人教版数学选修1-2学案：3.1.1数系的扩充和复数的概念

3.1.1 数系的扩充和复数的概念一、学习目标1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．2．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点)3．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点) 二、自主学习阅读教材内容，完成下列问题． 1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做 ，y 轴叫做 ，实轴上的点都表示实数，除了 外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――――→一一对应． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ――――→一一对应 平面向量OZ →.为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点 或说成向量OZ →，并且规定，相等的向量表示 复数． 3．复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作 或 ，且r ＝a 2＋b 2(r ≥0，且r ∈R )． 预习自测1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)复数的模一定是正实数．( ) (3)复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|.( ) 三、合作探究探究1：复数与复平面内点的关系例1 已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数 在复平面内对应的点满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)． (1)在实轴上；(2)在第三象限；(3)在抛物线y 2＝4x 上．归纳总结：复数与点的对应关系及应用(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件构成的方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)得出结论． 跟踪训练1．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围.探究2：复数与向量的对应关系例2 (1)已知复数z 1＝－3＋4i ，z 2＝2a ＋i(a ∈R )对应的点分别为z 1和z 2，且OZ 1→⊥OZ 2→，则a 的值为_______．(2)已知向量OA →对应的复数是4＋3i ，点A 关于实轴的对称点为A 1，将向量OA 1→平移，使其起点移动到A 点，这时终点为A 2. ①求向量OA 1→对应的复数； ②求点A 2对应的复数．归纳总结：1．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．2．解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 跟踪训练2．在复平面内，O 是原点，若向量OA →对应的复数 的实部为3，且|OA →|＝3，如果点A 关于原点的对称点为点B ，求向量OB →对应的复数．探究3：复数模的几何意义及应用探究1 若z ∈C ，则满足|z |＝2的点 的集合是什么图形？探究2 若z ∈C ，则满足2<|z |<3的点 的集合是什么图形？例3 已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i.(1)求|z 1|与| z 2|的值，并比较它们的大小；(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点 的集合是什么？归纳总结：1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模可比较大小． 2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可 以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点z 1，z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆． 跟踪训练3．如果复数z ＝1＋a i 满足条件|z |<2，那么实数a 的取值范围是_____________． 四、自主小测1．在复平面内，若OZ →＝(0，－5)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－5 C ．－5iD ．52．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模| |是( ) A ．5 B ．8 C ．6D ．114．已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是___________． 5．已知复数 满足z ＋| z |＝2＋8i ，求复数z .——★ 参 考 答 案 ★——二、自主学习阅读教材内容，完成下列问题． 1．实轴 虚轴 原点2．(1)复平面内的点 (a ，b ) (2)同一个 3．|z | |a ＋b i| 预习自测1.[答案] (1)√ (2)× (3)×[解析] (1)正确．根据实轴的定义，x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2.(2)错误．复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数． (3)错误．两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小． 三、合作探究探究1：复数与复平面内点的关系例1 解：复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i 的实部为a 2－1，虚部为2a －1， 在复平面内对应的点为(a 2－1,2a －1)．