人教版新课标A版选修2-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步练习(II)卷

人教版新课标A版选修2-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步测试共 23 题一、选择题1、已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一直线上,则实数a的值为( )A.5B.-2C.-5D.22、若a、b∈R且(1＋i)a＋(1－i)b＝2，则a、b的值分别为( )A.a＝1，b＝－1B.a＝－1，b＝1C.a＝1，b＝1D.a＝－1，b＝－13、设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4、以2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是( )A.2-2iB.2+iC.-iD.i5、已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为( )A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆6、若a2-1+2ai=3+4i,则实数a的值为( )A.±2B.-2C.2D.07、适合x－3i＝(8x－y)i的实数x、y的值为( )A.x＝0且y＝3B.x＝0且y＝－3C.x＝5且y＝3D.x＝3且y＝08、已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为( )A.4B.-1C.-1或4D.-1或69、复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )A.|a|＝|b|B.a<0且a＝－bC.a>0且a≠bD.a<010、若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是( )A.－1B.4C.－1或4D.－1或611、若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( )A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=-1,b=-1D.a=1,b=-112、 下面三个命题:①0比-i 大;②x+yi=1+i(x,y ∈R)的充要条件为x=y=1;③a+bi 为纯虚数的充要条件是a=0,b≠0.其中正确的命题个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 313、 以3i －的虚部为实部，以3i 2＋i 的实部为虚部的复数是( )A. 3－3iB. 3＋iC. －＋iD. ＋i 14、 在复平面内,O 为原点,向量对应的复数为8+3i,与关于x 轴对称,则对应的复数为( )A. 8-3iB. -8-3iC. 3+8iD. -8+3i 15、 下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( )A. ±1B. ±2C. ±iD. ±2i二、填空题16、 复数z=cos 40°+icos 50°的模|z|=________.17、 若x 是实数，y 是纯虚数，且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________，y ＝________18、 方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝________.19、 复数z 满足|z-3+4i|=1(i 是虚数单位),则|z|的取值范围是________.20、 复数z=m+3+(m 2-2m-15)i 是实数,则实数m=________.三、解答题21、 分别求满足下列条件的实数x,y 的值.(1) 2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i;(2) x-3+(x 2-2x-3)i=0.22、 若m 为实数,z 1=m 2+1+(m 3+3m 2+2m)i,z 2=4m+2+(m 3-5m 2+4m)i,那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么?23、 实数x 分别取什么值时,复数z=x 2+x-6+(x 2-2x-15)i 对应的点Z 在下列位置?(1) 第三象限;(2) 第四象限;(3) 直线x-y-3=0上.参考答案一、选择题1、【答案】A【解析】解答：设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为A,B,C(O为坐标原点),则 =(3,-5), =(1,-1), =(-2,a).∵A,B,C三点共线,∴ =t + (1-t),即(3,-5)=t(1,-1)+(1-t)(-2,a),∴解得即a的值为5.分析：此题也可以采用斜率的方法，利用若A,B,C三点共线，则任意两点组成的直线的斜率相等。

第一章 3.1 3.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．(2018·泉州高二检测)如果复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数,那么实数a 的值为( A ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．1或－2[解析] 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0a 2－3a ＋2≠0解得a ＝－2,故选A ．2．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a ＝( A ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3[解析] 由题意知(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ∴a －2＝2a ＋1,解得a ＝－3．故选A ．3．(2018·西安高二检测)设a,b ∈R,i 是虚数单位,则“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a ＋b i ＝a ＋bii2＝a －bi 为纯虚数,则a ＝0,b≠0,故选B ．4．(2017·潍坊高二检测)若复数z ＝(m ＋2)＋(m 2－9)i(m ∈R)是正实数,则实数m 的值为( B ) A ．