2021届四川省成都市第七中学高三入学考试数学(理)试题(解析版)

2021届四川省成都市第七中学高三第一诊断模拟测试数学（理）试题【含解析】一、单选题1．已知集合()1222M x y x x⎧⎫⎪⎪==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}11N x x =-<<，则M N =（ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．(]1,0-D ．()1,0-【答案】A【分析】先求出集合M ，再根据交集定义即可求出.【详解】(){}{}122222002M x y x xx x x x x ⎧⎫⎪⎪==-=-≥=≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭， {}[)010,1M N x x ∴⋂=≤<=.故选：A.【点睛】本题考查交集运算，其中涉及函数定义域的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( ) A ．3 B ．5C 5D ．35【答案】C【分析】先由已知，求出1m =-，进一步可得63i12i z+=-，再利用复数模的运算即可【详解】由z 是纯虚数，得10m +=且20m -≠，所以1m =-，3z i =. 因此，63631253i ii z i++==-=故选：C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 3．函数()()33ln ||x xf x x -=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及计算()1(),22f f ，可得结果. 【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为()(),00,x ∈-∞+∞()()()()33ln ||33ln ||x x x x f x x x f x -+--=+-=+=所以可知函数()f x 为偶函数又()()11222211()33ln 0,233ln 2022f f --⎛⎫=+<=+> ⎪⎝⎭所以选项D 正确 故选：D【点睛】本题主要考查具体函数的图像，这种类型问题，可从以下几个指标判断：（1）函数定义域；（2）函数奇偶性；（3）特殊值：（3）单调性；（4）值域，属基础题. 4．执行如图所示的程序框图，正确的是（ ）A ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为5B ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为7C ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为8D ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为10【答案】C【解析】此题为流程图，主要考察学生的思维能力和对循环结构及赋值语句的理解程度，属于高考数学中的常见题型，难度不大，建议采用筛选法或排除法． 请在此填写本题解析!解 设输入,,a b c 的值依次为1,2,3，由条件结合赋值语句得c a 1,== a 2,b c 1,===所以3,ac b +=故排除A ，B ，同理验证可知排除D ，因此选C ． 5．函数()()2sin 0,2f x x πωϕϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．若对任意x ∈R ，()()2f x f t x =-恒成立，则实数t 的最大负值为（ ）A ．512π-B ．3π-C ．4π-D ．6π-【答案】A【分析】根据函数图象可确定5544T π=，由此确定ω，利用1252f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭-可求得ϕ，从而得到()f x 解析式；由()f x 的对称轴为x t =，采用整体对应的方式可确定t 的取值，进而确定t 的最大负值. 【详解】由图象可知：555546124T πππ=+=，2T ππω∴==，解得：2ω=. 5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()5262k k Z ππϕπ∴-+=-+∈，解得：()23k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，3πϕ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭. ()()2f x f t x =-，()f x ∴关于直线x t =对称， ()232t k k Z πππ∴+=+∈，解得：()122k t k Z ππ=+∈，则当1k =-时，t 取得最大负数，此时512t π=-. 故选：A .【点睛】本题考查根据正弦型函数的对称轴确定参数值的问题，关键是能够熟练掌握利用图象求解正弦型函数解析式的方法，进而采用整体对应的方式利用正弦函数的对称轴构造方程.6．历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“21p -（p 是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是2213-=，3217-=，52131-=，721127-=，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数.已知第10个梅森数为8921-，则第10个梅森数的位数为（ ）（参考数据：lg 20.301≈） A ．25 B ．29C ．27D ．28【答案】C【分析】计算()89lg 21-判断即可.【详解】因为()89lg 2189lg 226.789-≈≈.故8926.7892110-≈.故第10个梅森数的位数为27. 故选：C【点睛】本题主要考查了根据对数运算的应用,属于基础题型.7．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种. A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】B【分析】甲不在1道，乙不在2道，则分别讨论甲在2道和甲不在2道两种情况，再求和即可.【详解】①甲在2道的安排方法有：336A =种；②甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有22228A ⨯⨯=种，共有6814+=种方案. 故选B.【点睛】方法点睛：（1）先讨论甲在乙的位置的情况，此时乙不受限制，剩余元素全排列即可；（2）再讨论甲也不在乙的位置的情况； （3）两种情况求和.8．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>23，O 为坐标原点，过右焦点F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ，且OMN 为直角三角形，若332ONM S =△，则C 的方程为（ ） A ．221124x y -=B ．22162x y -=C ．2213x y -=D ．22126x y -=【答案】C【分析】利用双曲线的离心率得出3b a =，可得3a b ，2c b =，由OMN 为直角三角形可得出直线MN 的方程，求出点N 的坐标，可得出ON 、MN ，再由33ONM S =△b 、a 的值，进而可得出双曲线C 的方程. 【详解】由于双曲线C 的离心率为2231c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，3b a ∴=，可得3ab ，2c b =，设点M 、N 分别为直线3y x =、3y =上的点，且MN ON ⊥，则直线MN 的方程为)32y x b =-，联立)323y x b y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得323x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点33,2b b N ⎛ ⎝⎭，则2233322b b ON b ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 易知3MON π∠=，tan3333MN ON b b π∴===，所以，2133332ONMSON MN =⋅==1b =，3a ∴= 因此，双曲线C 的方程为2213x y -=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，要结合题意得出关于a 、b 、c 的方程组，考查计算能力，属于中等题.9．设0a >，0b >，1a b +=，则下列选项错误．．的是（ ） A ．22a b +的最小值为12B ．41a b+的取值范围是[)9,+∞ C ．11a b ab++的最小值为2D ．若1c >，则231121a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值为8 【答案】C【分析】由222()2a b a b ++≥，可判定A 正确；由41414()5b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，可判定B 正确；由ab ab ab ab ==ab 的范围，可判定C 不正确；由231424a a b ab b a+-=+≥，得到2311124(1)411a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+≥-++ ⎪--⎝⎭，进而判定D 正确. 【详解】对于A 中，由222()122b a a b +≥=+，当且仅当12a b ==时取等，可得22a b +的最小值为12，所以A 正确； 对于B 中，由41414()55249b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =时，即21,33a b ==时，等号成立，取得最小值9，所以B 正确； 对于C ab ab ab ab==，又由102ab <1219412222ab ab ≥+=+=，所以C 不正确； 对于D 中，由222313()4224a a a b a bab ab b a+++-=-=+≥，当且仅当2b a =时，即12,33a b ==时，等号成立， 可得2311124(1)4811a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+≥-++≥ ⎪--⎝⎭， 当且仅当32c =时取等，所以D 正确. 故选：C.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．下列正确命题的序号有（ ） ①若随机变量()100,XB p ，且()20E X =，则1152D X ⎛⎫⎪⎝⎭+=．②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A 与B C D 是互斥事件，也是对立事件．③一只袋内装有m 个白球，n m -个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，()2P ξ=等于()22A Amnn m -④由一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y ⋅⋅⋅得到回归直线方程y bx a =+，那么直线y bx a =+至少经过()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y ⋅⋅⋅中的一个点． A ．②③ B ．①②C ．③④D ．①④【答案】A【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可判断①；根据互斥和对立事件的定义即可判断②；计算2ξ=概率可判断③；根据回归直线方程是由最小二乘法得到，且过样本中心点可判断④，进而可得正确答案. 【详解】对于①：因为()100,X B p ，且()20E X =，所以10020p =，解得15p =，所以()1110011655D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以()111424D X D X ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故①不正确；对于②：根据互斥事件的定义可得A 与BC D 是互斥事件，()()1P A P B C D +=也是对立事件，故②正确；对于③：2ξ=表示前两次取出的是白球，第三次取到的是黑球，则()2122m n mnA C A P ξ-==，故③正确； 对于④：对于回归直线方程，只能确定通过(),x y ，故④不正确， 所以②③正确. 故选：A11．已知231a e b e +=-=，1e =，则a b ⋅的最小值是（ ） A ．18-B ．12-C ．8-D ．6-【答案】B【分析】根据题中条件，由向量线性运算的几何意义，求出13a ≤≤，24b ≤≤，得到a 与b 取得最大值时，a 与b 恰好反向，再由向量数量积的计算公式，即可求出结果.【详解】因为231a e b e +=-=，根据向量线性运算的几何意义，可得222a e a e a e -≤+≤+，333b e b e b e -≤-≤+，即212a a -≤≤+，313b b -≤≤+， 所以13a ≤≤，24b ≤≤，当3a =时，由21a e +=可得22441a a e e+⋅+=，即912cos ,41a e +<>+=，所以cos ,1a e <>=-，因为向量夹角大于等于0且小于等于180，所以,180a e <>=，故3a e =-；当4b =时，由31b e -=可得22691b b e e-⋅+=，即1624cos ,91a e -<>+=， 所以cos ,1a e <>=，故,0a e <>=，所以4b e =，此时a 与b 恰好反向，且模都取得最大值，所以a b ⋅的最小值是34cos18012⨯⨯=-. 故选：B.【点睛】思路点睛：求解向量数量积最值问题，一般需要建立适当的坐标系，用坐标表示出向量的数量积，将问题转化为求函数最值问题进行求解；有时也可根据向量的线性运算的几何意义，确定向量的模的最值以及向量的夹角，进行求解. 12．已知函数()21cos 2f x x x =--，()2g x x k =-，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，则k 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】将问题转化为()23cos 2h x x x =+与y k =有唯一交点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性和最值，由此得到()h x 大致图象，数形结合可求得结果. 【详解】()f x 与()g x 图象有且仅有一个公共点，()()f x g x ∴=有唯一解，即23cos 2k x x =+有唯一解， 令()23cos 2h x x x =+，则()3sin h x x x '=-，()3cos h x x ''=-， []cos 1,1x ∈-，()0h x ''∴>，()h x '∴在R 上单调递增，又()00h '=，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x '<；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>；()h x ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()min 01h x h ∴==，可得()h x 大致图象如下图所示：23cos 2k x x =+有唯一解等价于()y h x =与y k =有唯一交点， 由图象可知：当1k =时，()y h x =与y k =有唯一交点，即()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点. 故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查根据两函数交点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将问题转化为平行于x 轴的直线与函数的交点个数的问题，进而利用数形结合的方法求得结果.二、填空题13．设实数x y ，满足2105x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则4z x y =+的最小值为______.【答案】53【分析】作出可行域,观察可得,当4z x y =+过点C 时，z 有最小值,再联立方程组解得最优解C 的坐标后,代入目标函数即得.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；观察可知，当4z x y =+过点C 时，z 有最小值；联立210x y x y +=⎧⎨-=⎩解得13x y == 即11,33C ⎛⎫⎪⎝⎭，故4z x y =+的最小值为53． 【点睛】本题考查了线性规划求最值,属中档题. 14．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足()132n S n n =+，n *∈N ，则数列12202011122020a a a ++⋅⋅⋅+=______． 【答案】20202021【分析】根据()132n S n n =+，利用数列通项和前n 项和的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得1n a n =+，再由()111111n na n n n n ==-++，利用裂项相消法求解. 【详解】因为数列{}n a 前n 项和n S 满足()132n S n n =+，n *∈N ， 当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时，()()()111312122n n n a S S n n n n n -=-=+--+=+ 对1n =时，也成立， 所以1n a n =+，所以()111111n na n n n n ==-++， 所以12202011122020a a a ++⋅⋅⋅+， 11111120201 (12232020202120212021)=-+-++-=-=，故答案为：2020 2021【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，()()11122nnn a a n nS na d+-==+②等比数列的前n项和公式()11,11,11nnna qS a qqq=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．15．如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为1的正方形，点E是棱PD上一点，3PE ED=，若PF PCλ=且满足//BF平面ACE，则λ=______．【答案】23【分析】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，在线段PE取一点G使得GE ED=，连接BG，可证平面//BGF平面AEC，从而可得23PF PGPC PE==.【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，则BO OD=，在线段PE 取一点G 使得GE ED =，则23PG PE =. 连接,BG FG ，则//BG OE ，又因为OE ⊆平面AEC ，BG ⊄平面AEC ， 所以//BG 平面AEC .因为//BF 平面ACE 且满足BG BF B ⋂=，故平面//BGF 平面AEC . 因为平面PCD 平面BGF GF =，平面PCD平面AEC EC =，则//GF EC .所以23PF PG PC PE ==，即23λ=为所求. 故答案为：23.【点睛】思路点睛：已知线面平行，则可以得到两类平行关系-线线平行和面面平行，前者可找过已知线的平面，该平面和已知平面的交线与已知直线平行，后面可构造过已知的直线的平面，它与已知的平面的平行.16．在平面直角坐标系xOy 中，定点()2,0F -，已知点P 是直线2y x =+上一动点，过点P 作圆()22:24C x y -+=的切线，切点分别为A ，B ．直线PC 与AB 交于点R ，则线段FR 长度的最大值为______． 【答案】32【分析】根据点P 是直线2y x =+上一动点，设(),+2P a a ，求得CP ，然后利用射影定理24CA CR CP =⋅=，变形为2242+4R c R P c Px x y CR CP CP a x x y -====-，求得点R 的坐标，建立函数()2222R R FR x y =++，利用基本不等式求解. 【详解】如图所示：由射影定理得：24CA CR CP =⋅=， 因为点P 是直线2y x =+上一动点， 设(),+2P a a ， 所以()()()222=2+22+4CP a a a -+=所以()242+4CR CPa ==，则2242+4R c R P c Px x y CR CP CP a x x y -====-， 则22221+424+4R R a x a a y a ⎧-⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨+⎪=⎪⎩，所以()2222R R FR x y =++，22222242+4+4a a a a ⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，2224822344168+4+4+4a a a a a --⎛⎫=++=+⋅ ⎪⎝⎭，令223+4a t a -=， 当230m a =->时，1125425131344+2+4242t m m m m =≤=+⋅，当且仅当 25144m m =，即4a =时取等号，所以21168184FR ≤+⨯=， 所以线段FR 长度的最大值为32故答案为：32【点睛】关键点点睛：本题关键是将线段之比转化为坐标之比，即R c RP c Px x y CR CP x x y -==-，求得点R 的坐标，从而得解.三、解答题17．在①sin sin sin A b cB C b a+=--，②3sin c a A =，③23S CA CB =⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答，在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积. （1）求角C 的大小；（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点，线段BD 的长度为2，求ABC 的面积S 的最大值.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.） 【答案】（1）答案见解析；（2）32. 【分析】（1）若选①，可以利用正弦定理得到关于边的关系式，再利用余弦定理得到所求的角，若选②，可利用辅助角公式求得角C 的大小，若选③，利用向量数量积的定义可得角C 的正切值，从而得到其大小.（2）利用余弦定理和基本不等式可求ab 的最大值，从而可求面积的最大值. 【详解】（1）选①：sin sin sin A b cB C b a+=--，∵由正弦定理得a b c b c b a +=--， ∴()()()a b a b c b c -=+-，即222a b c ab +-=，∴1cos 2C =， ∵(0,)C π∈，∴3C π=.选②：由正弦定理得sin sin 3sin C A A=sin 0A ≠，3sin cos 1C C =+， 12sin 1,sin 662C C ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵(0,)C π∈，∴5,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴66C ππ-=，∴3C π=. 选③：23,sin 3cos S CA CB ab C ab C =⋅=，∴tan 3C =∵(0,)C π∈，∴3C π=，（2）在BCD △中，由余弦定理知222(2)22cos 602a b a b +-⨯⨯=︒⨯，∴224242222a b ab a b ab ab +-=⋅⋅-=，∴2ab ，当且仅当2a b =. 即2,1a b ==时取等号， 此时ab 的最大值为2，面积13sin 2S ab C ==3【点睛】方法点睛：在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.18．某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同.（1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）135512；（2）分布列见解析，3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【分析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量1~(5,)4X B ，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ，1(0)4P ξ==，31(1)44P ξ==⨯，231(2)()44P ξ==，⋯，131(1)()44n P n ξ-=-=，3()()4n P n ξ==，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则X 服从二项分布，即15,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率32253113544512P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()104P ξ==，()31314416P ξ==⨯=，()231244P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()131144n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()34nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ0 1 2…… 1n -nP14 3144⋅ 23144⎛⎫ ⎪⎝⎭ ……13144n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭34n⎛⎫ ⎪⎝⎭ξ的数学期望为：23313131123444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13131444n nn n -⎛⎫⎛⎫++-⨯⋅+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， （1）()23133131311224444444n E n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13131444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）（1）-（2）得：231131313131444444444n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1333114444n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2313131314444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131314444n n-⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2313333344444n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.所以3334nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．