(1)若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若对应的点在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12.(3)若对应的点在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4， 解得a ＝54.跟踪训练1．解：复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2，m >2或m <1，∴－1<m <1. (3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2. 探究2：复数与向量的对应关系 例2 (1)[答案]23[解析]依题意可知OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1)，因为OZ 1→⊥OZ 2→，所以OZ 1→·OZ 2→＝0， 即－6a ＋4＝0，解得a ＝23.(2)解：①因为向量OA →对应的复数是4＋3i ，所以点A 对应的复数也是4＋3i ， 因为点A 坐标为(4,3)，所以点A 关于实轴的对称点A 1为(4，－3)，故向量OA 1→对应的复数是4－3i.②依题意知OA 1→＝AA 2→，而OA 1→＝(4，－3)，设A 2(x ，y )，则有(4，－3)＝(x －4，y －3)， 所以x ＝8，y ＝0，即A 2(8,0)．所以点A 2对应的复数是8. 跟踪训练2．解：根据题意设复数z ＝3＋b i(b ∈R )，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得OA →＝(3，b )，已知|OA →|＝3，即32＋b 2＝3， 解得b ＝0，故z ＝3，点A 的坐标为(3,0)． 因此，点A 关于原点的对称点为B (－3,0)， 所以向量OB →对应的复数为z ′＝－3. 探究3：复数模的几何意义及应用探究1 【提示】 (1)因为|z |＝2，即|OZ →|＝2，所以满足|z |＝2的点 的集合是以原点为圆心， 2为半径的圆，如图所示．探究2 【提示】 不等式2<|z |<3可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|z |>2，|z |<3，不等式|z |>2的解集是圆|z |＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z |<3的解集是圆|z |＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件2<|z |<3的点 的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．例3 解：(1)| z 1|＝(－3)2＋12＝2.| z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1.∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由(1)知| z 2|≤| |≤|z 1|，则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界．跟踪训练3．[答案](－3， 3)[解析]由|z |<2知， 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包括边界)， 由z ＝1＋a i 知 对应的点在直线x ＝1上，所以线段AB (除去端点)为动点z 的集合，由图可知－3<a < 3.四、自主小测 1.[答案] C[解析] OZ →对应的复数z ＝0－5i ＝－5i. 2.[答案] D[解析] ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.故z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．3.[答案] D [解析] |z |＝11.4.[答案] (x －2)2＋y 2＝8[解析] ∵|z |＝22，∴(x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8. 5.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得，a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8. ∴z ＝－15＋8i.。

[解析]
时
m＝5或m＝－3 即 m≠－3
，
∴当 m＝5 时，z 是实数．
2 m －2m－15≠0 (2)当 m＋3≠0
时，
m≠5且m≠－3 即 m≠－3
∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
第三章
数系的扩充与复数的引入
m2－m－6＝0 (3)当m＋3≠0 m2－2m－15≠0 m＝3或m＝－2 即m≠－3 m≠5且m≠－3
是很必要的．
②对于复数z＝a＋bi (a，b∈R)，既要从整体的角度 去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角 度分解成两部分去认识它．这是解复数问题的重要思路之 一．
第三章
数系的扩充与复数的引入
[例3] 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i， 求实数x，y的值． [解析] 因为 x，y 为实数，
第三章
数系的扩充与复数的引入
1．复数的概念及代数表示
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫 做虚数单位，满足i2＝ －1 . (2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)， 这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的 虚部 实部 与 ．
第三章
数系的扩充与复数的引入
所以 2x－1，y＋1，x－y，－x－y 均为实数．
2x－1＝x－y， 由复数相等的充要条件，知 y＋1＝－x－y， x＝3， 所以 y＝－2.