－2 B ．3 C ．－3D ．±3[解析] 由题知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0m ＋2>0解得m ＝3．故选B ．5．(2017·上海高二检测)设x,y 均是实数,i 是虚数单位,复数(x －2y)＋(5－2x －y)i 的实部大于0,虚部不小于0,则复数z ＝x ＋yi 在复平面上的点集用阴影表示为图中的( A )[解析] 由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2y>05－2x －y≥0,可行域如A 所示,故选A ．6．若复数z 1＝sin2θ＋icosθ,z 2＝cosθ＋i 3sinθ(θ∈R),z 1＝z 2,则θ等于( D ) A ．kπ(k∈Z) B ．2kπ＋π3(k ∈Z)C ．2kπ±π6(k ∈Z)D ．2kπ＋π6(k ∈Z)[解析] 由复数相等的定义可知,⎩⎨⎧sin2θ＝cosθ，cosθ＝3sinθ.∴cosθ＝32,sinθ＝12． ∴θ＝π6＋2kπ,k ∈Z,故选D ．二、填空题7．如果x －1＋yi 与i －3x 为相等复数,x,y 为实数,则x ＝14,y ＝1．[解析] 由复数相等可知,⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.8．(2018·广元模拟)已知a 是实数,i 是虚数单位,若z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数,则a ＝1． [解析] ∵z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0a ＋1≠0,解得a ＝1．故答案为1． 三、解答题9．已知z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosα－45＋i ⎝ ⎛⎭⎪⎫sinα－35,z 2＝cosβ＋isinβ,且z 1＝z 2,求cos(α－β)的值．[解析] 由复数相等的充要条件,知 ⎩⎪⎨⎪⎧cosα－45＝cosβ，sinα－35＝sinβ.即⎩⎪⎨⎪⎧cosα－cosβ＝45， ①sinα－sinβ＝35. ②①2＋②2得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1, 即2－2cos(α－β)＝1,所以cos(α－β)＝12．10．(2017·会宁期中)设复数z ＝(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i,试求实数m 的取值,使得(1)z 是纯虚数；(2)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)复数是一个纯虚数,实部等于零而虚部不等于0由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0m 2＋3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝3m≠－1且m≠－2,得m ＝3．(2)当复数对应的点在第二象限时,由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m<3m>－1或m<－2,得－1＜m ＜3．B 级 素养提升一、选择题1．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R),z 2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ,θ∈R),并且z 1＝z 2,则λ的取值范围为( D )A ．－7≤λ≤916B ．916≤λ≤7 C ．－1≤λ≤1D ．－916≤λ≤7[解析] 由z 1＝z 2,得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cosθ，4－m 2＝λ＋3sinθ，消去m,得λ＝4sin 2θ－3sinθ ＝4(sinθ－38)2－916．由于－1≤sinθ≤1,故－916≤λ≤7．2．(2018·哈尔滨高二检测)若复数z ＝(sinθ－35)＋(cosθ－45)i(θ∈R)是纯虚数,则tan(θ－π4)的值为( A )A ．－7B ．－17C ．7D ．－7或－17[解析] 因为复数z 是纯虚数,所以满足实部为零且虚部不为零,即⎩⎪⎨⎪⎧sinθ＝35，cosθ≠45，因为sinθ＝35且cosθ≠45,所以cosθ＝－45,所以tanθ＝－34,所以tan(θ－π4)＝tanθ－11＋tanθ＝－34－11－34＝－7．二、填空题3．(2018·和平区一模)设i 是虚数单位,a 为实数,若复数a ＋103＋i是纯虚数,则a ＝－3． [解析] a 为实数,若复数a ＋103＋i ＝a ＋103－i 3＋i 3－i＝a ＋3－i 是纯虚数, 则a ＋3＝0,解得a ＝－3． 故答案为－3．4．若复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数,则x 的值为4__． [解析] ∵复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0x －3＝1,解得：x ＝4．三、解答题5．若不等式m 2－(m 2－3m)i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立,求实数m 的值． [解析] 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10，∴⎩⎨⎧m＝0或m ＝3，m ＝3或m ＝1，|m|<10.∴当m ＝3时,原不等式成立．6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc,如果(x ＋y)＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1,求实数x,y 的值．[解析] 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋yi,故有(x ＋y)＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋yi ． 因为x,y 为实数,所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1,y ＝2．C 级 能力拔高已知z ＝sinA ＋(ksinA ＋cosA －1)i,A 为△ABC 的一内角．