F 为棱AC 的中点． （Ⅰ）证明：CE ⊥BF ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BDF 所成的锐二面角的余弦值．【解答】（I ）证明：如图，设CD 的中点为G ，连接BG ，FG ，则BG ∥DE ，FG ∥AD ， 因为BG ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以BG ∥平面ADE ， FG ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以FG ∥平面ADE ， 因为BG ∩FG ＝G ，所以平面ADE ∥平面FGB ，由平面几何知识可得CE ⊥DE ，∠CDE ＝60°，CE =√3，因为AE ＝DE ＝1，AC ＝2，CE =√3，所以AE 2+CE 2＝AC 2，即CE ⊥AE ， 又因为AE ∩DE ＝E ，所以CE ⊥平面ADE ，因此CE ⊥平面BGF ，所以CE ⊥BF ； （Ii ）因为CE ⊥平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCDE ，取DE 的中点为O ，连接AO ，GO ，则AO ⊥DE ，GO ⊥DE ，GO ⊥AO ，以O 为坐标原点，OE ，OG ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D （−12，0，0），B （1，√32，0），A （0，0，√32），C （12，√3，0）， 所以F （14，√32，√34），DB →=（32，√32，0），DF →=（34，√32，√34）， 设平面BDF 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{DB →⋅n →=0DF →⋅n →=0，即{32x +√32y =034x +√32y +√34z =0，令x ＝1，则y =−√3，z =√3，所以平面BDF 的一个法向量为n →=（1，−√3，√3）， 易知平面ADE 的一个法向量为m →=（0，1，0） 设平面ADE 与平面BDF 所成的锐二面角为θ，则cosθ=||=||||||=||=√217，故平面ADE与平面BDF所成的锐二面角的余弦值为√21 7．20．（12分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥梁及山谷的竖直截面图如图所示，谷底为点O，O'O为铅垂线（O'在桥梁AB上）．以O为原点建立直角坐标系，左侧山体曲线AO的方程为y=149x2−17x（﹣70≤x≤0），右侧山体曲线BO的方程为y=−1675x3+5x（0≤x≤30），其中x，y的单位均为m．现在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，其中C在线段O'A上，E在线段O'B上，且O'E＝15m，CD＝2EF．（Ⅰ）求CE的长；（Ⅱ）为了增加桥梁的结构强度，要在桥梁上的C，E之间找一点P，修建两个支撑斜柱DP和FP，当∠DPF最大时，求CP的长．（结果精确到0.1m，参考数据：√82≈9.06．）【解答】解：（1）对于曲线OA，令x＝﹣70得y＝110，对于曲线OB，令x＝30，得y＝110，所以AB所在直线的方程为y＝110，所以点E(15，110)，EF=110+1675×153−5×15=40，设C （t ，110）（﹣70≤t ≤0）， 因为CD ＝2EF ，所以CD =110−149t 2+17t =80， 解得t ＝﹣35 或 t ＝42（舍去）， 所以CE ＝15﹣t ＝50， 即CE 长50m ．（2）由（1）可知CE ＝50，CD ＝80，EF ＝40， 设CP ＝n （0＜n ＜50）， 则tan∠DPF =tan(π−∠CPD −∠EPF)=−tan(∠CPD +∠EPF)=tan∠CPD+tan∠EPFtan∠CPDtan∠EPF−1， 所以tan∠DPF−80n +4050−n 80n ×4050−n −1=40(100−n)n 2−50n+3200．令k ＝100﹣n ∈（50，100）， 则tan∠DPF =40kk 2−150k+8200=40k+8200k−150≤40√k⋅8200k −150=42√82−15，当且仅当k 2＝8200， 即k ≈90.6时取等号， 此时n ＝100﹣k ≈9.4，即当∠DPF 最大时，CP 的长约为9.4m ． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率为√32，F 1，F 2是C 的左、右焦点，P 是C 上在第一象限内的一点，F 1关于直线PF 2对称的点为M ，F 2关于直线PF 1对称的点为N ．（Ⅰ）证明：|MN |≤4；（Ⅱ）设A ，B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆C 相交于E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的取值范围．【解答】证明：（I ）C 的离心率为√32，即√a 2−1a =√32，解得a ＝2．由题意知|PF 1|＝|PM |，|PF 2|＝|PN |， |MN |≤|PM |+|PN |＝|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，解：（II ）直线AB ，EF 的方程分别为x +2y ＝2，y ＝kx （k ＞0），设E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），其中x 1＜x 2，由{y =kx ，x 24+y 2=1， 得 x 1=2√1+4k x 2=2√1+4k ，所以点E ，F 到AB 的距离分别为ℎ1=11√5=√2√5(1+4k 2)，h 2=22√5=√2√5(1+4k 2)， 又|AB |=√22+1=√5， 所以四边形AEBF 的面积为S =12|AB|(ℎ1+ℎ2)=12×√54(1+2k)√5(1+4k 2)=2√1+4k 2+4k 1+4k 2=2√1+4k 1+4k 2=2√1+41k+4k 当k ∈（0，+∞）时，1k+4k ∈[4，+∞)，则41k+4k∈(0，1]，所以 √1+4k +4k ∈(2，2√2]，即四边形AEBF 面积的取值范围为（2，2√2]． 22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +x ﹣1（a ∈R ）． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若函数y ＝f （e x ）﹣ax +1与y ＝e a （lnx +a ）的图象有两个不同的公共点，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f （x ）＝alnx +x ﹣1（a ∈R ），所以f ′（x ）=a x +1=x+ax（x ＞0）． ①当a ≥0，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ②当a ＜0，令f （x ）＝0，得x ＝﹣a ，所以x ∈（0，﹣a ）时，f ′（x ）＜0；x ∈（﹣a ，+∞）时，f ′（x ）＞0， 所以f （x ）在（0，﹣a ）上单调递减，在（﹣a ，+∞）上单调递增． 综上所述，当a ≥0，f （x ）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a ＜0，f （x ）的单调递增区间为（﹣a ，+∞），f （x ）的单调递减区间为（0，﹣a ）．（Ⅱ）根据题意可知：方程f（e x）﹣ax+1＝e a（lnx+a），即e x＝e a（lnx+a）有两个不同的实根，由e x＝e a（lnx+a）可得xe x＝e a+lnx（lnx+a）．令g（x）＝xe x，因为x＞0时，g′（x）＝（x+1）e x＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，要使g（x）＝g（lnx+a）有两个不同的实根，则需x＝lnx+a有两个不同的实根．令h（x）＝x﹣lnx﹣a，则h′（x）＝1−1x=x−1x，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝1﹣a．①若a＜1，则h（x）＞0，h（x）没有零点；②若a＝1，则h（x）≥0，当且仅当x＝1时取等号，h（x）只有一个零点；③若a＞1，则h（1）＝1﹣a＜0，h（e﹣a）＝e﹣a＞0，h（e a）＝e a﹣2a．令φ（a）＝e a﹣2a，则当a＞1时，φ′（a）＝e a﹣2＞e﹣2＞0，即φ（a）在（1，+∞）上单调递增，所以φ（a）＞φ（1）＝e﹣2＞0，即h（e a）＞0．故此时h（x）在（0，1）上有一个零点，在（1，+∞）上有一个零点，符合条件．综上可知，实数a的取值范围是（1，+∞）．第21 页共21 页。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题理科模拟试卷二1高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题理科模拟试卷（二）本试卷分第Ⅰ卷(选择题共60分)和第Ⅱ卷(非选择题共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题共60分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率Pn(k)=Cknpk(1－p)n －k球的表面积公式S=4πR2，其中R 表示球的半径球的体积公式V=34πR3，其中R 表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集I={1，3，5，7，9}，集合A={1，9，|a －5|}，IA={5，7}，则a 的值为 A.2B.8C.－2或8D.2或82.已知函数f(x)=3x －1，则它的反函数y=f －1(x)的图象是3.若点P(x,y)在曲线??+-=+=θθsin 54cos 53y x (θ为参数)上，则使x2+y2取得最大值的点P的坐标是A.(6，－8)B.(－6，8)C.(3，－4)D.(－3，4)4.复数i 215+的共轭复数为 A.－31035-iB.－i 31035+ C.1－2iD.1+2i5.下列命题中，使命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是A.M ：a ＞bN:ac2＞bc2B.M:a ＞b,c ＞dN:a －d ＞b －cC.M:a ＞b ＞0,c ＞d ＞0 N:ac ＞bdD.M:|a －b|=|a|+|b| N:ab ≤06.已知a2=2a ·b ，b2=2a ·b ，则a 与b 的夹角为A.0°B.30°C.60°D.180°7.生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有10%~20%的能量能够流动到下一个营养级(称为能量传递率)，在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中，若使H6获得10 kJ 的能量，则需要H1最多提供的能量是A.104 kJB.105 kJC.106 kJD.107 kJ8.一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为A.5400°B.6480° C.7200°D.7920°9.2路公共汽车始发站，停放着两辆公共汽车，有3名司机和4名售票员，准备上车执行运营任务，每部汽车需要1名司机和2名售票员，其中1名售票员为组长，那么不同分工方法总数是A.36B.72C.144D.28810.已知F1、F2是椭圆2222)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10)的两个焦点，B 是短轴的一个端点，则△F1BF2的面积的最大值是A.33100 B.93100 C.100(3－22)D.21a2 11.△ABC 边上的高线为AD ，BD=a ，CD=b ，且a ＜b ，将△ABC 沿AD 折成大小为θ的二面角B —AD —C.若cos θ= ba，则三棱锥A —BDC 的侧面△ABC 是 A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.形状与a 、b 的值有关的三角形12.数列{an}中，a1=1,Sn 是其前n 项和.当n ≥2时，an=3Sn ，则31lim1-++∞→n n n S S 的值是A.－31B.－2C.1D.－54第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.把一个函数的图象按向量a=(3,－2)平移，得到的图象的解析式为y=log2(x+3)+2，则原来的函数的解析式为___________.14.在(x2+24x －4)5的展开式中含x4项的系数是___________. 15.以椭圆14416922y x +=1的右焦点为圆心，且与双曲线16922y x -=1的渐近线相切的圆的方程为___________.16.有下列四个命题：①若平面α的两条斜线段PA 、QB 在平面α内的射影相等，则PA 、QB 的长度相等②已知PO 是平面α的斜线，AO 是PO 在平面α内的射影，若OQ ⊥OP ，则必有OQ ⊥OA ③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个④平面α内有两条直线a 、b 都与另一个平面β平行，则必有α∥β其中不正确命题的序号为___________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) 讨论函数f(x)= 21cos(2x －2α)+cos2α－2cos(x －α)cosxcos α的值域、周期性、奇偶性及单调性.18.(本小题满分12分)在正方体AC1中，E 、F 分别为BB1、CD 的中点. (1)求证：AD ⊥D1F ；(2)求AE 与D1F 所成角的大小；(3)求证：平面AED ⊥平面A1FD1. 19.(本小题满分12分)甲乙两人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲乙两人依次抽一题.(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1.当x=－1，x=1时，取极值，且极大值比极小值大4. (1)求a,b 的值；(2)求f(x)的极大值和极小值. 21.(本小题满分12分)已知：a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0＜α＜β＜π). (1)求证：a+b 与a －b 互相垂直；(2)若ka+b 与a －kb 大小相等,求β－α (其中k 为非零实数).22.(本小题满分14分)已知等比数列{an}的各项均为正数，且公比不等于1，数列{bn}对任意自然数n ，均有(bn+1－bn+2)log2a1+(bn+2－bn)log2a3+(bn －bn+1)log2a5=0成立，又b1=t,b7=13t(t ∈R,且t ≠0).(1)求数列{bn}的通项公式；(2)设cn=11+n n b b ，若Sn 表示数列{bn}的前n 项和，Tn 表示数列{cn}的前n 项和，求nnn n b n T S ??∞→lim.参考答案一、选择题(每小题5分，共60分) 1.D2.解析：根据f －1(x)的定义域及值域观察可得. 答案：D3.解析：化参数方程为普通方程后得. 答案：A4.D5.D6.解析：利用cos θ=||||b a ba ?.答案：C 7.C8.解析：运用欧拉公式及多边形的内角和公式可得. 答案：B9.C 10.B 11.C12.解析：由题意得Sn －Sn －1=3Sn, ∴211-=-n n S S ,S1=a1=1. ∴Sn=S1(－21)n －1=(－21)n －1，n n S ∞→lim =0.答案：A二、填空题(每小题4分，共16分) 13.y=log2(x+6)+4 14.－96015.(x －5)2+y2=16 16.①②③④三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分) 17.解：利用三角函数公式可化得 f(x)=－21cos2x.4分∴f(x)的值域为：［－21，21］;周期T=π；f(x)为偶函数.9分当x ∈［k π,k π+2π］(k ∈Z)时 ,f(x)为增函数，当x ∈［k π－2π,k π］(k ∈Z)时，f(x)为减函数.12分 18.解：(1)略4分(2)2π8分 (3)通过证明FD1⊥平面AED 得到平面AED ⊥平面A1FD1.12分19.解：(1)它是等可能性事件，基本事件总数为C 110C 19种，所述事件包含的基本事件数为C 16C 14，故所求概率为191101416C C C C =154.6分(2)可直接算也可用求其对立事件的概率来算，结果为1513.12分20.解：(1)f ′(x)=5x4+3ax2+b,因x=1时有极值，则5+3a+b=0,反代入得：f ′(x)=(x+1)(x －1)(5x2+3a+5).由题意有5x2+3a+5≠0恒成立，故3a+5＞0,a ＞－35. 故当x=－1时取极大值，x=1时取得极小值,且f(－1)－f(1)=4，再由b=－3a －5可解得a=－1,b=－2. 7分(2)f(－1)=3为极大值，f(1)=－1为极小值. 12分21.解：(1)只要证明(a+b)·(a －b)=0，而(a+b)·(a －b)=a2－b2；6分(2)由|ka+b|=|a －kb|知2kc os(β－α) =－2kcos(β－α).又k ≠0,故cos(β－α)=0，又0＜α＜β＜π，所以β－α=2π.12分22.解：(1)设{an}的公比为q(0＜q 且q ≠1). 则a3=a1q2,a5=a1q4,代入已知等式并化简得：(bn+2+bn －2bn+1)log2q=0,因为log2q ≠0，所以bn+2+bn=2bn+1，所以{bn}为等差数列. 由b1=t,b7=13t 得bn=(2n －1)t.6分 (2)由于)121121(21121+--=+n n t b b n n ，8分所以Tn=,)12()1211215131311(2122+=+--++-+-n t n n n t而Sn=21nb b +·n=n2t.10分所以232341)4(lim lim t n n t n b n T S n nn n n =-=??∞→∞→.14分高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C 3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12(k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3 5，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m mx y x y x y 则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ?α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。

2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，请只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。

数学模拟试卷（二）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

）1. 设集合A={x|y=ln(1−x)}，B={x|(12)x<2}，则A∩B=( )A. {x|−1<x<1}B. {x|x<−1}C. {x|x<1}D. {x|−1<x≤1}2. 已知复数z=(1+i1−i)2+i，则在复平面内z对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x22p +y2p=1的一个焦点，则p=( )A. 2B. 3C. 4D. 84. 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(cos15°+ sin15°,cos15°−sin15°)，则tanα=( )A. √33B. 1C. √3D. 25. 等差数列{a n}中，a1=2020，前n项和为S n，若S1212−S1010=−2，则S2022=( )A. 1011B. 2022C. −1011D. −20226. 下列说法中正确的是( )A. 命题“p且q”为真命题，则p，q恰有一个为真命题B. 命题“p：∀x∈R，x2+1≥0”，则“￢p：∀x∈R，x2+1<0”C. △ABC中，A=B是sinA=sinB的充分不必要条件D. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1>0”是“S3>S2”的充要条件7. 已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+π3)，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是( )A. 先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度B. 先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度第1页，共4页第2页，共4页 C. 先把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度 D. 先把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度 8. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°9. 已知函数y =f(x)的图象如图所示，则此函数可能是( )A. f(x)=e x −e −x x 2+|x|−2B. f(x)=e −x −e xx 2+|x|−2C. f(x)=x 2+|x|−2e x −e −xD. f(x)=x 2+|x|−2e −x −e x10. “迎冬奥，跨新年，向未来”，中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U 型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为( )A. 576B. 288C. 144D. 4811. 设曲线y =x 3−6kx 在x =k 处切线的斜率为f(k)，则( )A. f(213)<f(log 214)<f(log 29)B. f(213)<f(log 29)<f(log 214) C. f(log 29)<f(log 214)<f(213) D. f(log 29)<f(213)<f(log 214) 12. 已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，点P 在C 上，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若|OE|=λ|ON|，则双曲线C 的离心率为( )A. 2λ+1λ−1B. 2C. 1+λλ−1D. 1+2λ1+λ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）第3页，共4页13. 已知向量a ⃗=(1,−1)，b ⃗⃗=(m,2)，若a ⃗⊥(a ⃗+b⃗⃗)，则实数m = ______ ． 14. 已知函数f(x)=x 3−f′(1)x 2−2，则f(2)=______．15. 已知三棱锥P −ABC 中，AB =4，BC =3，PA =AC =5，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______．16. 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点F 作斜率为√3的直线l ，交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 处的两条切线交于点M ，则|MF|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。

