高一数学 指数、对数函数

高一数学指数函数与对数函数的关系一、教学目标：1．知识与技能（1）巩固复习指数函数、对数函数的概念和图象性质（2）通过对比两个函数的解析式与图象间的关系，初步对反函数概念进行解释和直观理解（3）理解反函数的概念和互为反函数的函数图象间的关系（4）应用反函数的概念求已知函数的反函数（5）通过反函数知识的学习加深对指数函数、对数函数的相互关系的理解2．过程与方法（1）通过对指数函数、对数函数图象的观察与对比，发现两个函数间的特殊的对称规律（2）从图象特征入手，进而对其解析式进行理性的分析，从而归纳出反函数的定义（3）以指、对函数为载体加深对反函数定义及图象性质的理解（4）应用所学的知识求解一些简单函数的反函数3．情感、态度与价值观（1）通过指、对函数图象的对比，引导学生体会数学研究中的发现问题、提出问题（2）从函数的图象特征入手，进一步研究互为反函数的函数的解析式的特点，引导学生体会由表象到实质，由感性到理性的研究过程（3）通过应用反函数知识，使学生体会由特殊到一般，再由一般到特殊的研究方法（4）引导学生发现指、对函数的对立统一关系，并欣赏数形和谐的对称美二、教学重点与难点：教学重点：反函数的概念及互为反函数图象间的关系教学难点：反函数的概念三、教学方法：以问题形式引导学生自主探究；以小组讨论的形式引导学生互助学习，并展示其研究活动及研究成果四、教学过程：概念深化射时函数有反函数，否则如2x y =等均无反函数②与互为反函数。

③的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域2．奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为{0}；若函数)(x f y =是增（减）函数，则其反函数)(1x fy -=是增（减）函数。

3．求反函数的步骤：由)(x f y =解出)(1y fx -=，注意由原函数定义域确定单值对应；交换y x ,，得)(1x f y -=；根据)(x f y =的值域，写出)(1x fy -=的定义域。

高一数学指数函数对数函数知识点导语：在高中数学中，指数函数与对数函数是一个非常重要的数学概念和知识点。

它们在不同领域的应用非常广泛，比如金融、科学等。

本文将深入探讨高一数学中的指数函数和对数函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。

一、指数函数的基本概念与性质1. 指数函数的定义指数函数是以常数e（自然对数的底）为底的函数，表示为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1，x为实数。

举例来说，函数f(x) = 2^x就是一个指数函数，其中以2为底。

2. 指数函数的性质①指数函数的定义域为实数集, 即所有实数x。

②指数函数的值域为正数集, 即所有大于0的实数。

③指数函数是递增函数，即当x1 < x2时，a^x1 < a^x2。

④当a > 1时，指数函数的图像是递增的；当0 < a < 1时，指数函数的图像是递减的。

二、对数函数的基本概念与性质1. 对数函数的定义对数函数是指数函数的反函数。

以常数e为底的对数函数称为自然对数函数，记作ln(x)。

举例来说，函数g(x) = log2(x)就是一个以2为底的对数函数。

2. 对数函数的性质①对数函数的定义域为正数集，即只有正实数才有对数。

②对数函数的值域为实数集。

③对数函数是递增函数，即当x1 < x2时，log(x1) < log(x2)。

④对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x。

三、指数函数与对数函数之间的关系注意：以下的例子仅为了便于理解，具体数值仅供参考。

1. 自然对数与指数函数的关系e^x = a 可以转化为 ln(a) = x。

例如，e^2 = 7.39 可以转化为 ln(7.39) = 2。

2. 对数函数的性质与指数函数的性质对数函数的一些基本性质与指数函数的一些基本性质是相互关联的，如：① loga(xy) = loga(x) + loga(y)② loga(x/y) = loga(x) - loga(y)③ loga(x^y) = y * loga(x)④ loga(b) = logc(b) / logc(a)3. 指数函数与对数函数的实际应用指数函数与对数函数在实际中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：①金融领域：在复利计算、投资分析等方面，指数函数与对数函数被广泛应用。