已知，如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2AB PA ==，PA ⊥平面ABCD ，E ，M 分别是BC ，PD 中点，点F 在棱PC 上移动.（1）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； （2）当直线AF 与平面PCD 所成的角最大时，确定点F 的位置. 【答案】（1）证明见解析；（2）F 为PC 的中点.【分析】（1）连接AC ，可知得出AE AD ⊥和PA AE ⊥，即可证明AE ⊥平面PAD ，从而得出平面AEF ⊥平面PAD ；（2）以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解.【详解】（1）证明：连接AC ，∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，∴ABC 为正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥，又//AD BC ，∴AE AD ⊥， ∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥， ∵PA AD A ⋂=，PA 、AD ⊂平面PAD ，∴AE ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAD .（2）由（1）知，AE ，AD ，AP 两两垂直，故以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，3,1,0)B -，3,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(0,1,1)M ，3,0,0)E ∴(3,1,2)=-PC ，(0,2,2)PD =-，(0,0,2)AP =.设(3,,2)PF PC λλλλ==-，则(3,,22)AF AP PF λλλ=+=-.. 设平面PCD 的法向量为()111,,m x y z =，则11111320220m PC x y z m PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 令13z =，则11x =，13y =∴(1,3,3)m =. 设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ，222332323sin |cos ,||||(3)(22)7AF mAF m AF m λλλθλλλ⋅++-===⋅++-⨯2231172222λ=⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭ 当12λ=时，sin θ最大，此时F 为PC 的中点. 【点睛】关键点睛：本题考查点的存在性问题，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用向量关系建立与线面角的关系，从而通过数量关系进行说明.20．已知函数()22ln f x ax x =-．（1）当2a =时，求()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对[]1,3x ∀∈，都有()14f x ≤恒成立，求a 的取值范围； （3）已知0a >，若1x ∃，2x 且满足120x x <<，使得()()12f x f x =，求证：)()2121220a x x x x +-+>．【答案】（1）21y x =+；（2）14a ≤；（3）证明见解析. 【分析】（1）当2a =时，求得函数的导数，求出切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线的方程;（2）转化已知条件为函数()f x 在[]1,3上的最大值()max 14f x ≤，利用单调性，①0a ≤时，②0a >时，分别求解函数的最小值，推出所求a 的范围;（3）通过()()12f x f x =)()2121220a x x x x +-+>,从而得到12x x a +>,令()212ln 4x g x x +=,求导,利用单调性可得()g x 在a ⎛ ⎝单调递减,即可()0g x g a >=在x a ⎛∈ ⎝恒成立,即可证明所求成立.【详解】（1）解：当2a =时，()222ln f x x x =-，()12f =，()24f x x x'=-，()12k f ='=，∴()f x 在()()1,1f 处的切线方程为221y x -=-． 整理得: 21y x =+（2）解：法一：由题意()max 14f x ≤，()()22122ax f x ax x x-'=-= ①当0a ≤时，()'0fx <，()f x 在[]1,3上单调递减，∴()()max 114f x f a ==≤恒成立，∴0a ≤ ②当0a >时，()'0fx >，x a>∴()f x 在a ⎛ ⎝上单减，在a ⎫+∞⎪⎭上单增，（ⅰ1a≤，1a ≥时，()f x 在[]1,3上单增， ()()max134f x f =≤，12ln 349a +≤，舍去； （ⅱ3a ≥，109a <≤时，()f x 在[]1,3上单减， ()()max 114f x f =≤，14a ≤，∴109a <≤（ⅲ）当13a <<，119a <<时，()f x 在a ⎡⎢⎣上单减，a ⎤⎢⎥⎣⎦上单增， ()()114134f f ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，14a ≤，1194a <≤， 综上，14a ≤． 法2：()22l 1n 4f x ax x =-≤恒成立，即212ln 4xa x +≤， 令()212ln 4x g x x +=，()334ln 2xg x x-'=，()0g x '>，381e x <<． ∴()g x 在381,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单增，38e ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，()114g =，()12ln 314394g +=>， ∴()min 14a g x ≤=．（3）证明：因为120x x +>)()2121220a x x x x +-+>， 只需证明12x x a+>， 由（2）可知120x x a <<<，要证12x x a+>， 只需证明21x x a>-，又因为2x a >1x a a ->()f x 在a ⎫+∞⎪⎭单调递增， 所以只需证明()21f x f x a ⎫>-⎪⎭， 又因为()()21f x f x =，即证()11f x f x a ⎫>⎪⎭， 令()()0g x f x f x x a a ⎫⎛=--<<⎪⎭⎝即()222ln 2ln g x ax x a x x a a ⎫⎫=--+-⎪⎪⎭⎭442ln 2ln ax x x a ⎫=--+-⎪⎭注意到0g a = 因为()221442g x a a x a x x x a a '=-=⎫-⎪⎭140a a a x a ≤=+- ⎪⎪⎝⎭则()g x 在a ⎛ ⎝单调递减， 所以()0g x g a >=在x a ⎛∈ ⎝恒成立，所以12x x a+>)()2121220a x x x x +-+>． 【点睛】(1)曲线切线方程的求法：①以曲线上的点()00()x f x ，为切点的切线方程的求解步骤：求出函数()f x 的导数()f x '；求切线的斜率()0f x '；写出切线方程()()000()y f x f x x x '-＝- ，并化简．②如果已知点11()x y ， 在曲线上，则设出切点00()x y ，，解方程组()()0010010y f x y y f x x x ⎧=⎪-⎨=-'⎪⎩得切点00()x y ，，进而确定切线方程．(2)恒成立问题与存在成立问题常转化为值域问题．单变量的恒成立、有解、无解的转化：①对任意的[]x mn ∈， ，()a f x >恒成立()max a f x ⇒>； 若存在[]x mn ∈，，()a f x >有解()min a f x ⇒> ； 若对任意[]x mn ∈，，()a f x >无解()min a f x ⇒≤. ②对任意的[]x mn ∈，，()a f x <恒成立()min a f x ⇒<. 若存在[]x mn ∈，，()a f x <有解()max a f x ⇒<； 若对任意[]x mn ∈，，()a f x <无解()max a f x ⇒≥. 双变量的恒成立、有解、无解的转化：①对任意的[]x a b ∈，，不等式()()f x g x >恒成立，只须()()[]0min f x g x >－； ②存在0[]x a b ∈，，不等式()()00f x g x >成立，只须()()[]0max f x g x >－； ③对任意1[]x ab ∈，，2[]xcd ∈，，不等式()()12f x g x >恒成立，只须()()min max f x g x >；④存在1[]x a b ∈，，2[]x c d ∈，，不等式()()12f x g x >成立，只须()()max min f x g x >； ⑤对任意1[]x ab ∈，，存在2[]xcd ∈，，不等式()()12f x g x >成立，只须()()min min f x g x >.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 作斜率为3C 相交于A ，B ，且AB OB ⊥，O 坐标原点. （1）求椭圆的离心率e ；（2）若1b =，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点. （ⅰ）求OP OQ k k ⋅的值；（ⅱ）点M 满足2OM OP =，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NMNQ的值. 【答案】（125；（2）（ⅰ）15-；（ⅱ）38.【分析】（1）由几何关系可得B 点坐标，代入椭圆方程即得5a b =，又222,ca b c e a=+=即得； （2）（ⅰ）将直线PQ 与椭圆联立即得1212OP OQ y y k k x x ⋅=结果； （ⅱ）,(01)NMNM NQ NQλλλ==<<将其坐标化，利用P ，Q ，N 在椭圆上求得结果即可．【详解】（1）已知||,||,26a OA a OB BAF π==∠=， 则3,44a a B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225,5a a b b==，∴222c a b b =-=， ∴255c e a ==． （2）（ⅰ）由（1）可得1,5b a ==∴22:15x C y +=设直线l ：()()()11223332,,,,,,x P x y Q x y N x y =+ ∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭联立直线l 与椭圆C 的方程：223255x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 28310,0y +-=∆>恒成立1212318y y y y +==- ∴)())121212125323232348x x y y y y =++=+++=∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅱ）设,(01)NMNM NQ NQλλλ==<< ()11332323,,,22x y NM x y NQ x x y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭()()1323132322x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ ∴12312322(1)22(1)x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩()()312312122(1)122(1)x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴22222211223355,55,55x y x y x y +=+=+=()()2212122222554(1)4(1)x x y y λλλλ--+=--∴()()222222112212125454520(1)x y x y x x y y λλλ+++-+=-由（ⅰ）可知121250x x y y +=，∴22144(1)λλ+=-，∴38λ=∴38NM NQ =． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为3x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为33x mmy k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C .（1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin 324πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值. 【答案】（1）()22103x y y +=≠；（2）42【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程.1l ：(3y k x =， 2l ：)133y x k=，两式相乘消k 可得2213x y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠.（2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=， 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点.由于1C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈），所以曲线1C 上的点()3,sin Qαα到直线60x y +-=的距离为2sin 63cos sin 6322d πααα⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==， 所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 的最大值为2. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23．已知函数()2725f x x x =-+- （1）求函数()f x 的最小值m ；（2）在（1）的条件下，正数a ，b 满足22a b m +=，证明2a b ab +≥． 【答案】（1）2m =；（2）证明见解析【分析】（1）由()()27252725x x x x -+-≥---，可求出()f x 的最小值； （2）利用基本不等式可得222a b ab +≥，从而可得1ab ≤1ab ，再结合2a b ab +≤12ab ≤1ab ≤，可证明结论. 【详解】（1）()()()272527252f x x x x x =-+-≥---=， ∴函数()f x 的最小值2m =． （2）证明：正数a ，b 满足222a b +=，又222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号，所以1ab ≤1ab ≤， 2a bab +≤，当且仅当a b =时取等号， 所以12ab a b ≤+， 1ab ≤，所以12ab a b ≤+， 故2a b ab +≥．【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求最值，考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.。

2021-2022学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合U＝R，集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|0＜x≤2}，则集合（∁U A）∩B＝（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，2]2．已知i是虚数单位，设，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，C，E在排列中顺序为“A，C，E”或“E，C，A”（可以不相邻），则这样的排列数有（）A．24种B．40种C．60种D．80种4．已知点P是△ABC所在平面内一点，且++＝，则（）A．＝﹣+B．＝+C．＝﹣﹣D．＝﹣5．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+2+a n﹣2a n+1＝0（n∈N*），若a16+a18+a20＝24，则S35＝（）A．140B．280C．70D．4206．已知命题p：存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论中正确的有（）①命题“p且q”是真命题；②命题“p且（￢q）”是真命题；③命题“（￢p）或q”为真命题；④命题“（￢p）或（￢q）”是真命题．A．1个B．2个C．3个D．4个7．公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°＝0.1305）（）A．2.598B．3.106C．3.132D．3.1428．下列说法正确的是（）A．若函数f（x）对于任意x∈R都有f（x）＝f（4﹣x）成立，则f（x+2）是偶函数B．若函数f（x）＝a log3x+b log2x+1，f（2016）＝3，则f（）＝﹣3C．对于函数f（x）＝lnx，其定义域内任意x1≠x2都满足f（）≤D．函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）满足对定义域内任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）•f（b），且f（x）为增函数9．设函数，则y＝f（x）（）A．在单调递增，且其图象关于直线对称B．在单调递增，且其图象关于直线对称C．在单调递减，且其图象关于直线对称D．在单调递减，且其图象关于直线对称10．如图，圆O：x2+y2＝π2内的正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．11．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA＝AB＝AC＝2，∠PAB＝，∠BAC＝，D是线段BC上的点，BD＝2DC，AD⊥PB．若三棱锥P﹣ABC的各顶点都在球O的球面上，则球O的半径为（）A．1B．C．D．12．已知F是椭圆+y2＝1（a＞1）的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记∠MAN＝α，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（）A．当0＜e＜1时，α＜B．当0＜e＜时，α＞C．当＜e＜时，α＞D．当＜e＜1时，α＞二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数f（x）＝sin2x（x∈R）的最小正周期T＝．14．已知（1+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．15．若实数x，y满足，则对任意实数m，由不等式组确定的可行域的面积是．16．已知函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞，），则实数a的取值范围是．三、解答题（17-21每题12分，22题10分，共70分）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a sin A＝（2b﹣c）sin B+（2c﹣b）sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．18．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：第x天12345新接种人数y1015192328（1）建立y关于x的线性回归方程；（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．19．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，BC＝2EF，G，H分别为AC，BC上的点，平面GHF ∥平面ABED，CF⊥BC，AB⊥BC．（1）证明：平面BCFE⊥平面EGH；（2）若AB⊥CF，AB＝BC＝2CF＝2，求二面角B﹣AD﹣CC的大小．20．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为（﹣1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与l垂直的直线与x轴和y轴分别交于N、P两点，记△FMN和△OPN的面积分别为S1、S2，若＝10．求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x2﹣ax+1，g（x）＝lnx+a（a∈R）．（1）若a＝1，求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[，t]（其中＜t＜e，e是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数f（x），g（x）的图象都相切的直线，求实数a的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A在曲线C1：ρ2﹣8ρcosθ+12＝0上运动，点B为线段OA的中点．（1）求动点B的运动轨迹C2的参数方程；（2）若直线l与C2的公共点分别为M，N，当＝3时，求a的值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合U＝R，集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|0＜x≤2}，则集合（∁U A）∩B＝（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，2]解：A＝{x|x＜﹣1，或x＞1}；∴∁U A＝{x|﹣1≤x≤1}；∴（∁U A）∩B＝（0，1]．故选：C．2．已知i是虚数单位，设，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：＝＝﹣i，则复数+2＝i+2∴+2对应的点（2，1）位于复平面的第一象限．故选：A．3．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，C，E在排列中顺序为“A，C，E”或“E，C，A”（可以不相邻），则这样的排列数有（）A．24种B．40种C．60种D．80种解：根据题意，分3步进行分析：①先排好A，C，E，要求A，C，E在排列中顺序为“A，C，E”或“E，C，A”，有2种情况，②排好后有4个空位，在其中任选1个安排B，有4种情况，③排好后有5个空位，在其中任选1个安排D，有4种情况，则有2×4×5＝40种安排方法；故选：B．4．已知点P是△ABC所在平面内一点，且++＝，则（）A．＝﹣+B．＝+C．＝﹣﹣D．＝﹣解：因为++＝，所以点P为△ABC的重心，延长PA交BC于点M，所以，又，所以．故选：D．5．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+2+a n﹣2a n+1＝0（n∈N*），若a16+a18+a20＝24，则S35＝（）A．140B．280C．70D．420解：数列{a n}的前n项和为S n，且a n+2+a n﹣2a n+1＝0（n∈N*），可得a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n＝…＝a2﹣a1，即有数列{a n}为等差数列，即有2a18＝a16+a20，a16+a18+a20＝24，可得3a18＝24，即a18＝8，则S35＝（a1+a35）•35＝35a18＝35×8＝280．故选：B．6．已知命题p：存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论中正确的有（）①命题“p且q”是真命题；②命题“p且（￢q）”是真命题；③命题“（￢p）或q”为真命题；④命题“（￢p）或（￢q）”是真命题．A．1个B．2个C．3个D．4个解：当a＜0时，曲线x2+ay2＝1为双曲线，故命题p：“存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线”为真命题；≤0的解集是{x|1≤x＜2}故命题q：“≤0的解集是{x|1＜x＜2}”为假命题；命题“p且q”是假命题，即①错误；命题“p且（¬q）”是真命题，即②正确；命题“（¬p）或q”为假命题，即③错误；命题“（¬p）或（¬q）”是真命题，即④正确．故选：B．7．公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°＝0.1305）（）A．2.598B．3.106C．3.132D．3.142解：模拟执行程序，可得：n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件n＞24，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件n＞24，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，不满足条件n＞24，n＝48，S＝24×sin7.5°＝24×0.1305＝3.132，满足条件n＞24，退出循环，输出S的值为3.132．故选：C．8．下列说法正确的是（）A．若函数f（x）对于任意x∈R都有f（x）＝f（4﹣x）成立，则f（x+2）是偶函数B．若函数f（x）＝a log3x+b log2x+1，f（2016）＝3，则f（）＝﹣3C．对于函数f（x）＝lnx，其定义域内任意x1≠x2都满足f（）≤D．函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）满足对定义域内任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）•f（b），且f（x）为增函数解：A选项：因为f（x）＝f（4﹣x），所以f（x+2）＝f[4﹣（x+2）]＝f（﹣x+2），所以f（x+2）是偶函数，正确．B选项：f（2016）＝a log32016+b log22016+1＝3，所以a log32016+b log22016＝2．所以f（）＝＝﹣（a log32016+b log22016）+1＝﹣2+1＝﹣1，错误．C选项：因为，所以，即f（）＞，错误．D选项：当0＜a＜1时，f（x）为减函数，错误．故选：A．9．设函数，则y＝f（x）（）A．在单调递增，且其图象关于直线对称B．在单调递增，且其图象关于直线对称C．在单调递减，且其图象关于直线对称D．在单调递减，且其图象关于直线对称解：函数＝2[sin（+）+cos（+）]＝2sin（++）＝2sin（+），在（0，）上，+∈（，），f（x）＝2sin（+）单调递增，当x＝时，f（x）＝2，为最大值，故其图象关于直线对称，故A、C错误．在（0，）上，+∈（，），f（x）＝2sin（+）单调递增，故选：B．10．如图，圆O：x2+y2＝π2内的正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S＝2∫0πsin xdx＝﹣2cos x|0π＝4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P ＝故选：B．11．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA＝AB＝AC＝2，∠PAB＝，∠BAC＝，D是线段BC上的点，BD＝2DC，AD⊥PB．若三棱锥P﹣ABC的各顶点都在球O的球面上，则球O的半径为（）A．