2020年河南省普通高中招生考试数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．在﹣2，0，3，这四个数中，最大的数是（）A．﹣2 B．3 C．0 D．2．如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．十八大报告指出：“建设生态文明，是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计”，这些年党和政府在生态文明的发展进程上持续推进，在“十一五”期间，中国减少二氧化碳排放1 460 000 000吨，赢得国际社会广泛赞誉．将1 460 000 000用科学记数法表示为（）A．146×107B．1.46×107 C．1.46×109 D．1.46×10104．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（）A．30°B．36°C．38°D．45°5．若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（）A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣46．用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．则第n个图案中正三角形的个数为（）（用含n的代数式表示）．A．2n+1 B．3n+2 C．4n+2 D．4n﹣27．在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，且A，C在坐标轴上，满足OA=，OC=1．将矩形OABC绕原点0以每秒15°的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒（0≤t≤6），旋转过程中矩形在第二象限内的面积为S，表示S与t的函数关系的图象大致如图所示，则矩形OABC的初始位置是（）A． B． C．D．8．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．2二、填空题（每小题3分，共21分）9．计算：（﹣1）2020+（π﹣3.14）0﹣（）﹣2=______．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列关系式中：①a＜0；②abc＞0；③a+b+c ＞0；④b2﹣4ac＞0．其中不正确的序号是______．11．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上分别标有数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y=上的概率为______．12．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为______．13．如图所示，直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，且两个顶点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，以斜边为半径的弧交数轴于点A，点C所表示的数为2，点A 与点B关于点C对称，则点B表示的数为______．14．如图，点A，B分别在函数y=（k1＞0）与y=（k2＜0）的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是______．15．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和4，∠A=120°．则阴影部分面积是______．（结果保留根号）三、计算题（本题共8个小题，75分）16．先化简，再求值：，其中x+2=．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．（1）求证：BC2=BD•BA；（2）判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．18．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小明想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．请你根据图中提供信息回答下列问题：（1）求本次被抽查的居民有多少人？（2）将图1和图2补充完整；（3）求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；（4）估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有多少人．．19．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？20．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．（1）求BT的长（不考虑其他因素）．（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）21．黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式．（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离．（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？22．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（1）如图1，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．23．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？2020年河南省普通高中招生考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．在﹣2，0，3，这四个数中，最大的数是（）A．﹣2 B．3 C．0 D．【考点】实数大小比较．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣2＜0＜＜3，故在﹣2，0，3，这四个数中，最大的数是3，故选：B．2．如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．【解答】解：从上面看外边是一个矩形，里面是一个圆，故选：C．3．十八大报告指出：“建设生态文明，是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计”，这些年党和政府在生态文明的发展进程上持续推进，在“十一五”期间，中国减少二氧化碳排放1 460 000 000吨，赢得国际社会广泛赞誉．将1 460 000 000用科学记数法表示为（）A．146×107B．1.46×107 C．1.46×109 D．1.46×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1 460 000 000有10位，所以可以确定n=10﹣1=9．【解答】解：1 460 000 000=1.46×109．故选C．4．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（）A．30°B．36°C．38°D．45°【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角．【分析】首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质计算出∠AEB，然后根据平行线的性质可得答案．【解答】解：∵ABCDE是正五边形，∴∠BAE=（5﹣2）×180°÷5=108°，∴∠AEB=÷2=36°，∵l∥BE，∴∠1=36°，故选：B．5．若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（）A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣4【考点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组．【分析】理解清楚题意，运用二元一次方程组的知识，解出k的取值范围．【解答】解：∵0＜x+y＜1，观察方程组可知，上下两个方程相加可得：4x+4y=k+4，两边都除以4得，x+y=，所以＞0，解得k＞﹣4；＜1，解得k＜0．所以﹣4＜k＜0．故选A．6．用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．则第n个图案中正三角形的个数为（）（用含n的代数式表示）．A．2n+1 B．3n+2 C．4n+2 D．4n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由题意可知：每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，由此规律得出答案即可．【解答】解：第一个图案正三角形个数为6=2+4；第二个图案正三角形个数为2+4+4=2+2×4；第三个图案正三角形个数为2+2×4+4=2+3×4；…；第n个图案正三角形个数为2+（n﹣1）×4+4=2+4n=4n+2．故选：C．7．在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，且A，C在坐标轴上，满足OA=，OC=1．将矩形OABC绕原点0以每秒15°的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒（0≤t≤6），旋转过程中矩形在第二象限内的面积为S，表示S与t的函数关系的图象大致如图所示，则矩形OABC的初始位置是（）A． B． C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据图象计算0秒、2秒、6秒的时候，矩形在第二象限内的面积为S，即可分析出矩形OABC的初始位置．【解答】解：由图象可以看出在0秒时，S=0，在2秒时，S=，在6秒时，S=；由题意知，矩形OABC绕原点0以每秒15°的速度逆时针旋转，6秒逆时针旋转90°，S=，不难发现B和D都符合，但在2秒时，S=，即矩形OABC绕原点0逆时针旋转30°时，S=，则只有D符合条件．故选：D．8．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．2【考点】正多边形和圆．【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF=r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，∴FI=r•sin60°=，∴EF=，∵AO=2OI，∴OI=，CI=r﹣=，∴，∴，∴=，即则的值是．故选：C．二、填空题（每小题3分，共21分）9．计算：（﹣1）2020+（π﹣3.14）0﹣（）﹣2=﹣2．【考点】负整数指数幂；零指数幂．【分析】首先根据有理数的乘方的运算方法，求出（﹣1）2020的值是多少；然后根据零指数幂的运算方法，求出（π﹣3.14）0的值是多少；最后根据负整数指数幂的运算方法，求出（）﹣2的值是多少；再从左向右依次计算，求出算式（﹣1）2020+（π﹣3.14）0﹣（）﹣2的值是多少即可．【解答】解：（﹣1）2020+（π﹣3.14）0﹣（）﹣2=1+1﹣4=2﹣4=﹣2．故答案为：﹣2．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列关系式中：①a＜0；②abc＞0；③a+b+c ＞0；④b2﹣4ac＞0．其中不正确的序号是③．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，再结合图象判断各结论．【解答】解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，则①a＜0，正确；②abc＞0，正确；③当x=1时，y=a+b+c＜0，错误；④抛物线与x轴有两个不同的交点，b2﹣4ac＞0，正确．故不正确的序号是③．11．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上分别标有数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y=上的概率为．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．【分析】利用列表法找出点P的所有坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征找出符合题意的点的个数，由此即可得出结论．【解答】解：∵点P在双曲线y=的图象上，∴xy=6．利用列表法找出所用点P的坐标，如下表所示．其中满足xy=6的点有：（1，6）、（2，3）、（3，2）、（6，1）．∴点P落在双曲线y=上的概率为：=．故答案为：．12．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为22cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线性质求出AD=DC，根据△ABD的周长求出AB+BC=14cm，即可求出答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，∴AC=2AE=8cm，AD=DC，∵△ABD的周长为14cm，∴AB+AD+BD=14cm，∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm，∴△ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，故答案为：22cm13．如图所示，直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，且两个顶点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，以斜边为半径的弧交数轴于点A，点C所表示的数为2，点A 与点B关于点C对称，则点B表示的数为5﹣．【考点】实数与数轴．【分析】先根据勾股定理计算出斜边的长，进而得到A的坐标，再根据A点表示的数，可得B点表示的数．【解答】解：∵直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，∴斜边的长==，∴A点表示的数为﹣1，∵C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，∴点B表示的数为5﹣，故答案为：5﹣．14．如图，点A，B分别在函数y=（k1＞0）与y=（k2＜0）的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是4．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】设A（a，b），B（﹣a，d），代入双曲线得到k1=ab，k2=﹣ad，根据三角形的面积公式求出ad+ad=4，即可得出答案．【解答】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，∴AC∥BD∥y轴，∵M是AB的中点，∴OC=OD，设A（a，b），B（﹣a，d），代入得：k1=ab，k2=﹣ad，∵S△AOB=2，∴（b+d）•2a﹣ab﹣ad=2，∴ab+ad=4，∴k1﹣k2=4，故选：4．15．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和4，∠A=120°．则阴影部分面积是．（结果保留根号）【考点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】设BF交CE于点H，根据菱形的对边平行，利用相似三角形对应边成比例列式求出CH，然后求出DH，根据菱形邻角互补求出∠ABC=60°，再求出点B到CD的距离以及点G到CE的距离；然后根据阴影部分的面积=S△BDH+S△FDH，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：如图，设BF交CE于点H，∵菱形ECGF的边CE∥GF，∴△BCH∽△BGF，∴，即，解得CH=，所以，DH=CD﹣CH=2﹣，∵∠A=120°，∴∠ECG=∠ABC=180°﹣120°=60°，∴点B到CD的距离为2×，点G到CE的距离为4×，∴阴影部分的面积=S△BDH+S△FDH，=，=．故答案为：三、计算题（本题共8个小题，75分）16．先化简，再求值：，其中x+2=．【考点】分式的化简求值．【分析】通分计算括号里面的加法，再算除法，由此顺序化简，进一步代入求得答案即可．【解答】解：原式=•=x+1，∵x+2=，∴x=﹣2，则原式=x+1=﹣1．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．（1）求证：BC2=BD•BA；（2）判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）通过证明△BCD∽△BAC，利用相似比得到结论；（2）连结DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC=90°，E为BC的中点得到DE=CE=BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切．【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BDC，又∵∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，即BC2=BA•BD；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连结DO，如图，∵∠BDC=90°，E为BC的中点，∴DE=CE=BE，∴∠EDC=∠ECD，又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．18．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小明想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．请你根据图中提供信息回答下列问题：（1）求本次被抽查的居民有多少人？（2）将图1和图2补充完整；（3）求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；（4）估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有多少人．．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知A有90人占调查总数的30%，从而可以求出被调查的居民数；（2）根据条形统计图和扇形统计图可知A有90人占调查总数的30%，可以求得选B和选C的人数以及B、D所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；（3）由C所占的百分比可以求得图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；（4）根据条形统计图和扇形统计图，估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有多少人．．【解答】解：（1）由条形统计图和扇形统计图可知A有90人占调查总数的30%，∴本次被抽查的居民有：90÷30%=300（人），即本次被抽查的居民有300人；（2）由条形统计图和扇形统计图可得，选B的人数有：300﹣（30%+20%）×300﹣30=120（人），选C的人数有：300×20%=60人，B所占的百分比为：120÷300=40%，D所占的百分比为：30÷300=10%，∴补全的图1和图2如右图所示，（3）由题意可得，图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数是：360°×20%=72°，即图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数是72°；（4）由题意可得，该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有：4000×（30%+40%）=2800（人），即该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有2800人．19．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x 的值即可．【解答】解：（1）m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．20．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A 射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．（1）求BT的长（不考虑其他因素）．（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）在直角△ACT中，根据三角函数的定义，若AT=3x，则CT=5x，在直角△ABT 中利用三角函数即可列方程求解；（2）求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后与BT的长进行比较即可．【解答】解：（1）根据题意及图知：∠ACT=31°，∠ABT=22°∵AT⊥MN∴∠A TC=90°在Rt△ACT中，∠ACT=31°∴tan31°=可设AT=3x，则CT=5x在Rt△ABT中，∠ABT=22°∴tan22°=即：解得：∴，∴；（2），，∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．21．黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式．（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离．（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）由图象可得出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式，分为三段求函数关系式；（2）由图象可知，当8＜t≤13时，渔船和渔政船相遇，利用“两点法”求渔政船的函数关系式，再与这个时间段，渔船的函数关系式联立，可求相遇时，离港口的距离，再求两船与黄岩岛的距离；（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，8＜t≤13，渔船与渔政船相距30海里，有两种可能：①s渔﹣s渔政=30，②s渔政﹣s渔=30，将函数关系式代入，列方程求t．【解答】解：（1）当0≤t≤5时，s=30t，当5＜t≤8时，s=150，当8＜t≤13时，s=﹣30t+390；（2）设渔政船离港口的距离s 与渔政船离开港口的时间t 之间的函数关系式为s=kt +b （k ≠0），则，解得．所以s=45t ﹣360；联立，解得．所以渔船离黄岩岛的距离为150﹣90=60（海里）；（3）s 渔=﹣30t +390，s 渔政=45t ﹣360，分两种情况：①s 渔﹣s 渔政=30，﹣30t +390﹣（45t ﹣360）=30，解得t=（或9.6）； ②s 渔政﹣s 渔=30，45t ﹣360﹣（﹣30t +390）=30，解得t=（或10.4）．所以，当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里．22．已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0）、B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B ′和折痕OP ．设BP=t ．（1）如图1，当∠BOP=30°时，求点P 的坐标；（2）如图2，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB ′上，得点C ′和折痕PQ ，若AQ=m ，试用含有t 的式子表示m ；（3）在（2）的条件下，当点C ′恰好落在边OA 上时如图3，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt △OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t ，得OP=2t ，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；（2）由△OB ′P 、△QC ′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，可知△OB ′P ≌△OBP ，△QC ′P ≌△QCP ，易证得△OBP ∽△PCQ ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（3）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m和t的关系，即可求得t的值．【解答】解：（1）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°，∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ，又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ，∴，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t，CQ=6﹣m．∴，∴m=t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°，∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴，在△PC′E和△OC′B′中，∴△PC′E≌△OC′B′，∴PC'=OC'=PC，∴BP=AC'，∵AC′=PB=t，PE=OB=6，AQ=m，EC′=11﹣2t，∴，∵m=t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36=0，解得：t1=，t2=故点P的坐标为（，6）或（，6）．23．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将点A、B代入抛物线解析式，求出a、b值即可得到抛物线解析式；（2）根据已知求出点D的坐标，并且由线段OC、OB相等、CD∥x轴及等腰三角形性质证明△CDB≌△CGB，利用全等三角形性质求出点G的坐标，写出直线BP解析式，联立二次函数解析式，求出点P坐标；（3）分两种情况，第一种情况重叠部分为四边形，利用大三角形减去两个小三角形求得解析式，第二种情况重叠部分为三角形，可利用三角形面积公式求得．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0），，解得：a=﹣1，b=2．故抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）存在将点D代入抛物线解析式得：m=3，∴D（2，3），令x=0，y=3，∴C（0，3），∴OC=OB，∴∠OCB=∠CBO=45°，如下图，设BP交y轴于点G，∵CD∥x轴，∴∠DCB=∠BCO=45°，在△CDB和△CGB中：∵∠∴△CDB≌△CGB（ASA），∴CG=CD=2，∴OG=1，∴点G（0，1），设直线BP：y=kx+1，代入点B（3，0），∴k=﹣，∴直线BP：y=﹣x+1，联立直线BP和二次函数解析式：，解得：或（舍），∴P（﹣，）．（3）直线BC：y=﹣x+3，直线BD：y=﹣3x+9，当0≤t≤2时，如下图：设直线C′B′：y=﹣（x﹣t）+3联立直线BD求得F（，），S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF=×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣）整理得：S=﹣t2+3t（0≤t≤2）．当2＜t≤3时，如下图：H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）S=S△HIB= [（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）综上所述：S=．2020年9月19日。

2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(2)2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.（5分）复数z＝（1+2i）2（i为虚数单位）的共轭复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.（5分）已知集合A＝{x|x2-2x-3<0}，集合B＝{x|x-1≥0}，则∁R（A∩B）＝（）A．（-∞，1）∪[3，+∞]B．（-∞，1]∪[3，+∞]C．（-∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）3.（5分）若x，y满足约束条件{3x-y+1≥0，y≤2，x-y-2≤0}，则z＝4x+2y的最小值为（）A．-17B．-13C．16/3D．204.（5分）下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b 相交，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直5.（5分）今年入冬以来，我市天机反复．在下图中统计了我市上个月前15的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温-去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）A．今年每天气温都比去年气温低B．今年的气温的平均值比去年低C．今年8-12号气温持续上升D．今年8号气温最低6.（5分）已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an+2an＝39（n∈N*），那么数列{an}的前50项和S50的最小值为（）A．637B．559C．481+25√39D．492+24√787.（5分）若圆锥的高等于底面直径，侧面积为√5π，则该圆锥的体积为（）A．π/3B．π/2C．2π/3D．16π/38.（5分）下列命题错误的是（）A．∃α，β∈R，cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβB．∀x，k∈R，sin（x+k•2π）＝sinxC．∃x∈[0，π)，sin（x+π/2）＝sinxD．∀x∈R+，∃k∈R，sinx≤kx9.（5分）已知sin（π/3+α）= 2/3，则sinα的值等于（）A．-7/9B．-2/9C．9/2D．3/710.（5分）已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=√3，a•b=-2，b•c=0，且a，b，c不共面，那么向量c的长度为（）A．1/2B．1C．√2D．21.题目未给出文章，无法进行修改。

2020届河南省郑州市高三第一次质量预测数学（理）试题一、单选题1.设集合A=（xeZ||x|<2},B={y\y=l-x1},则AcB的子集个数为（）A. 4B.8C.16D.32【答案】C【解析】分析：求出集合A,B,得到AC8,可求AnB的子集个数详解：A={xeZ|国<2}={xg Z|-2<x<2}={-2,-1,0.1,2},B={y|y=l_J}={y|y〈l},An B={-2,-1,0,1},AoB的子集个数为24=16.故选C.点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.2.复数z=——在复平面内对应的点位于（）iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】化简复数为z=。

+初的形式，求得复数对应点的坐标，由此判断所在的象限.【详解】。

I.z=b=l-2Z，该复数对应的点为（1,一2）,在第四象限.故选D.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数对应点的坐标所在象限.3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）A.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份B.年接待游客量逐年增加C.月接待游客量逐月增加D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】C【解析】根据折线图依次判断各个选项，可通过反例得到。

错误.【详解】由折线图可知，每年游客量最多的月份为：7,8月份，可知A正确；年接待游客量呈现逐年递增的趋势，可知B正确；以2018年8月和9月为例，可得到月接待游客量并非逐月增加，可知C错误；每年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月的变化较小，数量更加稳定，可知。