第三章
数系的扩充与复数的引入
[点评] 找到两复数的实部与虚部后，根据复数相等
的充要条件，实部与虚部分别相等即可求得x，y的值．
[例1] 下列命题中，正确命题的个数是 ②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；

第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念一、教学目标1.核心素养通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.（2）理解复数的基本概念，复数的代数形式及复数相等的充要条件.（3）复数的向量表示.3.学习重点复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示.4.学习难点复数相等的条件，复数的向量表示.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1 阅读教材P102，思考：方程210x+=在实数集中无解.联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？任务2 阅读教材P103，思考：复数集C和实数集R有什么关系？任务3 阅读教材P104-P105，思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？2.预习自测1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i解：C2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，1解：C3.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )A.1B.0C.－1D.－1或1解：B（二）课堂设计1.知识回顾（1）对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2.问题探究问题探究一数系的扩充x+=，没有实数根.我们能否将实数集进行对于实系数一元二次方程210扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？●活动一回顾旧知，回顾数集的扩充过程对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数（教师引导）●活动二类比旧知，探究数系的扩充.x+=，没有实数根，我们能否将实数集进行对于实系数一元二次方程210扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？。

第1课时数系的扩充和复数的概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P50～P51的内容，回答下列问题．(1)方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？提示：没有．(2)为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，教材中引入了一个什么样的新数？提示：引入了新数i，使i·i＝－1.(3)把实数a与引入的新数i相加，把实数b与i相乘，各得到什么结果？提示：分别得到a＋i，b i.(4)把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到什么结果？提示：得到a＋b i.2．归纳总结，核心必记(1)复数的概念及代数表示①定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．②表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．(2)复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定a＋b i 与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.(3)复数的分类①复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).②集合表示：[问题思考](1)复数m ＋n i 的实部、虚部一定是m 、n 吗？提示：不一定．只有当m ∈R ，n ∈R 时，m ， n 才是该复数的实部、虚部． (2)对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，它的虚部是b 还是b i? 提示：虚部为b .(3)复数z ＝a ＋b i 在什么情况下表示实数？ 提示：b ＝0.(4)复数集C 与实数集R 之间有什么关系？ 提示：R C.(5)我们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？ 提示：它的实部和虚部都是0.(6)a ＝0是z ＝a ＋b i 为纯虚数的充要条件吗？提示：不是．因为当a ＝0且b ≠0时，z ＝a ＋b i 才是纯虚数，所以a ＝0是复数z ＝a ＋b i 为纯虚数的必要不充分条件．(7)z 1＝3＋2i ，z 2＝12－3i ，z 3＝－0.5i ，则z 1，z 2，z 3的实部和虚部各是什么？能否说z 1>z 2?提示：z 1的实部为3，虚部为2；z 2的实部为12，虚部为－3；z 3的实部为0，虚部为－0.5.因为两个虚数不能比较大小，所以不能说z 1>z 2.(8)若(a －2)＋b i>0，则a ，b 应满足什么条件？提示：要使(a －2)＋b i>0成立，则(a －2)＋b i 应为实数，且a －2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a －2>0，故⎩⎪⎨⎪⎧a >2，b ＝0.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)复数的定义是什么？；(2)复数的代数形式是什么？什么是复数的实部和虚部？；(3)复数相等的充要条件是什么？；(4)复数的分类是什么？复数z＝a＋b i(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数的条件是什么？.讲一讲1．给出下列三个命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)2i－1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3[尝试解答]对(1)，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以(1)为假命题；对(2)，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，(2)为假命题；对(3)，2i＝0＋2i，其实部是0，(3)为真命题．故选B.[答案] B(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上．(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部．练一练 1．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②复数z ＝0的实部和虚部均为0；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．②④ C ．②③ D ．③④解析：选B 在①中，若a ＝－1， 则(a ＋1)i 不是纯虚数， 故①错误；在③中，若x ＝－1，则(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0为实数， 故③错误；②、④正确．[思考] 当a ，b 满足什么条件时，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是实数、虚数、纯虚数？ 名师指津：当b ＝0时，a ＋b i 是实数；当b ≠0时，a ＋b i 是虚数；当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i 是纯虚数．讲一讲2．实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[尝试解答] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．练一练2．