对一道高考试题的拓展与探究.doc

对一道高考理科综合题的拓展与推广题目（2013年江西高考理科20）如图，椭圆C∶x21a2+y21b2=1 （a>b>0）经过点P（1，312），离心率e=112，直线l的方程为x=4。

（1）求椭圆C的标准方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l 相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3。

问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由。

分析本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的相交及圆锥曲线中的定值问题等，考查了学生分析问题的能力及运算能力。

解（1）椭圆C∶x214+y213=1。

（解题过程略）（2）由题意可知直线AB的斜率存在，不妨设直线AB：y=k（x-1）。

直线AB的方程与椭圆方程联立方程组y=k（x-1），x214+y213=1，消去y，整理得（4k2+3）x2-8k2x+4（k2-3）=0。

设A （x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=8k214k2+3，x1x2=4（k2-3）14k2+3。

又因为P（1，312），所以k1=y1-3121x1-1=k（x1-1）-3121x1-1=k-3121x1-1。

同理k2=k-3121x2-1所以k1+k2=2k-312（11x1-1+11x2-1）=2k-312?x1+x2-21x1x2-（x1+x2）+1=2k-1。

在直线AB：y=k（x-1）中令x=4，得M（4，3k），所以k3=3k-31214-1=k-112。

所以k1+k2=2k3。

故存在常数λ=2符合题意。

点评在此方法中选用直线AB的斜率k为参数，表示出k1，k2，k3，从而求出常数λ的值。

本题也可以选点A或者点B的坐标为参数来表示k1，k2，k3，进而求出λ的值，具体的运算请读者自行完成。

这都是解析几何中选用参数的常规方法，在平时的教学中需要有意识地训练学生，已达到熟练掌握的程度。

平面解析几何是高中数学的主干知识，它具有培养学生运算求解能力，推理论证能力，抽象概括能力的功效，同时也是培养学生数学综合能力，应用意识和创新意识的好材料；而圆锥曲线是解析几何的核心内容，诸多中学数学思想方法在此集中展现，尤其数形结合思想，是高考重点考查的内容。

其中，直线与圆锥曲线的位置关系问题，最值与取值范围问题，定点与定值问题，是主要考查的题型，而且难度较大。

下面笔者从一道解析几何的高考试题出发，对求定值有关的问题加以拓展与延伸，以便达到举一反三、融汇贯通的效果。

问题：（2014年福建高考文科卷21题）已知曲线┌上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=?3的距离小2。

（1）求曲线┌的方程；（2）曲线┌在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y=3分别与直线l及y轴交于点M、N。

以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B。

试探究：当点P在曲线┌上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论。

思路方法：（1）由题意判断曲线是抛物线，用定义法求曲线方程。

（2）借助图形，根据题意可知，先利用导数的几何意义，求出切线l的方程；再联立方程组，得点A、M的坐标；再利用平几知识，表示出线段AB的长度，最后化简。

本题综合考查曲线与方程，直线与圆、直线与圆锥曲线的关系，考查数形结合等重要的数学思想，再利用平面几何的知识，转化为求定值问题，这道题并不难，但是考生解答的并不理想，究其原因是考生对所学的知识的灵活运用能力不够，思路不开阔，复习过程中对知识的拓展与延伸不到位。

下面笔者从三个方面就圆锥曲线中求定点、定值问题进行变式并加以拓展与延伸。

一、根据条件直接推理、计算定值是指在变化中所表现出来的不变的量，所以定值问题中可以用变化的量表示所要求解的量。

因此，求解定值问题的一种常用方法是：首先要大胆、恰当地引入变量；其次设法将所要求解为定值的量表示为变量的函数；最后将得到的函数关系式化简，变量必消，定值显现。

一道物理高考题的深度剖析与拓展发表时间：2020-02-26T16:08:10.673Z 来源：《学习与科普》2019年39期作者：任伟[导读] 功能关系、临界极值三类结合的问题。

主要解决竖直平面内非特殊位置的临界问题。

大荔县同州中学陕西渭南摘要：对一道高考物理选择题进行了深度剖析，分析出了易错点，并将其的运动过程模型化，体现出熟练掌握物理模型的重要性，进而将问题回归课堂，对课堂上出现的问题大部分老师们只是定性的分析，或者没有深入分析。

最后将问题进行拓展分析，并归结为：竖直平面内圆周运动、功能关系、临界极值三类结合的问题。

主要解决竖直平面内非特殊位置的临界问题。

关键词：物理；高考题；深度剖析；拓展高考题再现：（2017年理综全国卷Ⅱ，第14题）如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环，小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力（）A.一直不做功B.一直做正功C.始终指向大圆环圆心D.始终背离大圆环圆心解析：小环从静止开始下滑过程中，大圆环对它的作用力始终与运动方向垂直，故不做功；大圆环对小环的作用力方向，跟小环速度的方向有关，可能指向圆心，也可能背离圆心。

所以，本题的正确选项是A项。

一、深度分析本题作为高考理综物理部分第一题，选项设置比较容易选出正确答案，但要分析小环下滑过程中受到大环的作用力方向，对于大部分学生来说就有一定难度了。

错误的分析过程可分为两类：静态分析错误：将小环的下滑看成是缓慢下滑，看成是平衡状态，没有考虑到向心力，认为小环在与圆心等高以上受大环的弹力背离圆心，与圆心等高以下受弹力指向圆心。