1B．C．D．解：如图，在△ABC中，由AB＝AC＝2，∠BAC＝，得＝4+4﹣2×2×2×（）＝12，则BC＝2，∵BD＝2DC，∴BD＝，在△ABD中，AB＝2，BD＝，，可得＝×2××＝．∴，即AB⊥AD，又AD⊥PB，PB∩AB＝B，∴AD⊥平面PAB，得AD⊥PA，而PA⊥AB，AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABC．设△ABC外接圆的半径为r，则2r＝，即r＝2．三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O到底面外心的距离等于PA＝1，∴球O的半径为．故选：D．12．已知F是椭圆+y2＝1（a＞1）的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记∠MAN＝α，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（）A．当0＜e＜1时，α＜B．当0＜e＜时，α＞C．当＜e＜时，α＞D．当＜e＜1时，α＞解：设F为（﹣c，0），则a2﹣c2＝1，易知直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝ty﹣c，与椭圆方程联立可得，（t2+a2）y2﹣2tcy﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则由韦达定理有，，又，∴＝＝，∵a＞1，∴a4＞1，∴a4+2a3c+a2c2﹣1＞0，∴，又不平行，故为锐角，即对任意e∈（0，1），均有．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数f（x）＝sin2x（x∈R）的最小正周期T＝π．解：f（x）＝sin2x＝（1﹣cos2x）＝﹣cos2x+最小正周期T＝＝π故答案为：π14．已知（1+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为80．解：令x＝1，可得（1+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为（1+a）•（2﹣1）5＝2，∴a＝1．故（1+）（2x﹣）5＝（1+）（2x﹣）5＝（1+）（32x5﹣80x3+80x﹣40•+10•﹣），故该展开式中常数项为1×80＝80，故答案为：80．15．若实数x，y满足，则对任意实数m，由不等式组确定的可行域的面积是．解：∵两直线x﹣2y＝1﹣2m与2x+y＝2+m互相垂直，且均过圆（x﹣1）2+(y﹣m)2＝1，∴可行域的面积与m值无关，不妨取m＝0，原不等式组化为，表示的平面区域如图，可知可行域为个圆，其面积为．故答案为：．16．已知函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞，），则实数a的取值范围是a＞﹣2．解：由x≥0时，f（x）＝2x+cos x的导数为f′（x）＝2﹣sin x＞0，即f（x）在x＞0递增，可得f（x）＞f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞，），则当x＜0时，f（x）＝x（a﹣x）＜π恒成立，即a＞在x＜0时恒成立，令g（x）＝，则当x＝﹣时，g（x）取最大值﹣2，故a＞﹣2，故答案为：a＞﹣2三、解答题（17-21每题12分，22题10分，共70分）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a sin A＝（2b﹣c）sin B+（2c ﹣b）sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，所以．又A∈（0，π），故．（Ⅱ）由正弦定理可知，又a＝2，，，所以．又，故或．若，则，于是；若，则，于是．18．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：第x天12345新接种人数y1015192328（1）建立y关于x的线性回归方程；（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．解：（1）由题意可知，，，所以＝＝，则，所以y关于x的线性回归方程为；（2）设，数列{a n}的前n项和为S n，又数列{a n}为等差数列，所以，因为S6＝127.2，S7＝163.8，所以10S6＝1272，10S7＝1638，2000×80%＝1600人，所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天．19．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，BC＝2EF，G，H分别为AC，BC上的点，平面GHF ∥平面ABED，CF⊥BC，AB⊥BC．（1）证明：平面BCFE⊥平面EGH；（2）若AB⊥CF，AB＝BC＝2CF＝2，求二面角B﹣AD﹣CC的大小．解：（1）因为平面平面GHF∥平面ABED，平面BCFE∩平面ABED＝DE，平面BCFE∩平面GHF＝HF．所以BE∥HF．因为CB∥EF，所以四边形BHFE为平行四边形所以BH＝EF，因为BC＝2EF．所以BC＝2BH，H为BC的中点．同理G为AC的中点，所以GH∥AB．因为AB⊥BC，所以GH⊥BC又HC∥EF且HC＝EF，所以四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE，又CF⊥BC，所以HE⊥BC．又HE，HG⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCFE，所以平面BCFE⊥平面EGH．（2）由（1）知，HE⊥HB，HG⊥HB，因为AB⊥CF，CF∥HE，GH∥AB，所以HE∥HG．分别以HG，HB，HE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系H ﹣xyz，则A（2，1，0），B（0，1，0），D（1，0，1），C（0，﹣1，0）．设平面ABD的一个法向量为，因为，．则，取y1＝1，得．设平面ADC的一个法向量为，因为，．则，取x2＝1，得．所以cos＜＝﹣，则二面角B﹣AD﹣C的大小为．20．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为（﹣1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与l垂直的直线与x轴和y轴分别交于N、P两点，记△FMN和△OPN的面积分别为S1、S2，若＝10．求直线l的方程．解：（1）由题意可得：，解得，故椭圆方程为．（2）由题意知，斜率不为0，故设直线AB方程为x＝my﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程可得（3m2+4）y2−6my−9＝0，∴，，∴，，同理，所以直线方程为：y＝±3（x+1）．21．已知函数f（x）＝x2﹣ax+1，g（x）＝lnx+a（a∈R）．（1）若a＝1，求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[，t]（其中＜t＜e，e是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数f（x），g（x）的图象都相切的直线，求实数a的取值范围．解：（1）由题意，可得h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣x﹣lnx，h′（x）＝2x﹣1﹣＝，令h′（x）＝0，得x＝1．①当＜t≤1时，h（x）在[，t]上单调递减，∴h（x）min＝h（t）＝t2﹣t﹣lnt；②当t＞1时，h（x）在[，1]上单调递减，在[1，t]上单调递增，∴h（x）min＝h（1）＝0．综上，当＜t≤1时，h（x）min＝t2﹣t﹣lnt；当t＞1时，h（x）min＝0．（2）设函数f（x）在点（x1，f（x1））处与函数g（x）在点（x2，g（x2））处有相同的切线，则f′（x1）＝g′（x2）＝，∴2x1﹣a＝＝，∴x1＝+，代入＝x12﹣ax1+1﹣lnx2﹣a，得++lnx2++a﹣2＝0．∴问题转化为：关于x的方程++lnx++a﹣2＝0有解，设F（x）＝++lnx++a﹣2（x＞0），则函数F（x）有零点，∵F（x）＝（+a）2+lnx+a﹣2，当x＝e2﹣a时，lnx+a﹣2＝0，∴F（e2﹣a）＞0．∴问题转化为：F（x）的最小值小于或等于0．F′（x）＝﹣﹣+＝，设2x02﹣ax0﹣1＝0（x0＞0），则当0＜x＜x0时，F′（x）＜0，当x＞x0时，F′（x）＞0．∴F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴F（x）的最小值为F（x0）＝++lnx0++a﹣2．由2x02﹣ax0﹣1＝0知a＝2x0﹣，故F（x0）＝x02+2x0﹣+lnx0﹣2．设φ（x）＝x2+2x﹣+lnx﹣2（x＞0），则φ′（x）＝2x+2++＞0，故φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∵φ（1）＝0，∴当x∈（0，1]时，φ（x）≤0，∴F（x）的最小值F（x0）≤0等价于0＜x0≤1．又∵函数y＝2x﹣在（0，1]上单调递增，∴a＝2x0﹣∈（﹣∞，1]．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A在曲线C1：ρ2﹣8ρcosθ+12＝0上运动，点B为线段OA的中点．（1）求动点B的运动轨迹C2的参数方程；（2）若直线l与C2的公共点分别为M，N，当＝3时，求a的值．解：（1）点A在曲线C1：ρ2﹣8ρcosθ+12＝0上运动，点B为线段OA的中点．设A（2ρ，θ），B（ρ，θ），由于，转换为点B的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝1；转换为参数方程为（θ为参数）；（2）直线l：（t为参数），转换为普通方程为y＝ax，极坐标方程为a＝tanθ，设M（ρ1，θ），N（ρ2，θ），由于，所以：ρ1＝3ρ2，代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0所以，整理得：，解得：，所以，解得tanθ＝0，故θ＝0．即a＝0．。

成都七中2020~2021学年度上期2021届高三入学考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．已知集合(){},21A x y y x ==-，(){}2,B x y y x ==，则AB =（ ）A ．∅B ．{}1C ．(){}1,1D ．(){}1,1-2．复数z = ）A ．1BC ．2D3．已知命题():,0p x ∃∈-∞，23x x <；命题:0,2q x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x <，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ） A ．55.2，3.6 B ．55.2，56.4C ．64.8，63.6D ．64.8，3.66．设2323a ⎛⎫=⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）A ．12π+B ．22π+C ．1π+D ．2π+8．若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，()5cos 13αβ+=，则sin β的值为（ ） A ．1665-B ．3365C ．5665D ．63659．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n ∈N ，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i 行有i 个数，*i ∈N ），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （i ，*j ∈N 且j i ≤），则()21,20a =（ ）．A ．23132⨯B ．21232⨯C ．23032⨯D ．21132⨯10．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．()6,10B ．()6,8C ．()8,10D ．()6,1211．正方体1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P 的轨迹为（ ）A ．椭圆的一部分B ．线段C ．抛物线的一部分D ．圆弧12．己知函数()212ln x f x x -=的定义域为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，若对任意的1x ，210,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．(],5-∞D ．(],6-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）13．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =________．14．已知x ，y 满足22x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-+的最大值为________．15．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，若b =4a c +=，则a 的值为________．16．已知椭圆2222:1x y a b Γ+=与双曲线2222:1x y m nΩ-=共焦点，1F 、2F 分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1．若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为________． 三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分）17．（本题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =，121n n a S +=+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本题12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸()mm x 之间近似满足关系式by c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（0.302，0.388）内时为优等品现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程． 附：对于样本()(),1,2,,6i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211nniii i i i nniii i vv u u v u nvub v v vnv====---==--∑∑∑∑，a u bv =-， 2.7183e ≈．19．（本题12分）如图，在以P ，底面圆的直径AB 长为2，O 为圆心．C 是圆O 所在平面上一点，且AC 与圆O 相切．连接BC 交圆于点D ，连接PD ，PC ，E 是PC 的中点，连接OE ，ED ．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）若二面角B PO D --的大小为23π，求平面PAC 与平面DOE 所成锐二面角的余弦值． 20．（本题12分）已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于P ，Q 两点，PQ =（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED △，FOD △的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．21．（本题12分）已知函数()()1xf x x e =-，()lng x a x =+，其中e 是自然对数的底数．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切．求实数a 的值； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点． （22题与23题为选做题，二选一）22．（本题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=，()ρ∈R ，直线l与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度AB ． 23．（本题10分）已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b ≥-．成都七中2020-2021学年度上期2021届高三入学考试数学试卷（理科）答案1-5：CBCBD 6-10：BBBDA 11-12：DB 1314．1- 15．1或3 16．1217．【答案】（Ⅰ）1321n n n a b n -==- （Ⅱ）1133n n n T -+=-【解析】（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥， 两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥．又21213a S =+=，所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-． （Ⅱ）因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=++++． 则12311352133333n nn T -=++++， 两式相减得：21222221133333n n n n T --=++++-11113321121313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+⨯--1121233n nn --⎛⎫=--⎪⎝⎭∴21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅ 18．【答案】（1）15； （2）0.5y ex =．【解析】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比()0.302,0.388yx∈ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，有3件为非优等品，所求概率为232631155C P C ===．（2）对by c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln i i v x =，ln i i u y =，则u b v a =⋅+，且ln a c = 由所给统计量及最小二乘估计公式有：11222175.324.618.360.271101.424.660.542ni i nii v u nuvb vnv==--⨯÷====-÷-∑∑118.324.6216a u bv ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-==，由ln a c =得c e =，所以y 关于x 的回归方程为0.5y ex =．19．【解析】（1）证明：AB 是底面圆的直径，AC 与圆切于点A ， 所以AC AB ⊥，又PO ⊥底面，则PO AC ⊥，PO AB O =，所以：AC ⊥面PAB AC PB ⇒⊥，又因为，在三角形PAB 中，2PA PB AB PA PB ==⇒⊥ PA AC A =，所以PB ⊥面PAC ，∵PB ⊂面PBC所以：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）因为OB PO ⊥，OD PO ⊥， ∴BOD ∠为二面角B PO D --的平面角， ∴23BOD π∠=，如图建立坐标系，易知1OB =，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，1,022D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，,1,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，11,322E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 由（1）知()0,1,1BP =-为平面PAC 的一个法向量， 设平面ODE 的法向量为(),,n x y z =，31111,,0322322OE x y z ⎛⎫=-⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭，311,002222OD x y ⎛⎫=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：()3,3,1n =，26cos 13n BP n BPθ⋅==． 20．【答案】（1）22143x y +=． （2）()2,1 【解析】（1）不妨设P 在第一象限，由题可知,13P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴228113a b +=， 又∵12e =，∴22811123c c +=，可得1c =，椭圆的方程为22143x y +=． （2）设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则切线l 的方程为20024x x y x =-代入椭圆方程得：()4223031204x x x x x +-+-=， 设()11,B x y ，()22,C x y ，()33,E x y ，则()3012320223x x x x x +==+，()22000332032443x x x y x x =-=-+， KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤⎢⎥+=--++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++，令0y =得()302083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =，222004124x x FD +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，02FD k x =-，02BC xk =，∴1FD BC k k ⋅=-，FD BC ⊥，∴~DEK FOD △△，∴()()22200122220941849163x x S DK S FD x +===+． 化简得()()2200177240x x+-=，∴02x =（02x =-舍去）∴A 的坐标为()1,1，()4223031204x x x x x +-+-=， ()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+21．【解析】（1）由()()1x f x x e =-得()xf x xe '=，所以切线的斜率()1k f e '==．因为切点坐标为()1,0，所以切线的方程为()1y e x =-． 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y ． 由()ln g x a x =+得()1g x x '=，所以()111g x e x '==，得11x e=． 所以切点坐标为1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为对1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线()1y e x =-上．所以2a e =-．（2）由()()1ln xh x b x e x =--，得()211x xbx e h x bxe x x-'=-=．令()21xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()()220x m x bx bx e '=+>， 故()m x 在()0,+∞上单调递增．又因为()110m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以()0m x =在()0,+∞上有唯一解，从而()0h x '=在()0,+∞上有唯一解． 不妨设为0x ，则011ln x b<<． 当()00,x x ∈时，()()()00m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()()()00m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增．故0x 是()h x 的唯一极值点．令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，()110t x x'=-<，所以()t x 在()1,+∞上单调递减， 从而当1x >时，()()10t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111ln ln 1ln ln b h b e b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 1ln ln ln 0t b b b ⎛⎫⎛⎫=--=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()010h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点． 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在()0,+∞上恰好有2个零点．另解：∵02011x x e e b =>>，∴0111x b <<+，再证明11111ln 10b h e b b +⎛⎫⎛⎫+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22．【答案】（1）26y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2． 【解析】（1）曲线C 的参数方程为221,14, x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数），将①式两边平方，得22212x t t =++③， ③-②，得26x y -=，即26y x =-，因为112x t t t t =+=+≥=，当且仅当1t t =，即1t =±时取“=”，所以2x ≥，即2x ≤-或2x ≥， 所以曲线C 的普通方程为26y x =-（2x ≤-或2x ≥）． （2）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 得：22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥，则曲线C 的极坐标方程为22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥设A ，B 的极坐标分别为1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，由226sin cos 6πθρθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩11得22sin cos 666ππρρ=-，即232240ρρ--=，且3ρ≥ 因为44324473∆=+⨯⨯=⨯，∴ρ=ρ=，满足ρ≥，不妨设1ρ=2ρ=所以12AB ρρ=-=注：没考虑ρ≥要酌情扣分 23．【解析】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b -≥-+，即2242a ab b ≥++， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．。