正确.本题正确选项：C【点睛】本题考查根据统计中的折线图判断数据特征的问题，属于基础题.4.定义在R上的函数=偶函期«=/(log2|),Z,=/((l)3),c=f(m),贝ijA.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c【答案】C【解析】由偶函数得到m=0,明确函数的单调性，综合利用奇偶性与单调性比较大小即可.【详解】/■⑴=(<)E—2为偶函数，.•.m=0,即/(x)=(|)W-2,且其在［0,+8)上单调递减，11又0<(一)3<1,111c=/(m)=f(0)罚=/((-)3)〉a=/(log2-)=/(1)故选：C【点睛】本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查转化思想，属于中档题.5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方 形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面 积是16A,—5B.18C. 1032D,—5【答案】B【解析】边长为3的正方形的面积S 正您=9,设阴影部分的面积为S 网，由几何概型得S 阴 800了」=房而，由此能估计阴影部分的面积.'正方形【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其 包含在内,则边长为3的正方形的面积S 正",=9,设阴影部分的面积为S 耕..•该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分,..S 阴 800S 正方形2000… 800 ° 800 八 18解得S 阴=-----x ‘中方形=------x 9 =——2000 正方形 2000 51 Q..•估计阴影部分的面积是；.故选：B.【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.6.已知向量q与》夹角为;，且\a\=\,|2a-Z?|=V3,贝\\\b\=A.也B.y/2C.1D.亟2【答案】C【解析】对\2a-b\=yf3两边平方，结合数量积的定义与法则即可得到结果.【详解】I,向量a与Z?夹角为：，且|«|=1 >|2a—Z?|=^3,p*一外=3，即4a2-4a-b+b2=3••.4一2种+祥=3,所以\b\=l,故选：C【点睛】本题考查利用数量积求模，考查数量积定义与运算法则，考查运算能力.7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题，松长三尺，竹长一尺,松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a,。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{y|y＝1﹣x2}，则A∩B的子集个数为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：∵A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{0，1}，∴A∩B的子集个数为22＝4个．故选：B．2．（5分）若复数z满足z=i（其中i为虚数单位），则z在复平面的对应点在（）A．第一象限B．第二象限1+i1+iC．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z=i=(1+i)(−i)=1−i，2−i∴z在复平面的对应点的坐标为（1，﹣1），在第四象限．故选：D．3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确；故选：A．4．（5分）定义在R上的函数f(x)=()|xm|2为偶函数，a=f(log2)，b=f(()3)，c ＝f（m），则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b131312112C．a＜b＜c D．b＜a＜c 【解答】解：定义在R上的函数f(x)=()|xm|2为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即(3)|xm|2=(3)|xm|2；所以m＝0，所以f（x）=()|x|2，且在[0，+∞）上是单调减函数；又log2=1，0＜(2)3＜2，m＝0；211所以f（log2）＜f（()3）＜f（0），22111111311即a＜b＜c．故选：C．5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（）A．165B．185C．10D．325【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为9，向正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P =而P =9，则=，95ss 28002=；20005解可得，S =5；故选：B ．6．（5分）已知向量a ，b 的夹角为，且|a |＝1，|2a −b |=√3，则|b |＝（）3→→18π→→→→A ．1→B ．√2→C ．√3D ．2【解答】解：由|2a −b |=√3，得|2a−b|=(2a −b)=4|a|−4a ⋅b +|b|2=3，又向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝1，∴4×1﹣4×1×|b |cos60°+|b|2=3，整理得：|b |−2|b|+1=0，解得|b |＝1．故选：A ．7．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于（）→2→→→→→→→2→→2→2→→→2→→A．5B．4C．3D．2【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝3，b＝1n＝1a=2，b＝2不满足条件a≤b，执行循环体，n＝2，a=4，b＝4不满足条件a≤b，执行循环体，n＝3，a=81，b＝8 8243279不满足条件a≤b，执行循环体，n＝4，a=16，b＝16此时，满足条件a≤b，退出循环，输出n的值为4．故选：B．2+18．（5分）函数f(x)=x⋅cosx的图象大致是（）2−1xA．B．C ．−xD ．2+1【解答】解：由题意，f （﹣x ）=−x •cos （﹣x ）＝﹣f （x ），函数是奇函数，排除A ，2−1B ；x →0+，f （x ）→+∞，排除D ．故选：C ．9．（5分）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（）A ．60B ．90C ．120D ．150【解答】解：根据题意，分2步进行分析①、将5项工作分成3组若分成1、1、3的三组，有若分成1、2、2的三组，有C 53C 21C 11A 22A 22C 52C 32C 11=10种分组方法，=15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+15＝25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A 33＝6种情况；所以不同的安排方式则有25×6＝150种，故选：D ．10．（5分）已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若PF =3MF ，则|MN |＝（）A ．163→→B ．38C ．212D ．18√33【解答】解：抛物线C ：y 2＝2x的焦点为F （，0），准线为l ：x =−2，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），M ，N 到准线的距离分别为d M ，d N ，由抛物线的定义可知|MF |＝d M ＝x 1+2，|NF |＝d N ＝x 2+2，于是|MN |＝|MF |+|NF |＝11x 1+x 2+1．∵PF =3MF ，∴直线MN 的斜率为±√3，∵F （，0），21→→∴直线PF 的方程为y ＝±√3（x −），将y ＝±√3（x −），代入方程y 2＝2x ，并化简得12x 2﹣20x +3＝0，∴x 1+x 2=3，于是|MN |＝|MF |+|NF |＝x 1+x 2+1=3+1=3．故选：B ．11．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 内接于球O ，P A ⊥平面ABC ，△ABC 为等边三角形，且边长为√3，球O 的表面积为16π，则直线PC 与平面P AB 所成的角的正弦值为（）A ．√1575581212B ．√155C ．√152D ．√1510【解答】解：设三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，则S 球＝4πR 2＝16π，故R ＝2，设M 为△ABC 的中心，N 为AB 的中点，则OM ⊥平面ABC ，且OC ＝2，由△ABC 为等边三角形，且边长为√3，求得NC =，MC ＝1，∴OM =√OC 2−OM 2=√3，∵P A ⊥平面ABC ，故P A ＝2OM ＝2√3，且P A ⊥CN ，∴PN =2，又CN ⊥AB ，AB ∩P A ＝A ，∴CN ⊥平面P AB ，则PC =√15，√15NC ∴sin ∠NPC =PC =2=10．√15√51323故选：D ．12．（5分）f（x）={|2x+1|，x＜1，g（x）=4x3−4x2+m+2，若y＝f（g（x））﹣log2(x−1)，x＞1515m有9个零点，则m的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，3）54C．(1，)53D．(，3)53【解答】解：令t＝g（x），g（x）=x3−=4x(x−2)，15152151515x+m+2，g（'x）=x2−x=(x2−2x）4424当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数g（x）递增，当x∈（0，2）时，函数g（x）递减，函数g（x）有极大值g（0）＝m+2，极小值g（2）＝m﹣3，若y＝f（g（x））﹣m有9个零点，画出图象如下：观察函数y＝f（t）与y＝m的交点，当m＜0时，t＞1，此时函数y＝f（t）与y＝m最多有3个交点，故不成立，当m＝0时，t1=−2，t2＝2，g（0）＝2，g（2）＝﹣3，g（x）＝t1，有三个解，g（x）＝2有2个解，共5个解不成立；当m＞3时，显然不成立；故要使函数有9个零点，0＜m＜3，根据图象，每个y＝t最多与y＝g（x）有三个交点，要有9个交点，只能每个t都要有3个交点，当0＜m＜3，y＝f（t）与y＝m的交点，−2＜t1＜−2，−2＜t2＜1，2＜t3＜9，111g （0）＝m +2∈（2，5），g （2）＝m ﹣3∈（﹣3，0），当2＜t 3＜m +2时，由log 2(t 3−1)=m ，t 3=2m +1，即2＜2m +1＜m +2时，得0＜m ＜1时，2＜t 3＜3时（x ）＝t 3，有三个解，g （x ）＝t 2，要有三个解m ﹣3＜−2，即m ＜2，g （x ）＝t 1有三个解m ﹣3＜﹣2，即m ＜1，综上，m ∈（0，1），故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线y ＝xe x ﹣2x 2+1在点（0，1）处的切线方程为y ＝x +1．【解答】解：求导函数可得，y ′＝（1+x ）e x ﹣4x 当x ＝0时，y ′＝1∴曲线y ＝xe x ﹣2x 2+1在点（0，1）处的切线方程为y ﹣1＝x ，即y ＝x +1．故答案为：y ＝x +1．14．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1≠0，a 2＝3a 1可得，d ＝2a 1，∴S 10S 5S 10S 515=4．=10(a 1+a 10)5(a 1+a 5)=2a 11+4d=2(2a 1+18a 1)=4，2a 1+8a 12(2a +9d)故答案为：4．15．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为→3→半径做圆，圆A 与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若OM =2ON （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为【解答】解：双曲线C ：x 2a 2√30．5−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A （a ，0），以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．则点A 到渐近线bx ﹣ay ＝0的距离为|AB |=ab√b 2+a 2，22a2b b2√∵r＝b，∴|BN|=b−2=，c c3→∵OM=ON，25b∴|OB|＝5|BN|=c，2→∵|OA|＝a，25b a2b∴a=2+2，c c242∴a2c2＝25b4+a2b2，∴a2（c2﹣b2）＝25b4，∴a2＝5b2＝5c2﹣5a2，即6a2＝5c2，即√6a=√5c，∴e=a=5，故答案为：√30．5c√3016．（5分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+2p﹣2（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，则a1的所有可能取值的集合是{﹣2，0，﹣66}．【解答】解：由题意，对任意n∈N*，均有an+1+2＝p（a n+2），当an+2＝0，即a1+2＝0，即a1＝﹣2时，a2＝a3＝a4＝a5＝﹣2．当an+2≠0时，构造数列{b n}：令b n＝a n+2，则b n+1＝pb n．故数列{bn}是一个以p为公比的等比数列．∵a2，a3，a4，a5∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，∴b 2，b 3，b 4，b 5∈{﹣16，﹣4，0，8，13，32}．①当b 2＝﹣4，b 3＝8，b 4＝﹣16，b 5＝32时，p ＝﹣2．此时，b 1=b 2−4==2，a 1＝b 1﹣2＝2﹣2＝0；p −212②当b 2＝32，b 3＝﹣16，b 4＝8，b 5＝﹣4时，p =−．2此时，b 1=p =1=−64，a 1＝b 1﹣2＝﹣64﹣2＝﹣66．−2b 32∴a 1的所有可能取值的集合是{﹣2，0，﹣66}．故答案为：{﹣2，0，﹣66}．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设2R （sin 2A ﹣sin 2B ）＝（a ﹣c ）sin C ．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b ＝12，c ＝8，求sin A 的值．【解答】解：（I ）∵2R （sin 2A ﹣sin 2B ）＝（a ﹣c ）sin C ，∴2R •2R （sin 2A ﹣sin 2B ）＝（a ﹣c ）sin C •2R ，即：a 2+c 2﹣b 2＝ac ，a 2+c 2−b 1∴cosB ==．2ac 22因为0＜B ＜π，所以∠B =，（II ）若b ＝12，c ＝8，由正弦定理，b sinBπ3=，sinC =3，sinC√6c √3由b ＞c ，故∠C 为锐角，cosC =π3，√3√6∴sinA =sin(B +C)=sin(3+C)=2⋅3+2⋅3=1√33√2+√3．618．（12分）已知三棱锥M ﹣ABC 中，MA ＝MB ＝MC ＝AC =2√2，AB ＝BC ＝2，O 为AC的中点，点N 在线BC 上，且BN =3BC ．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N ﹣AM ﹣C 的正弦值．→2→【解答】解：（1）如图所示：连接OM ，AC ，OM 相交于O ，在△ABC 中：AB =BC =2，AC =2√2，则∠ABC =90°，BO =√2，OB ⊥AC ．在△MAC 中：MA =MC =AC =2√2，O 为AC 的中点，则OM ⊥AC ，且OM =√6．在△MOB 中：BO =√2，OM =√6，MB =2√2，满足：BO 2+OM 2＝MB 2根据勾股定理逆定理得到OB ⊥OM ，故OB ⊥平面AMC ；（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，建立空间直角坐标系O ﹣xyz 如图所示．因为MA =MB =MC =AC =2√2，AB ＝BC ＝2则A(0，−√2，0)，B(√2，0，0)，C(0，√2，0)，M(0，0，√6)，√22→2√2由BN =3BC 所以，N(3，3，0)→设→平→面√2MAN5√2的法向√2量5√2为m =(x ，y ，z)→，则AN ⋅n =(3，3，0)⋅(x ，y ，z)=3x +3y =0，{→→AM ⋅n =(0，√2，√6)⋅(x ，y ，z)=√2y +√6z =0令y =√3，得m =(−5√3，√3，−1)，因为BO ⊥平面AMC ，所以OB =(√2，0，0)为平面AMC 的法向量，所以m =(−5√3，√3，−1)与OB =(√2，0，0)所成角的余弦为cos ＜m ，OB ＞=−5√6−5√3=．√79√2√79→→→→→→所以二面角的正弦值为|sin ＜m ，OB ＞|=√1−(y 2a 2x 2b 2→→−5√3222√79)==．79√79√79√2，且过点C （1，0）．219．（12分）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点（−，0）的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证，恒有|AB |＝2|CM |．【解答】解：（I ）由题意知b ＝1，=a c√2，213又因为a 2＝b 2+c 2解得，a =√2，所以椭圆方程为y 221+x 2=1．1（Ⅱ）设过点(−3，0)直线为x =ty −3，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）x =ty −3由{2得（9+18t 2）y 2﹣12ty ﹣16＝0，且△＞0．y2+x =1212t2，9+18t 则{16y 1y 2=−，9+18t21y 1+y 2=又因为CA =(x 1−1，y 1)，CB =(x 2−1，y 2)，CA ⋅CB =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(ty 1−3)(ty 2−3)+y 1y 2=(1+t 2)y 1y 2−3t(y 1+y 2)+9=(1+t 2)−⋅9+18t 2312t 16+=0，99+18t 244416−164t →→→→所以CA ⊥CB ．→→因为线段AB 的中点为M ，所以|AB |＝2|CM |．20．（12分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p （0＜p ＜1）．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验．化验次数的期望值越小，则方案越“优“．（1）若p =2√2，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率；32√2，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优3（2）①若p =“？②若“方案三”比“方案四“更“优”，求p 的取值范围．【解答】解：（1）该混合样本达标的概率是(2√228)=，391所以根据对立事件原理，不达标的概率为1−9=9．（2）①方案一：逐个检测，检测次数为4．方案二：由①知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则988检测次数为3，概率为．故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2，4，6．91其分布列如下，ξ2p26481416816181可求得方案二的期望为E(ξ2)=2×6416119822+4×+6×==818181819方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1，5．其分布列如下，ξ4p16481517816417149+5×=．818181可求得方案四的期望为E(ξ4)=1×比较可得E （ξ4）＜E （ξ2）＜4，故选择方案四最“优”．②方案三：设化验次数为η3，η3可取2，5．η3p2p 351﹣p 3E(η3)=2p 3+5(1−p 3)=5−3p 3；方案四：设化验次数为η4，η4可取1，5η4p1p 451﹣p 4E(η4)=p 4+5(1−p 4)=5−4p 4；由题意得E(η3)＜E(η4)⇔5−3p 3＜5−4p 4⇔p ＜4．故当0＜p ＜4时，方案三比方案四更“优”．e x 21．（12分）已知函数f （x ）＝x ﹣lnx −．x 33（1）求f （x ）的最大值；（2）若f(x)+(x +x )e x−bx ≥1恒成立，求实数b 的取值范围．e x【解答】解：（1）f(x)=x −lnx −x ，定义域（0，+∞），1f′(x)=1−x −1e x (x−1)(x−1)(x−e x )=，x 2x 2由e x ≥x +1＞x ，f （x ）在（0，1]增，在（1，+∞）减，f （x ）max ＝f （1）＝1﹣e ．1x e x e x x （2）f(x)+(x +x )e −bx ≥1⇔−lnx +x −x +xe +x −bx ≥1⇔﹣lnx +x +xe x ﹣bxxe x −lnx−1+x xe x −lnx−1+x﹣1≥0⇔≥b ⇔()min ≥b ，x x令φ(x)=xe x −lnx−1+x x 2e x +lnx，φ′(x)=，x x令h （x ）＝x 2e x +lnx ，h （x ）在（0，+∞）单调递增，x →0，h （x ）→﹣∞，h （1）＝e ＞0h （x ）在（0，1）存在零点x 0，即ℎ(x 0)=x 02e x 0+lnx 0=0，x 0e 2x 0+lnx 0=0⇔x 0e x 0ln lnx 1=−x 0=(ln x )(e x 0)，001由于y ＝xe x 在（0，+∞）单调递增，故x=ln x =−lnx 0，即e x 0=x ，00φ（x ）在（0，x 0）减，在（x 0，+∞）增，φ(x)minx 0e x 0−lnx 0−1+x 01+x 0−1+x 0===2，x 0x 011所以b ≤2．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]x =acosα322．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P (1，2)，其参数方程{y =3sinα√（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：定值．【解答】解：（I ）将点P(1，2)代入曲线E 的方程，1=acosα，得{3解得a 2＝4，=3sinα，2√所以曲线E 的普通方程为14x 241331|OA|2+1|OB|2为定值，并求出这个+y 23=1，极坐标方程为ρ2(cos 2θ+sin 2θ)=1．（Ⅱ）不妨设点A ，B 的极坐标分别为A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+)，ρ1＞0，ρ2＞0，22(4ρ1cos 2θ+3ρ1sin 2θ)=1，则{1π12π222(4ρ2cos (θ+2)+3ρ2sin (θ+2)=1，π211111=4cos 2θ+3sin 2θ，2ρ1即{1．1122=4sin θ+3cos θ，ρ221 2ρ1+12ρ2=14+13=712，即1|OA|2+1|OB|2=712．[选修4-5不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|2x+1|+m．（1）求不等式f（x）＞m的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n，使得f（n）≥0，求m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＞m，得|x﹣1|﹣|2x+1|＞0，即|x﹣1|＞|2x+1|，不等式两边同时平方，得（x﹣1）2＞（2x+1）2，即x2+2x＜0，解得﹣2＜x＜0，∴不等式f（x）＞m的解集为{x|﹣2＜x＜0}；x≤−x+221（2）设g（x）＝|x﹣1|﹣|2x+1|，g(x)=−3x−2＜x≤1，{−x−2x＞1∵g（﹣2）＝g（0）＝0，g（﹣3）＝﹣1，g（﹣4）＝﹣2，g（1）＝﹣3，又恰好存在4个不同的整数n，使得f（n）≥0，f(−3)≥0−1+m≥0∴{，即{，解得1≤m＜2，−2+m＜0f(−4)＜0故m的取值范围为[1，2）．1。