极端分析错误：太多的考虑了向心力的存在，忽略了小环的重力，认为小环下滑过程中受到的弹力提供向心力，即弹力始终指向圆心，导致了错误的结果。

正确分析：如图，大圆滑光滑，小环下滑过程中只受重力和弹力。

因为小环加速下滑，所以小环受力的合力的分力既要提供指向圆心的向心加速度，还要提供使小环加速的切向加速度。

高考语文阅读拓展延伸类试题类型及解题方法分析一、启示型向外联想，联系现实，但也要根据题干的具体要求有所侧重。

19. 作者说?摆放好自己，默读史铁生的文字，感受生的气息?，这句话引发了你怎样的联想和思考？（200字左右）（10分）评分标准：[10分。

表明观点，1分；语句理解，1分；联想思考，5分；语言表述2分；结构层次1分。

]这句话让我觉得人生可能不完美，但这并不影响我们享受人生的喜悦。

只要我们可以用乐观豁达的心态笑看人生，?残缺?的生命又奈我何？史铁生的顽强与乐观令人深思，他可以欣赏自己不完美的身体，还可以享受生命中的喜悦。

//我们也可以。

就像桑兰那样。

前一秒还在竞技场上跳跃，这一秒就注定后半辈子与轮椅为伴。

不过我们看到她给予社会的不是抱怨而是一直地灿烂微笑。

坐在轮椅上的她给了社会一种乐观豁达的力量。

我们就要这样。

生命本不可能完美，我们能做的决非自怨自艾，而是享受其中的精彩，笑对人生！[10分。

表明观点，1分；语句理解，1分；联想思考，5分；语言表述2分；结构层次1分。

]?我?在史铁生的文字中感受到他面对磨难的乐观态度和对生命的思考。

我认为，面对磨难，我们需要用乐观化解，收获幸福。

苏轼几经波折，依旧?一蓑烟雨任平生?，在磨难中感悟人生；邰丽华天生残疾，但用笑容诠释出千手观音的美丽。

还有霍金、张海迪……　挫折磨难并没有磨去他们的意志，反而他们可以乐观处世，用良好的心态迎接生活的辛酸、艰难。

三浦凌子说：?天上总有乌云，但乌云的上面，总会有太阳的照耀。

?让我们把乐观作那驱散阴霾的阳光，照亮我们前进的道路。

[10分，亮点：文采！表明观点，1分；语句理解，1分；联想思考，5分；语言表述2分；结构层次1分。

读史铁生的文字，寻找生的气息，寻找感恩之情，寻找开朗的阳光。

/以史铁生之文字为镜，我们可以知生命之笑容；以史铁生之文章为镜，我们可以知快乐的旋律；以史铁生这文章为镜，我们更能懂坚毅开朗的含义。

/ /身体残疾无以走天下，却可读书观四方。

对一道高考试题的拓展与探究(2009年辽宁,理20) 已知椭圆C 经过点3(1,)2A ,两个焦点为(1,0),(1,0)-．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)E ,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值．如果将这道题的第(Ⅱ)问拓展到双曲线和抛物线后是否成立, 这个问题的逆命题又是否成立呢,再将逆命题拓展到双曲线和抛物线又是否成立呢,经过笔者的探究,可以得到如下的一些结论:结论1 过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的定点00(,)A x y 0(0)y ≠作两条直线,分别与椭圆相交于另一点B 、C ,若直线AB 、AC 的斜率互为相反数,则直线BC 的斜率为定值2020b x a y ． 分析 设直线AB 的方程为00()y k x x y =-+,设11(,)B x y ,22(,)C x y ．由00()y k x x y =-+和22221x y a b+=消去y 后,得到方程222220()(2a k b x ka y ++-22222220002)a k x x a y k a x ++-2002ka x y 220a b -=．则有10x x =2222222200002222a y k a x ka x y a b a k b +--+,进而有222222220000122202()a y k a x ka x y ab x x a k b +--=+,1100()y k x x y =-+=222222220000022202()a y k a k x y ab k b x ky x a k b ---++,因为直线AB 和AC 的 斜率互为相反数,所以将上述1,1x y 中的k 换为k -,就可以得到点C 的坐标为2x =22222222000022202()a y k a x ka x y a b x a k b ++-+,2222222200002022202()a y k a k x y ab k b x ky y x a k b --++=++ ,所以直线BC 的斜率为22222220001222120002224BCa y k ab k b x k b x y y k x x ka x y a y ---===--． 结论2 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的定点00(,)A x y 0(0)y ≠作两条直线,分别与双曲线相交于另一点B 、C ,若直线AB 、AC 的斜率互为相反数,则直线BC 的斜率为定值2020b x a y -．结论3 过抛物线22(0)y px p =>上的定点00(,)A x y 0(0)x ≠作两条直线,分别与抛物线相交于另一点B 、C ,若直线AB 、AC 的斜率互为相反数,则直线BC 的斜率为定值02y x -． 结论2和结论3的证明类似于结论1的证明．例1 过双曲线2212x y -=上的点(2,1)A 作两条直线,分别与双曲线相交于另一点B 、C ,直线AB 和AC 的斜率之和为0,则直线BC 的斜率为_______．分析 因为22002,1,2,1a b x y ====,所以由上述结论2得直线BC 的斜率为1-． 例2 过抛物线22(0)y px p =>上一点(,)2pA p ,作两条倾斜角互补的直线,分别与抛物线相交于另一点B 、C ．求证∶不论p 取何实数,直线BC 的斜率始终是一个定值(2008年中数教参杂志社组织的全国高中数学教师解题大赛试题)．分析 因为直线AB 和AC 的倾斜角互补,所以它们的斜率互为相反数, 02p x =, 0y p =,则由上述的结论3可以得到直线BC 的斜率为定值1-．实际上,上述结论1、2、3的逆命题也是成立的,分别论述如下∶结论4 过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的定点00(,)A x y 0(0)y ≠作两条直线,分别与椭圆相交于另一点B 、C ,若直线BC 的斜率为定值2020b x a y ,则直线AB 和AC 的斜率互为相反数．分析 设(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A a b B a b C a b ααββγγ,则0cos ,x a α=0sin y b α=．由BC 的斜率为定值2020b x a y 得sin sin cos cos b b a a γβγβ-=-2020b x a y ,进而可得 00sin tan2cos ay bx βγαα+=-=-． ∴sin sin sin sin cos cos cos cos AB AC b b b b k k a a a a βαγαβαγα--+=+--,通分后的分子为[(sin sin )(cos cos )(sin sin )(cos cos )]b βαγαγαβα--+--[sin()2sin cos cos (sin sin )sin (cos cos )]b βγαααβγαβγ=++-+-+22tan2[2sin cos 2cos cos (cos tan sin )]2221tan2b βγβγβγβγααααβγ++-+=+-+++ sin (2sin cos 2sin cos )2cos cos [cos ()22cos b b βγβγααααααα+-=-+--sin ]0α+=,故直线AB 和AC 的斜率互为相反数．结论5 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的定点00(,)A x y 0(0)y ≠作两条直线,分别与双曲线相交于另一点B 、C ,若直线BC 的斜率为定值2020b x a y -,则直线AB 和AC 的斜率互为相反数．分析 设(sec ,tan ),(sec ,tan ),(sec ,tan )A a b B a b C a b ααββγγ,其中1,2k απ≠,,,22k k k Z ππβπγπ≠+≠+∈则00sec ,tan x a y b αα==．由直线BC 的斜率为定值2020b x a y -,得22tan tan sec ,sec sec tan b b b a a a a b βγαβγα-⋅=--⋅2sincossin()1122,,cos cos sin sin 2sin sin 22βγβγβγβγβγβγαα---==--展开并化为正切,得到如下的关系式1tantan122,tan tan sin (1tan tan )sin 2222tan tan 22βγβγβγαβγα+=-+=-++．则直线AB 和AC的斜率之和为tan tan tan tan sec sec sec sec AB AC b b b b k k a a a a βαγαβαγα--+=+--sin()[cos cos b a βααβ-=-+sin()]cos cos γααγ--1tan tan 1tan tan2222()tan tan tan tan2222b a βαγαβαγα++=+++,通分后的分子为： [(tan tan )(1tan tan )(tan tan )(1tan tan )]22222222b αγβααβγα+++++2[(1tan )2b α=+(tan tan )2tan (1tan tan )]22222βγαβγ+++2[sec (sin )(1tan tan )222b αβγα=⋅-++2tan(1tantan )]222αβγ+[2tan (1tan tan )2tan (1tan tan )]0222222b αβγαβγ=-+++=,故直线AB 和AC 的斜率互为相反数．结论6 过抛物线22(0)y px p =>上的定点00(,)A x y 0(0)x ≠作两条直线,分别与抛物线相交于另一点B 、C ,若直线BC 的斜率为定值02y x -,则直线AB 和AC 的斜率互为相反数．分析 设221122(2,2),(2,2)B pt pt C pt pt ,由直线BC 的斜率为定值02y x -,得到关系式 0001212221200222222y x y pt pt t t pt pt x y p -=-⇒+=-=--,则直线AB 和AC 的斜率之和为AB AC k k + 10202210202222pt y pt y pt x pt x --=+--,通分后的分子为2212120120124()2()2()p t t t t px t t py t t +-+-++ 0220000012001200012000022424()2242420y y y px py t t x y p t t px py py t t x y x y y p p p p+=⋅-+⋅-++=-⋅=．故直线AB 和直线AC 的斜率互为相反数．例3 过椭圆22162x y +=上点A 作两条直线,分别与椭圆相交于另一点B、C , 若直线BC 的斜率为3,直线AB 的倾斜角为60︒,试求直线AC 的倾斜角．分析 由题意知22006,2,1a b x y ====,因为2020b x a y =,所以由上述结论4知直线AB 和AC的斜率互为相反数,而直线AB 的斜率为tan 60︒=则直线AC 的斜率为故直线AC 的倾斜角为120︒．若圆锥曲线的焦点在y 轴上,只需将上述各结论中的斜率中的0x 、0y 交换位置即可!。

一道广东高考题的教学思考与延伸东莞市南城中学 金昌国【摘要】 本文从一道以三角形高考题入手，多角度探讨其解法。

结合2014年广东卷第12题进行教学思考，意在发现高考题与教材之间的联系，挖掘类似问题的数学思想方法，为解三角形等教学与复习迎考提供有力的佐证【关键词】 解三角形方法；高中教材； 教学思考高考试题是我们教学的典型例题,充分挖掘高考试题所蕴含的价值,重视高考试题的教学示范作用,是提高高三复习效率的最佳“捷径”. 如果高三教师能够在课本习题与高考试题之间搭建绿色通道，启发学生的多角度思考，最大限度的挖掘学生的思维潜能，激发学生学习数学的主观能动性，就能使解三角形的教学与复习复习迎考事半功倍. 2014年高考数学广东卷理有这样一个选择题颇有研究的价值，以下是笔者利用此题谈一谈教师关于解三角形教与学的思考与适度延伸，希望对您有一些帮助.◎°例1 （2014年高考广东卷理（12））在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba . 1 试题解析1.1 试题解答 解法一：由余弦定理得2222222,22a b c a c b b b ab ac+-+-⋅+= 从而22a a b b ==即. 解法二：由已知结合正弦定理得sin cos sin cos 2sin ,B C C B B +=有sin()2sin B C B +=. sin 2sin A B ∴=从而22a a b b==即. 解法三：由射影定理知：cos cos b C c B a +=从而22a a b b==即. 1.2 题意分析解三角形题在高考题属中偏易难度，几乎所有高三数学老师要求学生对此类问题势在必得。