2021届四川省成都市第七中学高三入学考试数学（理）试题一、单选题 1．已知集合(){},21A x y y x ==-，(){}2,B x y y x ==，则AB =（ ）A ．∅B ．{}1C ．(){}1,1D ．(){}1,1-【答案】C【解析】由题意可知A B 是直线21y x =-与抛物线2y x 的交点，所以两关系式联立成方程组求解即可 【详解】解：由221y x y x=-⎧⎨=⎩，得2210x x -+=，解得1x =，1y =， 所以A B =(){}1,1，故选：C 【点睛】此题考查集合的交集运算，考查两曲线的交点问题，属于基础题2．复数z =的模是（ ）A ．1BC ．2D【答案】B【解析】先算1的模，再利用复数的除法计算z . 【详解】因为()()()2121111i z i i i i -===-++-，所以z =B .【点睛】本题考查复数的除法及其复数的模的计算，属于基础题. 3．已知命题():,0,23xxp x ∃∈-∞<；命题:0,,sin 2q x x x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝【答案】C【解析】试题分析：因为当0x <时，213x⎛⎫> ⎪⎝⎭即23x x >，所以命题p 为假，从而p ⌝为真.因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，即sin x x >，所以命题q 为真，所以()p q ⌝∧为真，故选C.【考点】命题的真假.4．抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用抛物线定义可得点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍，从而可得结果. 【详解】解：依题意，得F （1,0），抛物线的准线为x ＝－1， 线段AF 的长等于点A 到准线x ＝－1的距离，因为点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，所以，点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍 设A 点横坐标为0x ，是0x ＋3＝2（0x ＋1），解得：0x ＝1， 所以，｜AF ｜＝1－（－1）＝2 故选B 【点睛】本题考查了抛物线定义，考查了数形结合的思想，属于基础题.5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A ．55.2,3.6 B ．55.2,56.4 C ．64.8,63.6 D ．64.8,3.6【答案】D【解析】首先写出原来数据的平均数的公式和方差的公式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的公式，两部分进行比较，即可得到结果.【详解】设这组数据分别为12,,,n x x x ，由其平均数为4.8，方差是3.6，则有1121() 4.8n x x x x n=+++=，方差22221121[()()()] 3.6n S x x x x x x n=-+-++-=，若将这组数据中每一个数据都加上60，则数据为1260,60,,60n x x x +++，则其平均数为1121[(60)(60)(60)] 4.86064.8n x x x x n=++++++=+=，方差为22222121[(6064.8)(6064.8)(6064.8)] 3.6n S x x x n=+-++-+++-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差公式的计算与应用，其中熟记数据的平均数和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】先利用13y x =的单调性比较a ，c 的大小，再利用1()3xy =比较b ，c 的大小可得. 【详解】先比较a ，c 的大小关系，由13y x =在R 上是增函数可得：a c >， 再比较b ，c 的大小关系，由1()3xy =在R 上是减函数可得：b c <， 综上可得：a c b >>， 故选：B. 【点睛】比较数的大小时，我们要找到它们的共性，合理利用对应函数的单调性是解决此类问题的关键，属于简单题目.7．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）A ．12π+B ．22π+C ．1π+D ．2π+【答案】B【解析】由三视图理解该几何体：一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱组成，即可求体积； 【详解】由三视图可知：该几何体可看作由一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱组成， ∴12111222V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B 【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积，注意几何体的组合分别求体积后加总，属于简单题；8．若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，5cos()13αβ+=，则sin β的值为（ ） A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365 【答案】B【解析】根据,αβ为锐角，且4cos 5α=，5cos()13αβ+=，利用平方关系求得sin ,sin()ααβ+，再由sin sin[()]βαβα=+-，利用两角差的正弦公式求解.【详解】因为,αβ为锐角，且4cos 5α=，5cos()13αβ+=， 所以312sin ,sin()513ααβ=+=，所以故sin sin[()]βαβα=+-，124533313513565=⨯-⨯=， 故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及平方关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n ∈N ，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i 行有i 个数，*i ∈N ），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （i 、*j ∈N 且j i ≤），则()21,20a =（ ） 123654789101514131211a a a a a a a a a a a a a a aA ．23132⨯B ．21232⨯C ．23032⨯D ．21132⨯【答案】D【解析】推导出当i 为偶数时，()(),12i i i i a a +=，再利用奇数行中，从右到左，项的序数依次增大可求得()21,20a 的值. 【详解】由数阵可知，第二行右边最后一项的序数为312=+，第四行右边最后一项的序数为101234=+++，由上可知，当i 为偶数时，第()i i N*∈行最后一项的序数为()11232i i i +++++=， 所以，()202121020,202a a a ⨯==，结合数阵中的规律可知，在奇数行中，从右到左，项的序数依次增大，所以()21121221,2032a a ==⨯.故选：D. 【点睛】本题考查归纳推理，推导出数阵中偶数行最后一项的序数是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.10．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．(6,10) B ．(6,8)C ．(8,10)D ．(6,12)【答案】A【解析】根据题干得到函数在4π处取得最大值，当x ∈0,4π⎛⎫⎪⎝⎭时，,4x πωϕϕϕω⎛⎫+∈+⎪⎝⎭，()sin ,?f t t t x ωϕ==+有两个零点,故这两个零点应该是,2ππ，得到()50,24πϕπωπ=-∈进而求解.【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立,说明函数在4π处取得最大值，又因为()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，当x ∈0,4π⎛⎫⎪⎝⎭时，,4x πωϕϕϕω⎛⎫+∈+⎪⎝⎭在这个范围内()sin ,?f t t t x ωϕ==+有两个零点,故这两个零点应该是,2ππ 结合条件：当4t πϕω=+时取得最大值，故根据三角函数的图像的性质得到542πϕωπ+=，()50,24πϕπωπ=-∈，解得()6,10ω∈.故答案为A. 【点睛】这个题目考查了三角函数的性质的应用，整体思想的应用，整体思想是将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx 中的x ．11．正方形1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CP D P MP=，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆弧B ．线段C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分 【答案】A【解析】根据题意,以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设正方体棱长为1,(),P x y .由1DP CPD P MP=及两点间距离公式,表示出P 的轨迹方程.即可判断轨迹的形状. 【详解】由题意以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设正方体棱长为1,(),P x y 则()0,1C , 由12CM MC =,可得23MC =因为P 在底面ABCD 内运动,且满足1DP CPD P MP=.由勾股定理及两点间距离公式代入可()()2222222214119x y x y x y x y +-+=+++-+两边同时平方,并展开可得222222222113129x y x y y x y x y y ++-+=+++-+交叉相乘,化简可得22189055x y y +-+= 化为标准方程可得 22936525x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭而因为P 在底面ABCD 内运动,所以其轨迹为一段圆弧 故选:A 【点睛】本题考查了空间几何体中的轨迹方程问题,几何关系式的应用,计算量较为复杂,属于中档题.12．已知函数()212ln xf x x -=的定义域为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，若对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x-+>-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．(],5-∞D ．(],6-∞【答案】B【解析】由题意可知，()f x 在10,e ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，将不等式()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-两边同时乘以12x x -，变形为()()12221211f x f x m x x ->-，不妨设12x x >，则()()122212f x f x x x m m -<-，构造新函数()()21,0,mg x f x x x e ⎛⎫⎛⎤=-∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭，根据函数单调性定义可知，若使得对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则需()10,0,g x x e ⎛⎫⎛⎤'≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立，即min22ln m x，求解即可.【详解】()212ln x f x x -=∴()()()()()()2223212ln 12ln 4ln 1x x x x x f x xx ''----'== 函数()f x 的定义域为10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦∴()0f x '<，即函数()f x 在10,e⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1222120x x x x +∴> ∴()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-变形为()()()()1212122212x x f x f x mx x x x +->-即()()12221211f x f x mx x ->- 不妨设12x x >，则()()12f x f x <，221211x x < 即()()122212f x f x x x m m -<- 令2212ln 1()(),0,m m x g x f x x x x e ⎛⎫--⎛⎤=-=∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 则()()()()()2223212ln 1ln 424ln m x x x m x m xg x x x ''------++'==若使得对任意的121,0,x x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立.则需()10,0,g x x e⎛⎫⎛⎤'≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.则1424ln 0,0,m x x e ⎛⎫⎛⎤-++≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.即122ln ,0,m x x e⎛⎫⎛⎤≤-∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.所以()min 122ln 22ln 4m x e≤-=-=. 即实数m 的取值范围是(],4-∞. 故选：B 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，等价变形，构造新函数，是解决本题的关键，本题属于难题.二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =________．【解析】根据正投影定义确定点B 坐标，再根据空间两点距离公式求结果. 【详解】因为点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为()1,0,3，即B ()1,0,3，所以OB =【点睛】本题考查空间直角坐标正投影以及空间两点距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知x ，y 满足22x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-+的最大值为____________.【答案】1-【解析】作可行域，作目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 【详解】作可行域，如图ABC 内部（含边界），作直线:20l x y -+=，由2y x x y =⎧⎨+=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)C ，平移直线l ，向上平移时2z x y =-+增大，∴当直线l 过点(1,1)C 时，2z x y =-+取得最大值1-． 故答案为：1-．【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键．15．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，若13b =，4a c +=，则a 的值为______.【答案】1或3【解析】利用正弦定理把边角关系式转化为角的三角函数关系式，再利用两角和的正弦公式化简该式可得23B π=，利用余弦定理可求a 的值． 【详解】cos cos 2B bC a c=-+， 即有2cos cos cos -=+a B b C c B ，即()2sin cos sin cos cos sin sin sin -=+=+=A B B C C B B C A ， 即有1cos 2B =-，由于B 为三角形的内角，则23B π=， 又2222cos b a c ac B =+-，即有2213a c ac =++， 又4a c +=，解得，1a =，3c =或3a =，1c =. 故答案为：1或3． 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，注意分析三边三角中哪些是已知的，哪些是未知的，从而确定用什么定理解决问题．16．已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m nΩ-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________.【解析】根据正弦定理，可得2PF c =，根据椭圆与双曲线定义可求得a m c =+，结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1，可得220c m mc --=，进而求得双曲线的离心率c e m=． 【详解】 设焦距为2c在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+ 即22a c m c -=+ 所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即1c c a m ⨯= ，即2c a m= 所以2c m c m+=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --=由一元二次方程求根公式可求得12e ±= 因为双曲线中1e >所以e =【点睛】本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法，计算量复杂，属于难题．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,21n n a a S +==+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在20x y -+=上，*.n N ∈（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）13n n a -=，1(1)221n b n n =+-⋅=-（2）2112132323n n n n T ---=--⋅⋅1133n n -+=-.【解析】（1）利用n a 与n S 的递推关系可以n a 的通项公式；P 点代入直线方程得12n n b b +-=，可知数列{}n b 是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和. 【详解】()1由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得12n n n a a a +-=，()132n n a a n +=≥．又21213a S =+=，所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-()2因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=+++⋯+． 则123111352321333333n n n n n T ---=+++⋯++， 两式相减得：21222221133333n n n n T --=+++⋯+-． 所以21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅． 【点睛】用递推关系1=(2)n n n a S S n --≥求通项公式时注意n 的取值范围，所求结果要注意检验1n =的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸(mm)x 之间近似满足关系式b y c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）.按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(0.302,0.388)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程. 附：对于样本(),(1,2,,6)i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211ˆnniii i i i nniii i v v u u v u nvub v v vnv ====---==--∑∑∑∑，ˆˆau bv =-， 2.7183e ≈. 【答案】（1）15；（2）0.5ˆyex =. 【解析】（1）根据优等品的质量与尺寸的比(0.302,0.388)yx∈，得到随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，有3件为优等品，有3件为非优等品，列出所有从6件中取2件的所有基本事件和2件均为优等品的基本事件，再用古典概型的概率公式求得答案；（2）对b y c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i i v x u y ==，则u b v a =⋅+，根据表中的数据，先求得u 关于v 的回归方程，从而求得y 关于x 的回归方程. 【详解】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比(0.302,0.388)yx∈， 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为,,a b c ， 有3件为非优等品，记为,,d e f ，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d(,),(,),(,),(,),(,)c e c f d e d f e f ，选中的两件均为优等品的事件为(,),(,),(,)a b a c b c ， 所以所求概率为31155=. （2）对b y c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln ,ln i i i i v x u y ==，则u b v a =⋅+，且ln a c =由所给统计量及最小二乘估计公式有：6162221675.324.618.360.271101.424.660.5426ˆi iiiiv u uvbv v==--⨯÷====-÷-∑∑118.324.62ˆˆ16a u bv⎛⎫-⨯⎪⎝⎭=-==，由ˆˆlna c=得ˆc e=，所以y关于x的回归方程为0.5ˆy ex=.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，换元法的应用，用最小二乘法公式求回归方程，考查了分析理解能力，转化与化归思想，计算能力，属于中档题.19．如图，在以P为顶点的圆锥中，母线长为2，底面圆的直径AB长为2，O为圆心.C是圆O所在平面上一点，且AC与圆O相切.连接BC交圆于点D，连接PD，PC，E是PC的中点，连接OE，ED.（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；（2）若二面角B PO D--的大小为23π，求面PAC与面DOE所成锐．二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（226【解析】（1）由AC AB⊥，得AC⊥面PAB AC PB⇒⊥，再得PA PB⊥，从而可得线面垂直，于是有面面垂直；（2）二面角B PO D--的平面角为BOD∠，大小为23π，这样以,OB OP为.y z轴，在底面上作x轴建立如图的空间直角坐标系，用向量法求二面角．【详解】（1）证明：AB是底面圆的直径，AC与圆切于点A，所以AC AB ⊥，又PO ⊥底面，则PO AC ⊥，PO AB O ⋂=， 所以：AC ⊥面PAB AC PB ⇒⊥， 又因为，在三角形P AB 中，2PA PB AB PA PB ==⇒⊥ PA AC A =，所以PB ⊥面P AC ，PB ⊂面PBC所以：平面PBC ⊥平面P AC ； （2）因为OB PO ⊥，OD PO ⊥，BOD ∴∠为二面角B PO D --的平面角，23BOD π∴∠=，如图建立坐标系，易知1OB =， 则()0,1,0A -，()0,1,0B ，31,,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 23,1,0C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，311,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由（1）知()0,1,1BP =-为平面P AC 的一个法向量， 设平面ODE 的法向量为(),,n x y z =，311311,,02222OE x y z ⎛⎫=-⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 3131,,0022OD x y ⎛⎫=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：()3,3,1n =，26cos n BP n BPθ⋅==.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查用向量法二面角．面面垂直，线面垂直，线线垂直，在立体几何证明垂直问题时常常相互转换，要灵活运用．20．已知抛物线24x y=，F为其焦点，椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，1F，2F为其左右焦点，离心率12e=，过F作x轴的平行线交椭圆于,P Q两点，46||PQ=.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A作切线l交椭圆于,B C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC的中垂线交x轴为K，KED∆，FOD∆的面积分别记为1S，2S，若121849SS=，且点A在第一象限．求点A的坐标．【答案】(1)22143x y+=. (2) ()2,1【解析】（1）由题设可知26P⎫⎪⎝⎭，又12e=，把,a b均用c表示，并把点26P⎫⎪⎝⎭代入标圆方程，求得1c=；（2）根据导数的几可意义求得直线BC的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E 的坐标，求得中垂线方程，即可求得K点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A坐标.【详解】（1）不妨设P在第一象限，由题可知26P⎫⎪⎝⎭，228113a b∴+=，又12e=，22811123c c∴+=，可得1c=，椭圆的方程为22143x y+=.（2）设2,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭则切线l的方程为20024x xy x=-代入椭圆方程得：()422300031204xx x x x+-+-=，设()()()112233,,,,,B x yC x y E x y，则()31232223xx xxx+==+，()2200033232443x x xy xx=-=-+，KE的方程为()()23002200324323x xy xxx x⎡⎤+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，即()2200243xy xx x=-++，令0y=得()3283Kxxx=+，在直线l方程中令0y=得02Dxx=，222004124x xFD+⎛⎫=+=⎪⎝⎭()()()23000022003428383x xx xDKx x+=-=++，02,2FD BCxk kx=-=，1FD BCk k∴⋅=-，FD BC⊥，DEK FOD∴∆∆∽，()()22200122220941849163x xS DKS FD x+∴===+.