2020年名校学术联盟高考数学模拟试卷(理科)(二)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x ∈R|x 2+2x =0}，N ={2,0}，则M ∩N =( )A. {0}B. {2}C. ⌀D. {−2,0，2}2. 已知向量a ⃗ =(λ+2,λ)，b ⃗ =(λ,1)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数λ的值为( )A. 0或3B. −3或0C. 3D. −33. 已知α终边上一点P(1,2)，则cos2α=( )A. −35B. −45C. 35D. 454. 命题p ：∃x ∈R ，2x +1>0的否定为( )A. ∀x ∈R ，2x +1<0B. ∃x ∈R ，2x +1≤0C. ∀x ∈R ，2x +1>0D. ∀x ∈R ，2x +1≤05. p 为椭圆x 29+y 24=1上的一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且∠F 1PF 2=60° 则|PF 1|⋅|PF 2|=( )A. 83B. 163C. 4√33 D. 8√336. 如图，已知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. 13OA ⃗⃗⃗⃗⃗−43OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13OA ⃗⃗⃗⃗⃗+43OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗+43OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗−43OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 若函数f(x)=cos 2 x +asin x +b 在[0,π2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M −m 的值( )．A. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 无关，且与b 有关C. 与a 有关，且与b 无关D. 与a 无关，且与b 无关8. ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，PD ⊥AD ，PD =AD =2，二面角P −AD −C 为60°，则P 到AB 的距离是( )A. 2√2B. √3C. 2D. √79. 函数f(x)=x −log 12x 的零点个数为( ) A. 0个 B. 1个C. 2个D. 无数多个10. 设0<a <1，则函数f(x)=log a |x−1x+1|( )A. 在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,1)上单调递增B. 在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递减C. 在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递增D. 在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,1)上单调递减11. 若函数f(x)=(2a −1)lnx −x 在(0,1)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A. a <1B. a >12C. a ≥1D. a ≤1212. 设点A ，B ，C 是半径为2的球O 的球面上的三个不同的点，且OA ⊥BC ，BC =3，∠BAC =120°，则三棱锥O −ABC 的体积为( )A. √34B. √32C. 3√34D. √3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若数列{S n −2a 1}也为等比数列，则S4S 3=_______．14. 椭圆x 225+y 29=1的离心率为______ ．15. 已知实数x 、y 满足{x ≥2x +y −6≤02y −x ≥0，则z =y+1x−6的最大值为____．16. 已知正项数列{a n }满足：n(n +1)a n 2+(n 2+n −1)a n −1=0，其前n 项和为S n ，则2019S 2018=______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知函数f(x)=13x 3+ax 2−bx(a,b ∈R).若y =f(x)的图象上的点(1,−113)处切线的斜率为−4，(1)求a ，b 的值． (2)y =f(x)的极大值．18.已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2−c2=8，△ABC的面积为2√3．(1)求角C的大小；(2)若c=2√3，求sinA+sinB的值．19.如图，△ABC为正三角形，且BC=CD=2，，将△ABC沿BC翻折．(1)当AD=2时，求证：平面ABD⊥平面BCD；(2)若点A的射影在△BCD内(包括边界)，且直线AB与平面ACD所成角为60°，求AD的长．20.已知圆C：x2+y2+2ax−4y+a2−9a+6=0．(Ⅰ)求a的取值范围；(Ⅱ)若圆C与直线x+y−a−2=0交于M，N两点，CM⊥CN，求a的值．21.已知数列{a n}的前n项和S n=n2，数列{b n}为等比数列，且b1=a1，b2=a2．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)数列{c n}满足c n=a n，求{c n}的前项和T n．b n22.求函数f(x)=−x4+2x2+3，x∈[−3,2]上的最值．【答案与解析】1.答案：A解析：解方程求出集合M，由交集的运算求出M∩N．本题考查交集及其运算，属于基础题．解：由题意知，M={x∈R|x2+2x=0}={−2,0}，又N={2,0}，则M∩N={0}，故选A．2.答案：B解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ；∴a⃗⋅b⃗ =(λ+2)λ+λ=0；解得λ=−3，或0．故选：B．根据a⃗⊥b⃗ 得，a⃗⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出实数λ的值．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．3.答案：A解析：本题主要考查任意角的三角函数的定义和二倍角公式，属于基础题．利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，再利用二倍角公式即可得到答案．解：因为P(1,2)，所以r=|OP|=√5，所以，则cos 2α=2cos2α−1=2×15−1=−35．故选A．4.答案：D解析：解：命题为特称量词命题，则命题的否定为：∀x ∈R ，2x +1≤0， 故选：D ．根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5.答案：B解析：解：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ， 由椭圆的定义可知m +n =2a =6， ∴m 2+n 2+2nm =36， ∴m 2+n 2=36−2nm 由余弦定理可知cos60°=m 2+n 2−202mn=12求得mn =163故选B ．先设出|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，利用椭圆的定义求得n +m 的值，平方后求得mn 和m 2+n 2的关系，利用余弦定理中求得mn 的值．本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．6.答案：C解析：OP ⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，选C 7.答案：C解析：本题考查是二次函数的图象和性质，三角函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．设sinx =t ，则0≤t ≤1，则y =−t 2+at +b +1，结合二次函数的图象和性质，其最大值和最小值均在端点或对称轴处取值，比较这些值即可得到答案．解：函数f(x)=cos 2 x +asin x +b 在[0,π2]上的最大值为M ，最小值为m ， 设sinx =t ，则0≤t ≤1，∴y=1−t2+at+b=−t2+at+b+1=−(t−a2)2+a24+b+1，当t=a2时，y=a24+b+1;当t=0时，y=b+1；当t=1时，y=a+b；当a变化时，最大值M和最小值m均在这三个函数值中取值，而这三个函数值之间的差均与b无关，与a有关，∴M−m的值与a有关，但与b无关．故选C．8.答案：D解析：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、点线面距离的技计算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力，要求同学们熟练掌握．要想求P到AB的距离要先证明AB⊥平面PEF，即PF⊥AB，根据题中已知条件求出PE的长度，再根据勾股定理便可求出PF的长度．解：过P作PE⊥CD，过E作EF//BC，连接PF，∵AD⊥CD，PD⊥AD，∴AD⊥平面PDC，又∵PE在平面PDC上，∴AD⊥PE，又∵PE⊥CD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AB∵EF//BC，∴AB⊥EF，∴AB⊥平面PEF，∴PF⊥AB，∴PF即为P到AB的距离，∵∠PDC=60°，PD=2，∴PE=√3，∵EF=AD=2，由勾股定理可得PF=√3+4=√7．故选D．9.答案：B解析：解：函数f(x)=x−log 12x的零点个数，就是函数y=x与y=log 12x，两个函数的图象的交点个数，如图：可知函数的图象只有一个交点．函数f(x)=x−log 12x的零点个数为：1个．故选：B．画出两个函数的图象，判断交点个数，即可得到选项．本题考查函数的零点个数的判断，考查数形结合思想的应用，是基础题．10.答案：A解析：解：函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，当x<−1时，t=|x−1x+1|=x−1x+1=1−2x+1，单调递增，而0<a<1，所以y=log a t单调递减，所以f(x)在(−∞,−1)上单调递减；当−1<x<1时，t=|x−1x+1|=−x−1x+1=−1+2x+1，单调递减，而0<a<1，所以y=log a t单调递减，所以f(x)在(−1,1)上单调递增，故选A．求出函数f(x)的定义域，先判断x<−1及−1<x<1时t=|x−1x+1|的单调性，再根据y=log a t单调递减及复合函数单调性的判定方法可知f(x)的单调性．本题考查对数函数单调性及复合函数单调性的判定，熟记基本函数的单调性为解决该类题目提供了简捷方法．11.答案：D解析：解：∵f(x)=(2a−1)lnx−x，f′(x)=2a−1x −1=(2a−1)−xx，若f(x)在(0,1)上为减函数，则(2a−1)−x≤0在x∈(0,1)恒成立，即a≤(x+12)min=12，故选：D．求出函数的导数，得到(2a−1)−x≥0在x∈(0,1)恒成立，分离参数，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．12.答案：A解析：解：如图，取BC中点G，连接OG，AG，则OG⊥BC，又∵OA⊥BC，∴BC⊥平面OAG，则BC⊥AG，在△ABC中，由BC=3，∠BAC=120°，可得AG=√32，在△OBC中，由OB=OC=2，BC=3，可得OG=√72，在△OGA中，由OA=2，AG=√32，OG=√72，可得cos∠OGA=34+74−42×√32×√72=−√217．∴sin∠OGA=2√77．∴V O−ABC=13×12×√72×√32×2√77×3=√34，故选：A．由题意画出图形，取BC 中点G ，连接OG ，AG ，则OG ⊥BC ，又∵OA ⊥BC ，可得BC ⊥平面OAG ，则BC ⊥AG ，然后求出三角形OAG 的面积，利用等积法求得三棱锥O −ABC 的体积． 本题考查棱锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.答案：1514解析：解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，对于等比数列{S n −2a 1}，其前三项为：−a 1，a 2−a 1，a 3+a 2−a 1，则有(−a 1)(a 3+a 2−a 1)=(a 2−a 1)2，变形可得：−(q 2+q −1)=(q −1)2， 解可得：q =12或0(舍)，则q =12， 则S4S 3=a 1(1−q 4)1−q a 1(1−q 3)1−q=1−q 41−q 3=1514；故答案为：1514．根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，求出数列{S n −2a 1}得前三项，由等比数列的定义分析可得q 的值，进而由等比数列的前n 项和公式分析可得答案．本题考查等比数列前n 项和公式的应用，涉及等比数列的定义以及应用，属于基础题．14.答案：45解析：解：由椭圆x 225+y 29=1方程可知，a =5，b =3，c =4，∴离心率e =c a =45，故答案为：45． 由椭圆x 225+y 29=1方程可知，a ，b ，c 的值，由离心率e =ca 求出结果．本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出a 、c 的值是解题的关键．15.答案：−12解析：本题主要考查线性规划的应用，根据直线斜率的几何意义结合数形结合是解决本题的关键． 解：z =y+1x−6的几何意义是区域内的点到定点D(6,−1)的斜率，作出不等式组对应的平面区域，由图象知AD 的斜率最大，BD 的斜率最小， 由{x =22y −x =0解得A(2,1)， 此时z =1+12−6=−12． 故答案为−12．16.答案：2018解析：解：∵正项数列{a n }满足：n(n +1)a n 2+(n 2+n −1)a n −1=0，∴[n(n +1)a n −1)(a n +1)=0,∵a n >0，∴a n =1n(n+1)=1n −1n+1， ∴S 2018=1−12+12−13+⋯+12018−12019=1−12019=20182019．∴2019S 2018=2018． 故答案为：2018．正项数列{a n }满足：n(n +1)a n 2+(n 2+n −1)a n −1=0，因式分解为[n(n +1)a n −1)(a n +1)=0，由a n >0，可得a n =1n(n+1)=1n −1n+1，利用裂项求和方法即可得出．本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=13x 3+ax 2−bx(a ，b ∈R)，∴f′(x)=x 2+2ax −b ，∵y =f(x)图象上的点(1,−113)处的切线斜率为−4，∴f(1)=−113，且f′(1)=−4，∴{13+a−b=−1131+2a−b=−4，∴{a=−1b=3；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，a=−1，b=3，∴f(x)=13x3−x2−3x，∴f′(x)=x2−2x−3=(x+1)(x−3)，令f′(x)=0，解得x=−1，x=3，∴当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(−∞,−1)−1(−1,3)3(3,+∞) f′(x)+0−0+ f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x=−1时，f(x)取极大值53，∴y=f(x)的极大值为53．解析：(Ⅰ)根据题意，切点(1,−113)在函数f(x)的图象上，可得f(1)=−113，再根据导数的几何意义，即可得f′(1)=−4，求解方程组，即可求得a，b的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)的解析式，求出f′(x)=0的根，判断根左右的单调性，结合极大值的定义，即可求得y=f(x)的极大值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数在某点处取得极值的条件．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根，而导函数对应方程的根不一定是极值点．求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．属于中档题．18.答案：解：(1)由△ABC的面积为2√3可得，由a2+b2−c2=8及余弦定理可得2abcosC=8，所以，故，又C∈(0,π)，；即C=π3(2)∵C=π，2abcosC=8，3∴ab=8，又a2+b2−c2=8，c=2√3，则(a+b)2−2ab−12=8，即(a+b)2=36，可得a+b=6．由正弦定理，得．解析：本题考查正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，属于中档题．(1)根据三角形面积公式和余弦定理求解即可；(2)根据正弦定理求解即可．19.答案：解：(1)取BD中点E，BC中点O，连接AE，OE，因为AB=AD=2，则AE⊥BD，△ABC是正三角形，∴BC⊥AO，∵BC=CD=2，CD⊥BC，BD=√2，∴BD=2√2，AE=12CD=1，又OE=12△ABC为正三角形中，AO=√3，所以AE2+OE2=AO2所以AE⊥OE，又AE⊥BD，BD与OE相交，所以AE⊥平面BCD，AE⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD．(2)以O 为原点，以BC 为x 轴，以BE 为y 轴，以平面BCD 的过O 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设二面角D −BC −A 为θ，则A(0,√3cosθ,√3sinθ)，B(−1,0，0)， C(1,0，0)，D(1,2，0)．∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3cosθ,√3sinθ)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3cosθ,√3sinθ)， 设平面ACD 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0． ∴{2y =0−x +√3cosθy +√3sinθz =0, 令z =1得n ⃗ =(√3sinθ,0，1)． 直线AB 与平面ACD 所成角为60° ∴cos <n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√3sinθ2⋅√3sin 2θ+1=√32.解得sinθ=1．∴A(0,0，√3)，又D(1,2，0)．∴|AD|=√1+22+√32=2√2．解析：本题考查了面面垂直的证明、利用空间向量进行空间角及空间距离的计算，考查推理能力和计算能力，属于中档题．(1)取BD 中点E ，BC 中点O ，连接AE ，OE ，结合已知证明：AE ⊥平面BCD ，即可证明平面ABD ⊥平面BCD ；(2)以O 为原点建立空间坐标系，设二面角D −BC −A 为θ，用θ表示出A 的坐标，求出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面ACD的法向量n ⃗ ，令|cos <n ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√32得出sinθ，从而得出A 点坐标，代入两点间的距离公式求出|AD|． 20.答案：解：(Ⅰ)将圆C 配方，得(x +a )2+(y −2)2=9a −2，由9a −2>0，得a >29，故a 的取值范围为(29,+∞)；(Ⅱ)由圆C 与直线l ：x +y −a −2=0交于M ，N 两点，，CM ⊥CN ， 知ΔCMN 为等腰直角三角形，所以圆心C (−a,2)到直线l 的距离d =√22r ，即√2=√22·√9a −2，化简，得4a 2−9a +2=0，解得a =2,或a =14， 又2和14均大于29，故a =2,或a =14．解析：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题． (1)把圆C 的方程化为标准形式，根据半径大于零，求得m 的范围．(2)由题意可得，弦心距等于半径的√22倍，再利用点到直线的距离公式，求得a 的值．21.答案：解：(1)当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1，当n =1时，a 1=S 1=1，也适合上式． ∴a n =2n −1．设等比数列{b n }的公比为q ，∵b 1=a 1=1，b 2=a 2=3． ∴q =31=3． ∴b n =3n−1．(2)数列{c n }满足c n =a n b n=2n−13n−1，∴{c n }的前项和T n =1+33+532+⋯…+2n−13n−1，∴13T n =13+332+⋯…+2n−33n−1+2n−13n，相减可得：23S n =1+2(13+132+⋯…+13n−1)−2n−13n=1+2×13(1−13n−1)1−13−2n−13n，化为：S n =3−n+13n−1．解析：(1)当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1，当n =1时，a 1=S 1，可得a n .设等比数列{b n }的公比为q ，b 1=a 1=1，b 2=a 2=3.可得q =3.可得b n ．(2)数列{c n}满足c n=a nb n =2n−13n−1，利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：f′(x)=−4x3+4x，令f′(x)=−4x(x+1)(x−1)=0，得x=−1，x=0，x=1．当x变化时，f′(x)及f(x)的变化怀情况如图下表：所以当x=−3时，f(x)取最小值−60；当x=−1或x=1时，f(x)取最大值4．解析：本题主要考查利用导数研究闭区间上的最值．。

