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一（7）指数、对数不等式的解法（教师）模块：一、集合、命题、不等式课题：7、指数、对数不等式的解法教学目标：掌握指数、对数不等式的解法．重难点：指数、对数运算的应用．一、知识要点1、指数不等式的解法2、对数不等式的解法注：解指数、对数不等式，未指定底数的大小，要分1a >和01a <<两种情况解．二、例题精讲例1、解下列不等式（1）2lg 12x <；（2）649x x x+>；（3）2216230x x+-+<．答案：（1）11,00,1010 - ? ????? ；（2）23,log ?-∞ ??；（3）()40,log 3．例2、解下列不等式（1）()()122log 21log 222x x +-?-<；（2）()3log 3log 01a a x x a a <>≠且；（32112log x>+．答案：（1）225log ,log 34?? ??；（2）当01a <<时，()()a +∞ ；当1a >时，((0,1,a ；（3）()0,1,22? ??例3、解下列关于x 的不等式（1）()3log 101a x a xa a x --??<>≠且；（2）()()2log 12101a x a a a ->->≠且．答案：（1）当1a >时，解集为()3,a a ；当01a <<时，解集为()()30,,a a +∞ ；（2）当102a <<时，解集为()0,+∞；当12a =时，解集为()110,,22,22 +∞ ? ?????；当112a <<时，解集为((()0,aa+∞ ；当1a >时，(()0,a +∞*例4、（1）解不等式2231037290x x +-?+≤；（2）对满足（1）的x ，若函数()()22log log 1a a y a x x b =?-+的最大值为32，最小值为0，求a b 、的值．答案：（1）[]2,4；（2）2a =或12a =，32b =．三、课堂练习1、当1,33x ??∈时，log 1a x <恒成立，则实数a 的取值范围是．答案：[)10,3,3+∞ ??2、22xx +≥答案：)21|log 12x x x ??≤≥或3、不等式0.5log 1xxx<的解集为．答案：()()0,12,+∞412log 1x <-的解集为．答案：10,8?? ???5、对于11a -≤≤，使不等式221 1122x axx a ++-??< ?恒成立的x 的取值范围是．答案：0x <或2x >6、不等式()222log 0x x ->的解集是．答案：())0,1+∞四、课后作业一、填空题1、不等式21log 63x x ??++≤的解集为．答案：({}331---+ 2、函数y =答案：[)22log 3,3--3、不等式()()()2cos lg 2010,x x π>∈的解是．答案：0,2π??4、已知全集I R =，261|12x x A x -- =>?? ?，(){}3|log 2B x x a =-<，当A B ?时，a 的取值范围是．答案：[]6,2--5、不等式1402x->的解集为；若关于x 的不等式42x x a ->的解集为R （实数集），则实数a 的取值范围是．答案：1,2??-+∞ ；1,4?-∞- ??6、不等式2223122x axx a -+??< ?的解集为R ，则实数a 的取值范围是．答案：34a >二、选择题7、已知关于x 的方程()4200xxa b c a ?+?+=≠中，常数a 和b 同号，而b 和c 异号．则下列结论中正确的是（） A 、此方程无实根 B 、此方程有两个互异的负实根 C 、此方程有两个异号实根 D 、此方程仅有一个实根答案：D8、若不等式220x ax a -+>对x R ∈恒成立，则关于t 的不等式221231t tt aa ++-<<的解为（） A 、12t << B 、21t -<<C 、22t -<<D 、32t -<<答案：A9、若集合12|log 2,S x x x R ??=>-∈，{}2,T x x Z =<∈，则S T 中的元素个数为（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个答案：B三、解答题10、解下列关于x 的不等式：（1）()()11241log 4log 1xxaa+-≥-（0a >且1a ≠）；（2）92log 2a xxxa >．答案：（1）当1a >时，解集为{}|log 2log 4a a x x ≤<；当01a <<时，解集为{}|log 4log 2a a x x <≤；（2）当1a >时，解集为142|0x x a x a ??<<>或；当01a <<时，不等式的解集为1 42|x a x a ??<<．11、（1）2121|13x x A x --=>?? ?，(){}3|log 32B x x a =-<；（2）(){}2|log 5832x A x x x =-+>，{}24|210B x x x a =--+≥，当A B ?时，分别求a 的取值范围．答案：（1）423a -≤≤-（2）55a -≤≤12、已知n 为自然数，实数1a >，解关于x 的不等式：()()()231212log 4log 12log 2log log 3n nn a a a a a x x x n x x a ----+-+->-答案：?+∞。
指数方程和不等式与对数方程和不等式一、指数方程和不等式与对数方程和不等式指数方程和不等式与对数方程和不等式是对指数函数和对数函数的性质的综合运用．我们将指数方程和对数方程的主要类型和解法列入下面的表格：分析：1、解指数方程和对数方程主要是运用转化的思想将方程化归为己学过的代数方程来解，同时要注意对数方程的同解变形，重视对根的检验．2、对于含有指数函数或对数函数的混合型方程，常用图象法求方程的近似解或确定方程的根的个数．3、在解含有参数的指数方程和对数方程时，必须注意对字母的取值范围的讨论．将上述表格中的等号“＝”改为不等号“＜”或“＞”即得到指数不等式和对数不等式，它们的解法在本质上与方程的解法是相同的，同时也要对字母的取值范围进行讨论．但不同的地方在于要对底数a的取值范围进行讨论，因为a的取值范围不同时要影响指数函数和对数函数的单调性．要注意方程与不等式的本质联系与区别．例1 解下列方程：(1)lg2x·lg3x=lg2·lg3；(2)；(3)；(4)log(x+1)(2x2-2x+1)=2分析：(1)根据方程的结构，可以从方程中分离出变量lgx，利用换元的方法求解；(2)去分母后可采用换元的方法；(3)再对方程变形后采用两边取对数的方法求解；(4)利用对数定义将方程转化为代数方程求解．解：(1)原方程可化为(lg2+lgx)(lg3+lgx)＝lg2·lg3，即lg2x+lg6·lgx＝0．解得lgx＝0或lgx＝-lg6. ∴x＝1或.经检验，x＝1和都是方程的根．(2)方程可化为3x+1-3-x+2＝0，即3·32x+2·3x-1＝0．设y＝3x，则3y2+2y-1＝0，解得y1=-1，.当y＝-1时，3x＝-1＜0，无意义，故舍去；当时，, ∴x=-1。
(3)原方程即，即, ＝3．两边取以3为底数的对数，得到(log3x)2=1, ∴log3x=±1, 解得x＝3或.经检验，x＝3和都是原方程的根．(4)根据对数的定义得到(x+1)2＝2x2-2x+1，即x2-4x＝0．解得x＝0或x＝4．当x＝0时，x+1＝1，故舍去．∴原方程的根为x＝4．总结：(1)解对数方程时，必须注意对根的检验；(2)换元的方法是解方程的一种常用方法；(3)在解指数方程和对数方程时，要注意应用指数和对数的有关性质和法则对方程进行变形．当幂指数上含有未知数时，往往两边取对数求解．例2 解方程：lgx+lg(4-x)＝lg(2x+a)解：原方程等价于：, ∴.设y1＝a, y2＝-x2+2x，x∈(0,4). 作出两个函数的图象，如图所示．分以下三种情况讨论：(1) a>1或a≤-8 时，方程无解；(2) 0<a<1时，方程有两解；(3) -8<a≤0, 方程有一解。