若不论A 为何值,z 总是虚数,求实数k 的取值范围．[解析] 若z 总是虚数,则对任意的A,ksinA ＋cosA －1≠0恒成立,则只需k 不在1－cosA sinA 的值域内即可．解法一：1－cosAsinA ＝2sin2A 22sin A 2cosA 2＝tan A 2, 其中A ∈(0,π)．∵当A 2∈(0,π2)时,tan A2∈(0,＋∞),∴1－cosAsinA的值域为(0,＋∞)． ∴当k≤0时,1－cosAsinA ≠k 恒成立,即当k≤0时,不论A 为何值,ksinA ＋cosA －1≠0恒成立,z 总是虚数．解法二：∵1－cosA sinA ＝－1sinAcosA －1,而sinAcosA －1表示点(cosA,sinA)与点(1,0)连线的斜率,又(cosA,sinA),A ∈(0,π)在除去端点的半圆上,如图所示,利用数形结合,有sinAcosA －1∈(－∞,0),∴1－cosAsinA∈(0,＋∞)． 以下同解法一．。

3．1 数系的扩充和复数的概念3．1.1 数系的扩充和复数的相关概念1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．基础梳理1．复数的概念及代数表示(1)复数的定义：把集合C＝{a＋b i|a，b∈R|}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．(3)复数集全体复数所构成的集合叫做复数集．记作C＝{a＋b i|a，b∈R}．想一想：为了解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题？解析：设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i ·i ＝－1，那么方程x 2＋1＝0就有解x ＝i 了．2．两个复数相等的充要条件(1)在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R}中任取两个复数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，规定a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d ．(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．想一想：由3>2能否推出3＋i>2＋i ？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？解析：由3>2不能推出3＋i>2＋i ，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．3．复数的分类：(1)复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0），非纯虚数（a ≠0）. (2)集合表示：想一想：(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，当b ＝0时，z 是什么数？(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，当a ＝0且b ≠0时，z 是什么数？(1)解析：当b＝0时，z＝a为实数．(2)解析：当a＝0，b≠0时，z＝bi为纯虚数．自测自评1．复数a＋b i(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＋b i(a，b∈R)为纯虚数，则a＝0，b≠0.∴a＋b i(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的充分不必要条件．2．下列说法正确的是(A)A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．若a，b∈R且a＞b，则a i＞b iC．如果复数x＋y i是实数，则x＝0，y＝0D．复数a＋b i不是实数解析：由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.故选A.3．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(D)A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}C．R＝C∩I D．R∩I＝∅基础巩固1．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是(D)A．A∪B＝C B．∁U A＝BC．A∩∁U B＝∅D．B∪∁U B＝C2．以2i－5的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是(A) A．2－2i B．2＋iC．－5＋5i D.5＋5i解析：2i－5的虚部为2，5i＋2i2＝－2＋5i的实部为－2，所以新复数为2－2i.3．下列说法正确的是(A)A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．若a，b∈R且a＞b，则a i＞b iC．如果复数x＋y i是实数，则x＝0，y＝0D．复数a＋b i不是实数解析：由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.4．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0，∴m ＝0或1. 答案：0或1 能力提升5．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a (D )A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析：因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.6．已知集合M ＝{1，2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1，3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为(B )A ．4B ．－1C ．－1或4D ．－1或6解析：由M ∩N ＝{3}得3∈M ，故(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3，因此得⎩⎨⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得⎩⎨⎧m ＝4或m ＝－1，m ＝6或m ＝－1.