事实此类题型入手容易上手难，我们基础薄弱学校不是所有考生都如愿以偿，从模拟考试情况估计此题理科正确率低于80％，文科正确率低于75％.解题思考：本题最显著特征是只有一个题设条件，结论是涉及两个量,a b ，不过是要求两个量,a b 的比值. 经对部分考生调查，此题难点是少数同学想到要分别求出,a b ，从而断了思路，束手无策.形成此情况由于基本知识一知半解，解题思维僵化，对结论没有预见性导致.思想方法思考：本题的破解需要考生对结论有一个预见性的思维方式，需要考生具备方程思想、消元思想，通过消元和代换，减少了未知数的个数，体现数学中的化繁为简，转化划归的思想。

高考试题的分析与研究推动“有效课堂”的落实从总体上看，今年的高考试题从题量到各板块的分值，基本沿袭了2016年高考试题的形式，没有偏题怪题。

但在具体设题方面有所突破，给学生耳目一新的感觉。

整套试题具有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度。

高考语文试卷分析一、写作今年的作文题给了六句古诗词形式，选取其中的三句进行立意，要求具体而明确。

这一形式的变化，由过去的要求学生“能写论述类、实用类和文学类文章”变为写实用类文章。

这种方式，除了考查考生的表达运用能力，还注重了对实用类文本形式的考查。

一题多查，综合性强，也更贴近生活。

作文材料侧重了规则与道德的思辨性，材料内容具有时代感，与我们平常的生活、时代、社会紧密相关，能够弘扬主旋律，传播正能量。

作文立意角度较多，考生不会“无米下锅”，也无虚构、套作的必要，比较切合他们的思想与认识范畴，能够考查学生的认识深度，引导学生树立正确的价值观。

二、古代诗文阅读（一）文言文阅读古文仍然选取的是人物传记，总体难度不大，题量设置没有变化，依然是三道选择加两句翻译。

翻译题较去年难度降低，要点涉及古今异义词、词类活用、特殊句式等方面。

重点的实词、虚词翻译。

但所设考点都可以在课本中找到依据，要求考生具备扎实的文言文功底。

（二）名篇名句默写篇目的选择上高中一篇、初中一篇的形式，考查方式还是去年的情境理解式默写。

第一句出自庄子的《逍遥游》，第二句出自刘禹锡的《陋室铭》。

往年的名句在篇目的选择上高中两篇，初中一篇，在篇目的数量上是有变化的。

总体来说，今年的高考语文试题稳中有变，在内容考查方面突出了社会热点问题，加大了对传统文化的考查力度。

这就要求考生不能一味只读圣贤书，而是要开阔视野，关注时事，亲近传统文化，在继承中发扬。

另外建议备考一定要以纲为本，特别关注考纲中的题型示例，让备考更具针对性、实效性。

高考语文更侧重于能力的考查，而能力的高下是综合素质的表现，不是一朝一夕能够奏效的，这就是所说的“渐进性”。

对一道高考试题的解法探究及拓展对于高考试题的解法探究，需要具备以下几个方面的能力：1.熟悉基本概念和公式：高考试题通常会涉及到各种基础的概念和公式，因此要在考试前熟练掌握。

2.掌握解题方法：高考试题涉及到的问题类型很多，不同的类型需要不同的解题方法，因此需要灵活掌握各种解题方法。

3.细致的分析和思考能力：在做高考试题时需要细心分析和思考，发现问题可能存在的漏洞和细节，从而得到准确的答案。

4.大量的练习：高考试题的数量庞大，需要大量的练习来对不同类型的问题进行熟练掌握，提高解题能力。

下面以一道高考试题为例来探究其解法：【例】任意给定两个互异实数a与b，设函数f(x)=x^2－(a＋b)x＋ab，若f(x)恰有两个零点，则a，b的值可能是（）。