2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）. 1．设集合A ＝{x |x−1x+2＞0}，集合B ＝{x |﹣5≤2x +1≤3}，则集合A ∩B ＝（ ）A ．[﹣3，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．RD ．∅2．已知直线l 1：x sin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣y cos α+3＝0，若l 1⊥l 2，则tan2α＝（ ） A ．−23B ．−43C ．25D ．453．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣1+√3i |的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．√3D ．√24．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（ ） A ．α∥β，m ∥α，则m ∥βB ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α⊥βD ．m ⊥α，m ∥n ，α∥β，则n ⊥β5．已知f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）可以是（ ） A ．f （x ）＝x 4﹣2x 2 B ．f （x ）=e x +e −x2 C ．f （x ）＝x sin xD ．f （x ）=13x 2+cos x6．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y +2√2−2＝0相切，则圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交所得弦长为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．2√27．已知函数f （x ）＝sin x +cos x 的导函数为g （x ），则下列结论中错误的是（ ） A ．函数f （x ）与g （x ）有相同的值域和周期 B ．函数g （x ）的零点都是函数f （x ）的极值点C ．把函数f （x ）的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数g （x ）的图象D ．函数f （x ）和g （x ）在区间（−π4，π4 ）上都是增函数8．若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布N （1000，5002），现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为（ ）参考数据：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6827，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9973． A ．2.718 B ．6.827C ．8.186D ．9.5459．（2x +1）（x 3√x）5的展开式中x 3系数为（ ） A ．180B ．90C ．20D ．1010．已知锐角三角形△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（ ） A ．（0，√3] B ．（1，√3] C ．（√32，32）D ．（12，√32）11．设双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，P在双曲线E 的右支上，且PF 1⊥PF 2，Q 为线段PF 1，与双曲线E 左支的交点，若∠PQF 2＝30°，则e 2＝（ ） A ．7﹣2√3B ．1+√3C ．2√3−1D ．72√312．已知函数f （x ）={3x −x 3，x ≤0xe x +lnx+1x，x ＞0，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，1e +1 ）B ．（﹣2，0 ）∪（ 0，1e+1 ） C ．(−32，2e+1e 2+e) D ．（ −32，0 ）∪（ 0，2e+1e 2+e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a →，b →满足：a →=（1，√3），|b →|=√2，（a →−b →）⊥b →，则向量a →，b →的夹角为 ．14．已知非负实数x ，y 满足{x −y −1≥02x +y −4≤0，则z =y+1x+1的最大值是 ．15．已知直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，l 与C 交于A ，B 两点，其中点A 在第四象限，若AF →=2FB →，则直线l 的斜率为 ．16．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝2，AC ＝BD =√3，BC ＝AD =√5，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若用一个与直线EF 垂直的平面去截该三棱锥．与棱AC ，AD ，BD，BC分别交于M，N，P，Q四点，则四边形MNPQ面积的最大值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的首项a1＝1，其前n项和为S n，且满足S n+1＝2S n+n+1．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）令b n＝n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．18．如图．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AB=√2，AA1＝3，E为棱AA1上一点，AE＝1，F为棱B1C1上任意一点C．（1）求证：BE⊥EF；（2）求二面角C﹣B1E﹣C1的余弦值．19．已知平面内动点P与点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为−3 4．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）过点F（1，0）的直线与曲线E交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆恒过定点．20．某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性．主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）．若朝上的点数为偶数．则继续抛掷一次．若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次．每位参与者只能参加一次游戏．（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书．方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励．试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由．21．设函数f（x）＝lnx，g（x）＝a（x﹣1）．（1）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值集合；（2）设x n＝n2（n∈N*），点A n（x n，f（x n）），点A n+1（x n+1，f（x n+1）），直线A n A n+1的斜率为k n，求证：k1+k2+…+k n＜2（n∈N*）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=√3cosαy=sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π6）=12．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点A（2，1），点B为曲线C上的动点，求线段AB的中点M到直线l的距离的最大值．并求此时点B的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c是正实数，且a+b+2c＝1．（1）求1a +1b+1c的最小值；（2）求证：a2+b2+c2≥16．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合A ＝{x |x−1x+2＞0}，集合B ＝{x |﹣5≤2x +1≤3}，则集合A ∩B ＝（ ）A ．[﹣3，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．RD ．∅【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |x ＜﹣2，或x ＞1}，B ＝{x |﹣3≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝[﹣3，﹣2）． 故选：A ．2．已知直线l 1：x sin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣y cos α+3＝0，若l 1⊥l 2，则tan2α＝（ ） A ．−23B ．−43C ．25D ．45【分析】根据两直线垂直求出sin α与cos α的关系，计算tan α的值，再求tan2α的值． 解：直线l 1：x sin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣y cos α+3＝0， 若l 1⊥l 2，则sin α﹣2cos α＝0， 即sin α＝2cos α， 所以tan α＝2， 所以tan2α=2tanα1−tan 2α=2×21−22=−43． 故选：B ．3．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣1+√3i |的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．√3D ．√2【分析】满足|z |＝1的复数z ，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，|z ﹣1+√3i |表示复数z 在复平面内对应的点Z 到点A （1，−√3）的距离，再利用数形结合法即可求出结果． 解：满足|z |＝1的复数z ，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，|z ﹣1+√3i |表示复数z 在复平面内对应的点Z 到点A （1，−√3）的距离，如图所示：由OA ＝2，利用点圆的位置关系，|z ﹣1+√3i |的最小值为2﹣1＝1， 故选：B ．4．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（ ） A ．α∥β，m ∥α，则m ∥βB ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α⊥βD ．m ⊥α，m ∥n ，α∥β，则n ⊥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案． 解：对于A ，若α∥β，m ∥α，则m ∥β或m ⊂β，故A 错误；对于B ，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β或α与β相交，只有加上条件m 与n 相交时，才有结论α∥β，故B 错误；对于C ，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α∥β或α与β相交，故C 错误； 对于D ，若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，又α∥β，则n ⊥β，故D 正确． 故选：D ．5．已知f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）可以是（ ） A ．f （x ）＝x 4﹣2x 2 B ．f （x ）=e x +e −x2 C ．f （x ）＝x sin xD ．f （x ）=13x 2+cos x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与在区间（0，+∞）上的单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝x 4﹣2x 2，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝x 4﹣2x 2＝f （x ），是偶函数，其导数f ′（x ）＝4x 3﹣4x ＝4x （x 2﹣1），在区间（0，1）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，不符合题意；对于B ，f （x ）=e x +e −x 2，其定义域为R ，有f （﹣x ）=e x +e −x2=f （x ），是偶函数，其导数f ′（x ）=e x −e −x2，在区间（0，+∞）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，符合题意；对于C ，f （x ）＝x sin x ，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝（﹣x ）sin （﹣x ）＝x sin x ＝f （x ），是偶函数，有f （π2）=π2＞0，但f （3π2）=−3π2＜0，在（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；对于D ，（x ）=13x 2+cos x ，其定义域为R ，有f （﹣x ）=13（﹣x ）2+cos （﹣x ）=13x 2+cos x＝f （x ），是偶函数，有f （0）＝1，f （π3）=π227+12＜1，在（0，+∞）上不是增函数，不符合题意； 故选：B ．6．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y +2√2−2＝0相切，则圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交所得弦长为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．2√2【分析】根据题意，分析圆C 的半径，由直线与圆的位置关系可得圆心C 到直线x ﹣y +2√2−2＝0的距离，由平行线间的公式计算直线x ﹣y +2√2−2＝0与x ﹣y ﹣4＝0之间的距离，分析可得圆心C 到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4的半径r ＝2，圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y +2√2−2＝0相切，则圆心C 到直线x ﹣y +2√2−2＝0的距离为2，直线x ﹣y +2√2−2＝0与x ﹣y ﹣4＝0平行，两条平行直线的距离d =√2−2−(−4)|1+1=2+√2，又由圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交，则圆心C 到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离d ′=√2，则圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交所得弦长为2×√4−2=2√2； 故选：D ．7．已知函数f （x ）＝sin x +cos x 的导函数为g （x ），则下列结论中错误的是（ ） A ．函数f （x ）与g （x ）有相同的值域和周期 B ．函数g （x ）的零点都是函数f （x ）的极值点C ．把函数f （x ）的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数g （x ）的图象D ．函数f （x ）和g （x ）在区间（−π4，π4 ）上都是增函数【分析】求出函数f （x ）的导函数g （x ），再分别判断f （x ）、g （x ）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．解：函数f （x ）＝sin x +cos x ，∴g （x ）＝f '（x ）＝cos x ﹣sin x ，对于A ，f （x ）=√2sin （x +π4），g （x ）=−√2sin （x −π4），两函数的值域相同，都是[−√2，√2]，周期也相同；A 正确；对于B ，若x 0是函数g （x ）的零点，则x 0−π4=k π，k ∈Z ； 解得x 0＝k π+π4，k ∈Z ；，f （x 0）=√2sin （k π+π4+π4）＝±√2， ∴x 0也是函数f （x ）的极值点，B 正确； 对于C ，把函数f （x ）的图象向左平移π2个单位，得f （x +π2）＝sin （x +π2）+cos （x +π2）＝cos x ﹣sin x ＝g （x ），∴C 正确； 对于D ，x ∈（−π4，π4）时，x +π4∈（0，π2），f （x ）是单调增函数，x −π4∈（−π2，0），g （x ）是单调递减函数，D 错误． 故选：D ．8．若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布N （1000，5002），现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为（ ）参考数据：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6827，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9973．A ．2.718B ．6.827C ．8.186D ．9.545【分析】先根据已知数据，求出P （500＜X ≤1500）和P （0＜X ＜2000），然后利用正态分布曲线的特点得P （500＜X ＜2000）＝P （500＜X ≤1500）+P （1500＜X ＜2000）＝0.8186，而随机变量ξ～B （10，0.8186），最后由二项分布的数学期望求解即可． 解：∵X ～N （1000，5002），∴P （500＜X ≤1500）＝0.6827，P （0＜X ＜2000）＝0.9545，∴P （500＜X ＜2000）＝P （500＜X ≤1500）+P （1500＜X ＜2000）＝0.6827+0.9545−0.68272=0.8186， 而随机变量ξ～B （10，0.8186）， ∴E （ξ）＝10×0.8186＝8.186． 故选：C ． 9．（2x +1）（x √x ）5的展开式中x 3系数为（ ） A ．180B ．90C ．20D ．10【分析】求出（x x ）5展开式的含x 2与x 3项的系数，再计算（2x +1）（x x）5的展开式中x 3的系数． 解：（x x）5展开式的通项公式为 T r +1=∁5r •x r•（√x）5﹣r ＝35﹣r •∁5r •x3r−52；令3r−52=2，解得r ＝3； 令3r−52=3，解得r 不存在；故（2x +1）（x √x）5的展开式中x 3系数为：2×∁53•35﹣3＝180． 故选：A ．10．已知锐角三角形△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（ ） A ．（0，√3]B ．（1，√3]C ．（√32，32）D ．（12，√32）【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求sin A ，进而可求A ，结合锐角三角的条件可求B 的范围，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质即可求解．解：因为b ＝2a sin B ，由正弦定理可得，sin B ＝2sin A sin B ， 因为sin B ≠0， 故sin A =12，因为A 为锐角，故A =π6， 由题意可得，{0＜B ＜12π0＜5π6−B ＜12π， 解可得，13π＜B ＜12π，则cos B +sin C ＝cos B +sin （5π6−B ）=√32sinB +32cosB=√3sin （B +13π）∈(√32，32)．故选：C ． 11．设双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，P在双曲线E 的右支上，且PF 1⊥PF 2，Q 为线段PF 1，与双曲线E 左支的交点，若∠PQF 2＝30°，则e 2＝（ ） A ．7﹣2√3B ．1+√3C ．2√3−1D ．72√3【分析】设PF 2＝m ，根据条件得PQ =√3m ，QF 2＝2m ，结合双曲线性质PF 1﹣PF 2＝2a ，QF 2﹣QF 1＝2a ，进行整理可得m ＝2（√3−1）a ，再由勾股定理PF 12+PF 22＝F 1F 22，得到（7﹣2√3）a 2＝c 2即可．解：因为PF 1⊥PF 2，∠PQF 2＝30°，所以PQ =√3PF 2，QF 2＝2PF 2， 不妨设PF 2＝m ，则PQ =√3m ，QF 2＝2m ， 根据双曲线定义：PF 1﹣PF 2＝2a ，QF 2﹣QF 1＝2a ， 由PF 1﹣PF 2＝2a 得PF 1＝2a +m ，由QF 2﹣QF 1＝2a ，得QF 1＝2m ﹣2a ，又因为QF 1＝PF 1﹣PQ ， 即有2m ﹣2a ＝2a +m −√3m ， 所以m ＝2（√3−1）a ，在Rt △PF 1F 2中，PF 12+PF 22＝F 1F 22，即（2a +m ）2+m 2＝4c 2，代入得[2a +2（√3−1）a ]2+4（√3−1）2a 2＝4c 2， 整理得（7﹣2√3）a 2＝c 2，则e 2=c 2a2=7﹣2√3，故选：A ．12．已知函数f （x ）={3x −x 3，x ≤0xe x+lnx+1x ，x ＞0，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，1e +1 ）B ．（﹣2，0 ）∪（ 0，1e+1 ） C ．(−32，2e+1e 2+e) D ．（ −32，0 ）∪（ 0，2e+1e 2+e）【分析】利用导数得到函数f （x ）的单调性和极值，画出函数f （x ）的大致图象，令t ＝f （x ），则t 2﹣mt ﹣1＝0，由△＞0可知方程t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不相等的实根，设为t 1，t 2，由函数f （x ）的图象可知：0＜t 1＜1+1e，﹣2＜t 2＜0，设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣1，再利用二次函数的图象和性质列出不等式组即可求出实数m 的取值范围． 解：当x ≤0时，f （x ）＝3x ﹣x 3，则f '（x ）＝3﹣3x 2＝3（1﹣x ）（1+x ）， 令f '（x ）＝0得：x ＝﹣1，∴当x ∈（﹣∞，﹣1）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（﹣1，0）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，且f （﹣1）＝﹣2，f （0）＝0， 当x ＞0时，f （x ）=x e x +lnx+1x ，则f '（x ）=1−x e x +−lnx x2，显然f '（1）＝0， ∴当x ∈（0，1）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（1，+∞）时，f '（x ）＜0，f（x ）单调递减，且f （1）=1e+1， 故函数f （x ）的大致图象如图所示：，令t ＝f （x ），则关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0化为关于t 的方程t 2﹣mt ﹣1＝0， ∵△＝m 2+4＞0，∴方程t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不相等的实根，设为t 1，t 2， 由韦达定理得：t 1+t 2＝m ，t 1t 2＝﹣1＜0，不妨设t 1＞0，t 2＜0， ∵关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根， ∴由函数f （x ）的图象可知：0＜t 1＜1+1e，﹣2＜t 2＜0， 设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣1，则{ g(−2)＞0g(0)＜0g(1+1e )＞0，解得：−32＜m ＜2e+1e 2+e， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a →，b →满足：a →=（1，√3），|b →|=√2，（a →−b →）⊥b →，则向量a →，b →的夹角为π4．【分析】根据平面向量的数量积，求出向量a →、b →夹角的余弦值，再求夹角大小． 解：a →=（1，√3），所以|a →|=√12+(√3)2=2，又|b →|=√2，（a →−b →)⊥b →⊥b →，所以a →•b →−b →2=0， 所以a →•b →=b →2=2， 设向量a →，b →的夹角为θ，则cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=2×2=√22， 又θ∈[0，π]， 所以θ=π4． 故答案为：π4．14．已知非负实数x ，y 满足{x −y −1≥02x +y −4≤0，则z =y+1x+1的最大值是 58．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z =y+1x+1的几何意义进行求解即可． 解：z =y+1x+1的几何意义是可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象知PA 的斜率最大，由{x −y −1=02x +y −4=0，解得A （53，23）则PA 的斜率k =23+153+1=58，k 的最大值为58， 故答案为：58．15．已知直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，l 与C 交于A ，B 两点，其中点A 在第四象限，若AF→=2FB→，则直线l的斜率为﹣2√2．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设直线l的方程为x＝my+1，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，可得y1，y2的关系，消去y1，y2，可得m的值，进而得到所求直线的斜率．解：y2＝4x的焦点F（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，联立y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2（y1＜0，y2＞0），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，①又AF→=2FB→，可得﹣y1＝2y2，即y1＝﹣2y2，②由①②可得m＜0，y1＝8m，y2＝﹣4m，﹣32m2＝﹣4，解得m=−√24，则直线l的斜率为﹣2√2，故答案为：﹣2√2．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD=√3，BC＝AD=√5，E，F分别是AB，CD的中点．若用一个与直线EF垂直的平面去截该三棱锥．与棱AC，AD，BD，BC分别交于M，N，P，Q四点，则四边形MNPQ面积的最大值为√32．【分析】把三棱锥A﹣BCD放置在长方体中，由已知可得四边形MNPQ为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得|PN|+|PQ|＝|AB|＝2．求出PN与PQ所成角，代入三角形面积公式，再由基本不等式求最值．解：把三棱锥A﹣BCD放置在长方体中，如图，∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且平面MNPQ ⊥EF ， 可知MN ∥PQ ，PN ∥QM ，则四边形MNPQ 为平行四边形， 再由平行线截线段成比例，可得|PN |+|PQ |＝|AB |＝2．由已知可求得作侧面两条对角线所成锐角为60°，则∠NPQ ＝60°．∴S 四边形MNPQ ＝|PN |•|PQ |•sin60°≤√32⋅(|PN|+|PQ|2)2=√32．当且仅当PN |＝|PQ |＝1时上式等号成立． ∴四边形MNPQ 面积的最大值为√32． 故答案为：√32． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n }的首项a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足S n +1＝2S n +n +1． （1）求证：数列{a n +1}是等比数列；（2）令b n ＝n （a n +1），求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）先由S n +1＝2S n +n +1⇒S n ＝2S n ﹣1+n ，两式相减得a n +1＝2a n +1，进而证明结论；（2）由（1）可得a n +1＝2n ，∴b n ＝n •2n ，再利用错位相减法求出T n 即可． 解：（1）证明：∵S n +1＝2S n +n +1①， ∴当 n ≥2 时，S n ＝2S n ﹣1+n ②， 由①一②得，a n +1＝2a n +1，n ≥2，∴a n +1+1＝2a n +1+1，n ≥2，即a n +1+1＝2（a n +1），n ≥2． 又a 1+a 2＝2a 1+2，a 1＝1，∴a 2＝3，则a 2+1＝2（a 1+1）也适合，∴数列{a n+1}是以a1+1＝2为首项，公比为2的等比数列；（2）解：由（1）知a n+1＝2n，∴b n＝n•2n．∴T n＝1×21+2×22+3×23+4×24+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n③，∴2T n＝1×22+2×23+3×24+4×25+（n﹣1）•2n+n•2n+1④，由③﹣④得：﹣Tn＝1×21+1×22+1×23+…+1×2n﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2．18．如图．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AB=√2，AA1＝3，E为棱AA1上一点，AE＝1，F为棱B1C1上任意一点C．（1）求证：BE⊥EF；（2）求二面角C﹣B1E﹣C1的余弦值．【分析】（1）先根据勾股定理可得BE⊥B1E，结合长方体的性质可得BE⊥B1C1，进而可证BE⊥平面B1C1E，再由线面垂直的性质得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CB1E及平面B1C1E的一个法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．解：（1）证明：∵AE＝1，A1E＝2，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1E=√A1E2+A1B12=√6，BE=√AE2+AB2=√3，∴B1B2=B1E2+BE2，即BE⊥B1E，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面A1ABB1，BE⊂平面A1ABB1，∴BE⊥B1C1，又B1E∩B1C1＝B1，∴BE⊥平面B1C1E，又无论点F位置如何，EF⊂平面B1C1E，∴BE ⊥EF ；（2）如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B 1（√2，√2，3），E （√2，0，1），C （0，√2，0），B （√2，√2，0），CB 1→=（√2，0，3），EB 1→=（0，√2，2），设平面CB 1E 的法向量为n →=（x ，y ，z ），∴{n →⋅CB 1→=0n →⋅EB 1→=0，即{√2x +3z =0√2y +2z =0，令z =√2，则x ＝﹣3，y ＝﹣2，可得平面CB 1E 的一个法向量为n →=(−3，−2，√2)， 由（1）可知，BE ⊥平面B 1C 1E ，所以平面B 1C 1E 的一个法向量BE →=(0，−√2，1)， ∴cos ＜BE →，n →＞=BE →，⋅n→|BE →|⋅|n →|=3√23×√15=√105，即二面角C ﹣B 1E ﹣C 1的余弦值√105．19．已知平面内动点P 与点A （﹣2，0），B （2，0）连线的斜率之积为−34． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点F （1，0）的直线与曲线E 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆恒过定点．【分析】（1）设点P 的坐标为（x ，y ），则由k PA ⋅k PB =−34可得关于x ，y 的关系式，得到动点P 的轨迹E 的方程；（2）当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k （x ﹣1），与曲线E 的方程联立，得到关于x 的一元二次方程，写出根与系数的关系，再写出直线APD 方程，求得M ，N 的坐标，结合根与系数的关系得到|MN |，求出线段MN 中点的坐标，可得以MN 为直径的圆的方程，求出以MN 为直径的圆过点D （1，0）和E （7，0）．验证当PQ ⊥x 轴时成立，可得以MN 为直径的圆恒过点D （1，0）和E （7，0）． 解：（1）设点P 的坐标为（x ，y ），则由k PA ⋅k PB =−34，得y x+2⋅yx−2=−34，整理得x 24+y 23=1（ x ≠±2）， 即动点P 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1（ x ≠±2）；证明：（2）当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 与曲线E 的方程联立，消去y 得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x ﹣4k 2﹣12＝0． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=8k23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k2．直线AP 的方程为y y 1=x+2x 1+2，令x ＝4，得y =6y 1x 1+2，即M(4，6y 1x 1+2)，同理N(4，6y 2x 2+2)． ∴|MN|=6y2x 2+2−6y1x 1+2 ＝6|k[(x 2−1)(x 1+2)−(x 1−1)(x 2+2)]x 1x 2+2(x 1+x 2)+4|=18|k(x 2−x 1)x 1x 2+2(x 1+x 2)+4|，|x 2﹣x 1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√64k2(3+4k 2)2−4×4k 2−123+4k2=12√1+k 23+4k 2|x 1x 2+2(x 1+x 2)+4|=|4k 2−123+4k 2+2×8k 23+4k 2+4|=36k 23+4k 2． ∴|MN |=6√1+k 2|k|．线段MN 中点的纵坐标为12（6y 1x 1+2+6y 2x 2+2）=3k ⋅(x 1−1x 1+2+x 2−1x 2+2）=−3k．故以MN 为直径的圆的方程为：（x ﹣4）2+(y +3k )2=9(1+k 2)k2． 令y ＝0得：（x ﹣4）2＝9，解得x ＝1或x ＝7． 此时以MN 为直径的圆过点D （1，0）和E （7，0）．当PQ ⊥x 轴时，P(1，32)，Q(1，−32)，M(4，3)，N(4，−3)． 则以MN 为直径的圆的方程为（x ﹣4）2+y 2＝9，也过点D ，E ． ∴以MN 为直径的圆恒过点D （1，0）和E （7，0）．20．某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性．主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）．若朝上的点数为偶数．则继续抛掷一次．若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次．每位参与者只能参加一次游戏．（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书．方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励．试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由．【分析】（1）设事件A：只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．然后求解概率即可．（2）方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，求出概率得到分布列，然后求解期望．通过比较E（X），E（Y），推出选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励．解：（1）设事件A：只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．则P(A)=16，P(B)=16×16+16×16=118，P(C)=16×16×16=1216，游戏结束时朝上点数之和为5，即事件A+B+C，其概率为P（A+B+C）=16+118+1216=49216．（2）方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，P（x＝3）=18，P（x＝1）=78，则X的分布列为：X31P187 8E（X）＝3×18+1×78=54．方案二：设获得奖励畅销书的本数为YP（X＝5）=18，P（x＝0）=78，则Y的分布列为：Y 5P1878E （Y ）＝5×18+0×78=58，∵E （X ）＞E （Y ），∴选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励． 21．设函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝a （x ﹣1）．（1）若对任意x ∈（0，+∞），f （x ）≤g （x ）恒成立，求a 的取值集合；（2）设x n ＝n 2（n ∈一、选择题*），点A n （x n ，f （x n ）），点A n +1（x n +1，f （x n +1）），直线A n A n +1的斜率为k n ，求证：k 1+k 2+…+k n ＜2（n ∈N *）．【分析】（1）令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到a 的取值即可； （2）求出k n ，结合ln （1+2n+1n 2）＜2n+1n 2，得到k 1+k 2+⋯+k n ＜112+122+⋯12n ，不等式放缩证明即可．解：（1）令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）， F （x ）＝lnx ﹣a （x ﹣1），F ′（x ）=1x −a =1−axx，……（1分） 若a ≤0时，当x ＞1 时，lnx ﹣a （x ﹣1）＞0，不符合题意…… 若a ＞0，F ′（x ）＞0得0＜x ＜1a，F ′（x ）＜0得x ＞1a， ∴F （x ）在(0，1a)上递增，在（1a，+∞）上递减……∴F （x ）max ＝F （1a）＝ln 1a−a(1a−1)=−lna +a −1≤0⋯⋯令ϕ（x ）＝﹣ln x +x −1，ϕ′(x)=−1x +1=x−1x， ∴ϕ（x ）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增 ∴ϕ（x ）≥ϕ（1）＝0，∴ϕ（a ）≥0…… ∴ϕ（a ）＝0，a ＝1， 故a 的取值集合为{1}……（2）由题意知，点A n （n 2，lnn 2），点A n +1（（（n +1）2，ln （n +1）2）， k n =ln(n+1)2−lnn 2(n+1)2−n 2=ln(1+2n+1n2)2n+1⋯⋯由（1）知，当a ＝1时，lnx ≤x ﹣1（x ＞0），∴ln （1+2n+1n 2）＜2n+1n 2⋯⋯ ∴k n ＜2n+1n 22n+1=1n 2，∴k 1+k 2+⋯+k n ＜112+122+⋯12n ⋯⋯ 而112+122+132+⋯+1n 2≤11+11×2+12×3+⋯+1(n−1)n＝1+（1−12）+（12−13）+…+（1n−1−1n）＝2−1n ＜2，……∴k 1+k 2+…+k n ＜2（n ∈N *）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π6）=12． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点A （2，1），点B 为曲线C 上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =√3cosαx =sinα（α为参数），可得x3=cosαy =sinα两边平方相加得：(3)2+y 2＝1，即曲线C 的普通方程为：x 23+y 2＝1．由ρsin(θ+π6)=12可得√32ρsinθ+12ρcosθ=12即直线l 的直角坐标方程为x +√3y −1=0．（2）A （2，1），设点B (√3cosα，sinα)，则点M (2+√3cosα2，1+sinα2)，点M 到直线l 的距离d =|2+√3cosα2+√3(1+sinα)2−1|2=|√32cosα+√32sinα+√322=|√62sin(α+π4)+√32|2． 当sin(α+π4)=1时，的最大值为√6+√34． 即点M 到直线l 的距离的最大值为√6+√34，此时点的坐标为(√62，√22）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 是正实数，且a +b +2c ＝1． （1）求1a +1b+1c的最小值；（2）求证：a 2+b 2+c 2≥16．【分析】（1）根据a ，b ，c 是正实数，且a +b +2c ＝1，可得1a +1b+1c=（1a+1b+1c）（a +b +2c ），然后利用基本不等式求出1a+1b+1c的最小值即可；（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +2c ）2，再结合a +b +2c ＝1，即可证明a 2+b 2+c 2≥16成立．解：（1）∵a ，b ，c 是正实数，且a +b +2c ＝1． 所以1a +1b+1c=（1a+1b+1c）（a +b +2c ）=b a +a b +2c a +a c +2c b +bc+4≥6+4√2， 当且仅当a =b =√2c ，即a =b =2−√22，c =√2−12时等号成立，∴1a+1b+1c的最小值为6+4√2．（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +2c ）2＝1， 即a 2+b 2+c 2≥16，当且仅当1a=1b=2c，即a =b =16，c =13时等号成立，∴a 2+b 2+c 2≥16成立．。