所以m 的值为－1，故选B.7．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析：∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎨⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，∴x ＝－2. 答案：－28．复数z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θi ，且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，若z 是实数，则θ的值为________；若z 为纯虚数，则θ的值为________．解析：z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θi ＝－sin θ＋icos θ.当z 是实数时，cos θ＝0.∵θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴θ＝±π2；当z 为纯虚数时⎩⎨⎧－sin θ＝0cos θ≠0，又θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴θ＝0. 答案：±π20 9．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解析：由(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i 得⎩⎨⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得x ＝52，y ＝4. 由2x ＋ay －(4x －y ＋b )i ＝9－8i ，得⎩⎨⎧2x ＋ay ＝9，4x －y ＋b ＝8， 即⎩⎨⎧5＋4a ＝9，10－4＋b ＝8.解得a ＝1，b ＝2.10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 分别取什么值时，z 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析：(1)由题意得即⎩⎨⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，即⎩⎨⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，故当a ＝6时，z 为实数． (2)依题意有⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，所以⎩⎨⎧a ≠－1，a ≠±1且a ≠6， 所以a ≠±1且a ≠6.故当a ∈R 且a ≠±1，6时，z 为虚数．(3)依题意有⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0， 所以⎩⎨⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6.所以不存在实数a 使z 为纯虚数．。

精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .选修2 -2 3.1 第1课时数系的扩充与复数的概念一、选择题1．以下命题中：①假设a∈R ,那么(a＋1)i是纯虚数；②假设a ,b∈R且a>b ,那么a＋i3>b＋i2；③假设(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数 ,那么实数x＝±1；④两个虚数不能比拟大小．其中 ,正确命题的序号是( )A．①B．②C．③D．④[答案] D[分析] 由复数的有关概念逐个判定．[解析] 对于复数a＋b i(a ,b∈R) ,当a＝0 ,且b≠0时为纯虚数．在①中 ,假设a＝－1 ,那么(a＋1)i不是纯虚数 ,故①错误；在③中 ,假设x＝－1 ,也不是纯虚数 ,故③错误；a＋i3＝a－i ,b＋i2＝b－1 ,复数a－i与实数b－1不能比拟大小 ,故②错误；④正确．故应选D.2．(2021·四川理 ,1)i是虚数单位 ,计算i＋i2＋i3＝( )A．－1B．1C．－iD．i[答案] A[解析] i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.3．以下命题中假命题是( )A.i2不是分数B.3i 不是无理数 C ．－i 2是实数D ．假设a ∈R ,那么a i 是虚数 [答案] D[解析] 当a ＝0时 ,a i 是实数 ,所以D 是假命题 ,故应选D. 4．对于复数a ＋b i(a ,b ∈R ) ,以下结论正确的选项是( ) A ．a ＝0⇔a ＋b i 为纯虚数 B ．b ＝0⇔a ＋b i 为实数C ．a ＋(b －1)i ＝3＋2i ⇔a ＝3 ,b ＝－3D ．－1的平方等于i [答案] B[解析] a ＝0且b ≠0时 ,a ＋b i 为纯虚数 ,A 错误 ,B 正确．a ＋(b －1)i ＝3＋2i ⇒a ＝3 ,b ＝3 ,C 错误．(－1)2＝1 ,D 错误．故应选B.5．假设z 的实部为lg x 2,虚部为lg 2x ,x 是正实数 ,那么( ) A ．使z 的实部、虚部都是正数的x 的集合是(1 ,＋∞) B ．使z 的虚部为负数的x 的集合是(0,1) C ．使z 的实部和虚部互为相反数的x 的集合是{1}D ．使z 的实部和虚部互为倒数的x 的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫342 [答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧lg x 2>0lg 2x >0解得x >1 ,A 正确．故应选A.6．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ,b ∈R )为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a ≤0 [答案] D[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0 ,而|a |＝－a ,∴a ≤0 ,故应选D. 7．假设sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数 ,那么θ的值为( ) A ．2k π－π4B ．