化简得()()2200177240x x+-=，02x ∴=（02x =-舍去）A ∴的坐标为()2,1.()4223031204x x x x x +-+-=，()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.21．已知函数()()1xf x x e =-，()lng x a x =+，其中e 是自然对数的底数.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切.求实数a 的值； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点. 【答案】（1）2a e =-；（2）证明见解析.【解析】（1）求出函数的导数，计算f （1），f '（1），求出切线方程，利用曲线()y g x =的切点1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭在切线上列方程求解即可；（2）求出()h x 的导数，通过讨论b 的范围，求出()h x 的最小值，判断函数的零点个数，从而确定b 的范围即可． 【详解】（1）由()()1xf x x e =-得()xf x xe '=，所以切线的斜率()1k f e '==.因为切点坐标为()1,0，所以切线的方程为()1y e x =-. 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y . 由()ln g x a x =+得()1g x x'=，所以()111g x e x '==，得11x e =. 所以切点坐标为1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为对1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线()1y e x =-上.所以2a e =-.（2）由()()1ln xh x b x e x =--，得()211x xbx e h x bxe x x-'=-=. 令()21xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()()220xm x bx bx e '=+>， 故()m x 在()0,∞+上单调递增.又因为()110m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以()0m x =在()0,∞+上有唯一解，从而()0h x '=在()0,∞+上有唯一解. 不妨设为0x ，则011ln x b<<. 当()00,x x ∈时，()()()00m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()()()00m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增. 故0x 是()h x 的唯一极值点.令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，()110t x x'=-<，所以()t x 在()1,+∞上单调递减，从而当1x >时，()()10t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111ln ln 1ln ln b h b e b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 1ln ln ln 0t b b b ⎛⎫⎛⎫=--=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()010h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点. 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在()0,∞+上恰好有2个零点. 【点睛】本题考查了切线方程，函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=，（R ρ∈），直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度AB . 【答案】（1）26y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2）2373. 【解析】（1）根据参数方程，消去参数，得到曲线普通方程，再由题意求出定义域即可；（2）先将（1）中的曲线方程化为极坐标方程，得到226sin cos ρθρθ=-，（2cos ρθ≥），设,A B 的极坐标分别为12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将6πθ=代入曲线的极坐标方程，由根与系数关系，以及()21212124AB ρρρρρρ=-=+-，即可得出结果. 【详解】（1）曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数）.将①式两边平方，得22212x t t=++③， ③②，得26x y -=，即26y x =-， 因为1112?2t t t t t t+=+≥=，当且仅当1t t =，即1t =±时取“=”，所以2x ≥，即2x -≤或2x ≥， 所以曲线C 的普通方程为26y x =-（2x -≤或2x ≥）.（2）因为曲线C 的直角坐标系方程为26y x =-（2x -≤或2x ≥），所以把x cos y sin ρθρθ==，代入得：226sin cos ρθρθ=-，（2cos ρθ≥），则曲线C 的极坐标方程为226sin cos ρθρθ=-，（2cos ρθ≥）设,A B 的极坐标分别为12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将6πθ=代入曲线C 的极坐标方程得232240ρρ--=，433ρ≥,因为∆=4+4×3×24=4×73>0,∴1211ρ?ρ33==，满足ρ≥， 所以|12|AB ρρ=-=【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标的方法求弦长的问题，属于常考题型.23．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -． 【答案】（1）[]1,1M =-；（2）证明见解析.【解析】（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果； （2）利用分析法证明不等式 【详解】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩()12422x f x x ⎧≤-⎪≤∴⎨⎪-≤⎩或1144122x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或1422x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩114x ∴-≤≤-或1144x -<<或114x ≤≤所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b --+≥，即2242a ab b ++≥， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+ 因为a ，b M ∈，所以2a b +≤， 所以所证不等式成立．【点睛】本题考查含绝对值不等式解法、分析法证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.。

2021届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试数学（理）试题一、选择题1．已知i 是虚数单位，若172ia bi i+=+-（a ， b R ∈），则ab =（ ） A. 15- B. 3 C. 15 D. 3- 【答案】D【解析】()()()()172172147132225i i i i i i a bi i i i +++++-===-+=+--+， 1,3a b =-=， 3ab =-，选D.2．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测广告费用为9万元时，广告费用（万元） 2 3 4 5 6 销售轿车（台数） 3461012A. 17B. 18C. 19D. 20 【答案】C 【解析】由题意,故选C.3．如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5,9,80,43，95,73,28,17,60,36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（）A. 60?1x i i >=+，B. 60?1x i i <=+，C. 60?1x i i >=-，D. 60?1x i i <=-， 【答案】A【解析】把大于60的数找出来,根据流程图可知当满足条件时输出x,故判断框中应填x>60?， i 的功能是用于技术，故处理框应填i=i+1. 本题选择A 选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．4．圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线2213y x -=3，则圆C 的方程为（）A. ()2211x y +-= B. (2233x y +=C. 2231x y ⎛+-= ⎝⎭ D. ()2224x y +-= 【答案】A【解析】设圆C 的方程为x 2+(y −a)2=a 2(a>0)，圆心坐标为(0,a)，∵双曲线2213y x -=的渐近线方程为3y x =3 ∴22232a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴a=1，∴圆C 的方程为x 2+(y −1)2=1. 本题选择A 选项.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．⊥成立的一个充分条件是（）5．已知直线,m n和平面,αβ，使mαA. ,//⊥⊂ D. //,mββα⊥m n nα⊥ B. //,m n nαm n nα⊥ C. ,【答案】B【解析】逐一考查所给的选项：⊥成立的一个既不充分也不必要条件条件；A. ,//m n nα⊥是mα⊥成立的一个充分条件；B. //,m n nα⊥是mα⊥成立的一个既不充分也不必要条件条件；C. ,⊥⊂是mαm n nα⊥成立的一个必要条件.D. //,⊥是mαmββα本题选择B选项.6．．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则其正视图中x的值为A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】根据三视图恢复成原几何体，原几何体为上边是正四棱锥下边为圆柱的组合体，圆柱的底面半径为2，高为，体积为，正四棱锥的底面边长为，高为，体积为，组合体的体积为： ，，选C.7．将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（）A. 0B. 12C. 3D. 1【答案】D【解析】将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后，可得函数()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，根据所得图象关于原点对称， 可得()2,,sin 2333f x x πππϕπϕ⎛⎫+=∴==+ ⎪⎝⎭. 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ,故当232x ππ+=时,f(x)取得最大值为1，本题选择D 选项. 8．二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（ ）A. B. 3 C. 3或 D. 3或【答案】B【解析】试题分析：由题意得，令，则，所以.故正确答案为B.【考点】1.二项式定理；2.微积分定理.9．某个家庭有2个孩子，其中有一个孩子为女孩，则另一个孩子也为女孩的概率为（ )A 、13B 、23C 、14D 、12【答案】A【解析】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则A={（男，女），（女，男），（女，女）}，B={（男，女），（女，男），（女，女）}，AB={（女，女）}．于是可知 P(A)= 34，P(AB)= 14．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P （B|A ），由条件概率公式，得P （B|A ）=14÷ 34 =13．故选A ．10．在ABC ∆中， 5,,BC G O =分别为ABC ∆的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 上述三种情况都有可能 【答案】B【解析】在△ABC 中，G,O 分别为△ABC 的重心和外心，取BC 的中点D ，连结AD,OD,GD ，如图所示：则1,3OD BC GD AD ⊥=， 结合()1,,52OG OD DG AD AB AC OG BC =+=+⋅=，则：()()156OD DG BC DG BC AB AC BC +⋅=⋅=-+⋅=，即()()2215,306AB AC AC AB AC AB -+⋅-=∴-=-，又BC=5，则： 2222265AB AC BC AC BC =+>+，结合余弦定理有cos 0,2C C ππ<∴<<，△ABC 是钝角三角形. 本题选择B 选项.11．对正整数n ，有抛物线()2221y n x =-，过()2,0P n 任作直线l 交抛物线于n A ，n B 两点，设数列{}n a 中，14a =-，且()n 1,1n nn OA OB a n N n =>∈-其中，则数列{}n a 的前n 项和n T =( ) A ．4n B ．4n - C ．()21n n + D ．()21n n -+ 【答案】D【解析】试题分析：设直线方程为2x ty n =+，代入抛物线方程得()()22214210y n ty n n ----=， 设()()1122,,,n n n n n A x y B x y ，则()2212121212(1)24n n n n n n n n n n OA OB x x y y t y y nt y y n ⋅=+=++++①， 由根与系数的关系得()12221n n y y n t +=-，()12421n n y y n n =--， 代入①式得()22224(21)14(21)444n n OA OB n n t n n t n n n ⋅=--++-+=-， 故41n n OA OB n n ⋅=--（1,n n N >∈），故数列1n n OA OB n ⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和2(1)n n -+.【考点】1、直线的方程；2、方程的根与系数的关系；3、平面向量的数量积.二、填空题12．若以曲线()y f x =上任意一点()11,M x y 为切点作切线1l ，曲线上总存在异于M 的点()22,N x y ，以点N 为切点作切线2l ，且12//l l ，则称曲线()y f x =具有“可平行性”，现有下列命题：①函数()22ln y x x =-+的图象具有“可平行性”；②定义在()(),00,-∞⋃+∞的奇函数()y f x =的图象都具有“可平行性”；③三次函数()32f x x x ax b =-++具有“可平行性”，且对应的两切点()11,M x y ， ()22,N x y 的横坐标满足1223x x +=； ④要使得分段函数()()()1{10xx m x f x x e x +<=-<的图象具有“可平行性”，当且仅当1m =. 其中的真命题个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】由“可平行性”的定义,可得曲线y=f(x)具有“可平行性”,则方程y ′=a(a 是导数值)至少有两个根。

2024届成都市七中高三数学（理）下学期入学考试卷2024.02考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2Z 2150A x x x =∈--<，{}R 10B x x =∈-≤，则()A B Rð的真子集的个数为（）A．9B．8C．7D．62．若函数()21f x x ax =++是定义在(,22)b b --上的偶函数，则2b f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．14B．54C．74D．23．已知复数z 满足1i 1i z -=+，则z z +=（）A．i -B．i C．1D．1-4．已知()()()()626012621111x a a x a x a x -=+-+-++- ，则2a =（）A．60-B．30-C．30D．605．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23341S a =+，()24441S a =+．则（）A．1020a =B．550S =C．5758a S +=D．2nna S ≥6．已知π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4417sin cos 25θθ+=，则πtan 4θ⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．13B．12C．2D．37．对于数列{}n a ，若满足：12321111333n n n nR a a a a -=+++⋅⋅⋅+，则称n R 为数列{}n a 的“优值”，现已知数列{}n a 的“优值”13n n R =，记数列83na ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则n S 的最大值为（）A．223B．233C．243D．2538．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)(2)2C x y ++-=，若圆22:()(1)2D x a y -+-=上存在点P，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M，且满足|||PM PO =，则实数a 的取值范围为（）A．[1]B．[4,2]-C．[3,3]-D．[2,4]-9．设函数π()2sin(),(0),6f x x ωω=+>若存在12ππ,[,],33x x ω∈-且12x x ≠，使得()()121f x f x ==，则ω的取值范围是（）A．[)4,∞+B．(]4,6C．[)6,∞+D．(]6,1010．在四面体ABCD中，AB =1AD BC CD ===，2πBAD ABC ∠==∠，则该四面体的外接球表面积为（）A．7π2B．7πC．8πD．10π11．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9的奇数，则不同的取法有（）种.A．54B．53C．47D．4612．定义在R 上的可导函数()f x 满足()()e e x x x f x f x x --=+，当0x <时，1()0e x xf x -'+>，若实数a 满足222(2)(2)2e e 2e 0a a a f a f a a a ------+-++≤，则a 的取值范围为（）A．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．[2,)+∞C．2,[2,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D．(,2]-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线与直线240x y +-=平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为．14．在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E ∈平面11ABB A ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC 的面积取得最小值时，1D E =．15．设数列{}n a 满足11a =，22a =，()*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，令()22221πlog sin 2n n n b a a -⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，则数列{}n b的前100项和为．16．已知函数()21ln ,04,0x x f x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪--+≤⎩，()g x x a =-+，若函数()()()F x f x g x =-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的取值范围是.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100(1)判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；(2)若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为X ，求X 的分布列及()E X .附：①()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++；②当23.841χ>时有95%的把握认为两变量有关联.18．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c sin Ca b =+．(1)求B 的值；(2)若2b =，求ABC 面积的取值范围．19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且11,.2BD CD BD CD DE ==⊥⊥平面ABCD ，且12DE BF DE== BF .点,H G 分别为线段,DC EF 上的动点，满足(02)DH EG λλ==<<.(1)证明：直线GH 平面BCF ；(2)是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为4214？请说明理由.20．设点P 是椭圆221:14x C y +=上任意一点，过点P 作椭圆的切线，与椭圆()22222:114x y C t t t +=>交于A B ，两点.(1)求证：PA PB=;(2)OAB 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.21．设函数()()2e axf x x =-．(1)若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为30y x b -+=，求a，b 的值；(2)若当0x >时，恒有()2f x x >--，求实数a 的取值范围；(3)设*n ∈N 时，求证：()()2222223521ln 112231n n n n +++⋅⋅⋅+<+++++．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()sin cos 3ρθθ+=．(1)写出曲线1C 的极坐标方程，曲线2C 的直角坐标方程；(2)曲线1C 与曲线2C ，如有公共点，求出公共点坐标；如无公共点，设,A B 分别为曲线1C 与曲线2C 上的动点，求线段AB的最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【分析】解不等式求出集合A，求出集合B 的补集，即可确定()A B R ð的元素，根据元素的个数，即可求得()A B R ð的真子集的个数.【详解】由题意{}{}2Z 2150Z (3)(5)0A x x x x x x =∈--<=∈+-<{}Z 35{2,1,0,1,2,3,4}x x =∈-<<=--，{}R 10{|1}B x x x x =∈-≤=≤，故R {|1}B x x =>ð，故{2,3,()4}A B =R ð，则()A B R ð的真子集的个数为3217-=，故选：C 2．D【分析】利用偶函数的定义可计算,a b 的值，再根据解析式计算函数值即可.【详解】因为函数2()1=++f x x ax 是定义在(,22)b b --上的偶函数，所以220b b -+-=且()()2211f x x ax x ax f x -=-+=++=，则02a b =⎧⎨=⎩，所以2()1f x x =+，则2(1)1122b f f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故选：D．3．C【分析】利用复数的四则运算求出复数z 即可得出答案.【详解】由题意，复数z 满足1i 1i z -=+，可得()()11i 11i i i 1i 1i 1i 22z -=+=+=+++-，所以1122z i=-．则z z +=1，故选：C．4．D【分析】设1t x =-，则1x t =+，变换()()662121x t -=+，利用二项式定理计算得到答案.【详解】设1t x =-，则1x t =+，所以()()662601262121x t a a t a t a t-=+=++++ ．()621t +的展开式的通项()666166C 21C 2rr r r r r r T t t ---+=⨯=，取4r =得4226C 260a =⨯=．故选：D．【分析】由等差数列,n na S 的关系结合已知等式化简，可得2d =，结合()23341S a =+，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n 项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.【详解】设正项等差数列{}n a 的公差为d，因为()23341S a =+，()24441S a =+，所以两式相减得()()22443411a a a =+-+，可得()4434a a a =-()432a a ++，即()143a d d +=()1252a d ++，所以()()12250d a d -+=，因为{}n a 是正项等差数列，则0,0n a d >≥，则1250a d +>，所以2d =，由()23341S a +＝，得()212314()21a a a a d ++=++，得()2114(33)21a d a d +=++，即()2114(36)5a a +=+，所以11a =，所以21n a n =-，2(121)2n n n S n +-==，得1019a =，525S =，A，B 错误；5794958a S +=+=，C 正确；22211111n n a n S n n -⎛⎫==--+≤ ⎪⎝⎭，D 错误，故选：C.6．D【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于sin θ、cos θ的方程组，解出这两个量的值，可得出tan θ的值，再利用两角和的正切公式可求得πtan 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】由已知可得442217sin cos 25sin cos 120sin 22cos 12θθθθθθ⎧+=⎪⎪+=⎪⎪⎨<<⎪<<⎩，解得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，sin 1tan cos 52θθθ===，故π1tan tan1π42tan 3π141tan tan 1142θθθ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭--⨯.