解法一：首先根据题目要求得出方程f(x)=0的两个根为x1和x2，因此有：x1+x2=a+b，x1x2=ab。

进一步化简可得：a+b=x1+x2，ab=x1x2。

由于a和b互异，因此有三种情况：1.x1和x2都是a和b。

2.x1是a，x2是b。

3.x1是b，x2是a。

综合考虑可得：当a+b>0时，只有一组解。

当a+b<0时，有两组解。

当a+b=0时，有三组解。

因此，只有a+b<0时，a、b的值才能够满足题目要求。

解法二：另一种解题方法是利用函数的性质，观察函数图像的开口方向和零点个数。

由于f(x)=x^2-(a+b)x+ab是一个二次函数，其开口方向取决于系数a+b的正负性。

当a+b>0时，函数的开口朝上，零点个数为零或一；当a+b<0时，函数的开口朝下，零点个数为两个。

因此，只有a+b<0时，f(x)恰有两个零点。

结合零点公式x1和x2可以表达成：x1,2 = [(a+b)±√((a+b)^2-4ab)]/2。

由此可得出a+b<0时，a、b的值可能的情况。

扩展：此题实际上是在考察二次函数的性质和零点公式的应用，结合具体的题目要求进行分析和求解。

一道高考题的拓展历年高考题都是师生进行复习和研究的宝贵资源，若能善于利用，将会收到良好的教学效果，如一题多解、一题多问或一题多变，有助于理解知识、训练思维和培养能力.现以2007年高考江苏卷第19题为例进行一题多问和多解.该题是关于两个相互作用物体在竖直方向的相对运动问题，作为压轴题，其难度很大.如果对题目进行拓展，不仅能训练思维，而且能加深理解牛顿第二定律、运动学公式和能量守恒定律等规律以及隔离法、整体法、归纳法、补偿法和相对加速度法等解题方法.例题如图1所示.一个圆环A套在一根均匀圆柱形木棒B上，环和棒的质量都为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为f=km（k&gt;1）.开始时棒竖直放置，下端离地面高度为H，圆环套在棒的上端，二者由静止开始自由下落，棒与地面发生碰撞后，棒以竖直向上的速度反向运动，而且碰撞前后的速度大小相等，设碰撞时间极短，空气阻力忽略不计，棒始终保持竖直.问：（1）在木棒再次着地前，要使圆环不脱离木棒，木棒至少为多长？（2）木棒第一次触地后上升的最大高度为多少？（3）木棒与圆环第一次相对静止时的速度为多少？（4）木棒第二次触地时的速度为多大？（5）木棒从第二次触地到二者速度相等期间的相对位移为多少？（6）木棒从第一次触地到第次触地后速度相等期间发生的相对位移为多少？解析（1）环与棒一起做自由落体运动，刚触地时木棒的速度为v0=2gH，在棒触地瞬间，由于惯性，环获得向下的初速度，大小为v0=2gH，相对于棒向下滑动，即相对于地面向下做匀减速运动，加速度大小为aA=f-mgm，方向向上;同时棒反弹，向上做匀减速运动，加速度大小为aB=f+mgm，方向向下.由于棒的加速度大于环的加速度，而初速度相同，因此棒的速度先变为零，接着受力情况不变，环继续向下做匀减速运动，棒向下做初速度为零的匀加速运动，直到二者速度相同.对上述过程可求出环相对于棒的位移，即为满足条件的棒的最小长度.但分步求解太麻烦，下面利用整体法求解.在棒开始向上反弹直到二者速度相同的过程中，环相对于棒做匀减速直线运动，以棒为参考系，环的相对初速度为v=2v0，方向向下，相对末速度为v′=0，相对加速度为a=aA+aB=2fm，方向向上.所以相对位移为s1=v22a=mv20f=2mgHf=2Hk.只要棒的长度不小于2Hk，那么在棒再次着地前，圆环就不会脱离木棒.反之，如果棒的长度已确定为L，那么开始下落时棒下端到地面的距离不应大于kL2.上述相对加速度法是一种过程整体法.点评解答该题关键是通过分析各自的加速度后能得出棒的速度先变为零，特别是利用相对加速度法和运动学公式，使问题化繁为简.（2）木棒第一次触地后，弹起速度为v0=2gH，加速度为a1=f+mgm=（k+1）g，方向向下，向上做匀减速运动，直到速度为零，可知木棒下端上升的最大高度为h=v202a1=Hk+1.（3）木棒上升时间t=v0a1=v0（k+1）g，木棒第一次触地后，设经历时间t′达到共同速度，以棒为参考系，取竖直向下为正方向，则环的相对初速度为v=2v0，方向向下，相对末速度为v′=0，相对加速度为a=aA+aB=2fm，方向向上.所以时间t′=2v0-0a=v0kg，可见t′大于t，表明二者速度相等时木棒在下落.第一次速度相等时的共同速度为圆环匀减速运动的速度，即u=v0-a2t′=v0k.（4）利用过程分解法，木棒从最大高度开始下落到与圆环速度相等时经历的时间Δt=t′-t=v0kg-v0（k+1）g=v0k（k+1）g.因此木棒在Δt时间内下落的距离为Δh=12a1（Δt）2=v202k2（k+1）g=Hk2（k+1）.二者速度相等以后，一起做加速度为g的落体运动，初速度为u，木棒下端将发生的位移为h′=h-Δh=Hk+1-Hk2（k+1）=k-1k2H，由运动学公式有2gh′=v21-u2，即2kk-1k2H=v21-2gHk2，所以v21=2gHk，即v1=2gHk.或者利用过程整体法，应用能量守恒定律求木棒触地速度.圆环相对于木棒的位移为s1=2Hk，则从开始下落到第2次触地的整个过程，有mgH+mg（H+s1）-kmgs1=12（2m）v21），可得v1=2gHk.还可利用补偿法.即把初速度不为零的加速度为g的落体运动视为自由落体运动的一部分，可找到初速度为零的位置，就是所设想的自由落体运动的初始位置，则从该位置开始速度由零增加到所发生的位移为h0=u22g=v202gk2=Hk2，它与位移h′=k-1k2H之和等于设想的自由落体运动的位移，即s=h0+h′=Hk，所以木棒做自由落体运动的触地速度v1=2gs=2gHk.（5）木棒第二次上升的最大高度h1=v212a1=2Hk（k+1），以棒为参考系，环的相对初速度v=2v1，方向向下，相对末速度为v′=0，相对加速度为a=aA+aB=2fm，方向向上.所以相对位移s2=2v21a=mv21f=2mgHkf=2Hk2.。

一道解析几何高考题的题源探究与拓展应用作者：徐晓宇来源：《新课程·中学》2015年第04期数学教科书中，很多例题和习题都有很深的背景，有进一步拓展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性.教学中应尽力寻找高考题、模拟题在课本中的“影子”，充分挖掘教材中例题和习题的功能.本文通过对2013年全国大纲卷数学理第8题的解法探究，寻找它在课本中的“影子”，追根溯源，并对题源进行简单的探究与应用.一、考题呈现（2013全国大纲卷理8）椭圆C：+的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A.[，]B.[，]C.[，1]D.[，1]笔者在高三二轮复习中，将本题给学生测试，结果基础一般的学生没有很好的思路，基础较好的学生多数是通过取直线PA2斜率的临界值，求得此时点P的坐标，进而求出直线PA1斜率的临界值得到答案.这种方法虽然能解出此题，但运算繁琐.由此可见这样一道高考题对普通学生的“杀伤力”有多大，同时也反映出我们在高考的复习中对教材的挖掘之浅，对课本例题和习题的研究浮于表面.二、追根溯源如图，设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-.求点M的轨迹方程.分析：由题设易得点M的轨迹方程为：+=1（x≠±5）.本题源于人教A版教材选修2-1第41页例3，在平时教学中，多数教师只是告诉学生解法，而缺少对本题的探究，学生会很快忘了此题，更不会在考试中应用.接下来，笔者将对本题作一些探究.三、题源探究由上例结果发现点M的轨迹是椭圆（除左右两个端点），其中点A，B恰是椭圆的左右顶点，直线AM，BM的斜率乘积kAM·kBM=-=-=-.由此猜想椭圆上任意一点（除左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为定值，引出探究1.探究1：已知点A，B是椭圆+=1（a>b>0）的左右顶点，点M是椭圆上异于点A，B的任意一点.探究直线AM，BM的斜率之积的特点.探究1：中点A，B为椭圆的左右顶点，若将点A，B换成椭圆的上下顶点引出探究2.探究2：已知点A，B是椭圆+=1（a>b>0）的上下顶点，点M是椭圆上异于A，B的任意一点.探究直线AM，BM的斜率之积的特点.由探究1，探究2发现，点A，B是长轴端点或是短轴的端点，椭圆上任一点M（异于点A，B）与这两点连线的斜率之积为定值-.若将点A，B一般化引出探究3.探究3：已知点A，B是椭圆+=1（a>b>0）上关于原点对称的两个点，点M是椭圆上异于点A，B的任意一点.探究直线AM，BM的斜率之积的特点.通过上述三个递进的探究，可得出如下结论.结论1：若点A，B是椭圆+=1（a>b>0）上关于原点对称的两个点，点M是该椭圆上异于点A，B的任意一点.则直线AM，BM的斜率之积为定值，且kAM·kBM=-.双曲线与椭圆的标准方程具有相同结构形式，对于双曲线也有类似的结论.结论2：若点A，B是双曲线+=1（a，b>0）上关于原点对称的两个点，点M是双曲线上异于点A，B的任意一点.则直线AM，BM的斜率之积为定值，且kAM·kBM=.四、拓展应用应用结论1，2013全国大纲卷理第8题就迎刃而解了，大大简化了运算，提高了准确率和效率.上述结论有着广泛的应用，能有效地解决与顶点有关的一类问题.例1.设椭圆+=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.（1）若直线AP与BP的斜率之积为-，求椭圆的离心率；（2）略.（2012年天津高考数学理19题）分析：利用结论1得kAM·kBM=-，从而很快得到椭圆的离心率为.有必要指出的是，作为主观题，一定要先推导出这个结论，不能直接应用.类似的问题也出现在2011年江西高考理的第20题，只是背景为双曲线，利用结论2即可求解，读者可自行查阅.例2.已知椭圆C：+y2=1的左右顶点分别为A，B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l∶x=分别交于M，N两点.求线段MN的长度的最小值.分析：此题设点S的坐标不易求解，由结论1可得kAS·kBS=-，不妨设直线AS的斜率kAS=k（k>0），易得点M（，），N（，），从而得到MN=+≥.例3.已知椭圆C：+y2=1，点M1，M2，…，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（）A.-B.-C.D.-（浙江省五校2014届高三第二次联考数学理试题9）分析：此题中点A，B为椭圆的左右顶点，联想到结论1，不妨将这10个点与点B联结，不难发现kAP=kBP，kAP=kBP，kAP=kBP，kAP=kBP，kAP=kBP所以kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP=kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kBP·kBP·kBP·kBP·kBP=（kAP·kBP）·（kAP·kBP）·（kAP·kBP）·（kAP·kBP）·（kAP·kBP）==-.例4.已知椭圆C：+=1的左右顶点分别为A，B过点D（1，0）的直线MN与椭圆C分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），其中y1>0，y2分析：本题直接求解很难得出答案，但考虑到点A，B为椭圆的左右顶点，由结论1可知kAM·kBM=-，因为=，且kAM·kBM为定值，所以只需求得kAN·kAM为定值.又因为通过联立方程组，由韦达定理易得kAN·kAM=-，从而得到==2.五、解题反思近几年的高考试题与教材关联越来越密切，很多试题的背景都来源于课本又高于课本.作为一名高中数学教师，对课本例题和习题要有针对性地进行探索发现，并作相应拓展，在师生共同研究的氛围中提高学生分析问题、解决问题的能力.让学生在探究中感受知识的活力，在感悟中发展自己的思维与能力，真正做到走出题海，让学生感受到课本就是一个巨大的宝库，最终走向研究性学习.编辑薄跃华。