2k π＋π4C ．2k π±π4D.k π2＋π4(以上k ∈Z ) [答案] B[解析] 由⎩⎨⎧sin2θ－1＝02cos θ＋1≠0得⎩⎪⎨⎪⎧2θ＝2k π＋π2 θ≠2k π＋π±π4(k ∈Z )∴θ＝2k π＋π4.选B.8．假设复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数 ,那么( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2 [答案] C[解析] 假设复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数 ,那么有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0 ,解得a ≠－1.故应选C.9．以下命题中哪个是真命题( ) A ．－1的平方根只有一个 B ．i 是1的四次方程 C ．i 是－1的立方根 D ．i 是方程x 6－1＝0的根 [答案] B[解析] ∵(±i)2＝－1 ,∴－1的平方根有两个 ,故A 错；∵i 3＝－i≠－1.∴i 不是－1的立方根；∴C 错；∵i 6＝i 2＝－1 ,∴i 6－1≠0故i 不是方程x 6－1＝0的根 ,故D 错； ∵i 4＝1 ,∴i 是1的四次方根 ,应选B.10．关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ,且z ＝m ＋n i ,那么复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i[答案] B[解析] 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋mn ＋2＝02n ＋2＝0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝－1.∴z ＝3－i ,故应选B. 二、填空题11．方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝________. [答案] 2[解析] 方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x －2＝0x 2－5x ＋6＝0解得x ＝2.12．如果z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数 ,那么实数a 的值为________． [答案] －2[解析] 如果z 为纯虚数 ,需⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0a 2－3a ＋2≠0 ,解之得a ＝－2.13．复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0 ,那么实数x ＝________. [答案] 1[解析] 复数z 能与0比拟大小 ,那么复数一定是实数 ,由题意知⎩⎨⎧3x －1－x >0x 2－4x ＋3＝0,解得x ＝1.14．复数z 1＝m ＋(4＋m )i(m ∈R ) ,z 2＝2cos θ＋(λ＋3cos θ)i(λ∈R ) ,假设z 1＝z 2 ,那么λ的取值范围是______．[答案] [3,5][解析] ∵z 1＝z 2 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ4＋m ＝λ＋3cos θ∴λ＝4－cos θ.又∵－1≤cos θ≤1 ,∴3≤4－cos θ≤5 ,∴λ∈[3,5]． 三、解答题15．假设log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数 ,求实数m 的值．[解析] ∵log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0log 2(m －2)≠0∴m ＝4 ,故当m ＝4时 ,log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)是纯虚数．16．复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．实数a 取什么值时 ,z 是(1)实数 ?(2)虚数 ?(3)纯虚数 ?[解析] (1)当z 为实数时 ,那么有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－1≠0所以⎩⎨⎧ a ＝－1或a ＝6a ≠±1.所以当a ＝6时 ,z 为实数．(2)当z 为虚数时 ,那么有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－1≠0所以⎩⎨⎧a ≠－1或a ≠6a ≠±1.即a ≠±1且a ≠6.所以当a ∈(－∞ ,－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6 ,＋∞)时 ,z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时 ,那么有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0 a 2－7a ＋6a 2－1＝0.所以⎩⎨⎧a ≠－1且a ≠6a ＝6.所以不存在实数a 使得z 为纯虚数．17．假设x ∈R ,试确定a 是什么实数时 ,等式3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 成立．[解析] 由复数相等的充要条件 ,得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a2x －1＝0 ①10－x －2x 2＝0.②由②得x ＝2或x ＝－52 ,代入① ,得a ＝11或a ＝－715. 18．z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－45＋i ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α－35 ,z 2＝cos β＋isin β ,且z 1＝z 2 ,求cos(α－β)的值． [解析] 由复数相等的充要条件 ,知⎩⎪⎨⎪⎧cos α－45＝cos βsin α－35＝sin β.即⎩⎪⎨⎪⎧cos α－cos β＝45①sin α－sin β＝35.②①2＋②2得2－2(cos α·cos β＋sin α·sin β)＝1 , 即2－2cos(α－β)＝1 ,所以cos(α－β)＝12.。