一元二次不等式恒成立问题专项练习

一元二次不等式恒成立问题专项练习 例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1.

(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；

(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.

(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，

若m ＝0，显然－1<0，满足题意；

若m ≠0，则⎩⎨⎧ m <0，

Δ＝m 2＋4m <0，即－4

(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，

就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －122

＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立.

令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122

＋34m －6，x ∈[1,3].

当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，

∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0

当m ＝0时，－6<0恒成立；

当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，

∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.

综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫

－∞，67.

方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，

即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.

∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －122

＋34>0，

又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6

x 2－x ＋1.

∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34

在[1,3]上的最小值为67

，∴只需

m <67即可.

综上所述，m 的取值范围是⎝

⎛⎭⎪⎫－∞，67. (3) 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5，

m (x 2－x ＋1)－6<0.

设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.

则g (m )是关于m 的一次函数且斜率

x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34

＞0.

∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0， 即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，

方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52， ∴x 2－x －1<0的解集为⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－52，1＋52， 即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52

，1＋52. 练习：

1. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________. 解析： 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，

则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2).

由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.

则有⎩⎨⎧ f 1≤0，f 2≤0，即⎩⎨⎧ 1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，

可得⎩⎨⎧ m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.

2.若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )

A.m ≥2

B.m ≤－2

C.m ≤－2或m ≥2

D.－2≤m ≤2

答案 D

解析 由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.

3.当不等式x 2＋x ＋k >0恒成立时，k 的取值范围为________.

答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫14，＋∞ 解析 由题意知Δ<0，即1－4k <0，

得k >14，即k ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫14，＋∞.

3.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为

( )

A.1

B.－1

C.－3

D.3

答案 C

解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，

又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，

∴f (x )min ＝f (1)＝－3，

∴m ≤－3，

∴m 的最大值为－3.

4.对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )

A.1

B.x <1或x >3

C.1

D.x <1或x >2

答案 B

解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]

⇔⎩⎨⎧ g 1＝x 2－3x ＋2>0，g －1＝x 2－5x ＋6>0

⇔⎩⎨⎧ x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3.

5.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )

A.(－∞，2)

B.(－∞，2]

C.(－2,2)

D.(－2,2]

答案 D 解析 当a －2≠0时，

⎩⎨⎧ a －2<0，4a －22－4

a －2·－4<0，即⎩⎨⎧ a <2，a 2<4， 解得－2

当a －2＝0时，－4<0恒成立，

综上所述，－2

6.若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________.

答案 ⎝ ⎛⎦

⎥⎤－35，1 解析 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或a ＝－1.

若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意.

若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，

即x <12

，不合题意，舍去. ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，

原不等式的解集为R 的条件是

⎩⎨⎧ a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0，解得－35

⎥⎤－35，1. 7．已知函数f (x )＝x 2

＋ax ＋3.

(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；

(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，

∴－6≤a ≤2，∴a 的取值范围为[－6,2]．

(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a 2

4.