对一道解析几何题的研究与拓展魏国兵　（江苏省溧水县教研室　２１１２００） 圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，也是每年高考的一个重点．在近几年的高考及各地的模拟考试中，出现了许多精彩的考题．这些试题具有这样的特点：依托本质、立足交汇、强调应用、关注潜能、注重创新、规避模式；有比较浓厚的数学文化背景及应用价值；其综合性和灵活性强、能力要求高、区分度大．特别值得一提的是，由于研究双曲线及抛物线的方法与椭圆有很多相似之处，所以关于椭圆的试题一直受到命题者的亲睐，成为各类考试的一个热点．１　问题的提出作为数学教师，我们应当站在更高的层次上来看待这些试题，通过对这些精彩试题的研究，揭去它们的“面纱”，揭示它们的背景及本质，并作一些相应延拓，提升学生的兴趣，发挥其最大的教学功能．本文就对南京市２０１３届第二次模拟考试试题的背景及本质进行探究．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）过点Ａ（ａ２，ａ２）和点Ｂ（３，１）．（１）求椭圆的方程；（２）已知点Ｐ（ｘ０，ｙ０）在椭圆Ｃ上，Ｆ为椭圆的左焦点，直线ｌ的方程为ｘ０ｘ＋３ｙ０ｙ－６＝０．①求证：直线ｌ与椭圆只有唯一的公共点；②若点Ｆ关于直线ｌ的对称点为Ｑ，求证：当点Ｐ在椭圆上运动时，直线ＰＱ恒过定点，并求出此定点坐标．２　问题①的求解、探源与拓展这一类以椭圆为背景的圆锥曲线的问题是近年来江苏高考的一个热点，特别是其中的“过定点”问题在连续几年的江苏高考中均有考查．命题者牢牢把握考试方向，独具匠心，以圆锥曲线的切线及光学性质为背景，体现了数学的文化价值２・（ａ２ｋ２ｔ２－ａ２ｂ２）－２ａ２ｋ２ｔ２２ａ２ｋ２ｔ－２ｔ（ａ２ｋ２＋ｂ）＝ａ２ｔ，即直线ＢＥ恒过定点Ｑ（ａ２ｔ，０）．推论　已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），过定点Ｐ（ｔ，０）（ｔ≠０）的直线与Ｃ交于Ａ，Ｂ，点Ｑ（ａ２ｔ，０），则ｋＡＱ＋ｋＢＱ＝０．（双曲线、抛物线也有类似的结论）３　进一步探究推广若把推论中的点Ｑ（ａ２ｔ，０）变为直线ｘ＝ａ２ｔ上任一点，又有怎样的结论呢？通过几何画板我们发现，直线ＱＡ，ＱＰ，ＱＢ的斜率依次成等差数列．（如图４）图４命题４　过定点Ｐ（ｔ，０）的直线与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）交于Ａ，Ｂ两点，其中０＜｜ｔ｜＜ａ，Ｑ为直线ｌ：ｘ＝ａ２ｔ上的任意一点，则直线ＱＡ，ＱＰ，ＱＢ的斜率依次成等差数列．命题５　过定点Ｐ（ｔ，０）的直线与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）交于Ａ，Ｂ两点，其中｜ｔ｜＞ａ，Ｑ为直线ｌ：ｘ＝ａ２ｔ上的任意一点，则直线ＱＡ，ＱＰ，ＱＢ的斜率依次成等差数列．命题６　过定点Ｐ（ｔ，０）的直线与抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）交于Ａ，Ｂ两点，其中ｔ＞０，Ｑ为直线ｌ：ｘ＝－ｔ上的任意一点，则直线ＱＡ，ＱＰ，ＱＢ的斜率依次成等差数列．说明　上述命题借助于几何画板可以得到证明，至于代数推演，有兴趣的读者可以尝试．参考文献［１］　偰永锋．圆锥曲线的一个统一性质［Ｊ］．中学数学研究（江西），２０１１（９）．［２］　偰永锋．圆锥曲线焦点弦的一个性质［Ｊ］．数学通讯，２０１２（３）．・０４・ 中学数学月刊 ２０１３年第１０期及应用价值，全面检测、准确区分，凸显公平，不失为一道“好题”．解析　（１）椭圆方程为ｘ２６＋ｙ２２＝１．（２）①当ｙ０＝０时，由于点Ｐ（ｘ０，ｙ０）在椭圆Ｃ上，则ｘ０＝±６，从而直线ｌ的方程为ｘ＝６或ｘ＝－６，显然ｌ与椭圆只有唯一的公共点．当ｙ０≠０时，联立方程组ｘ０ｘ＋３ｙ０ｙ－６＝０，ｘ２６＋ｙ２２＝１，消去ｙ得ｘ２６＋１２・６－ｘ０・ｘ３ｙ０２＝１．整理得（３ｙ２０＋ｘ２０）ｘ２－１２ｘ０ｘ＋３６－１８ｙ２０＝０．（倡）由于点Ｐ（ｘ０，ｙ０）在椭圆Ｃ上，则ｘ２０６＋ｙ２０２＝１，即３ｙ２０＝６－ｘ２０，代入（倡）式整理得ｘ２－２ｘ０ｘ＋ｘ２０＝０．因Δ＝（－２ｘ０）２－４ｘ２０＝０，所以方程有两相等的实数根ｘ１＝ｘ２＝ｘ０．即直线与椭圆只有唯一的公共点．综上，直线ｌ与椭圆只有唯一的公共点．本题中直线与椭圆只有唯一的公共点，即为直线与椭圆相切．这个问题是将苏教版必修２第１１７页习题２．２（２）第三１１题：“已知圆Ｃ方程为ｘ２＋ｙ２＝ｒ２（ｒ＞０），求证：经过圆Ｃ上一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２”改编的，由于圆与椭圆有许多相似之处，所以将圆中的结论类比到椭圆中来．事实上，每年由课本题进行改编的高考题比比皆是，我们应该重视课本例（习）题的教学功能．下面我们将这一结论作进一步的拓展，推广到一般的椭圆、双曲线和抛物线中．拓展１　若点Ｐ（ｘ０，ｙ０）为椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）上一点，则直线ｌ：ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１与椭圆Ｃ相切（Ｐ为切点）．（证明可类比上面的证明，过程略）拓展２　若点Ｐ（ｘ０，ｙ０）为双曲线Ｃ：ｘ２２－ｙ２２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上一点，则直线ｌ：ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１与双曲线Ｃ相切（Ｐ为切点）．（证明略）拓展３　点Ｐ（ｘ０，ｙ０）为抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）上一点，则直线ｌ：ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０）与抛物线Ｃ相切（Ｐ为切点）．证明　联立直线与抛物线方程ｙ２＝２ｐｘ，ｙ０ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ０），消去ｘ得ｙ２＝２ｐ・（ｙ０ｙ－ｘ０），整理得ｙ２－２ｙ０ｙ＋２ｐｘ０＝０．因点Ｐ（ｘ０，ｙ０）在抛物线Ｃ上，则ｙ２０＝２ｐｘ０，所以方程可化为ｙ２－２ｙ０ｙ＋ｙ２０＝０．因Δ＝（－２ｙ０）２－４ｙ２０＝０，所以方程有两相等的实根ｙ１＝ｙ２＝ｙ０，即直线与抛物线相切（Ｐ为切点）．３　问题②的求解、探源与拓展解析　由题意知椭圆左焦点为Ｆ（－２，０），设Ｆ关于ｌ的对称点为Ｑ（ｍ，ｎ），则ｘ０・ｍ－２２＋３ｙ０・ｎ２－６＝０，ｎｍ＋２・（－ｘ０３ｙ０）＝－１，整理得ｘ０・ｍ＋３ｙ０・ｎ－２ｘ０－１２＝０，３ｙ０・ｍ－ｘ０・ｎ＋６ｙ０＝０，解得ｍ＝２ｘ２０＋１２ｘ０－１８ｙ２０ｘ２０＋９ｙ２０．（倡倡）由于点Ｐ（ｘ０，ｙ０）在椭圆Ｃ上，则ｘ２０６＋ｙ２０２＝１，即３ｙ２０＝６－ｘ２０，代入（倡倡）式，ｍ＝８ｘ２０＋１２ｘ０－３６１８－２ｘ２０＝－４ｘ２０＋６ｘ０－１８ｘ２０－９＝－４ｘ０－６ｘ０－３，则ｎ＝３ｙ０ｘ０（ｍ＋２）＝３ｙ０ｘ０・－２ｘ０ｘ０－３＝－６ｙ０ｘ０－３，则ｋＰＱ＝ｎ－ｙ０ｍｘ０＝－６ｙ０ｘ０－３－ｙ０－４ｘ０－６ｘ０－３－ｘ０＝－ｙ０（ｘ０＋３）－ｘ２０－ｘ０＋６＝ｙ０ｘ０－２．直线ＰＱ的方程为ｙ－ｙ０＝ｙ０ｘ０２（ｘ－ｘ０），过定点（２，０）．本题的背景是椭圆的一个光学性质，体现了数学的应用价值及文化价值．下面我们也将它进行拓展，用数学方法来研究圆锥曲线的光学性质．拓展１　从椭圆一焦点出发的光线经过该椭圆反射后，反射光线所在直线经过另一焦点．（证明同上）拓展２　从双曲线一焦点出发的光线经过该双曲线反射后，反射光线所在直线经过另一焦点．（证略）拓展３　从抛物线焦点出发的光线经该抛物线反射后，反射光线所在直线平行于抛物线的对称轴．・１４・２０１３年第１０期 中学数学月刊 。