实数m 为何值时，z ＝lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：(1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m ＋1>0，m 2＋3m ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1，m ＝－2或m ＝－1，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，z 为实数．(2)若z 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1>0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1，m ≠－2且m ≠－1， 解得m ≠－2且m ≠－1.∴当m ≠－2且m ≠－1时，z 为虚数．(3)若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧lg m 2＋2m ＋1＝0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎨⎧ m 2＋2m ＋1＝1，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎨⎧m ＝0或m ＝－2，m ≠－1且m ≠－2.解得m ＝0.∴当m ＝0时，z 为纯虚数．[思考] 若复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(其中a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＝z 2的充要条件是什么？名师指津：z 1＝z 2⇔a ＝c 且b ＝d . 讲一讲3．根据下列条件，分别求实数x ，y 的值． (1)x 2－y 2＋2xy i ＝2i ； (2)(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i.[尝试解答] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)∵(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．练一练3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且x ，y 满足2x ＋y ＋x i ＝8＋(1＋y )i ，求复数z . 解：∵2x ＋y ＋x i ＝8＋(1＋y )i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x ＝1＋y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴z ＝2＋i.———————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————— 1．本节课的重点是复数的分类及复数相等的充要条件，难点是复数的概念． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)由复数的分类求参数，见讲2；(2)复数相等的充要条件的应用，见讲3.3．若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．这是本节课的易错点．课下能力提升(七)[学业水平达标练]题组1 复数的概念1．设全集I ＝{复数}，R ＝{实数}，M ＝{纯虚数}，则( ) A ．M ∪R ＝I B ．(∁I M )∪R ＝I C ．(∁I M )∩R ＝R D ．M ∩(∁I R )＝∅解析：选C 根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I ，R ，M 三个集合之间的关系如图所示．所以应有：M ∪R I ，(∁I M )∪R ＝∁I M ，M ∩(∁I R )≠∅，故A ，B ，D 三项均错，只有C项正确．2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－5＋5i D.5＋5i解析：选A －5＋2i 的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i ，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D 复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，即b ＝2.4．下列四个命题： ①两个复数不能比较大小；②若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ④实数集相对复数集的补集是虚数集． 其中是真命题的有________(填序号)．解析：①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小．故①不正确；②由于x ，y 都是复数，故x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件．故②不正确；③若a ＝0，则a i 不是纯虚数，即实数集中的0在纯虚数集中没有对应元素，故③不正确；④由实数集、虚数集、复数集之间的关系知④正确． 答案：④题组2 复数的分类5．在2＋7，27i,0,8＋5i ，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 27i ，(1－3)i 是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i 是虚数．6．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．－1或2解析：选D ∵复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.7．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．－1解析：选B 根据复数的分类知，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1，即a＝2.8．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数．解：(1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2. 题组3 复数相等的充要条件9．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4解析：选C 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.10．已知(3x ＋y )＋(2x －y )i ＝(7x －5y )＋3i ，则实数x ＝________，y ＝________. 解析：∵x ，y 是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7x －5y ，2x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝94，y ＝32.答案：94 32[能力提升综合练]1．若复数z ＝(m ＋2)＋(m 2－9)i(m ∈R)是正实数，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．3 C ．－3 D ．±3解析：选B 依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋2>0，解得m ＝3.2．若(7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i(x ，y ∈R)，则x ，y 的值分别为( ) A ．1,2 B ．2,1 C ．－1,2 D ．－2,1解析：选A (7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 7－3x ＝2y ，3y ＝2(x ＋2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.即x ，y 的值分别为 1,2.3．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )A ．－1或6B ．－1或4C ．－1D ．4解析：选C 由M ∩N ＝{3}，知m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 4．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－32 D.16解析：选A 由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0.5．