2-10 已知电荷密度为 及 的两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1
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2-10 已知电荷密度为S ρ及S ρ-的两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面，试求10 ,1<<>x x 及0<x 区域中的电场强度。
解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。
因此，位于x = 0平面内的无限大面电荷S ρ，在x < 0区域中产生的电场强度11E x e E -=-，在x > 0区域中产生的电场强度11E x e E =+。
位于x = 1平面内的无限大面电荷S ρ-，在x < 1区域中产生的电场强度22E x e E =+，在x > 1区域中产生的电场强度22E x e E -=-。
由电场强度法向边界条件获知，1010=-+=-x sE E ρεε 02020=+--=-x sE E ρεε 即1010==+x sE E ρεε12020=-=--x sE E ρεε由此求得212ερs E E == 根据叠加定理，各区域中的电场强度应为0 ,02121<=+-=+=+-x E E x x e e E E E10 ,02121<<=+=+=++x E E sx x ερe e E E E 1 ,02121>=-=+=-+x E E x x e e E E E2-11 若在球坐标系中，电荷分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<<=-b r b r a ar0, ,100 ,06ρ试求b r a a r <<<< ,0及b r >区域中的电通密度D 。
解 作一个半径为r 的球面为高斯面，由对称性可知re D s D 24d rqq sπ=⇒=⋅⎰式中q 为闭合面S 包围的电荷。
那么在a r <<0区域中，由于q = 0，因此D = 0。
在b r a <<区域中，闭合面S 包围的电荷量为()3363410d a r v q v -⨯==-⎰πρ因此，()r e D 2336310ra r -=- 在b r >区域中，闭合面S 包围的电荷量为()3363410d a b v q v -⨯==-⎰πρ因此，()r e D 2336310ra b -=- 2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=a r aqr a r r q, ,2r e E试求球内外各点的电位。
解 在a r <区域中，电位为()()aqr a a q r aa rr+-=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞∞222d d d r E r E r E ϕ 在a r >区域中，()rq r r =⋅=⎰∞r E d ϕ2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=a r raa r r , ,253r e E 试求空间的电荷密度。
解 利用高斯定理的微分形式0ερ=⋅∇E ，得知在球坐标系中 ()()r E r rr r 220d d 1εερ=⋅∇=E 那么，在a r ≤区域中电荷密度为()()20525d d 1r r rr r εερ== 在a r ≥区域中电荷密度为()()0d d 152==a rr r ερ 2-14 已知真空中的电荷分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=a r ar r r,00 ,)(2ρ 式中r 为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。
解 由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理204d επεqr E qs=⇒=⋅⎰s E在a r ≤≤0区域中()502254d 4d r r r r v r q rv ππρ===⎰⎰r r r r r e e E 03052515441εεππ== 在a r >区域中()502254d 4d a r r r v r q av ππρ===⎰⎰r r r a a r e e E 025052515441εεππ== 2-15 已知空间电场强度z y x e e e E 543-+=，试求（0,0,0）与（1,1,2）两点间的电位差。
解 设P 1点的坐标为（0,0,0,）, P 2点的坐标为（1,1,2,），那么，两点间的电位差为⎰⋅=21d P P V l E式中z y x d d d d ,543z y x z y x e e e l e e e E ++=-+=，因此电位差为 ()()()()V 3d 5d 4d 32,1,10,0,0-=-+=⎰z y x V2-16 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a ，外导体的内半径为b 。
若填充介质的相对介电常数2=r ε。
试求在外导体尺寸不变的情况下，为了获得最高耐压，内外导体半径之比。
解 已知若同轴线单位长度内的电荷量为q 1，则同轴线内电场强度r e E rq πε21=。
为了使同轴线获得最高耐压，应在保持内外导体之间的电位差V 不变的情况下，使同轴线内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面a r =处的电场强度达到最小值。
因为同轴线单位长度内的电容为V a b q a b V q C ⎪⎭⎫⎝⎛=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛==ln 2ln 2111πεπε 则同轴线内导体表面a r =处电场强度为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b ab b V a b a V a E ln ln )(令b 不变，以比值a b 为变量，对上式求极值，获知当比值e ab=时，()a E 取得最小值，即同轴线获得最高耐压。
2-17 若在一个电荷密度为ρ，半径为a 的均匀带电球中，存在一个半径为b 的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d ，试求空腔中的电场强度。
习题图2-17解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。
首先设半径为a 的整个球内充满电荷密度为ρ的电荷，则球内P 点的电场强度为r e E r P 032013 3441ερρππε==r r 式中r 是由球心o 点指向P 点的位置矢量，再设半径为b 的球腔内充满电荷密度为ρ-的电荷，则其在球内P 点的电场强度为r e E r P '-='''-=0320233441ερρππεr r 式中r '是由腔心o '点指向P 点的位置矢量。
那么，合成电场强度P P E E 21+即是原先空腔内任一点的电场强度，即()d r r E E E P P P 002133ερερ='-=+= 式中d 是由球心o 点指向腔心o '点的位置矢量。
可见，空腔内的电场是均匀的。
2-19 已知内半径为a ，外半径为b 的均匀介质球壳的介电常数为ε，若在球心放置一个电量为q 的点电荷，试求：①介质壳内外表面上的束缚电荷；②各区域中的电场强度。
解 先求各区域中的电场强度。
根据介质中高斯定理r e D s D 2244d r qq D r q sππ=⇒=⇒=⋅⎰ 在a r ≤<0区域中，电场强度为r e DE 2004r q πεε==在b r a ≤<区域中，电场强度为r e DE 24r qπεε==在b r >区域中，电场强度为r e DE 2004rq πεε==再求介质壳内外表面上的束缚电荷。
由于()E P 0εε-=，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为()2020414a qa q s πεεπεεερ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=⋅-=⋅=P e P n r外表面上束缚电荷面密度为()2020414b qb q s πεεπεεερ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⋅=⋅=P e P n r 2-20 将一块无限大的厚度为d 的介质板放在均匀电场E 中，周围媒质为真空。
已知介质板的介电常数为ε，均匀电场E 的方向与介质板法线的夹角为1θ，如习题图2-20所示。
当介质板中的电场线方向42πθ=时，试求角度1θ及介质表面的束缚电荷面密度。
解 根据两种介质的边界条件获知，边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。
因此可得221sin sin θθE E =； 221cos cos θθD D =已知220 ,E D E D εε==，那么由上式求得⎪⎭⎫⎝⎛=⇒==⇒=εεθεεθεεθεεθθ010201021arctan tan tan tan tan习题图2-202e已知介质表面的束缚电荷)(0E D e P e ερ-⋅=⋅='n n s， 那么，介质左表面上束缚电荷面密度为10021020211cos 111θεεεεεεερE n s⎪⎭⎫⎝⎛--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅='D e D e P e n n1介质右表面上束缚电荷面密度为100220202222cos 111θεεεεεεερE n s⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅='D e D e P e n n。