2023年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．[-1，2）B ．[0，2）C ．[1，2）D ．[0，3）1．（5分）已知集合A ={x |x 2+x −6<0}，B ={y |y =x +1}，则A ∩B =（ ）√A ．5B ．7C ．3D ．102．（5分）设（1+i ）z =3+i ,则|z |=（ ）√√√A ．c <a <b B ．b <a <c C ．c <b <a D ．b <c <a3．（5分）设a =log 53，b =e -1，c =log 169⋅log 278，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A ．π2B ．22πC ．2πD ．22π4．（5分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（ ）√√√A ．5B ．6C ．7D ．85．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）6．（5分）已知函数f (x )=cos (2x −π6)，则f （x ）在[-2，0]上（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）已知等比数列{a n }的公比的平方不为1，b n ∈N *，则“{a b n }是等比数列”是“{b n }是等差数列”的（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足xf '（x ）-f （x ）=1，则y =f （x ）的图象可能为（ ）A ．AD =32DFB ．AD =2DFC ．AD =3DF D ．AD =4DF9．（5分）如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 上的点，3AE =2BE ，∠ECF =π4，则（ ）A ．12πB ．6πC ．16πD ．8π10．（5分）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，若三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为33，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）√A ．①③B ．①②C ．①③④D ．①②④11．（5分）存在函数f （x ）满足对任意x ∈R ，都有f （g （x ））=x ,给出下列四个函数：①g （x ）=cosx ,②g （x ）=V Y W Y X −x 2，x ≥0x 2，x <0，③g （x ）=x 3-x ,④g （x ）=e x -e -x ．所以函数g （x ）不可能为（ ）A ．(133，3)∪(3，+∞)B ．(2139，3)∪(3，+∞)12．（5分）设双曲线E ：x2a 2−y2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，M （0，3b ），若直线l 与E 的右支交于A ，B 两点，且F 为△MAB 的重心，则直线l 斜率的取值范围为（ ）√√√√√√二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．C ．(−∞，−6)∪(−6，−2139)D ．(−∞，−6)∪(−6，−2133)√√√√√√13．（5分）已知单位向量a ，b ，c 满足a +b +2c =0，则a •b = ．→→→→→→→→→14．（5分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ,且acos （B -C ）+acosA =23csinBcosA ，b 2+c 2-a 2=2，则△ABC 的面积为 ．√15．（5分）现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有一个班没有分到三好学生名额的概率为 ．16．（5分）在正四棱锥S -ABCD 中，M 为SC 的中点，过AM 作截面将该四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2V 1的最大值是 ．17．（12分）已知数列{a n }满足a 1+3a 2+⋯+（2n -1）a n =n .（1）求{a n }的通项公式；（2）已知c n =V Y Y W Y Y X 119a n ，n 为奇数a n a n +2，n 为偶数，求数列{c n }的前20项和．18．（12分）某学校食堂中午和晚上都会提供A ，B 两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择A 类套餐的概率为23，选择B 类套餐的概率为13；在中午选择A 类套餐的前提下，晚上还选择A 类套餐的概率为14，选择B 类套餐的概率为34；在中午选择B 类套餐的前提下，晚上选择A 类套餐的概率为12，选择B 类套餐的概率为12．（1）若同学甲晚上选择A 类套餐，求同学甲中午也选择A 类套餐的概率；（2）记某宿舍的4名同学在晚上选择B 类套餐的人数为X ，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X 的分布列及数学期望．19．（12分）如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =2π3，E 为BC 的中点，F 为AB 上一点，且EF ⊥AB ．现将△BEF 沿EF 翻折到△B 'EF ，如图2．（1）证明：EF ⊥AB '．（2）已知二面角B '-EF -A 为π3，在棱AC 上是否存在点M ，使得直线BC 与平面B 'MF 所成角的正弦值为55若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由．√四、选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．20．（12分）已知F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，且P (1，32)在椭圆C 上，PF 垂直于x 轴．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B （异于点P ）两点，D 为直线l 上一点．设直线PA ，PD ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，若k 1+k 3=2k 2，证明：点D 的横坐标为定值．21．（12分）已知函数f （x ）=ae x -bx -c （0<a <1，b >0）．（1）若a =b ,求f （x ）的极值；（2）若x 1，x 2是f （x ）的两个零点，且x 1>x 2，证明：e x 1a +e x 21−a>4b a ．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为V Y W Y X x =2cosθ+2y =2sinθ（θ为参数），直线l 过原点，且倾斜角为α．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若|OA |+|OB |=3，求直线l 的直角坐标方程．√√23．（10分）已知函数f （x ）=|x |．（1）求不等式f （x ）<2x -1的解集；（2）已知函数g （x ）=2f （x ）+|2x -1|的最小值为m ,且a 、b 、c 都是正数，a +2b +c =m ,证明：1a +b +1b +c ≥4．。

河南省2024年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2M x x =<-或}6x >，{}2670N x x x =--≤，则()M N ⋃=Rð（）A.(]2,7- B.[]2,7- C.[]16,- D.[)1,6-2.复数212i 1i 1iz +=+-+的实部与虚部之和为（）A.0B.2C.4D.83.现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件A =“第一次摸球摸出黑球”，事件B =“第二次摸球摸出白球”，则()P B A =（）A.625B.825C.35D.454.已知函数()()cos 22f x x ϕ=-，则“ππ2k ϕ=+，Z k ∈”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数()()22log ,01,0x x f x x x >⎧⎪=⎨+<⎪⎩，()()1g x f x =--，则()g x 的图象大致是（）A.B.C.D.6.已知向量a ，b满足a b -= 1b = ，()()25a b a b +⋅-= ，则向量a 在向量b方向上的投影向量为（）A.3bB.3b- C.5bD.5b- 7.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5118,,S S S 成等差数列，且()8112k a a a +=，则k =（）A.6B.7C.8D.98.已知O 为坐标原点，椭圆C ：()22220x y a b a b+>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过点2F 作圆O ：222x y c +=的切线，与C 交于M ，N 两点.设圆O 的面积和1△MNF 的内切圆面积分别为1S ，2S ，且12:4:1S S =，则C 的离心率为（）A.12B.4C.2D.2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()π2cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则（）A.2ω=B.将2sin 2y x =的图象向左平移π12个单位长度可得到()f x 的图象C.()f x 的图象在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在对称轴D.()f x 在区间π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增10.某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（）A.90后考生比00后考生多150人B.笔试成绩的60%分位数为80C.参加面试的考生的成绩最低为86分D.笔试成绩的平均分为76分11.已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b -=>>的上、下焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作斜率为1515-的直线l 与C 的上支交于M ，N 两点（点M 在第一象限），A 为线段MN 的中点，O 为坐标原点.若C 的离心率为2，则（）A.212MF MF = B.2NF MN=C.MON ∠可以是直角D.直线OA 的斜率为3-12.如图，底面半径为1，体积为3π的圆柱1OO 的一个轴截面为11ABB A ，点M 为下底面圆周上一动点，则（）A.四面体1M ABO -体积的最大值为1B.直线1AO 与1MB 可能平行C.11A M AO ⊥D.当1MB =时，平面11MA B 截圆柱1OO 的外接球的截面面积为40π13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在正四面体ABCD 中，,E F 分别为棱AC ，CD 的中点，过EF 和侧面ABD 内的一点P 的平面分别与AB ，BD 交于,M N 点，则直线MN 与BC 所成角的大小为_________.14.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC b =，()BC a b a =≥，AB c =，图中两个阴影三角形的周长分别为1l ，2l ，则12l l a b++的最小值为________.15.已知函数()f x 的定义域为R ，若()()121g x f x =--为奇函数，且直线()()21130m x m y m ++-⋅+=与()f x 的图象恰有5个公共点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y ，则()51i i i x y =-=∑________.16.如图，已知半圆O 的直径2,,,,AF B C D E =是半圆O 上异于点,A F 的四点，且,CD DE EF AB BC ===，则当六边形ABCDEF 面积最大时，AOB ∠的大小为_______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知πsin 3cos 02A B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，c =.（1）求C ；（2）若D 是AB边的中点，且CD =，求ABC 的面积.18.已知数列{}n a 的通项公式为241=-n a n ，数列{}n b 满足212nk k k n na b =+=∑．（1）求{}n b 的通项公式；（2）设(1)n n n c b =-，记数列{}n c ．的前n 项和为n S ，从下面两个条件中选一个，判断是否存在符合条件的正整数k ，m ，()n k m n <<，若存在，求出k ，m ，n 的一组值；若不存在，请说明理由．①k ，m ，n 成等比数列且2k S ，2m S ，2n S 成等比数列；②m ，n 成等差数列且21k S -，21m S -，21n S -成等差数列．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19.如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，224AD BC AB ===，侧面EAD ⊥底面ABCD ，6EA ED ==，O 为AD 的中点.（1）证明：AC ⊥平面BOE ；（2）若M 为棱DE 上的动点，求直线CM 与平面BOE 所成角的正弦值的最大值.20.矮化密植是指应用生物或栽培措施使果树生长树冠紧凑的方法，它与常规的矮小栽培相比有许多优势，如采用这种矮化果树可以建立比常规果园定植密度更高的果园，不仅能提高土壤及光能利用率，还能够获得更多的早期经济效益.某乡镇计划引进A ，B 两种矮化果树，已知A 种矮化果树种植成功率为23，成功后每公顷收益7.5万元；B 种矮化果树种植成功率为35，成功后每公顷收益9万元.假设种植不成功时，种植A ，B 两种矮化果树每公顷均损失1.5万元，每公顷是否种植成功相互独立.（1）甲种植户试种两种矮化果树各1公顷，总收益为X 万元，求X 的分布列及数学期望；（2）乙种植户有良田6公顷，本计划全部种植A ，但是甲劝说乙应该种植两种矮化果树各3公顷，请按照总收益的角度分析一下，乙应选择哪一种方案?21.已知F 是抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点，过点F 作斜率为k 的直线交C 于M ，N 两点，且244MN k =+.（1）求C 的标准方程；（2）若P 为C 上一点（与点M 位于y 轴的同侧），直线MN 与直线FP 的斜率之和为0，FMP 的面积为4，求直线MP 的方程.22.已知函数()()2222e 2xf x x a ax a x =---++.（1）当曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与直线430x y +=垂直时，求a 的值；（2）讨论()f x 的极值点的个数.河南省2024年高考数学模拟试卷答案1.B【分析】化简集合N ，根据集合的补集和并集运算求得结果.【详解】由2670x x --≤，解得17x -≤≤，{}17N x x ∴=-≤≤，又{2M x x =<-或}6x >，{}26M x x =-≤≤R ð，(){}27M N x x ∴⋃=-≤≤R ð.2.C【分析】应用复数的乘除法化简复数，进而求实部与虚部之和.【详解】2(1i)(12i)(1i)22i 12i i 253i(1i)(1i)22z +++-+++-++===-+，所以实部与虚部之和为53422+=.3.D【分析】根据条件概率公式概率计算方法进行计算即可.【详解】根据题意可知，2()5P A =第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率()2485525P A B ⋂=⨯=，则()8()4252()55P A B P B A P A ⋂===,4.A【分析】由余弦函数的性质，分别验证充分性与必要性即可.【详解】函数()()cos 22f x x ϕ=-，当()ππZ 2k k ϕ=+∈时，()()πcos 22πcos 2π2πcos 22f x x k x k x ⎡⎤⎛⎫=-+=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 为偶函数，所以充分性成立；()f x 为偶函数时，()2πZ k k ϕ=∈，解得()πZ 2k k ϕ=∈，不能得到()()21πππZ 22k k k ϕ+=+=∈，所以必要性不成立.故“ππ2k ϕ=+，Z k ∈”是“()f x 为偶函数”的充分不必要条件.5.B【分析】利用0x >时的解析式的图象即可得到选项.【详解】令0x >，则0x -<，所以()()21f x x -=-+，()()()2111g x f x x =--=--，则在y 轴右侧为部分抛物线，对称轴为1x =，()0g x =时，2x =或0，且()0,0处为空心，()11g =-，排除ACD.6.A【分析】根据已知条件求出224a a b -×=，27a a b -×=，进而求解a b ⋅，再由投影向量的定义求出投影向量即可.【详解】因为a b -= 22225a b a a b b -=-×+= ，又因为1b = ，所以有224a a b -×= ①；又因为()()22225a b a b a a b b +×-=-×-= ，27a a b -×= ②；联立①②，有22247a a b a a b ⎧-⋅=⎪⎨-⋅=⎪⎩，解得3a b a ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩ a 在向量b 方向上的投影向量为：a b b a a b b×鬃× 2331a b b b b b×=×==.7.C【分析】利用条件5118,,S S S 成等差数列可计算出3q ，然后代入()8112k a a a +=即可计算出k .【详解】由题知5118,,S S S 成等差数列可得：()()()115811133115811112211112a q a q a q S S S q q q q q ----=+⇒=+⇒==---或.由题知31q =时，数列为常数列不满足题义舍去.()()()()()237101331181111111222248k k k k a a a a q a q a q q q q q q q ---⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒-= ⎪⎝⎭即：262184k k q q q k --=⇒=⇒=8.C【分析】根据条件先表示出MN ，然后在1△MNF 中根据等面积法表示出内切圆的半径，结合12:4:1S S =得到,a b 的关系式，根据齐次式的计算可求离心率e .【详解】因为()2,0F c 在圆O 上，所以易知MN x ⊥轴，由22221x c x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以22b MN a =，设1△MNF 的内切圆半径为r ，由等面积法可知：()12111122F F MN MF NF MN r ⨯⨯=⨯++⨯，所以21212422b c a r a ⨯⨯=⨯⨯，所以22b cr a =，又因为22212122π,π,4b c S c S S S a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以42244b c c a =，所以()222222a b a c ==-，所以22212c e a ==，所以2e =，【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的离心率问题，涉及椭圆的焦点三角形、三角形内切圆等问题，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键在于对1△MNF 面积的分析，其中等面积法是解决内切圆相关问题的有效方法.9.AC【分析】A 选项根据最小正周期为π，可得2ω=；B 选项根据图象平移变换可判断；CD 选项根据()()cos f x A x ωϕ=+的对称轴和单调性求法可得.【详解】选项A：2π2π===2πT ω，故A 正确；选项B：将2sin 2y x =的图象向左平移π12个单位长度可得到πππππ2sin 2=2sin 2=2cos 22cos 2126263y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误选项C：()π2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2π3x k +=，Z k ∈，得其对称轴为ππ62k x =-+，Z k ∈，当1k =时，得ππ0,32x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；选项D：()π2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ+2π22π3k x k -≤+≤，Z k ∈，解得2ππππ36k x k -+≤≤-+，Z k ∈，所以其单调递增区间为2ππ+π,π36k k ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，因π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不包含于2ππ+π,π36k k ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，故D 错误.10.BD【分析】根据题意，由统计图表中的数据，结合频率分布直方图的面积和百分位数，以及平均数的计算公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有320045%1440⨯=人，00后的考生有320040%1280⨯=人，可得14401280160-=人，所以A 不正确；对于B 中，由频率分布直方图性质，可得(0.010.020.01)101a a ++++⨯=，解得0.03a =，则前三个矩形的面积和(0.010.020.03)100.6++⨯=，所以试成绩的60%分位数为80分，所以B 正确；对于C 中，设面试成绩的最低分为x ，由前三个矩形的面积和为0.6，第四个矩形的面积为0.3，则0.02801086.6870.03+⨯=≈分，所以C 不正确；对于D 中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为：550.1650.2750.3850.3950.176x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分，所以D 正确.11.ABD【分析】ABC 由直线的倾斜角，三角函数的诱导公式，余弦定理和双曲线的性质及离心率求出；D 用点差法，结合中点和离心率，斜率公式求出.【详解】A：设直线的倾斜角为α，因为直线的斜率为1515-，所以tan 15α=-，则12π2MF F α∠=-，所以121tan tan MF F α∠=-=由同角的三角函数关系可得121cos 4MF F ∠=，在12MF F △中由余弦定理可得：2221122121121cos 42MF F F MF MF F MF F F +-∠==，设1MF m =，由双曲线定义可得2122,2MF m a F F c =+=，因为离心率2,2ce c a a===，所以22,MF m a m c =+=+将上述各式代入余弦定理可得()2224144m c m c cm+-+=，解得m c =，所以212,MF m c c MF c =+==，故A 正确；B：延用A 的解析，由互补角可知121cos 4NF F =-，同理设1NF n =，在12NF F △中由余弦定理可得：2221122121121cos 42NF F F NF NF F NF F F +-∠=-=，由双曲线定义可得2122,2NF n a F F c =+=，因为离心率2,2ce c a a===，所以22,MF n a n c =+=+将上述各式代入余弦定理可得()2224144n c n c cn+-+-=，解得3n c =，所以214,3NF n c c NF c =+==，114MN MF NF c =+=，故B 正确；C：延用AB 的解析，121cos 4MF F ∠=，11,OF c MF c ==，在1MFO 中由余弦定理可求得2221112111cos 42OF F M OMMF F OF F M+-∠==，解得62OM c =，同理，在1NFO 中由余弦定理可得462ON =，因为222OMON MN +<，由余弦定理可得cos 0MON ∠≠，故C 错误；D：设()()()112200,,,,,M x y N x y A x y ，则22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，且A 为线段MN 的中点，由点差法可得22MN OAa k k b⋅=，又2223c b e a a===⇒=，所以1331515OAk ==-，故D 正确；12.AD【分析】对于A，可利用等体积转换法，11M ABO O ABM V V --=，而三棱锥1O ABM -的高1OO 可以求出来，故只需求ABM S △的最大值即可验证；对于B，可以利用反证法证伪；对于C，建立适当的空间直角坐标系，验证11A M AO ⋅是否等于0即可；对于D，当1MB =时，可求出点M 坐标，进一步得平面11MA B 的法向量以及圆柱1OO 的外接球的球心P 到平面11MA B 的距离，而圆柱1OO 的外接球的半径为1132R PA ===，故可求截面圆半径，进而得面积即可验证.【详解】对于A，由题意1,22,r AB r AM BM ===⊥，不妨设BAM θ∠=，则2cos ,2sin AM BM θθ==，而由题意2π3πr h =，所以13h OO ==，而1OO 为三棱锥1O ABM -的高，所以111112cos 2sin 3sin 21332A M ABO O BM ABM V V S h θθθ--⎛⎫==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=≤ ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当π4θ=，即四面体1M ABO -体积的最大值为1，故A 正确；对于B，若直线1AO 与1MB 平行，则11,,,M A O B 四点共面，而11,,A O B 三点确定唯一平面11AA B B ，则点M 只能与点A 或点B 重合，但1AO 与1AB 、1AO 与1BB 均不平行，产生矛盾，故B 错误；对于C，取圆弧 AB 的中点N ，连接ON ，此时,AM BM AO BO ==，可知ON OB ⊥，又1OO ⊥面MAB ，,ON OB ⊂面MAB ，所以11,OO ON OO OB ⊥⊥，所以1,,ON OB OO 两两互相垂直，故以O 为原点，1,,ON OB OO 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，点M 在xOy 平面中的以原点O 为圆心的单位圆上面，所以不妨设点()cos ,sin ,0M αα，又11111,3,//r AA OO AA OO ===，所以()()()110,1,3,0,1,0,0,0,3A A O --，所以()()11cos ,sin 1,3,0,1,3A M AO αα=+-= ，11sin 80A M AO α⋅=-<，即1A M 与1AO 不垂直，故C 错误；由对称性可知圆柱1OO 的外接球的球心应为1OO 的中点，不妨设为点P ，则30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当1MB =时，1MB OB OM ===，所以ππ,36BOM NOM ∠=∠=，此时31,,022M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又()()110,1,3,0,1,3A B -，所以11133313,,3,,,3,0,1,22222MA MB PA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不妨设平面11MA B 的法向量为(),,n x y z =，则113302213022n MA x y z n MB x y z ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩，不妨令1x =，解得0,6y z ==，即取平面11MA B 的一个法向量为31,0,6n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以圆柱1OO 的外接球的球心P 到平面11MA B 的距离为1333136226PA nd n⨯⋅=== ，而圆柱1OO的外接球的半径为12R PA === ，所以截面圆的半径为1213013r ===，所以当1MB =时，平面11MA B 截圆柱1OO 的外接球的截面面积为22140πππ1313S r ⎛=== ⎪⎝⎭，故D 正确.【点睛】关键点睛：D 选项的关键是首项确定球心P 以及M 的位置，然后由点面距离的向量求法得圆柱1OO 的外接球的球心P 到平面11MA B 的距离，由此即可顺利得解.13.【分析】根据题意作图，利用正四面体的几何性质，结合中位线定理、线面平行判定与性质定理以及线面垂直判定定理，可得答案.【详解】取BC 的中点为O ，连接,DO AO ，结合题意，可作图如下：在ACD 中，因为,E F 分别为,AC CD 中点，所以EF AD ∥，因为AD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF 平面ABD ，因为平面ABD ⋂平面EFNM MN =，且EF ⊂平面EFNM ，所以EF MN ∥，则AD MN ∥，在等边BCD △中，O 为BC 的中点，所以OD BC ⊥，同理可得AO BC ⊥，因为AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面ADO ，所以BC ⊥平面ADO ，因为AD ⊂平面ADO ，所以BC AD ⊥，则BC MN ⊥，所以直线MN 与BC 的夹角为π2,故答案为：π214.【分析】根据图形中的相似关系先表示出12l l +，然后利用基本不等式求解出最小值.【详解】如图1，易知BDE △∽ACB △，且BD CD BC b a =-=-，所以1l BD b a AC b a b c -==++，所以()1b al a b c b-=⨯++；如图2，易知GFH ∽ACB △，且FG a =，所以2l FG a AC b a b c ==++，所以()1al a b c b=⨯++，所以22221222112l l a b c a b a b a b a b a b a b ab+++++==+=++++++221121ab a b =+++,又因为222a b ab +≥，所以2221ab a b +≤，当且仅当a b =时取等号，所以121211112l l a b +≥+=+++，所以最小值为212+，故答案为：212+.15.【分析】由()f x 的图象与直线()()21130m x m y m ++-⋅+=有相同的对称中心()1,1-，可求()51iii x y =-∑的值.【详解】()()121g x f x =--为奇函数，则有()()0g x g x +-=，即()()1211210f x f x --+---=，可得()()21212f x f x -+--=，()212112x x -+--=-，所以函数()f x 的图象关于点()1,1-对称.直线()()21130m x m y m ++-⋅+=，即()230x y m x y -+++=，由2300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以直线过定点()1,1-，即直线()()21130m x m y m ++-⋅+=关于点()1,1-对称.直线()()21130m x m y m ++-⋅+=与()f x 的图象恰有5个公共点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y ，则有()51515ii x==⨯-=-∑，51515==⨯=∑i i y ，()5110i i i x y =-=-∑.故答案为：10-16.【分析】将六边形ABCDEF 的面积表示出来，然后使用柯西不等式即可.【详解】设六边形ABCDEF 的面积为S ，12345,,,,,ABO BCO CDO DEO EFO S S S S S S S S S S ===== 再设12345,,,,,AOB BOC COD DOE EOF θθθθθ=∠=∠=∠=∠=∠那么()21234512345sin sin sin sin sin 2r S S S S S S θθθθθ=++++=++++……①对①式使用柯西不等式有(对①式使5维基本不等式有)：S ≤取等条件：12345sin sin sin sin sin θθθθθ====……②由题知：12345θθθθθπ++++=……③联立②③解得：123455πθθθθθ=====.故答案为：5π.【点睛】本题是填空最后一个题，难度中档，属于跨章节综合题.在高中阶段计算最值的常用方法：①不等式(包括基本不等式，柯西不等式)②辅助角公式③导数求极值.17.【分析】（1）由诱导公式将πcos 2B ⎛⎫+⎪⎝⎭变成sin B -，由正弦定理得到a 与b 的关系，再用余弦定理计算cos C 的值，从而得出C 的值；（2）由中点向量公式表示出CD，两边平方，将第一问的结论代入计算出b 的值，从而得到a 的值，再利用三角形面积公式计算即可。