故选：D.7．D【分析】将1231221111133333n n n n n n a a a a a ---=+++⋅⋅⋅++中的n 变为n 1-后两式相减可得数列{}n a 的通项公式，然后令830n a +>即可求出n S 的最大值.【详解】由已知得1231221111133333n n nn n n a a a a a ---=+++⋅⋅⋅++①，则当2n ≥时，123112211113333n n n n a a a a ----=+++⋅⋅⋅+②所以①-②得1111333n n n n n n a ----=，即()21133n n a n n =--=-+，又当1n =时，113a =，符合213n a n =-+，故213n a n =-+，所以2113383n a n ++=-令21103833n a n =+-+>，得5n ≤，所以n S 的最大值为513525323S ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭==.故选：D.8．D【分析】根据PM PO=可求出点P 的轨迹方程，根据点P 的轨迹与圆D 有交点列出不等式求解.【详解】设点P 的坐标为(),x y，如图所示：由PM 可知：222PM PO=，而222PM PC CM=-，∴2222PC CM PO-=∴()()()22221222x y x y ++--=+，整理得222430xy x y +-+-=，即()()22128x y -++=.∴点P 的轨迹为以点()1,2E -为圆心，P 在圆D 上，∴所以点P 为圆D 与圆E 的交点，即要想满足题意，只要让圆D 和圆E ≤≤解得24a -≤≤.故选：D 9．A【分析】根据题意，需将π6x ω+看成整体角X ，由x 范围ππ[,],33ω-求得X 范围πππ[,]362ω-+，结合函数2sin y X =的图象，求得使1sin 2X =的两个解，由题只需使π7π66x ω+≤-即可，计算即得.【详解】不妨取π6X x ω=+，由ππ[,]33x ω∈-可得：ππππ[,]6362X x ωω=+∈-+，由2sin 1X =可得1sin 2X =，由图可取12π7π,,66X X ==-要使存在12ππ,[,],33x x ω∈-且12x x ≠，使得()()121f x f x ==，需使，ππ7π366ω-+≤-，解得4ω≥.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查与正弦型函数图象有关的等高线问题.解决的关键在于将π6x ω+看成整体角，作出正弦函数的图象，结合求得的整体角的范围求得最近的符合要求的角，从而界定参数范围.10．B【分析】根据题设条件作出四面体的高DH ，通过相关条件推理计算分别求出,AH DH ，最后在直角梯形HEOD ，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半径.【详解】如图，作DH ⊥平面ABC ，连接,,AH HB HC ，易得,DH AB ⊥因AB AD ⊥，,,AD DH D AD DH ⋂=⊂平面DAH ，所以AB ⊥平面DAH ，AH ⊂平面DAH ，故AB AH ⊥,由题可得30BAC ∠=，2AC =，则120HAC ∠= .不妨设,AH x DH h ==，则有221x h +=①，在HAC △中，由余弦定理，222422cos12024HC x x x x =+-⨯=++ ，在HDC △中，22246h x x +++=②，将两式相减化简即得：12x =，h =.取线段AC 中点E ，过点E 作OE ⊥平面ABC ，其中点O 为外接球的球心，设外接球半径为R ，由余弦定理求得211712cos120424HE =+-⨯= ，在直角梯形HEOD 中，221OE R =-，由2237)24R =-+计算可得：274R =，则该四面体的外接球表面积为7π.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积，属于中档题.求解多面体的外接球的主要方法有：（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体，正方体，圆柱等几何体，借助于这些几何体迅速求得外接球半径；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助于题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.11．B【分析】将10个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：0、2､4､6､8，然后分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，再由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，将10个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数0、2､4､6､8，若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有25C 10=种情况，都符合题意，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，若奇数取9，有25C 10=种情况；若奇数取7，有25C 10=种情况；若奇数取5，有25C 19-=种情况；若奇数取3，有25C 28-=种情况；若奇数取1，有25C 46-=种情况；综上，三个数的和为不小于9的奇数，不同的取法有10101098653+++++=种.故选：B.12．C【分析】根据已知条件构造函数()g x ，利用偶函数的定义及导数的正负与函数的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.【详解】由()()e e x xxf x f x x --=+，得()()e e x x x x f x f x ---=--.令()()e xxg x f x =-，则()()g x g x =-，即()g x 为偶函数.当0x <时，1()()0e x x g x f x -''=+>，所以()g x 在(),0∞-上单调递增；所以()g x 在()0,∞+上单调递减.由()()222222e e 2e 0a a a f a f a a a ------+-++≤，得()()222222e e a a a a f a f a +≤+-+-，即()()22g a g a ≤+.又()g x 为偶函数，所以()()22g a g a ≤+，因为()g x 在()0,∞+上单调递减，所以22a a ≥+，即22444a a a ≥++，解得23a ≤-，或2a ≥，所以a 的取值范围为2,[2,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数()g x ，利用偶函数定义和导数法求出函数的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式.13．12##0.5【分析】根据已知条件求得b ，再求焦点到渐近线距离即可.【详解】根据题意可得12b -=-，故可得12b =，则c =，则右焦点坐标为,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，一条渐近线为12y x =，右焦点到一条渐近线的距离12d ==.故答案为：12.14．322【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设(2,,)E y z ，根据1D E CF⊥，结合数量积运算，求得22z y =-，进而表示出EBC 的面积，结合面积有最小值即可求得,z y ，即可求得答案.【详解】以点D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则1(0,2,0),(2,2,0),(2,0,1),(0,0,2)C B FD ，设(2,,)E y z ，则()12,2,1,(2,,2)CF D E y z =-=-，因为1D E CF ⊥，故14220D E CF y z ⋅=-+-=，即22z y =-，由于BC ⊥平面11ABB A ，EB ⊂平面11ABB A ，故BC EB ⊥，所以EBC 的面积为222BE BC BE S BE ⋅⨯===，而BE ===故S =65y =时，25128y y -+取最小值，即S 最小，此时62,55y z ==，则1682,,55D E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，故1D E ==，即1D E =，故答案为：【点睛】方法点睛：由于是在正方体中求解线段的长，因此可以建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积运算结合EBC 面积最小，求出参数，即E 点的坐标，从而解决问题.15．5000-【分析】根据给定的递推公式，求出数列{}n a 的通项公式，进而求出n b ，再利用分组求和法求解即得.【详解】数列{}n a 满足11a =，22a =，()*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，∴数列{}21n a -是以1为首项，1为公差的等差数列，即21n a n -=，数列{}2n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，即22n n a =，因此()222ππlog 2sinsin22nn n n b n =⋅=，显然πsin 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的周期为4，则4342414k k k kb b b b ---+++()()()()()()()222243π42π41π4π43sin42sin41sin4sin2222k k k k k k k k ---=-+-+-+()()()224341821k k k =---=--，令4342414n n n n n c b b b b ---+++=，则有()821n c n =--，()()1821182116n n c c n n +⎡⎤⎡⎤=-+----=-⎣⎣⎦-⎦，∴数列{}n c 是等差数列，数列{}n b 的前100项和，即数列{}n c 的前25项和()()2588122550002⎡⎤⨯-+-⨯⎣⎦=-.故答案为：5000-.16．(⎤⎦【分析】由题意首先得(]2,4a ∈，212233222321111124ln ln ln 41a x x x x x x x x x x <=-+=-++=++=++≤，进一步有231x x =，由此即可顺利得解.【详解】由题意设()()h x f x x=+，则函数()()()F x f x g x =-的零点即为方程()h x a=的根，在同一平面直角坐标系中分别画出函数()h x 的图象以及直线y a =如图所示：若函数()()()F x f x g x =-有三个零点123,,x x x ，（不妨设为123x x x <<），则方程()h x a=的根有三个根123,,x x x ，且12301x x x ≤<<<，所以(]2,4a ∈，且212233222321111124ln ln ln 41a x x x x x x x x x x <=-+=-++=++=++≤，因为1ln y x x x =++在()1,∞+单调递增，所以321x x =，即231x x =，所以1231x x x x ⋅⋅=，令224a x ==-+，0x ≤，解得2x =-244a x ==-+，0x ≤，解得0x =，所以(12312,0x x x x ⎤⋅⋅=∈⎦.故答案为：(2,0⎤⎦.【点睛】关键点睛：关键是根据函数单调性得到231x x =，由此即可顺利得解.17．(1)没有(2)分布列见解析，()45E X =【分析】（1）根据题意和公式求出2χ，然后根据附②即可得出结论；（2）由题得出X 的取值依次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望.【详解】（1）根据列联表中的数据，得()2210020202040252.7783.841406040609χ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.（2）这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生在2人，所以X 的取值依次为0，1，2，()2325C 30C 10P X ===，()112325C C 31C 5P X ===，()2225C 12C 10P X ===，所以X 的分布列为X012P31035110()3314012105105EX =⨯+⨯+⨯=.18．(1)π6B =(2)(S ∈【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可.（2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得5π2cos 26S A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭结合角的范围即可得解.sin C a b =+ca b =+，即222a c b +-=，由余弦定理得222cos 222a c b B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π6B =．（2）在锐角ABC 中，π2,6b B ==，记ABC 的面积为S ．由正弦定理得2πsin sin sin 6a c AC==，即4sin ,4sin a A c C ==．所以()()15πsin 4sin sin 2cos cos 2cos 226S ac B A C A C A C A ⎛⎫⎡⎤===--+=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭因为在锐角ABC 中，π6B =，所以πππ0,,π0,262A C A ⎛⎫⎛⎫∈=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得ππ5πππ,,2,32666AA ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5πcos2,162A ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，故(S ∈．19．(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）以D 为原点，分别以,,DC DB DE 方向为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，证明GH与平面BCF 的法向量垂直即可证；（2）由线面角的向量法求线面角后可得结论．【详解】（1）如图，以D 为原点，分别以,,DC DB DE 方向为,,x y z轴建立坐标系.()()()((2,0,0,0,1,0,2,1,0,,0,1,C B A E F -.()(((2,1,0,0,0,,2,,BC BF AE EF =-==-=.设平面BCF 的法向量为()1111,,n x y z =，则由11111200,0,0x y BC n BF n -=⎧⎪⋅=⋅=⎨=⎪⎩ ，取11x =得()11,2,0n = .因为2,DC EF EG DH λ====，所以,22DH DC EG EFλλ==解得(),0,0,0,,,,,22H G GH λλλλ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .所以10n GH ⋅= ，且GH ⊄平面BCF ，所以GH 平面BCF （2）设平面AEF 的法向量为()2222,,n x y z =则由2222222200,0,0x y AE n EF n y ⎧-+=⎪⋅=⋅=⎨+=⎪⎩，解得)21n =- .所以242sin cos ,14n GH θ==，解得1λ=.20．(1)见解析(2)是定值，定值为【分析】（1）直线AB 与椭圆方程联立，证明AB 的中点坐标，即切点P 的坐标；（2）首先讨论直线AB 的斜率不存在的情况，以及直线AB 的斜率存在时与椭圆方程联立，并利用韦达定理表示弦长AB，并表示OAB 的面积.【详解】（1）设直线AB 斜率不存在，则点P 在x 轴上，由对称性可知，PA PB=，若直线AB 的斜率存在，设:AB y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，联立()2204y kx m x y λλ=+⎧⎪⎨+=>⎪⎩，可得()222418440k x kmx m λ+++-=，当1λ=时，直线AB 与椭圆切于点P ，()()2222Δ64164110k m k m =-+-=，解得：2241m k =+，02441km x k -=+，当2t λ=时，线段AB 中点的横坐标12024241x x kmx k +-==+，所以点P 为线段AB 的中点，PA PB=，综上，PA PB=；（2）若直线AB 斜率不存在，则:2AB x =±，与椭圆2C方程联立可得，(2,A ±，(B ±，故OAB S = 若直线AB 的斜率存在，由（1）可得122841kmx x k -+=+，221224441m t x x k -=+，2241m k =+AB =点O 到直线AB的距离d ==所以12OAB S AB d =⋅= 综上OAB 的面积为定值【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是转化为直线AB 与椭圆相交和相切的问题，转化为证明AB 的中点，即切点P .21．(1)1,2a b =-=(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义列式求解；（2）构建()()2g x f x x =++，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，结合端点效应分析求解；（3）由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20ax x x -++>，令1a =，12e x t =，可得221ln 1t t t -<+，再令1n t n +=，可得()()2221ln 1ln 1n n nn n +<+-++，利用累加法分析证明.【详解】（1）因为()()2e axf x x =-，则()()e 2e ax axf x a x =+-'，则()02f =-，()012f a'=-，即切点坐标为()0,2-，斜率12k a =-，由题意可得：2300123b a --⨯+=⎧⎨-=⎩，解得1,2a b =-=.（2）令()()()22e 2ax g x f x x x x =++=-++，则()()()e 2e 121e 1ax ax ax g x a x ax a =+-+=-++'，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，则()01210g a =+'-≥，解得1a ≤，若1a ≤，则有：①当a<0时，()()()()242e 22e e2e 1e 22ax ax axax ax x g x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫=-++=++=+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因为0x >，可知()2e 0axx +>，令()41e 2axh x x -=-++，因为41,e 2ax y y x -=-=+在()0,∞+内单调递增，可得()h x 在()0,∞+内单调递增，则()()00h x h >=，即()()()2e 0ax g x x h x =+>，符合题意；②当0a =时，则()2220g x x x x =-++=>在()0,∞+内恒成立，符合题意；③当01a <≤时，令()()x g x ϕ='，则()()()e 21e 22e ax ax axx a a ax a a ax a ϕ=+-+=-+'，因为0x >，则22220ax a a -+>-+≥，e 0ax>，可知()()22e 0ax x a ax a ϕ+'=->在()0,∞+内恒成立，则()x ϕ在()0,∞+内单调递增，可得()()0220x a ϕϕ>=-≥，则()g x 在()0,∞+内单调递增，可得()()00g x ϕ>=，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],1-∞.（3）由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20ax x x -++>，令1a =，可得()2e 20x x x -++>，令12e1xt =>，则2e ,2ln xt x t ==，则()22ln 22ln 20t t t -++>，整理得221ln 1t tt -<+，令*11,n t n n +=>∈N ，则22111ln 11n n n n n n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭<+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，整理得()()2221ln 1ln 1n n n n n +<+-++，则()()2222223521ln 2ln1,ln 3ln 2,,ln 1ln 12231n n n n n +<-<-⋅⋅⋅<+-++++，所以()()()2222223521ln 1ln1ln 112231n n n n n +++⋅⋅⋅+<+-=+++++.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．22．(1)曲线1C 极坐标方程()22cos sin 10ρρθθ--+=，曲线2C 的直角坐标方程为30x y +-=(2)无公共点，3212-【分析】(1)由参数方程，直角坐标方程及极坐标方程互化求解；(2)由直线与圆的位置关系求解即可.【详解】（1）曲线1C 的普通方程()()22111x y -++=，极坐标方程()()22cos 1sin 11ρθρθ-++=，()22cos sin 10ρρθθ∴--+=，曲线2C 的极坐标方程为()sin cos 3ρθθ+=．化为直角坐标方程为30x y +-=；（2）曲线1C 的普通方程()()22111x y -++=，圆心为()11,1O -，到直线30x y +-=的距离为12d ==>，故曲线1C 与曲线2C 的无公共点，即直线与圆相离，得线段AB 的最小值为3212-．23．(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][(),24,∞∞--⋃+．（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,)2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211()24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．。

2020届四川省成都市第七中学高三上学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合(){}{}22log 1A x y x B y y x ==-==，，则A B =（ ）A ．(]02，B ．()12，C ．()1+∞， D ．(]12， 2．已知i 为虚数单位，若复数31i z i-=+,则||z =（）A ．1B ．2CD 3．若a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b <B ．()ln 0a b ->C ．1133a b > D ．a b >4．已知点(1,1),(1,2),(2,1),(3,4)A B C D ---，则向量CD 在AB 方向上的投影为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．- 5．成都七中星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：55~8：35，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：55~9：35之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．126．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则“{a n }是等差数列”是“{}n S n 是等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且132a ，34a ，2a 成等差数列，则20191817a a a a +=+（ ） A ．9 B ．6C ．3D ．1 9．椭圆22:193x y C +=与双曲线()2222100x y Q m n m n-=>>:，焦点相同，当这两条曲线的离心率之积为1时，双曲线Q 的渐近线斜率是（ ）A．B． C ．12± D ．2±10．已知函数()g x 为一次函数，若对m n R ∀∈，，有()()()3g m n g m g n +=+-，当[]11x ∈-，时，函数()(()2log 2f x x g x =+的最大值与最小值之和是（ ）A ．10B ．8C ．7D ．611．在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A．12+ B1 C ．32 D ．5212．函数()f x 是定义在R 上的函数,且满足()()322f x f x +=,当[)1,1x ∈-时,()21f x x =-+,则方程()29log 08f x x -=在(]0,5的根的个数为（ ）． A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题13．命题“200021x R x x ∃∈->，”的否定是___________________________________. 14．2015年北京庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为______米.15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面α与正方体每条棱所成的角均相等，则平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大值为_____________. 16．已知函数()323f x x x bx c =-++有极值，且导函数()'f x 的极值点是()f x 的零点，给出命题：①1c >-；②若0c >，则存在00x <，使得()00f x =；③()f x 与()'f x 所有极值之和一定小于0；④若10c -<<，且y kx =是曲线()()0C y f x x =<:的一条切线，则k 的取值范围是2724⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.则以上命题正确序号是_____________.三、解答题17．已知函数()224sin 26f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）用“五点作图法”作出()f x 在一个周期内的图像；（2）在ABC 中，若函数()f x 在角A 处取得最大值，且BC =，求ABC 周长的最大值.18．如图①，是由矩形ABCD ，Rt EAB 和Rt FAD 组成的一个平面图形，其中3AB AE AF ===，4=AD ，将其沿AB AD ，折起使得AE AF ，重合，连接EC 如图②.（1）证明：平面ECD ⊥平面EAD ；（2）若M 为线段BC 中点，求直线EM 与平面AED 所成角的正切值.19．2021年电商“双十一”大战即将开始.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对成都地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：（年龄单位：岁）（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？（2）若从年龄在[)5565，，[]6575，的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用网上购物”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．已知抛物线()2:20C y px p =>过点(1M -，，直线l 经过抛物线的焦点F 与抛物线交于A B ，两点.（1）若直线l 的方程为2y x =-，求ABO 的面积；（2）若直线OAOB ，的斜率为12k k ，，且122k k +=，求直线l 的方程. 21．已知函数()()[]sin 11226x x f x g x ax x e ππ+==+∈-，，，，其中a 为实数，e 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使得对任意给定的[]022x ππ∈-，，在区间[]22ππ-，上总存在三个不同的()123i x i =，，，使得()()()()1230f x f x f x g x ===成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为221416x y +=，直线l 恒过定点()12M ，，倾斜角为α.（1）求曲线C 和直线l 的参数方程；（2）当3πα=时，若直线l 交椭圆于A B ，两点，求AM BM ⋅的值.23．已知函数()21f x x x m m R +=++∈，.（1）若不等式()2f x x m ++≥对x R ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围；（2）当1m 时，求不等式()2f x m -<的解集.参考答案1．C【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】 解：(){}{}22log 1A x y x B y y x ==-==， {}{}|10|1A x x x x ∴=->=>，{|0}B y y =，()1,A B ∴=+∞．故选：C ．【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．D【分析】 运用复数除法的运算法化简复数z ，再根据复数模的计算公式，求出||z ，最后选出答案.【详解】因为3(3)(1)121(1)(1)i i i z i i i i --⋅-===-++⋅-，所以||z == D. 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则和复数求模公式，考查了数学运算能力.3．C【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及特殊值法来判断各选项中不等式的正误.【详解】对于A 选项，由于指数函数2x y =为增函数，且a b >，22a b ∴>，A 选项中的不等式不成立；对于B 选项，由于对数函数ln y x =在()0,∞+上单调递增，a b >，当01a b <-<时，()ln ln10a b -<=，B 选项中的不等式不恒成立；对于C 选项，由于幂函数13y x =在(),-∞+∞上单调递增，且a b >，1133a b ∴>，C 选项中的不等式恒成立；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但a b <，D 选项中的不等式不恒成立. 故选C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，通常利用函数单调性、比较法、不等式的性质以及特殊值法来判断，考查推理能力，属于中等题.4．B【解析】【分析】先求出CD ，AB 的坐标，再根据投影公式：向量CD 在AB 方向上的投影为||AB CD AB ⋅即可求得。