一道高考数列题的研究与拓展佚名【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2019(000)004【总页数】2页(P4-5)【正文语种】中文数列在高中数学的教学过程中一直是一个重点部分，也是每年高考数学不可或缺的一个重要的考察点.综观2017年高考数学科目对于数列的考查，关键是根据如下的几个方面展开的：通常数列的切入点、等差数列与等比数列的通项公式及其求和、错位相减法进行求和、公式法进行求和、裂项相消法进行求和、数学归纳法、证明数列不等式内的函数法、迭代方法以及累乘方法以及新数列的概念界定等.这些多维度的考察角度，凸显出数列所具有的工具性以及运用性等特点.正因此，对于我们数学的教学提出了去虚务实的要求.只有在平时的教学训练过程中，一步一个脚印地去掌握好有关数列的每一个知识点，熟练而又灵活地运用数列的相关公式，才能够从容不迫地面对高考的数列题.本论文主要以2017年高考山东数学文科卷的数列大题(即第19题)为例，以小见大地达到如何学习数列知识的目的，具体分析展开如下.1 真题再现已知：{an}为各个项都是正数的等比数列，有a1+a2=6，a1·a2=a3.1)求出数列{an}的通项公式；2)假设{bn}是各个项都不等于零的等差数列，它的前n项之和是Sn，且有S2n+1=bn·bn+1.求解数列前n项之和Tn的值.2 思路探析从本题的设置来看，主要对考生对于等差数列与等比数列的定义、性质、递推和转化数列以及错位式相减和求和方法等内容进行考察，难度上归属为中档题.从提问的设置来看，第一个提问并不复杂，只需对方程组进行求解就可以计算获得结果；第二个提问S2n+1=bn·bn+1则属于递推式的题型.很多学生所想到的解题钥匙是通常使用的函数方法，也就是用S2n+1=bn·bn+1与S2n-1=bn-1·bn这2个等式通过相减或者是相除的计算之后，试图找出其中隐藏的内在关联性.然而，事实证明，此解题方法是一条无法行得通的“弯路”，让很多考生因此耽搁了不少的时间.一旦出现解题过程中的瓶颈，就应立马另起炉灶.事实上，就等差数列而言，S2n+1能够通过一定的变形方式加以处理之后，马上能够和bn·bn+1构建起内在的关联性.3 详细解析首先回答题设中的第一个小问题.基于题给的条件即a1+a2=6，a1·a2=a3⟹计算出a1=q=2.因此，an=2n(n∈N).其次回答题设中的第二个小问题.由于S2n+1=因此，根据S2n+1=bn·bn+1推出(2n+1)bn+1=bn·bn+1，因而，bn=2n+1(n∈N)，进而推出可见，所表示的是等差数列和等比数列二者的乘积，借助于错位式相减求和方法即能够得出结果.质言之，解题的要点如下：和公比相乘之后再进行错位式的相减和求和的计算.①②上述式子①-②后可得因此，4 联想拓展基于上述有关2017年高考文科数列大题的思路与解题步骤分析的基础上，笔者通过联想之后，认为能够推出等差数列的一个非常实用的求和公式：即等差数列{an}，Sn所表示的是该数列前n项之和，那么，可以推出S2n-1=(2n-1)an.证明n∈N.事实上，以上的这个重要的等差数列求和公式并不陌生，在日常的教学练习过程中也不乏常见.在具体解题时对其加以灵活地运用，能够达到事半功倍的效果.拓展练习1 已知数列{an}前n项之和Sn= 2n2-n,(n∈N)，求出数列{an}的通项公式.由题干已知条件可知，{an}为等差数列，因此，S2n-1=(2n-1)an.由于Sn=2n2-n=n(2n-1)，可以推出，S2n-1=(2n-1)(4n-3).据此，可以进一步推出(2n-1)(4n-3)=(2n-1)an，则有an=4n-3.基于以上的等差数列求和公式，能够容易地推出如下结论：若有等差数列{an}与{bn}，Sn和Tn依次表示的是这2个等差数列的前n项之和，那么可以推出：证明由于S2n-1=(2n-1)an，T2n-1= (2n-1)bn.因而有：拓展练习2 已知2个等差数列{an}与其前n项之和依次用Sn和加以表示，并有(5n+13):(4n+5)，求解的值.假设n取10，那么，我们能够直接地运用前面推论的公式，通过计算后，得出拓展练习3 已知2个等差数列{an}与{bn}，其前n项之和依次用An和Bn加以表示，且有请计算的值.结合等差数列的基本公式以及本文前面的推论公式，可以得出5 点评感悟5.1 真题点评笔者认为，2017年高考山东数学文科卷的数列大题呈现出一个难度逐渐增加的梯度结构，2个设问从易到难、从浅到深，注重知识点内在的逻辑性考察，严谨细致，在稳定中显现出数学科目的特点，在创新之中重视数学素质.尤其是第二小问题的设计，对考生提出了更高的数学思维能力要求，真正地凸显出了压轴的功能，充分地对考生的数学素质、思维能力以及学习潜能展开了深入的挖掘，从而让具有良好的数学思维能力、较强的数学科目综合性运用能力的考生脱颖而出，具有明显的数学能力区分功能，也符合高考理应所具备的选拔性考试的功能.5.2 感悟反思从2017年高考山东数学文科卷数列大题的设计来看，并非像想象中的那样难度大，恰恰相反，考查的是考生的基础知识、基本的数学应用技能及其掌握情况，尤其是第一个小问题，基本上考查的是考生对于数列基本公式的运用，只要将题干中的条件转换成等比数列的公式，即可以得出{an}的通项公式.因而，教师在日常性的数列教学过程中，应关注双基，留意通性和通法，弱化特殊性的技巧传授，尽可能地让高中生熟稔地学会化解数列问题的通用方法.至于数列的基础知识部分，既须全方位不可遗落知识点，同时也应突出重点部分.至于支撑科目知识系统的重难点部分则应占据不少的比重.比如，本论文所分析的数列大题的难度区分即体现在第二个小问题上.因此，教学时还是须凸显出核心知识块的内容.当然，这并不是说，在以后进行高考数列复习时，由于数列大题难度稍大就聚焦于难题的专项训练，而忽略了数列的基础知识、思维方法及其技能的培养.尤其是在第一轮的复习过程中，更应提高学生们在数列的基本概念、基础概念的深入理解，并做好数列基本题型的训练，熟练地掌握常规型数列试题的通性和通法.总而论之，数学试题变化多端，永远也不可能说尽道完的.但是，万变不离其宗.通过2017年高考山东数学文科卷的一道大题，我们却能够以小见大，发现许多有趣的数列规律，串起相关的知识点.同时，它也在提醒我们，在日常的教学过程中应注重去虚务实，踏踏实实地打夯数学的基础，才能够从“量变”到“质变”，提高数学解题的运用能力.。