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，则实数m ＝________.解析：因为log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，m －2>0，所以m ＝4.答案：46．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值(或取值范围)是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，log 2(x 2－3x －2)>1.解得x ＝－2. 答案：－27．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x ＋32＋2(y ＋1)i ＝y ＋4x i ，(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i 有实数解，求实数a ，b 的值．解：设(x 0，y 0)是方程组的实数解，则由已知及复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝y 0， ①2(y 0＋1)＝4x 0， ②2x 0＋ay 0＝9， ③－(4x 0－y 0＋b )＝－8， ④由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝52，y 0＝4，代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.8．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解：∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.第2课时 复数的几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 52～P 53的内容，回答下列问题．(1)根据复数相等的定义，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与有序实数对(a ，b )之间有什么对应关系？提示：一一对应关系．(2)有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系？ 提示：一一对应关系．(3)通过以上2个问题，你认为复数集与平面直角坐标系中的点集之间有什么对应关系？ 提示：一一对应关系． 2．归纳总结，核心必记 (1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数的几何意义①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应复平面内的点Z (a ，b )； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量.(3)复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且|z |＝a 2＋b 2.[问题思考](1)复平面的虚轴的单位长度是1，还是i? 提示：复平面的虚轴的单位长度是1，而不是i. (2)原点是实轴与虚轴的公共点吗？ 提示：是．(3)若复数(a ＋1)＋(a －1)i(a ∈R)在复平面内对应的点P 在第四象限，则a 满足什么条件？提示：a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，a －1<0，即－1<a <1.(4)若复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |为何值？ 提示：|a |＝(－1)2＋22＝ 5.[课前反思](1)复平面的定义是什么？什么是实轴、虚轴？ ；(2)复数的几何意义是什么？ ；(3)复数模的定义是什么？ .[思考] 如何判断复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)在复平面内所对应的点的位置？名师指津：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与复平面内的点(a ，b )对应，根据a ，b 的符号判断点(a ，b )所在象限或坐标轴即可．讲一讲1．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上． [尝试解答] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即2<x <5时，点Z 位于第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．练一练1．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 的点 (1)位于x 轴上方； (2)位于直线y ＝x 上．解：(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，此时z在复平面内对应的点位于x轴上方．(2)由m2＋5m＋6＝m2－2m－15，得m＝－3，此时z在复平面内对应的点位于直线y＝x 上．[思考]与复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应的平面向量是什么？名师指津：与复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应的平面向量＝(a，b)．讲一讲2．(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是()A．－5＋5i B．5－5iC．5＋5i D．－5－5i(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.①求向量，，对应的复数；②若ABCD为平行四边形，求D对应的复数．[尝试解答](1)向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.(2)①设O为坐标原点，由复数的几何意义知：＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.②因为ABCD为平行四边形，所以＝＝(－3,1)，＝＋＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D对应的复数为－2＋i.[答案](1)B(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．练一练2．在复平面内，O 是原点，若向量对应的复数z 的实部为3，且||＝3，如果点A关于原点的对称点为点B ，求向量对应的复数．解：根据题意设复数z ＝3＋b i(b ∈R)， 由复数与复平面内的点、向量的对应关系得＝(3，b )，已知||＝3，即32＋b 2＝3，解得b ＝0，故z ＝3，点A 的坐标为(3,0)． 因此，点A 关于原点的对称点为B (－3,0)， 所以向量对应的复数为z ′＝－3.[思考] 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模是什么？其模的几何意义是什么？名师指津：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2，其几何意义是点(a ，b )到坐标原点的距离． 讲一讲3．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z |＝|z 1|的复数z 对应的点Z 的轨迹是什么图形？ [尝试解答] (1)|z 1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|z 1|>|z 2|. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则点Z 的坐标为(x ，y )． 由|z |＝|z 1|＝2得x 2＋y 2＝2，即x 2＋y 2＝4. 所以点Z 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆． 法二：由|z |＝|z 1|＝2知|OZ ―→|＝2(O 为坐标原点)， 所以Z 到原点的距离为2.所以Z 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．(2)根据复数模的计算公式|a＋b i|＝a2＋b2可把复数模的问题转化为实数问题解决．(3)根据复数模的定义|z|＝|OZ―→|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点的距离)的问题解决．