四川省成都市第七中学2021届高三数学上学期一诊模拟试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A.3B. 6-C. 10D. 15-【答案】C 【解析】【分析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S=-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题. 3.关于函数()tan f x x=的性质，下列叙述不正确的是（）A. ()f x的最小正周期为2πB. ()f x是偶函数C. ()f x的图象关于直线()2k x k Zπ=∈对称D. ()f x在每一个区间(,)()2k k k Zπππ+∈内单调递增【答案】A 【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x =的图象可知，C 、D 均正确；故选A. 考点：正切函数的图象与性质.4.已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A.考点：1.不等式性质；2.充要条件.5.如果21nx ⎫-⎪⎭的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式中x 的指数为0,得到5n r =,由此可得正整数n 的最小值是5.【详解】因为21nx ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为52121()(1)n rrn rr r rr nn T C C x x--+=-=-,(0,1,2,)r n =,令502n r-=,则5n r =,因为*n N ∈,所以1r =时,n 取最小值5. 故选:C【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于基础题.6.在约束条件：1210xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为1，则ab的最大值等于（）A. 12B.38C.14D.18【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a，b的关系，利用基本不等式求ab的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由(0,0)z ax by a b=+>>，则a zy xb b=-+，平移直线a zy xb b=-+，由图象可知当直线a zy xb b=-+经过点(1,2)A时直线的截距最大，此时z最大为1．代入目标函数z ax by=+得21a b+=．则1222a b ab=+，则18ab当且仅当122a b==时取等号，ab∴的最大值等于18，故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7.设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A.152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去）， ∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．8. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ） A. 288个 B. 306个 C. 324个 D. 342个【答案】C 【解析】试题分析：当个位、十位、百位全为偶数时，有3313434390C A C A -=；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有21312133434333234C C A A C C A -=，所以共有90234324+=种,故选C.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题主要考查两个基本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的标准进行，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进行.9.已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（ ） A. ()()22(2)log af f f a <<B. ()()2log (2)2af a f f <<C. ()()2log 2(2)af a f f <<D. ()()2(2)log 2af f a f <<【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->,可得()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)af a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-, 所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <, 所以()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增, 所以2x =时,函数取得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=, 所以224log 3a <-<, 所以224log 2aa <-<,所以2(4log )(2)af a f -<, 所以2(log )(2)af a f <,所以()()2(2)log 2af f a f <<.故选:D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.10.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ）A. [6,)+∞B. [4,6]-C. (4,6)-D.(,4]-∞-【答案】A 【解析】 【分析】首先将|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,转化为圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,继续转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且(349)(34)0a ---+≤,解不等式组可得答案. 【详解】因为|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,所以+的取值与x ，y 无关,取值与x ，y 无关,即圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,因为圆心(1,1)到直线1;3490l x y --=21=>,所以直线1;3490l x y --=与圆相离,所以直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,1≥,且(349)(34)0a ---+≤,所以6a ≥或4a ≤- 且1a ≥, 所以6a ≥. 故选:A【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间是解题关键,属于中档题.11.若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b -⋅-的最大值为（ ）A. 10B. 12C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =，OB b =，OC c =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值. 【详解】解：设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，c b BC -=()()cos a bc b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠||||2||2a b c ===4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a bc b --=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12.已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ）A.B. 5⎡⎢⎣C. 5⎡⎢⎣D.5⎡⎢⎣ 【答案】B 【解析】 分析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】如图所示:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =,所以1//B Q DF ; 取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ; 因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MN DF 交1DD 于N ,则四点1,,,B Q N M 共面,且123DN DD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动, 连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥, 所以22PC CD DP +,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以23110DN +21310DQ =+=所以点D 到QN 的距离为13231021102⨯⨯=, 所以DP 310,10, 所以PC 22310335()35+=22(10)319+=. 所以PC 的取值范围是33519⎣. 故选:B【点睛】本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 13.命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤ 【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”．14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600,则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】 【详解】根据题意9个小长方形面积依次为0.02,0.02,0.022,0.023,0.024,0.023,0.022,0.02,0.02d d d d d d d +++++++因为9个小长方形面积和为1，所以0.82160.1811600(0.024)36016d d d +=∴=∴⨯+= 15.设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为__________.【解析】【详解】试题分析：设点M 的坐标为(,)M x y ，由抛物线的定义可知，12MF x =+，则22MOMFx x ==++ 令14t x =-，则14t >-,14x t =+,若t>021123111399333216162MOt MFt t t t =+=+≤+=++++，当且仅当3t 4=时等号成立， 所以MOMF的最大值为233. 考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之. 16.已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b +--的最小值为 ．【答案】424+ 【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填4243+． 【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件. 考点：基本不等式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值. 【答案】(1)3π;(2)a b ==． 【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换，sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；（2）由m 与n 共线， 得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：（1）2113sin cos cos ,2cos 2122C C C C C -=-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=. （2）m 与n 共线,sin 2sin 0B A ∴-=, 由正弦定理sin sin a bA B=,得2b a =,① 3c=,由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-, ② 联立①②,{a b ==考点：正弦定理；余弦定理.18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635【答案】（I ）没有的把握认为“古文迷”与性别有关；（II ）“古文迷”的人数为3，“非古文迷”有2；（III ）分布列见解析，期望为95. 【解析】【详解】（I ）由列联表得所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．（II ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人（III ）因为为所抽取3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量ξ的分布列为123于是．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值为155【解析】【详解】证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接EO .因为O 为1AB 的中点，O 为EO 的中点,所以EO ∥1AB 且112OD BB =.又O 是1AB 中点， 所以AB ∥1AB 且112OD BB =,所以AB ∥EO 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥EC .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则EC ∥平面1A BE . (Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB AB ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以ABC 平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥EC ，所以CD ⊂平面11A ABB . 所以CD ⊂1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O ⋂=，EO ⊥平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB , 所以1A B ⊂平面1A BE .（Ⅲ）解: 取11A C 中点F ，连接1,?B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面1AB ⊥.因为底面1AB ⊥是正三角形，且F 是11A C 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1BB ⊥侧面11ACC A . 所以EF 是11A C 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是11A C 与平面11ACC A 所成角.111sin B F BE F B E ∠==20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为())12,F F ,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M . (1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论.【答案】(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到c =1b OM ==，所以a =（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++. 试题解析： （1）依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==，∴a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，3y =±.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，则122233222k k ++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．21.已知函数()ln ()f x tx x t =+∈R . （1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-；（2）若对于定义域内任意x ，()1xf x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围 【答案】（1）见解析 （2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证；（2）参变分离得到ln 1xx t e x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】（1）证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证 （2）原式子恒成立即ln 1xx t e x+≤-在(0,)+∞恒成立 设ln 1()xx x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x ex ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+- 易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线()2:sin 0,0242l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.【答案】（1） 圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 （2）【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l 与圆O 的公共点的直角坐标，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得，，解得即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．23.已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）6m >或2m <- 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可． 【详解】（1）原不等式为：23215x x ++-≤，当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵优质资料\word可编辑活应用，这是命题的新动向．- 21 - / 21- 21 -。