一道2022年北京市高考试题的拓展教学启示罗振国摘要：高考试题立意新颖构思巧妙，这样的“难题”让物理教师和考生为难.如何运用在平时的教学中渗透的学科素养，在迎考复习中有针对性地训练考生的科学思维能力，以达到提高考生的关键能力，这才是本文的出发点和最终目的.关键词：牛顿平抛设想;教学启示;高考复习;核心素养2022年高考北京卷第21题利用装置考查了平抛运动，其中最后一问把牛顿关于人造卫星的最初设想加入考查，尽管不是很难，但是试题的立意新颖度和高度都让人耳目一新.物理教师被命题人的巧妙构思折服，同时也为以后的教学担忧.这种“奇思怪想”的创新思维如何能在平时的教学中渗透呢？怎样的复习才能提升考生的核心素养？笔者以万有引力的教学内容为例来探讨这个问题.1 原题回放用如图1所示装置研究平抛运动.将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上.钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点水平飞出，落在水平挡板MN上.由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点.移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点.（1）～（4）不是本文的关注点，故省略.（5）牛顿设想，将物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落地点就会一次比一次远，如果抛出的速度足够大时，物体就不再落回地面，它将绕地球做圆周运动，成为人造地球卫星.同样是受地球引力，随着抛出速度增大，物体会从做平抛运动逐渐变为做圆周运动，请分析原因.参考答案：（5）物体初速度较小时，运动范围很小，引力可以看作恒力——重力，做平抛运动;随着物体初速度增大，运动范围变大，引力不能再看作恒力;当物体初速度达到第一宇宙速度时，做圆周运动而成为地球卫星.2 寻根问底本题涉及了牛顿当初设想：把平抛运动的物体拓展为地球卫星或者逃离地球吸引的原理图.而现行的教材是这样简单处理的：教材中是用圆周运动推导出卫星的第一宇宙速度，但是如何利用平抛来推导出第一宇宙速度却没有出现在现行的教材课本中，答案也是含糊其辞不能尽如人意.相信大家对此都颇感兴趣，为了使大家深入地了解牛顿的伟大成果，现在整理如下：如图3所示，将地球视为一个理想的圆形球体，假设其半径为R，一个物体从地面A点的正上方A′以速度v水平射出，该点到球心的距离设为r，则r≈R.t时间内，物体在水平方向移动的距离为A′D′=AD=L，竖直方向下降的距离为D′D≈y，（yr）.由于地球是球体，地球表面上D 点（即图中的水平面）也相对AD的水平面同样也要下降了DB=y，这样才能保证物体离地面高度是一样的.在下一个t时间内也是同样情景，依此类推下去，物体无终点自由下落的情况就演变成一颗绕地球做圆周运动的卫星.根据平抛规律得：L=vt，y=12gt2因为ΔABE∽ΔACB，故：yL=L2R-y略去微小量y2，近似可得：y≈L22R将其代入平抛的公式，则t=LgR，v=gR=7.9km/s.对比之后，我们发现教材中的推导与牛顿的设想还是有很大差距的.3 教学的启示基于此，笔者认为要适应核心素养下的新高考，我们一定要及时更新教学行为，摒弃陈旧的观念，认真学习物理学科核心素养的知识与理论，让学生逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.笔者认为上述的高考试题给我们三点教学启示：3.1 启示一在物理观念的建立过程中，要重视学生的实际感受，从学生的生活实际出发，严谨地推导物理定律，不仅要做到知其然，还要知其所以然.可见要弄清楚本题的答案，必须要了解牛顿推导过程的来龙去脉，这个对考生而言是非常有难度的，同时对我们的教学也是提出了不小的挑战.作为一名物理教师，我们一定要认真阅读教材，并查询相关的物理学史实，弄清细节的来龙去脉还原物理本真.物理是有趣的，物理是有用的，物理更是严谨的.教学中我们一定要怀着一颗敬畏之心对待科学，通过言传身教的方式把严谨认真、实事求是和持之以恒的科学理念潜移默化地传递给学生，所谓“润物细无声”才是教育的最高境界，核心素养中的科学态度与责任才能真正地落到教学实处.3.2 启示二要认真阅读课本的“做一做、拓展一步、信息窗”等重要物理信息，并查缺补漏利用好课本的宝贵资源，尽可能地编好知识网络，搭建好科学思维的平台.非常有意思的是司南版教材第五章第一节就有三处地方花费了较大的篇幅着重强调拓展教学的重要性，一节三拓展的情况在教材中是非常少见的，具体如下.（1）如图4所示，牛顿站在巨人的肩膀上推导出万有引力定律.（2）如图5所示，牛顿著名的“月地检验”.例题1 （2022年高考北京卷）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60【答案】B【解析】A.设月球的质量为M月，地球的质量为M，苹果的质量为m 则月球受到的万有引力为：F月=GMM月（60r）2苹果受到的万有引力为：F=GMmr2由于月球質量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法比较，故选项A错误;B.根据牛顿第二定律：GMM月（60r）2=M月a月，GMmr2=ma整理可以得到：a月=1602a，故选项B正确;C.在月球表面处：GM月m′r月2=m′g月，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故选项C错误;D.苹果在月球表面受到引力为：F′=GM月mr2月，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与地球表面引力之间的关系，故选项D错误.点睛：本题考查万有引力相关知识，掌握万有引力公式，知道引力与距离的二次方成反比，即可求解.例题2 （2022年高考上海卷第15题）月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a，设月球表面的重力加速度大小为g1，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2，则A.g1=aB.g2=aC.g1+g2=aD.g2-g1=a解析：根据月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力提供，选B.本题考查万有引力定律和圆周运动.难度：中等.这个题出的好.（3）如图6所示，万有引力常量的测量——卡文迪许的扭秤实验.测量原理：扭转力矩：M1=kθ引力矩：M2=F引·L=Gmm′r2·L由力矩平衡：M1=M2，得Gmm′r2·L=kθ即：G=kr2θmm′L体会两次放大的物理思想：1.T形架保持金属丝竖直不偏，引力矩在同一水平面上，便于计算.4个球有2个力矩，既对称平衡，又使力矩放大2倍.若用L形架和2个球则不能起到上面的一些作用2.当金属丝扭转θ角，平面镜扭转θ角，反射光线转过2θ角，起到第2次放大作用引力常量测定的意义（1）卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性.（2）第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值.（3）标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱力的新时代.例题3 （2022年高考上海卷第27题）卡文迪什利用如图7所示的扭秤實验装置测量了引力常量G.（1）（多选题）为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施A.减小石英丝的直径B.增大T型架横梁的长度C.利用平面镜对光线的反射D.增大刻度尺与平面镜的距离（2）已知T型架水平横梁长度为L，质量分别为m、m′的球，位于同一水平面，当横梁处于力矩平衡状态，测得m、m′连线长度r，且与水平横梁垂直;同时测得石英丝的扭转角度为θ，由此得到扭转力矩kθ（k为扭转系数且已知），则引力常量的表达式G=.【答案】：（1）CD（2）根据Gmm′r2·l=kθ，得G=kθr2mm′l.笔者在这一章中还发现教材中关于万有引力的拓展教学有好几处，现梳理如下：①万有引力的公式推导;②月地检验的拓展;③万有引力常量的微小量测量;④卫星变轨的讨论（“嫦娥”奔月）;⑤拉格朗日点的应用（同步卫星的区别）;⑥未知星体的发现（追赶相遇问题）;⑦引力势能在黑洞理论中的应用（第二宇宙速度的推导）;⑧卫星发射中的超重与失重⑨双星与多星模型等等.我们只有将生活中现象利用物理的观念与规律进行抽象化建模，才能进一步引导学生运用分析综合、推理论证等方法来解决实际问题，提高学生物理学科的关键能力.3.3 启示三学会领会命题意图，精选习题，做到有的放矢，重点放在科学思维能力的训练与提升上.高考试题侧重考查考生的核心素养，试题情景大多来自于教材或者考生生活实际，但是命题立意又高于课本素材，对考生的关键能力要求较高.我们必须认真研究课程标准、考试大纲和经典高考试题，并不断对比品读教材，逐步去体会命题的意图.这就要求我们在迎考阶段要精选高考试题，有效训练做到有的放矢.物理核心素养下的试题应该具有物理的必备知识、物理学科特色的关键能力、物理的学科素养和核心价值的属性，体现出基础性、综合性、应用性和创新性四个特征.通过训练含有四层四翼的高质量试题，我们复习的策略将更加有针对性，也能有效地提升考生的科学思维能力.见表1所示.综上所述，在核心素养涵盖下的新高考，已经不能简单地通过题海战术来复习迎考.教师必须在新知识理论的要求下，重新审视自己的教学，认真地品读课本，正确地建构物理概念，熟练地运用物理模型，高效地训练科学思维.培养学生的核心素养、体现学科育人的价值的道路很艰辛，我们一直在路上.。