2020年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x≥3或x≤-3}，B={y|y=2x，x≥1}，则（∁R A）∩B=（）A. |x|2≤x＜3|B. {x|x＞2}C. |x|x≥3|D. {x|2＜x≤3|2.已知复数z满足i（3+z）=1+i，则z的虚部为（）A. -iB. iC. -1D. 13.已知函数，若f（a）＞f（b），则下列不等关系正确的是（）A. B.C. a2＜abD. ln（a2+1）＞ln（b2+1）4.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI）如下图所示．则下列结论中错误的是（）A. 12个月的PMI值不低于50%的频率为B. 12个月的PMI值的平均值低于50%C. 12个月的PMI值的众数为49.4%D. 12个月的PMI值的中位数为50.3%5.已知数列{a n}满足a n+1-a n=2，且a1，a3，a4成等比数列．若{a n}的前n项和为S n，则S n的最小值为（）A. -10B. -14C. -18D. -206.已知cos（2019π+α）=-，则sin（-2α）=（）A. B. C. - D.7.已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）A. B. C. D.8.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）A. S＞-1？B. S＜0？C. S＜-1？D. S＞0？9.已知各项都是正数的数列{a n}满足a n+1-a n=2n（n∈N*），若当且仅当n=4时，取得最小值，则（）A. 0＜a1＜12B. 12＜a1＜20C. a1=12D. a1=2010.过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，Q（1，2）．若，则|PF|+|PQ|的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 411.已知四棱锥E-ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，ED=1，平面ECD⊥平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（）A. B. C. D. 112.已知不等式x lnx+x（k-ln4）+k＜0的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，1），||=，（2+）•=2，则|-|=______．14.（ax+1）（x-1）5的展开式中，x3的系数是20，则a=______．15.将底面直径为4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为______．16.2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是；若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是．记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为P n，若当n≥2时，P n≤M恒成立，则M的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，∠DCB=45°，∠ABD=120°，．（Ⅰ）求△ABD的面积的最大值；（Ⅱ）在△ABD的面积取得最大值的条件下，若，求的值．18.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面A1ACC1，CC1=2，△ABC，△ACC1，均为正三角形，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：AC1∥平面B1CE；（Ⅱ）求直线AC1与平面B1BAA1所成角的正弦值．19.近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：x13467y5 6.577.58 y与x可用回归方程（其中，为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．（利润=售价-成本）（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置n辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．试比较n=3和n=4时此项业务每天的利润平均值的大小．参考数据与公式：设t=lg x，则0.54 6.8 1.530.45线性回归直线中，，．20.已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2，M是椭圆E上的一个动点，且△MF1F2的面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若A（a，0），B（0，b），四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．21.已知直线y=x-1是曲线f（x）=a ln x的切线．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：方程sin（x-1）=f（x）有且仅有2个实数根．22.以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ+8sinθ，P是C1上一动点，，Q的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点M（0，1），直线l的参数方程为（t为参数），直线l 与曲线C2的交点为A，B，当|MA|+|MB|取最小值时，求直线l的普通方程．23 已知a，b，c∈R+，∀x∈R，不等式|x-1|-|x-2|≤a+b+c恒成立．（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证：．2020年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）答案和解析【答案】1. A2. C3. B4. D5. D6. C7. A8. B9. B10. C11. B12. D13. 314. -115.16.17. 解：（Ⅰ）在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB•BD cos120°，所以300=BA2+BD2+BA•BD≥3BA•BD，所以BA•BD≤100，当且仅当BA=BD=10时，等号成立．所以S△ABD=，故△ABD的面积的最大值为25．（Ⅱ）在△BCD中，由题意可得∠BCD=45°，DB=10．由正弦定理可得，所以sin∠CDB==．又BD＞BC，所以∠CDB为锐角，所以∠CDB=30°，所以∠CBD=105°，所以α=135°，所以tan=tan67.5°，因为tan135°==-1，所以tan=tan67.5°=1+（负值舍去）．18. 解：（Ⅰ）如图，连接BC₁，交B1C于点M，连接ME，则ME∥AC1，因为AC1⊄平面B₁CE，ME⊂平面B1CE，所以AC1∥平面B1CE，（Ⅱ）设O是AC的中点，连接OC1中，OB，因为△ACC1为正三角形，所以OC1⊥AC，又平面ABC⊥平面A1ACC1，平面ABC∩平面A1ACC1=AC，所以OC1⊥平面ABC，分别以射线OB，OA，OC1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则有A（0，1，0），B（，1，0），B（，0，0），，，，设平面B1BAA1的一个法向量为，则，令x=1，则，设直线AC₁与平面B1BAA1所成的角为θ，则sinθ=|cos＜＞|==，故直线AC1与平面B1BAA1所成角的正弦值为．19. 解：（Ⅰ）根据题意，===3.4，所以==6.8-3.4×0.54=4.964，所以=3.4t+4.964．又t=lg x，所以=3.4lg x+4.964．所以x=10时，=3.4+4.964=8.364（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000-8364=6636．（Ⅱ）根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分布表为：箱数[40，80）[80，120）[120，160）[160，200]P设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为Y1，Y2元．则Y1的可能取值为1500，800，100，其分布列为：Y11500800100P故E（Y1）==1150．Y2的可能取值为2000，1300，600，-100，其分布列为：Y220001300600-100P故E（Y2）==1037.5．故$E（{Y}_{2}），即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值．20. 解：（Ⅰ）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，△MF1F2的面积取得最大值．所以，所以a=2，b=，故椭圆E的标准方程为．（Ⅱ）根据题意可知A（2，0），B（0，），k AB=-因为AB∥CD，设直线CD的方程为y=-，C（x1，y1），D（x2，y2）由，消去y可得6x2-4+4m2-12=0，所以x1+x2=，即x1=-x2．直线AD的斜率k1==，直线BC的斜率k2=，所以k1k2=•，=，=，==．故k1k2为定值．21. 解（I），设直线y=x-1与曲线f（x）=a ln x相切的切点P（x0，y0），由题意可得，，解可得，x0=a=1，f（x）=ln x，（II）设g（x）=sin（x-1）-f（x），x＞0，则，①当x∈（0，1]时，g′（x）在（0，1]上单调递增，所以g′（x）≤g′（1）=0，则g（x）在（0，1]上单调递减，且g（1）=0，故x=1为g（x）在（0，1]上唯一的零点，②当x时，设h（x）=，则h′（x）=-sin（x-1）+在（1，]上单调递减，因为h′（1）＞0，h′（1+）=＜0，故存在x0使得h（x0）=0，当x∈（1，x0）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，当x时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，故g′（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，1+）上单调递减，又g′（1）=0，故g′（x0）＞0，所以g（x）在（1，x0）上单调递增，此时g（x）＞g（1）=0，不存在零点；又=-＜0，故存在，使得g′（x1）=0，因为在（x0，x1）上g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（x1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又因为g（x0）＞g（1）=0，g（1+）=ln＞ln1=0，故g（x）＞0在（x0，1+）上恒成立，此时不存在零点，③当x时，y=sin（x-1）单调递减，y=-ln x单调递减，所以g（x）在（1+]上单调递减且g（1+）＞0，g（π）＜0，故g（x）存在唯一的零点，④当x∈（π，+∞）时，sin（x-1）∈[-1，1]，ln x＞lnπ＞1，所以sin（x-1）-ln x＜0即g（x）在R上不存在零点．综上可得方程sin（x-1）=f（x）有且仅有2个实数根．综上可得，思念（x-1）=f（x）有且仅有2个实数根．22. 解：（Ⅰ）根据题意，设点P，Q的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），则有ρ=ρ0=2cosθ+4sinθ，故曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ，变形可得：ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ，故C2的直角坐标方程为x2+y2=2x+4y，即（x-1）2+（y-2）2=5；（Ⅱ）设点A，B对应的参数分别为t1、t2，则|MA|=t1，|MB|=t2，设直线l的参数方程，（t为参数），代入C2的直角坐标方程（x-1）2+（y-2）2=5中，整理得t2-2（cosα+sinα）t-3=0．由根与系数的关系得t1+t2=2（cosα+sinα），t1t2=-3，则|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|===≥2，当且仅当sin2α=-1时，等号成立，此时l的普通方程为x+y-1=0．23. 证明：（Ⅰ）∵|x-1|-|x-2|≤|x-1-x+2|=1，∴a+b+c≥1．∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2≥1，∴．（Ⅱ）∵a2+b2≥2ab，2（a2+b2）≥a2+2ab+b2=（a+b）2，即两边开平方得，同理可得，三式相加，得．【解析】1. 解：∵A={x|x≥3或x≤-3}，B={y|y≥2}，∴∁R A={x|-3＜x＜3}，∴（∁R A）∩B={x|2≤x＜3}．故选：A．可以求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可．本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2. 解∵i（3+z）=1+i，∴3+z=，∴z=-2-i，∴复数z的虚部为-1．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题主要考查复数的四则运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 解：易知f（x）在R上单调递增，故a＞b．因为a，b的符号无法判断，故a2与b2，a2与ab的大小不确定，所以A，C，D不一定正确；B中正确．故选：B．易知f（x）在R上单调递增，可得a＞b，再逐项判断即可．本题主要考查函数的性质以及不等式的性质，属于基础题．4. 解：从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为=，所以A正确；由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，所以B正确；12个月的PMI值的众数为49.4%，所以C正确；12个月的PMI值的中位数为49.6%，所以D错误．故选：D．根据统计图中数据变化情况，分析判断选项中的命题是否正确即可．本题主要考查了统计图表的识别以及样本的数字特征问题，也考查了数形结合思想，是基础题．5. 解：根据题意，可知{a n}为等差数列，公差d=2．由a1，a3，a4成等比数列，可得=a1（a1+6），解得a1=8．所以S n=-8n+=-．根据单调性，可知当n=4或5时，S n取到最小值，最小值为-20．故选：D．利用等差数列等比数列的通项公式求和公式、二次函数的单调性即可得出．本题考查了等差数列等比数列的通项公式求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 解：由cos（2019π+α）=-，可得cos（π+α）=-，∴cosα=，∴sin（-2α）=cos2α=2cos2α-1=2×-1=-．故选：C．由已知利用诱导公式可得cosα=，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7. 解：双曲线C：=1，a＞0，b＞0的右顶点为A（a，0），右焦点为A（c，0），M所在直线为x=a，不妨设M（a，b），∴MF的中点坐标为（，）．代入方程可得-=1，∴=，∴e2+2e-4=0，∴e=-1（负值舍去）．故选：A．由题意可得过右顶点的直线，又可得M的坐标，进而求出MF的中点的坐标，代入双曲线方程，可得a，c的关系，进而求出离心率．本题主要考查双曲线的几何性质，属于中档题．8. 解：i=1，S=1．运行第一次，S=1+lg=1-lg3＞0，i=3，不成立；运行第二次，S=1+lg+lg=1-lg5＞0，i=5，不成立；运行第三次，S=1+lg+lg+lg=1-lg7＞0，i=7，不成立；运行第四次，S=1+lg+lg+lg+lg=1-lg9＞0，i=9，不成立；运行第五次，S=1+lg+lg+lg+lg+lg=1-lg11＜0，i=11，成立，输出i的值为11，结束，故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题主要考查循环结构的框图，属于基础题．9. 解：由题意得当n≥2时，各项都是正数的数列{a n}满足a n+1-a n=2n，所以a n-a n-1=2n-2，a n-1-a n-2=2n-4，…，a2-a1=2，累加得，故，当n=1，该式也成立，则．因为当且仅当n=4时，取得最小值，当a1＞0，所以由“对勾两数”的单调性可知，即，且，解得12＜a1＜20．故选：B．据数列的递推式求数列通项，函数的最小值等知识求出结果．本题考查的知识要点：根据数列的递推式求数列通项，函数的最小值等知识．主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10. 解：显然直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=kx+，联立方程，消去y得：x2-2pkx-p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=2pk，∴，由抛物线的性质可知：|AB|=y1+y2+p=2pk2+2p，∵AB⊥CD，∴直线CD的斜率为：-，∴|CD|=2p（-）2+2p=，∴，∴2p+2pk2=4+4k2，∴p=2，∴抛物线方程为：x2=4y，准线方程为：y=-1，设点P到准线y=-1的距离为d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|=d+|PQ|，而当QP垂直于x轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为2+1=3，如图所示：∴|PF|+|PQ|的最小值为3，故选：C．显然直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=kx+，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：|AB|=y1+y2+p=2pk2+2p，因为AB⊥CD，所以直线CD的斜率为：-，所以|CD|=2p（-）2+2p=，所以，解得p=2，设点P到准线y=-1的距离为d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|=d+|PQ|，而当QP垂直于x轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为2+1=3．本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．11. 解：如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．此时该四棱锥的体积==．故选：B．如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．即可得出此时该四棱锥的体积．本题考查了空间线面位置关系、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 解：原不等式等价于，k（x+1）＜x ln4-x lnx，设g（x）=k（x+1），f（x）=ln4-x lnx所以f（x）=ln4-（1+ln x）=ln-1，令f′（x）=0，得x=．当0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．又f（4）=0，x→0时，f（x）→0，因此f（x）与g（x）的图象如下，当k≤0时，显然不满足条件，当k＞0时，只需满足，∴解可得，．故选：D．原不等式等价于，k（x+1）＜x ln4-x lnx，设g（x）=k（x+1），f（x）=ln4-x lnx，然后转化为函数图象的交点结合图象可求．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，求解函数的零点问题，体现数形结合思想的应用．13. 解：由题意可得，∴，解得，∴．故答案为：3．依题意，可求得，再根据模长公式求解即可．本题主要考查向量的数量积运算及向量模的求法，属于基础题．14. 解：因为（ax+1）（x-1）5=ax（x-1）5+（x-1）5，而（x-1）5的展开式的通项公式为T r+1=•x5-r•（-1）r，所以，原展开式中x3的系数为a••（-1）3+•（-1）2=20，∴a=-1，故答案为：-1．根据（ax+1）（x-1）5=ax（x-1）5+（x-1）5，利用（x-1）5的展开式的通项公式为T r+1=•x5-r•（-1）r，求得原展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15. 解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h，底面半径为r，则=，解得h=-r．故S侧=2πrh=2πr（-r）=πr（2-r）≤π=．当r=1时，S侧的最大值为．故答案为：．欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h，底面半径为r，由=，解得h=-r．可得S侧=2πrh=2πr（-r），利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了旋转体的侧面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 解：根据题意，P n为观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率，则=，所以，所以数列{}是首项为，公比为的等比数列，所以=，，显然数列{P n}单调递减，所以当n≥2时，，所以M，所以M的最小值为．故答案为：直接利用数列的通项公式的求法及应用，独立性重复试验的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，独立性重复试验的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17. （I）由已知结合余弦定理及基本不等式可求BA•BD的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解面积的最大值；（II）结合正弦定理及二倍角公式即可求解．本题考查正弦定理，余弦定理及基本不等式等的应用．18. （I）连接BC₁，交B1C于点M，连接ME，则ME∥AC1，根据线面平行的判定定理证明即可；（II）以射线OB，OA，OC1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面B1BAA1的一个法向量，利用夹角公式求出即可．本题主要考查线面平行，线面垂直的应用，向量法求直线和平面所成的角，中档题．19. （Ⅰ）根据题意，===3.4，==6.8-3.4×0.54=4.964，从而=3.4t+4.964．再由t=lg x，得=3.4lg x+4.964．由此能求出该新奇水果100箱的成本为8364元，进而能求出该新奇水果100箱的利润．（Ⅱ）根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分布表，设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为Y1，Y2元．则Y1的可能取值为1500，800，100，求出其分布列和E（Y1），Y2的可能取值为2000，1300，600，-100，求出其分布列和E（Y2），由此能求出购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值．本题主要考查非线性回归方程以及离散型随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. （Ⅰ）由题意可得，解得a，b，c，进而得椭圆的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（2，0），B（0，），k AB=-，设直线CD的方程为y=-，C（x1，y1），D（x2，y2），联立直线CD与椭圆的方程得所以x1+x2=，即x1=-x2．直线AD的斜率k1==，直线BC的斜率k2=，代入k1k2化简可得结论．本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系．21. （I）先对函数求导，然后结合已知曲线的切线方程及导数的几何意义即可求解；（II）结合导数研究函数的单调性，然后结合函数的性质及零点判定定理即可求解．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解函数的零点问题，属于函数与导数的综合，试题具有一定的难度．22. （Ⅰ）根据题意，设点P，Q的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），分析可得曲线C2的极坐标方程，变形可得答案；（Ⅱ）根据题意，设点A，B对应的参数分别为t1、t2，直线l的参数方程，（t为参数），与C2的方程联立可得t2-2（cosα+sinα）t-3=0，由根与系数的关系分析可得答案．本题考查三种方程的转化，利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系，属于基础题．23. （Ⅰ）由已知，a+b+c≥1，再利用基本不等式即可得证；（Ⅱ）分析可知，，三式相加即可得证．本题主要考查绝对值不等式的应用，利用基本不等式证明不等式．。