2023届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}sin ,M y y x x ==∈R ，{}220N x x x =--<，则MN =（ ） A ．(]1,1- B ．[)1,2-C ．()1,1-D ．[)1,1-【答案】A【分析】由正弦函数性质可得集合M ，解一元二次不等式可得集合N ，然后由交集定义可得.【详解】由正弦函数值域可知{|11}M y y =-≤≤， 由220x x --<解得{|12}N x x =-<< 所以{|11}M N x x =-<≤，即(]1,1-故选：A2．设i 为虚数单位，若复数()()1i 1i a ++是纯虚数，则实数=a （ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】先化简复数，再利用复数的相关概念求解. 【详解】复数()()()()1i 1i 11i a a a ++=-++， 因为复数()()1i 1i a ++是纯虚数，所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩，解得1a =，故选：C3．4(12)x -的展开式中含2x 项的系数为（ ） A ．24- B ．24 C ．16- D ．16【答案】B【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】4(12)x -的展开式中含2x 的项为()2224224C x x ⋅-=，系数为24. 故选：B4．已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为（ ）A ．22(1)2x y -+=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)2x y +-=D ．22(1)4x y +-=【答案】D【分析】求得ABC 外接圆的方程即可进行选择. 【详解】设ABC 外接圆的方程为()222()x a y b r -+-= 则有()()()222222222(3)0(3)0(0)3a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解之得012a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则ABC 外接圆的方程为22(1)4x y +-= 故选：D5．已知一个半径为4的扇形圆心角为()02θθπ<<，面积为2π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（ ） A ．0 B ．12C ．2D ．12-【答案】B【分析】由扇形面积公式可求得θ，由两角和差正切公式可构造方程求得结果.【详解】扇形面积21422S θπ=⋅=，4πθ∴=，()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--∴，解得：1tan 2ϕ=.故选：B.6．考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出，其内容是：任意给定正整数s ，如果s 是奇数，则将其乘3加1；如果s 是偶数，则将其除以2，所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到1．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s 的值为5，则输出i 的值为（ ）A．4B．5C．6D．7【答案】B【分析】根据程序框图列举出算法循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，15Z22s=∈不成立，35116s=⨯+=，011i=+=，1s=不成立；第二次循环，18Z2s=∈成立，11682s=⨯=，112i=+=，1s=不成立；第三次循环，14Z2s=∈成立，则1842s=⨯=，213i=+=，1s=不成立；第四次循环，12Z2s=∈成立，则1422s=⨯=，314i=+=，1s=不成立；第五次循环，11Z2s=∈成立，则1212s=⨯=，415i=+=，1s=成立.跳出循环体，输出5i=.故选：B.7．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是（）A．47B．12C．37D．135【答案】B【分析】根据排列组合知识求得基本事件的个数后可得概率．【详解】8个开放洞窟中有3个最值得参观，所求概率为2231353548C C 1C 2C C P +==． 故选：B ．8．设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（ ） A ．αβ⊥，//l β B ．αβ⊥，l β⊂C ．//l n ，n α⊥D ．m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥【答案】C【分析】根据面面垂直、线面垂直、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，当αβ⊥，//l β时，可能l α⊂、//l α或l 与α相交，充分性不成立，A 错误；对于B ，当αβ⊥，l β⊂时，可能//l α或l 与α相交，充分性不成立，B 错误； 对于C ，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C 正确；对于D ，若//m n ，则m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥无法得到l α⊥，充分性不成立，D 错误. 故选：C.9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，313S =，则3a 为（ ） A ．1或9 B ．1 C ．9 D ．3【答案】A【分析】利用等比数列的通项公式及前n 项和公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，易知1q ≠，则 由题意可知，()13131131a q a q q =-=-⎧⎪⎨⎪⎩，解得1913a q ⎧==⎪⎨⎪⎩或113a q =⎧⎨=⎩，所以22311913a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭或2231139a a q ==⨯=.故选：A.10．已知F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若5PF QF =且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）． A 7B ．13C 21D 21 【答案】C【分析】设椭圆右焦点F '，连接PF '，QF '，由椭圆对称性可知四边形PFF Q '为平行四边形，再由余弦定理可得出答案.【详解】设椭圆右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFF Q '为平行四边形，则QF PF '=． 因为120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒．所以62PF PF PF a ''+==，则13PF a '=，53PF a =．由余弦定理可得()()222222cos603c PF PF PF PF PF PF PF PF ''''=+-︒=+-，即2222574433c a a a =-=，即22712c a =故椭圆离心率2272112c e a = 故选：C ．11．设0.01a =，()ln 1sin0.01b =+， 1.1ln1.01c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】D【分析】分别构造函数()sin ,0,2f x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()()ln 1,0,1g x x x x =-+∈，1.1()(1)e x g x x =+-，利用其单调性判断.【详解】设()sin ,0,2f x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()cos 10f x x '=-≤，所以()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，设()()ln 1,0,1g x x x x =-+∈，则()110g x x '=->，()g x 递增，则()()10g x g <=，即ln 1x x <-，所以()ln 1sin0.02sin0.020.02b a =+<<=，即b a < 因为10.0250ln e ln e a ==， 1.1ln1.01c =，所以只要比较()1.10.01 1.1e , 1.01(10.01)x z ===+的大小即可，令 1.1()(1)e x g x x =+-，则0.1() 1.1(1)e x g x x '=+-，0.9()0.22(1)e x g x x -''=+- 因为()g x ''在(0.)+∞上为减函数，且(0)0.2210g ''=-<， 所以当0x >时，()0g x ''<， 所以()g x '在(0.)+∞上为减函数，因为(0) 1.110g '=->，0.10.1 1.10.1(0.1) 1.1 1.1e 1.1e g '=⨯-=-，要比较 1.11.1与0.1e 的大小，只要比较 1.1ln1.1 1.1ln1.1=与0.1lne 0.1=的大小， 令()(1)ln(1)(0)h x x x x x =++->，则()ln(1)11ln(1)0h x x x '=++-=+>， 所以()h x 在上递增，所以()(0)0h x h >=，所以当,()0x ∈+∞时，(1)ln(1)x x x ++>，所以1.1ln1.10.1>， 所以 1.11.1>0.1e ，所以0.10.1 1.10.1(0.1) 1.1 1.1e 1.1e 0g '=⨯-=->， 所以当(0,0.1)x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,0.1)上递增，所以()(0)0g x g >=，所以 1.1(1)e x x +>， 所以 1.10.01(10.01)e +>，所以z x >，即c a > 所以c a b >>， 故选：D二、多选题12．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为8【答案】ABD【分析】由(1)(1)f x f x --=--、(1)(1)-+=+f x f x 可推出()f x 的周期为8，利用对称性、周期性求72f ⎛⎫⎪⎝⎭、判断()7f x +奇偶性及()7,8x ∈时()f x 的单调性，即可得答案.【详解】由题设，(1)(1)f x f x --=--，则()f x 关于(1,0)-对称，所以[(1)1](11)f x f x ---=---，即()(2)f x f x -=--， 则[(2)](22)f x f x --=---，即(2)(4)f x f x -=--， 由(1)(1)-+=+f x f x ，则()f x 关于1x =对称， 所以[(1)1](11)f x f x --+=-+，即(2)()f x f x -=，综上，()(4)f x f x =--，则(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--， 故()(8)f x f x =-，即()(8)f x f x =+易知()f x 的周期为8，D 正确； 773113(2)()(1)(1)()22222412f f f f f f ⎛⎫=-=-=--=--=--=- ⎪⎝⎭，A 正确；由(1)(7)f x f x -=+，而()1f x -为奇函数，故()7f x +为奇函数，B 正确；由()1,0x ∈-时()21f x x =-+递增，则()7,8x ∈时()f x 递增，显然C 错误.故选：ABD三、填空题13．已知(1,2),(,3),(2)a b a b a λ==-⊥，则λ=___________. 【答案】4【分析】由题意可知，a b 和的坐标，结合题中给的(2)a b a -⊥，可结合向量的坐标运算完成列式，计算λ.【详解】因为(1,2),(,3)a b λ==，所以(2)a b λ-=（2-，1），而(2)a b a -⊥，所以(2)0a b a -=，即12-20λ⨯+=（），解得4λ=.故答案为：4.14．如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm ，高为20cm ，则这个茶叶盒的表面积为______2cm .【答案】300(43)【分析】根据棱柱表面积的求法，结合已知求茶叶盒的表面积.【详解】由题设，一个底面的面积为1161010sin 6015032S =⨯⨯⨯⨯︒=2cm ，一个侧面矩形面积为21020200S =⨯=2cm ， 所以茶叶盒的表面积为1226300(43)S S +=2cm . 故答案为：300(43)15．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos b C c B a A +=，若S 为ABC 的面积，则2a S的最小值为______.【答案】22【分析】应用正弦定理边角关系、和角正弦公式可得sin()3sin cos B C A A +=，根据三角形性质有1cos 3A =，再应用余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求目标式的最小值，注意取最小值的条件.【详解】由题设及正弦定理边角关系，sin cos sin cos 3sin cos B C C B A A +=， 即sin()3sin cos B C A A +=，而A B C π++=，故sin 3sin cos A A A =， 又sin 0A ≠，则1cos 3A =，故22sin A =而2222222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，12sin 2bc S bc A ==所以2222222a S bc bc=≥=b c =时等号成立， 故2a S的最小值为22故答案为：2216．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 作倾斜角为60°的动直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作C 的切线1l 、2l ，1l 与2l 交于点P ，1l ，2l 与x 轴的交点分别为M ，N ，则四边形PMFN 的面积为______. 【答案】4【分析】写出直线l 的方程，得到,A B 坐标，从而得到直线12,l l 方程，从而得到,,M N P 坐标，再根据PFMN FMNPMNS SS=+即可得到答案.【详解】由题意可知，()0,1F 且直线l 倾斜角为60︒，则3l k =则直线l 方程为)130y x -=-，即31y x + 设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设A 在第一象限， 联立2314y x x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去y 得24340x x --=解得1234x =，2234x =代入直线方程，则(234,743A +，(234,743B - 因为直线1l 与抛物线相切于点A ， 即214y x =，则12y x '=，所以()11234322l k =，同理可得232l k =，则可得直线1l 方程为()()7433234y x ⎡⎤-+=-⎣⎦，即)32743y x =--则其与x 轴交点，令)327430x --，则32x =所以)32,0M直线2l 的方程为(()()7332234y x ⎡⎤--=-⎣⎦即)32743y x =-+则其与x 轴交点，令)327430x -+，则32x =所以)32,0N,所以4MN =联立12,l l 方程))3274332743y x y x ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩31x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩即P 点坐标为()231-,，PFMN FMNPMNS SS=+111122MN MN =⨯⨯+⨯⨯ 4MN ==故答案为:4.四、解答题17．已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，5913S S =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2n an b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(1)2n a n =；(2)124433n n n +++-. 【分析】（1）由953S S =，应用等差数列前n 项和、等差中项公式得510a =，结合已知求基本量，进而写出{}n a 的通项公式；（2）由（1）得24nn c n =+，应用分组求和，结合等差等比前n 项和公式求n T .【详解】(1)由题设953S S =，则19159()5()322a a a a ++=⨯，即533530a a ==， 所以510a =，而36a =，易得2d =，则12a =， 故1(1)2n a a n d n =+-=.(2)由（1）知：224n nn b ==，则24n n c n =+，所以1122(1)4(14)442(12...)(44...4)221433n n nn n n T n n n ++-=+++++++=⨯+=++--. 18．如图所示，在四棱锥S ABCD -中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，2AD CD ==，1BC =，又2SD =，120SDC ∠=︒，F 为SD 中点.(1)证明：//CF 平面SAB ；(2)求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)105. 【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面SAB 的法向量，再利用0CF n ⋅=即可求解；（2）根据（1）的结论，求出平面SAD 的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解； 【详解】(1)过点D 作DC 的垂线交SC 于E ，以D 为原点，以DC ，DE ，DA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.如图所示因为120SDC ∠=︒，所以30SDE ∠=︒,又2SD =， 所以点S 到y 轴的距离为1，到x 轴的距离为3，则有()()()()()130,0,0,3,0,0,0,2,2,0,0,2,0,1,2D S A C B F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,所以()()532,0,1,1,3,2,,,2AB AS CF ⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面SAB 的法向量为(),,n x y z =，则00n AB n AS ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪=⎩，即20320x z x z -⎧=--=⎪⎨⎪⎩，令3x =5,3y z ==所以()3,5,23n =，所以5335023022CF n ⎛⎫⋅=-⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，即CF n ⊥， 又CF ⊄平面SAB ， 所以//CF 平面SAB .(2)由（1）知，平面SAB 的法向量为()3,5,23n =，()()0,0,0,1,3,0,D S -()0,0,2,A 所以()()0,0,2,1,3,2,AD AS =-=--设平面SAD 的法向量为()111,,m x y z =，则00m AD m AS ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=，即111120320z x y z -=-+-=⎧⎪⎨⎪⎩，令13x =，则111,0y z ==， 所以()3,1,0m =，设平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角为θ，则()()()2222223315023810cos cos ,522103103523m n m n m nθ⨯+⨯+⨯⋅=<>====⨯++⨯++. 所以平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为105. 19．《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到2020年底，我国私人汽车拥有量超过24千万辆．下图是2011年至2020年十年间我国私人汽车拥有量y （单位：千万辆）折线图．（注：年份代码1-10分别对应年份2011-2020）(1)由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的线性回归方程（系数精确到0.01），并预测2022年我国私人汽车拥有量．参考数据：15.5y =，()()101160.1i i i t ty y =--=∑，()1021311.4i i y y =-=∑，()102182.5i i t t=-=∑，25550.5159.825690.5160.3≈．参考公式：相关系数()()()()12211niii nni i i i t t y y r t t y y ===----∑∑∑ˆˆˆybt a =+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆnnii i i i i nniii i tty y t y ntybtttnt ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bt =-． 【答案】(1)说明见解析 (2)ˆ 1.94 4.83yt =+，28.11千万辆 【分析】（1）根据相关系数公式及相关数据计算可求解；（2）根据题中的数据及公式先求得ˆ 1.94 4.83yt =+，再令12t =代入可求解. 【详解】(1)由题意得，()()()()10110102211160.10.9988160.382.5311.425690.5iii iii i t t y y r t t y y ===--===≈≈⨯--∑∑∑，相关系数0.9988r ≈，说明y 与t 的线性相关性很高， 所以，可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系． (2)由 5.5t =，()102182.5i i t t=-=∑，所以160.1ˆ 1.9482.5b=≈，因此ˆˆ15.5 1.94 5.5 4.83a y bt =-⋅=-⨯=， 所以ˆ 1.94 4.83yt =+．当12t =时，ˆ 1.9412 4.8328.11y =⨯+=． 所以2022年我国私人汽车拥有量约为28.11千万辆.据此可以预测，2022年我国私人汽车拥有量将达到28.11千万辆．20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，且过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆E 的方程.(2)设椭圆E 的下顶点为点A ，若不过点A 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与x 轴交于M ，N 两点.若M ，N 的横坐标之积是2，证明：直线l 过定点.【答案】(1)2214x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，列出关于a ，b 的方程求解作答.（2）设出直线l 的方程及点P ，Q 的坐标并表示出点M ，N 的坐标，再联立l 与E 的方程，借助韦达定理计算作答.【详解】(1)依题意，2a b =，椭圆E 方程为：222214x y b b+=，又椭圆E 过13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是有2213414b b +=，解得21b =，24a =， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=.(2)由（1）知()0,1A -，依题意，设直线l 的方程为()0,1y kx m k m =+≠≠-，()11,P x y ，()22,Q x y ，直线AP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标为111M xx y =+，同理得点N 的横坐标为221N x x y =+， 由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得，()222418440k x kmx m +++-=， ()()222264441440k m k m ∆=-+->，即2241m k <+，122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+，因此，()()()()121212121111M N x x x x x x y y kx m kx m ==++++++()()()1222121211x x k x x k m x x m =+++++()()222222244412448114141m k m km k k m m k k -+==--⎛⎫⋅++⋅++ ⎪++⎝⎭，即()4121m m -=+，解得3m =， 直线l 的方程为3y kx =+，l 过定点()0,3， 所以直线l 过定点()0,3.【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.21．已知函数()e xf x =，()sin cosg x x x =+.(1)己知()1f x ax ≥+恒成立，求a 的值；(2)证明：当4πx >-时，()()f x g x ≥； (3)当4πx >-时，不等式()()20f x g x ax +--≥（R a ∈），求a 的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)2【分析】（1）由已知，可设函数()e 1xF x ax =--，即证()0F x ≥恒成立即可，通过对参数a 进行分类讨论，求解函数()F x 的最小值，得到()min ln 1F a a a x =--，然后构造函数()ln 1G a a a a =--借助导数求得函数的最值，从而得到满足题意的参数；（2）可设函数()()()x f x g x ϕ=-，借助导数，将区间分为π04x -＜＜和0x ≥分别研究函数的单调性，然后进行判断，通过放缩即可完成证明；（3）构造函数()e sin cos 2xG ax x x x +-=-+，利用()00G =得到()00G '=，从而求得参数的值，然后验证当2a =时，0x =为函数()G x 的极小值点即可. 【详解】(1)由已知，函数()e x f x =，()1f x ax ≥+，即()10f x ax --≥，令()e 10xa F x x =--≥，()e x F x a '=-，①当0a ≤时，()0F x '≥，所以函数()F x 在R x ∈上单调递增，而0(0)e 010F =--=，所以此时()0F x ≥不恒成立；②当0a ＞时，()0F x '=，解得ln x a =，当ln x a ＞，()0F x '＞，函数()F x 单调递增， 当ln x a ＜，()0F x '＜，函数()F x 单调递减， 所以函数()F x 在ln x a =上取得极小值，即()ln min (ln )e ln 1ln 1a F F a a a a x a a ==--=--，要使()0F x ≥在R x ∈上恒成立，即满足ln 10--≥a a a ，令()ln 1G a a a a =--， 所以()1ln 1ln G a a a '=--=-，又因为0a ＞，所以：当01a ＜＜时，()0G a '＞，函数()G a 单调递增，当1a ＞时，()0G a '＜，函数()G a 单调递增，所以()max (1)0a G G ==，因此()0G a ≤， 所以要使ln 10--≥a a a 恒成立，a 的值为1.(2)由已知，()e xf x =，()sin cosg x x x =+，令()()e π2(4))x f x g x x x ϕ-+==，所以()πe 2)4xx x ϕ'=+，()00f '=，①当π04x -＜＜时， ππ44x +0＜＜，所以π2)24x +1＜＜e 1x ＜，则()πe 2)04xx x ϕ'=+＜，所以，函数()x ϕ在)π04⎛- ⎝，上单调递减，故()()00x ϕϕ=＞；②当0x ≥时，构造函数()sin m x x x =-，可证得sin x x ≥，由（1）e 1x x ≥+，、所以当0x ≥时，()e sin ?cos e 10x xx x x x ϕ=-≥--≥，当且仅当0x =时等号成立，综上所述，对任意4πx >-时，()()f x g x ≥. (3)当4πx >-时，不等式sin cos e 20x x x ax ++--≥（R a ∈）， 不妨设()e sin cos 2xG ax x x x +-=-+，即()0G x ≥，因为()0G x ≥且()00G =，所以当0x =时，()G x 取得最小值，由于函数()G x 为可导函数，()πe 2)4xG x a x '=+-，则0x =为函数()G x 的极小值点，故()0πe 2)2004G a a '=-=-=，解得2a =，下面证明当2a =时，0x =为函数()G x 的极小值点， 由（2）问可知，当4πx >-时，()e cos sin 2xx G x x '=+--， 令()e cos sin 2x h x x x =+--，所以()()e sin co 0s xh x x x x ϕ'=--≥=，故函数()G x '在)π4∞⎛+ ⎝，上单调递增，因为()00G '=， 所以当π04x -＜＜时，()()00G x G ''=＜，当0x ≥时，()()00G x G ''=＞，所以函数()G x '在)π04⎛- ⎝，上单调递减，在)(0∞+，上单调递增， 所以0x =为函数()G x 的极小值点，合乎题意. 综上所述，2a =.【点睛】在证明不等式恒成立的题目中，可借助“e 1x x ≥+”或“ln 1≤-x x ”等切线放缩，帮助我们将复杂关系变得简单，从而能够完成整体的证明.22．在平面直角坐标系xOy 中，设曲线1C 的参数方程为13231x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为()cos 0a a ρθ=>．(1)求曲线1C 的普通方程；(2)若曲线2C 上恰有三个点到曲线1C 的距离为12，求实数a 的值．【答案】340x y --= (2)(1023a =【分析】（1）曲线1C 的参数方程消去参数即可求出曲线1C 的普通方程；（2）首先曲线2C 的极坐标方程转化为普通方程，可以得到曲线2C 是圆，要使曲线2C 上恰有三个点到曲线1C 的距离为12，圆心到直线的距离12d r =-，求解方程即可.【详解】(1)由已知得(23t x =代入31y =-，消去参数t 得曲线1C 340x y --=．(2)由曲线2C 的极坐标方程cos a ρθ=得2cos a ρρθ=， 又222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以22x y ax +=，即22222a a x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线2C 是圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径等于2a 的圆．因为曲线2C 上恰有三个点到曲线1C 的距离为12， 所以圆心,02a ⎛⎫⎪⎝⎭340x y --=的距离122a d =-，即()()2234122231a a ⨯--=+-(1023a =．。