练一练3．已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a的取值范围．解：因为z＝3＋a i(a∈R)，所以|z|＝32＋a2，由已知得32＋a2<42，所以a2<7，所以a∈(－7，7)．——————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是复数的几何意义及复数模的计算，难点是复数几何意义的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)复数与复平面内点的对应关系，见讲1；(2)复数与平面向量的对应关系，见讲2；(3)复数模的计算及应用，见讲3.课下能力提升(八)[学业水平达标练]题组1复数与复平面内点的对应关系1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：选C 复数6＋5i 对应A 点坐标为(6,5)，－2＋3i 对应B 点坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C 点坐标为(2,4)，所以点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.故z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于第四象限．3．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．解析：∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x <0.解得x >3. 答案：(3，＋∞)4．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R)．(1)若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1＋m )<0，log 12(3－m )<0，1＋m >0，3－m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <0，m <2，m >－1，m <3.解得－1<m <0，∴m 的取值范围是(－1,0)．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，∴log 2[(1＋m )(3－m )]＝1， ∴(1＋m )(3－m )＝2，∴m 2－2m －1＝0，∴m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0，∴m ＝1±2. 题组2 复数与平面向量的对应关系 5．向量对应的复数为z 1＝－3＋2i ，对应的复数z 2＝1－i ，则|＋|为( )A. 5B. 3 C ．2 D.10 解析：选A 因为向量对应的复数为z 1＝－3＋2i ，对应的复数为z 2＝1－i ，所以＝(－3,2)，＝(1，－1)，则＋＝(－2,1)， 所以|＋|＝ 5.6．向量＝(3，1)按逆时针方向旋转60°所对应的复数为( )A ．－3＋iB ．2iC ．1＋3iD ．－1＋3i 解析：选B 向量＝(3，1)，设其方向与x 轴正方向夹角为θ，tan θ＝13＝33，则θ＝30°，按逆时针旋转60°后与x 轴正方向夹角为90°，又| |＝2，故旋转后对应的复数为2i ，故选B.7．在复平面内，O 是原点，已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若＝x＋y(x ，y ∈R)，求x ＋y 的值．解：由已知，得＝(－1,2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，所以x ＋y ＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )． 由＝x＋y，可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，所以x ＋y ＝5.题组3 复数模的计算及应用8．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( ) A ．5 B ．8 C ．6 D.11解析：选D |z |＝(2)2＋(－3)2＝11.9．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________． 解析：∵|z |＝a 2＋1，而0<a <2， ∴1<a 2＋1<5，∴1<|z |< 5.答案：(1，5)10．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得，a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.[能力提升综合练]1．若32<m <2，则复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵32<m <2，∴2m －2>0,3m －7<0.∴复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于第四象限． 2．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选A ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4<5，∴－1<a <1.3．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( ) A ．－5＋2i B ．－5－2i C.5＋2i D.5－2i解析：选A 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则x ＝－5， 由|z |＝3，得(－5)2＋y 2＝9， 即y 2＝4，∴y ＝±2.∵复数z 对应的点在第二象限， ∴y ＝2.∴z ＝－5＋2i.4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹为( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两点 D ．两个圆 解析：选A ∵|z |2－2|z |－3＝0， ∴(|z |－3)(|z |＋1)＝0，∴|z |＝3，表示一个圆，故选A.5．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________． 解析：|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α， ∵π<α<2π， ∴－1<cos α<1. ∴0<2＋2cos α<4. ∴|z |∈(0,2)． 答案：(0,2)6．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________. 解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ， 即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i.根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴z ＝i.法二：由已知可得z ＝(|z |－1)＋i ， 等式两边取模，得|z |＝(|z |－1)2＋12. 两边平方，得|z |2＝|z |2－2|z |＋1＋1⇒|z |＝1. 把|z |＝1代入原方程，可得z ＝i. 答案：i7．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝⎛⎭⎫12，32，(－1,0)，12，－32，则向量如图所示．高中数学-打印版精心校对完整版 |z 1|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1， 如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．8．已知复数z ＝2＋cos θ＋(1＋sin θ)i(θ∈R)，试确定复数z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．解：设复数z 与复平面内的点(x ，y )相对应，则由复数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ. 由sin 2θ＋cos 2θ＝1可得(x －2)2＋(y －1)2＝1.所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．。