2023年河南省南阳市高考数学第二次大练习试卷（理科）1. 已知集合，则集合A的所有非空真子集的个数是( )A. 6B. 7C. 14D. 152. 欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则z的虚部为( )A. B. C. 1 D.3. 在等比数列中，已知，，则( )A. 128B. 64C. 64或D. 128或4. 若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为( )A. 3B.C. 2D. 15. 变量X与Y相对应的一组数据为，，，，，变量U与V相对应的一组数据为，，，，表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )A. B. C. D.6. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，N是的中点，则( )A.B. 平面BAMC. 平面ABMD.7. 锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则a等于( )A. 2B.C.D. 18. 讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本，现要把这7本不同的书发给7个学生，每位学生一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则不同取法的种数为( ) A. 20 B. 30 C. 35 D. 2109. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B 存在如下关系：，2023贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小明期待想去影院看的.小明同学家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为和如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为，则小明同学( )A. 第二天去甲影院的概率为B. 第二天去乙影院的概率为C. 第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为D. 第二天去了乙影院，则第一天去甲影院的概率为10. 传说古希腊数学家阿基米德的募碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则( )A. 球与圆柱的表面积之比为1：2B. 平面DEF截得球的截面面积取值范围为C. 四面体CDEF的体积的最大值为16D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围11. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图单位：所示，四边形AFED为矩形，AB，CD，FE均与圆O相切，B、C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知，则该零件的截面的周长为结果保留( )A. B. C. D.12. 的展开式的第2项为______.13. 已知向量，满足，且，则______.14.双曲线C：的左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与双曲线右支交于A，B两点，若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为______ .15. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______ .16. 已知是数列的前n项和，且求数列的通项公式；若，是的前n项和，证明：17. 如图，在三棱柱中，，，P为AD的中点，为等边三角形，直线AC与平面ABED所成角大小为求证：平面BCP；求平面ECP与平面PCD夹角的余弦值.18. 某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．若销售完这批牛肉干后得到的利润为X，且，求p的取值范围；已知，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？19. 已知椭圆，过直线l：上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为求椭圆的方程；设O为坐标原点，求面积的最小值．20. 已知函数若在上恒成立，求实数a的取值范围；若，判断关于x的方程在内解的个数，并说明理由.21. 极坐标系中曲线T的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线，均过点，且，直线的倾斜角为写出曲线T的直角坐标方程；写出，的参数方程；设直线，分别与曲线T交于点A，B和C，D，线段AB和CD的中点分别为M，N，求的最小值.22. 已知函数求不等式的解集；若函数的最小值为m，正实数a，b满足，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：，元素个数为3个，则集合A的所有非空真子集的个数是故选：根据已知条件，结合非空真子集的定义，即可求解．本题主要考查非空真子集的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由已知可得，，则，的虚部为故选：由欧拉公式和复数除法运算可求得z，由复数虚部定义求得结果．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，属于简单题．设等比数列的公比为q，利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出【解答】解：设等比数列的公比为q，在等比数列中，，，，解得，或，，或故选：4.【答案】B【解析】解：设点，，，或舍去，到抛物线的准线的距离点M到该抛物线焦点的距离等于点M到抛物线的准线的距离，点M到该抛物线焦点的距离为：故选：求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线的准线的距离即可．本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想与方程思想，求得点M的坐标是关键，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：变量X与Y相对应的一组数据为，，，，，这组数据的相关系数是，变量U与V相对应的一组数据为，，，，，这组数据的相关系数是，第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．6.【答案】D【解析】解：因为与异面，故A错误；因为的延长线必过点B，则直线与平面BAM相交，故B错误；因为与AB不垂直，所以不垂直于平面ABM，故C错误；取BC的中点P，连接，在正方形中，由，，即，可得，所以连接AP，则，又平面底面ABC，平面底面，所以平面因为平面，所以，且，所以平面因为平面，所以故D正确．故选：由两条直线的位置关系可判断A；由线面的位置关系可判断B；由线面垂直的性质可判断C；由线面垂直的判定与性质可判断本题考查空间中线线、线面的位置关系，主要是平行与垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由，则，由余弦定理可得，，又由正弦定理可得，，所以，又，则，即，所以，所以又，所以故选：利用余弦定理得到，再利用正弦定理结合两角和与差的三角函数得到，结合外接圆半径即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，问题等价于从一行七个空里选三个空把1、2、3按从小到大自左向右顺序填进去，剩下三个空将4、5、6、7从小到大自左向右顺序填进去，共有填法种．故选：问题等价于从一行七个空里选三个空把1、2、3按从小到大自左向右顺序填进去，剩下三个空将4、5、6、7从小到大自左向右顺序填进去，即得解．本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，：第一天去乙影院，：第二天去乙影院，由题意可知，，，，因为，所以，，所以，因此选项A不正确；所以，因此选项B不正确；由题目中提供的概率公式可得，，所以选项C不正确；由题目中提供的概率公式可得，，所以选项D正确．故选：先表示基本事件，根据题中概率及贝叶斯概率公式进行逐一判断即可．本题主要考查了条件概率公式，考查了全概率公式，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：选项A，球表面积为，圆柱全面积是，，A错；选项B，平面DEF过球心O时，截得球的截面最大，此时截面面积为，B错；选项C，EF绕旋转时，由于始终有是圆柱的轴，圆柱的底面垂直，因此与底面上的直线EF垂直，从而为定值，，当时，易得平面，而当EF与AB不垂直时，CD与平面不垂直，因此C到平面的距离小于，D到平面的距离小于，因此，即四面体CDEF的体积的最大值为，C错；选项D，如下图，不妨设E与A重合，F与B重合，设Q是圆柱过点P的母线与下底面的交点，则PQ与底面圆垂直，从而PQ与底面上的直线AQ，BQ，，，设，则，，令，则，，时，，单调递增，时，，单调递减，所以，而，所以，的取值范围是，所以，即的取值范围是，D正确．故选：求出球与圆柱的表面积之比判断A，由截面积最大为球的大圆面积判断B，用割补法求四面体体积判断C，不妨设E与A重合，F与B重合，设Q是圆柱过点P的母线与下底面的交点，计算出，利用导数求出其取值范围从而判断本题考查圆柱与球的表面积、体积以及折线段的最值问题，考查逻辑推理能力，是一道难题．11.【答案】A【解析】解：以A为原点，AD为x轴正方向建立平面直角坐标系如图所示：则，，又，所以直线AB的方程为：，即，直线CD的方程为：，即，直线EF的方程为：，设圆心为，则圆心到直线AB、直线CD、直线的距离均相等且等于r，则，解得，，，所以，，，，由题可知，即，所以可得，，对应弧长为圆的周长，故该零件的截面的周长为故选：以A为原点，建立直角坐标系，根据圆心到直线AB、直线CD、直线EF距离均相等，利用点到直线的距离公式列式，计算出、、的长，即得．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：的展开式的第2项为，故答案为：利用二项展开式的通项公式，求得的展开式的第2项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，向量，满足，若，则，则，两边平方变形可得，则，则有，则，故答案为：根据题意，有，即可得，变形可得，由向量数量积的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．14.【答案】【解析】解：如图，为等腰三角形，，，，，直线AB的倾斜角为，，在三角形中，根据余弦定理得：整理得，同除以得，，即，解得，舍故答案为：先根据为等腰三角形，然后利用双曲线的定义分别将边长表示为a的关系，然后利用余弦定理建立a，c的方程，从而求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．15.【答案】0【解析】解：，即，设，则，且，所以在上单调递增，正实数x，y，，即，所以，等价于，即，，设，；，设，，所以单调递增，且，所以在上，，，单调递减；在上，，，单调递增；所以即最小值为0，故答案为：根据，构造函数，得到，然后转化为单变量问题，求导判断单调性即可．本题主要考查了导数与单调性关系在最值求解中的应用，属于中档题．16.【答案】解：已知是数列的前n项和，且，时，，时，，经验证时，，；证明：若，是的前n项和，时，，时，，，【解析】根据题意得到时，，验证即可求解；利用裂项相消求和即可得证．本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题．17.【答案】证明：取BP中点M，连接AM、CM，因为，P为AD的中点，所以，故，因为为等边三角形，所以，又因为，AM，面ACM，因此平面ACM，因为平面ABP，所以平面平面ABP，因为平面平面，所以直线AC在平面ABP的射影在直线AM上，所以直线AC与平面ABED所成角为，则，因为，，所以是正三角形，则，因为为等边三角形，，则，所以在中，由，得，则，所以，因为，，AM，面ABED，所以平面ABED，因为平面ABED，所以，因为，在中，，，所以，又，所以，即，又，CM，平面BCP，所以平面解：由可知MP、MC、MA两两垂直，以M为原点，MA所在直线为x轴，MP所在直线为y轴，MC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，由于P是AD的中点，易得，又由可得，所以，，，设平面ECP的法向量，则，令，得，设平面PCD的法向量，则，取，得，设平面ECP与平面PCD的夹角为，易知，所以，，即平面ECP与平面PCD夹角的余弦值为【解析】先利用线面垂直的判定定理证得平面ACM，从而得到AC在平面ABP的射影在直线AM上，即，进而证得，再利用线面垂直的判定定理证得平面ABED，则，接着利用勾股定理证得，由此可得平面BCP；结合中结论，建立空间直角坐标系，先求得所需各点坐标，再求得平面ECP与平面PCD 的法向量，从而利用向量夹角余弦的坐标表示即可求得平面ECP与平面PCD夹角的余弦值．本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的定义及其余弦值的求法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：令Y表示1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量，由题意有，则，故，由，有，解得：，故当时，p的取值范围为对这批牛肉干来说，变质牛肉干不管数量有多少，未变质牛肉干的销售后产生的利润与变质牛肉干作废物处理后产生的费用是不变的，是否聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否，产生的费用是工资和给消费者赔付的费用，当时，由知，，设需要赔付给消费者的费用为Z元，有，由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．【解析】令Y表示1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量，由题意有，则，，进而求解；当时，由知，，，由，进而求解．考查数学概率，期望在实际问题中的应用，属于中档题．19.【答案】解：当P点在x轴上时，，PA：，，，椭圆方程为；…设切线为，设，，则，…7且，则，PA直线为，A到直线PO距离，…则， (13)，，此时…【解析】由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，求得，即可求得椭圆方程；设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，，求得A和P点的坐标，求得丨PA丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得丨丨，平方整理关于k的一元二次方程，，即可求得S的最小值．本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，解题时要注意推理论证能力的培养，属于中档题．20.【答案】解：由题意在上恒成立，得恒成立，令，则，当时，令，解得，令，解得，所以在为减函数，在上为增函数，故，故，即，所以实数a的取值范围由，得，等价于，令，，因为在上，，单调递减，在上，故，，单调递增，注意到，，在和上各有一个零点，，共有两个零点，故方程有两个实数根．【解析】由题意转化为即恒成立，由此构造函数，转化为求函数的最值问题，即可求得答案；由题意得，等价于，构造，通过判断导数正负，判断函数单调性，结合零点存在定理，继而判断函数的零点个数．本题主要考查了关于x的方程在，内实数解的个数时，难点在于要根据导数的特征，构造函数，判断其导数的正负，进而判断函数单调性，再结合零点存在定理，确定零点个数，属于中档题．21.【答案】解：曲线T的极坐标方程为，变形为，则曲线T的直角坐标方程：，为参数，为参数；将为参数，代入，得，则，同理，当时取等号，且此时满足方程的判别式均大于零，故的最小值为【解析】将代入曲线T的极坐标方程得出直角坐标方程，由直线，均过点，直线的倾斜角为且，可得两直线的参数方程；将直线，的参数方程分别代入曲线T的直角坐标方程，利用韦达定理即可得出，再利用基本不等式即可得出结果．本题主要考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线的参数方程的应用，属于中档题．22.【答案】解：即，或，或解得或，所以原不等式的解集为证明：由知当时，有最小值，所以，因为，所以，因为，，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当，时取等号．【解析】将函数化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式组，最后将各部分的解集取并集即可得到答案；由知，而，又，再利用基本不等式可得，，继而得到，由此得证．本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查分类讨论思想以及推理计算能力，属于中档题．。