学员姓名年级高一辅导科目数学课程类型1对1任课老师班组课题指数函数与对数函数课型□预习课□同步课□复习课□习题课课次11 授课日期及时段教学目标重难点重点：难点：教学及学习方法教学方法：学习方法：教学内容【基础知识网络总结与巩固】本节考点：考点回顾考点一考点二考点三【上节知识回顾】【本节知识要点】1. 指数函数的图象和性质函数y＝a x(a>0，且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)性质定义域值域单调性函数值变化规律R(0，＋∞)减函数增函数当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>12．对数函数的图象和性质y ＝log a xa >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.求解与指数函数、对数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数、对数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．【重难点例题启发与方法总结】典型例题剖析例1 求下列函数的定义域 (1)f (x )＝1－2log 6x ； (2)y ＝32x －1－19.【解析】(1)由1－2log 6x ≥0，解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．(2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 变式训练 函数f (x )＝4－x 2＋log 2(x －1)的定义域是( ) A ．(1,2] B ．[1,2] C ．(1，＋∞) D ．[2，＋∞)【答案】A【解析】要使函数有意义，则⎩⎨⎧4－x 2≥0x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x >1，∴1＜x ≤2，即函数的定义域为(1,2]， 故选A.例2 (1)已知函数f (x )＝(23)|x |－a ，则函数f (x )的单调递增区间为________，单调递减区间为________．2．(2018·湖南衡阳期末)已知集合A ＝{x |log 12x >－1}，B ＝{x |2x >2}，则A ∪B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(0，＋∞) D ．(0,2) 答案：C解析：由A ＝{x |log 12x >－1}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x >2}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，则A ∪B ＝(0，＋∞)．故选C. 3．(2018·福建福州外国语学校期中)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，且f (x )是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 答案：B解析：因为函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m＝－1.又因为幂函数在(0，＋∞)上单调递增，所以－5m －3>0，即m <－35，所以m ＝－1，故选B.方法点拨：求有关幂函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出解析式后，利用已知条件，求出待定系数．注意幂函数中自变量的系数为1.4．(2018·重庆第一中学一诊模拟)设a ＝213，b ＝log 43，c ＝log 85，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b [来源:学科网]C ．b >c >aD ．c >b >a [来源:学科网ZXXK] 答案：A解析：由指数函数的性质知a >1，由对数函数的性质得0<b <1,0<c <1.c 可化为log 235；b 可化为log 23，∵(35)6<(3)6，∴b >c ，∴a >b >c ，故选A.5．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )答案：D解析：当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a的图象，A ，B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，而1a大于1，故选D.6．若函数y ＝f (x )的定义域为[2,4]，则y ＝f (log 12x )的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1 B ．[4,16] C.⎣⎡⎦⎤116，14 D ．[2,4] 答案：C解析：令log 12x ＝t ，则y ＝f (log 12x )＝f (t )，因为函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，所以y ＝f (t )的定义域是[2,4]，即2≤t ≤4，所以2≤log 12x ≤4，解得116≤x ≤14，所以y ＝f (log 12x )的定义域是⎣⎡⎦⎤116，14. 7．(2018·武汉二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案：C解析：通解 当a <0时，不等式f (a )<1为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.优解 取a ＝0，f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D.8．(2018·怀化二模)已知函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,2 016]内的企盼数的个数是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：B解析：因为函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，所以f (1)＝log 23，f (2)＝log 34，…，f (k )＝log k ＋1(k ＋2)，所以f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )＝log 23·log 34·…·log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，若f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数，则k ＋2＝2m ，m ∈Z ，又k ∈[1,2 016]，所以k ∈{2,6,14,30,62,126,254,510,1 022}，故在区间[1,2 016]内的企盼的个数是9.二、填空题[来源:学科网]9．log 327－log 33＋(5－1)0－⎝⎛⎭⎫9412＋cos 4π3＝________. 答案：0解析：原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.10．(2018·江西自主招生)方程log 3(1＋2·3x)＝x ＋1的解为________． 答案：0解析：由方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1可得1＋2·3x ＝3x ＋1，化简可得3x ＝1，故x ＝0.11．(2018·山西一模，13)已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________. 答案：－1解析：由题意得m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，f (x )＝x －1，[－3－m ，m 2－m ]为[－6,6]，f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．[来源:学科网] 三、解答题12．已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[]0，2，求m ，n 的值．解析：由y ＝f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得3y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1，即()3y －m ·x2－8x ＋3y －n ＝0[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(3y －m )(3y －n )≥0，即32y －(m ＋n )·3y ＋mn －16≤0由0≤y ≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1＋9mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.【课后强化巩固练习与方法总结】1．已知集合M ＝{}x |y ＝x －1，N ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，则∁R (M ∩N )等于( ) A ．[1,2) B ．(－∞，1)∪[2，＋∞) C ．[0,1] D ．(－∞，0)∪[2，＋∞)2．已知a ＝23log 4.1，b ＝23log 2.7，c ＝⎝⎛⎭⎫123log 0.1，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b3．函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，32)D ．(32，＋∞)学管签字：学管主任签字：。