鳖購几何体的试题赏析与探究岳峻1阮艳艳2安徽省太和县太和中学2366002015年湖北高考数学Z后，广大考生感言：阳马、鳖腦，想说爱你不容易；屮学教师考后反思：阳马、鳖嚅，不说爱你乂没道理；试题评价专家说：湖北高考数学试题注重数学本质，突出数学素养，彰显数学文化.阳马、鳖購是什么呢？1试题再现1.1文科试题《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖孺.在如图1所示的阳马P- ABCD中，侧棱PD丄底面ABCD,且PD = CD,点E是PC的屮点，连接DE, BD, BE .(I)证明：DE丄平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖嚅，若是，写出其每个血的直角(只需写出结论)；若不是•，请说明理由；图1V(II)记阳马P-ABCD的体积为％,艸面体的体积为匕，求」的值.1.2理科试题《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖購.如图2,在阳马P-ABCD^,侧棱PD丄底面ABCD,且PD = CD ,过棱PC的屮点£,作EF丄PB交PB 于点F ,连接DE, DF, BD, BE.(I)证明：PB丄平而DEF•试判断四而体DBEF是否为鳖嚅，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(II)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为兰，求字的值.3 BC2鳖嚅的史料2. 1史料《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑堵。

斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖嚅。

阳马居二，鳖購居一，不易之率也。

合两鳖購三而一，验之以棊，其形露矣•”刘徽注：“此术膳者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。

屮破阳马，得两鳖購，鳖購之起数，数同而实据半，故云六而一即得・”2.2阐释阳马和鳖魔是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得 两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相対的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个•以矩形为底，另有一棱 与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为蹩 膳.3.1生僻字问题试题中出现了中国古代数学巨著《九章算术》中“阳马”“幣（ble ）嚅（ndo ）”的生僻词, 但题目屮已经对这两个词语的含义进行了现代文解释，从而高考考生对四棱锥P-ABCD 所具备的特点能够完全理解，并乩也能够知道如何判断四血体是否是鳖嚅，因此本题中的生 僻字不会对考生解题带来困扰.鳖腮，并没闹！ 3.2教材溯源 北京师范人学出版社《普通高屮课程标准实验教科书数学 必修2》的“第一章立体几何初步”的“第六节垂直关系” 的例题1 （第37页）：如图5所示，在RtAABC 中，ZB = 90°,点P 为AABC 所在平面外一点，PA 丄平面A3C 。

高中物理学习材料唐玲收集整理2011年高考试题点评及拓展考题11．电场线分布如图所示，电场中a，b两点的电场强度大小分别为已知E a和E b，电势分别为φa和φb，则（）（A）E a＞E b，φa＞φb（B）E a＞E b，φa＜φb（C）E a＜E b，φa＞φb（D）E a＜E b，φa＜φb出题背景本题是基础题，主要考查的是考生对电场强度和电势知识的了解情况。

解题思路从本题给出的图线看，这是一个非匀强电场，左边的电场线较疏，右边的电场线较密，显然右边的电场强度大于左边的电场强度，即E a小于E b。

又因为沿着电场线的方向电势降低，所以φa大于φb。

本题的正确选项是（C）。

考题拓展2．某电场的分布如图所示，带箭头的实线为电场线，虚线为等势面。

A、B、C三点的电场强度大小分别为E A、E B、E C，电势分别为φA、φB、φC，关于这三点的电场强度大小和电势的关系，下列判断中正确的是（）。

（A）E A＜E B，φB＝φC（B）E A＞E B，φA＞φB（C）E A＞E B，φA＜φB（D）E A＝E c，φB＝φC3．如图所示，AB、CD为一圆的两条直径，且相互垂直，O点为圆心。

空间存在一未知静电场，电场强度方向与圆周所在平面平行，现有一电子，在电场力作用下（重力不计），先从A点运动到C点，动能减少了W；又从C点运动到B点，动能增加了W，那么关于此空间存在的静电场可能是（）。

（A）方向垂直于AB并由O指向C的匀强电场（B）方向垂直于AB并由C指向O的匀强电场（C）位于O点的正点电荷形成的电场（D）位于D点的正点电荷形成的电场4．空间某一静电场的电势φ沿x轴的分布如图所示，x轴上两点B、C的电场强度在x方向上的分量分别是E Bx、E Cx，则下列说法中正确的是（）。

（A）E Bx的大小大于E Cx的大小（B）E Bx的方向沿x轴正方向（C）电荷在O点受到的电场力在x方向上的分量最大（D）负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功5．如图所示，真空中，两个相距L的固定点电荷E、F所带电荷量分别为Q E和Q F，在它们共同形成的电场中，有一条电场线如图中实线所示，实线上的箭头表示电场线的方向。

从真题拓展中探索原创命题入门路径作者：欧远强来源：《中学历史教学》2021年第04期历史原创命题是一名历史教师的教学基本功之一，而命题能力是衡量教师业务能力和专业水准的重要尺度，也是教师专业成长的重要组成部分。

笔者长期致力试题原创的探索，在不断实践过程中得到一些感悟。

以下整理自笔者的一次交流讲座，例谈从真题拓展中探索历史原创命题入门路径，并求教于各位方家。

一、深挖并拓展，仿真原创由于历史原创命题的路径很多，但命题者对真题研究有着共性的理解。

原教育部考试中心主任刘芃在《考试文集》中曾这样总结到：“往年的试题（真题）是精雕细磨的产物，它反映了对考试内容的深思熟虑、对设问和答案的准确拿捏、对学生水平的客观判断。

研究这些试题，就如同和试题的制作者对话。

”受刘芃主任的启发，笔者从命题素材等微观角度深挖与拓展典型真题。

典例真题：（2020年全国卷I，42）阅读材料，完成下列要求。

材料：关于宋代历史，海内外学者著述颇丰，叙述各有侧重，如《儒家统治的时代：宋的转型》《中国思想与宗教的奔流：宋朝》《宋史：文治昌盛与武功弱势》等，这些书名反映了作者对时代特征的理解。

结合所学知识，就中国古代某一历史时期，自拟一个能够反映其时代特征的书名，并运用具体史实予以论证。

（要求：论证充分，史实准确，表述清晰。

）对上述典型真题研究可知：（1）试题立意：典题学术味、历史味鲜明，通过呈现不同学者对宋史研究视角，考查学生分析材料、概括材料并结合所学知识对材料进行合理的解释，体现了历史解释素养。

（2）试题素材：命题选用的素材是迪特库恩（美）《哈佛中国史4·儒家统治的时代：宋的转型》、小岛毅（日）《中国思想与宗教的奔流：宋朝》等，属于国外汉学家代表作品。

（3）考查角度：考查的角度分别是拟题及论证，基本覆盖了历史开放试题常考的要素。

（4）设问限定：采用设问限定用语依次是“结合所学知识”“拟书名”“具体史实予以论证”。

受典型真题的启发，笔者在此研究总结基础上进行“仿真式”的原创：示例初稿：（原创）阅读材料，完成下列要求。