绝对值三角不等式

绝对值三角不等式

公式：bababa

证明过程如下：

显然baba成立，取等条件是0ab，将b用b代替，可得baba，即baba，取等条件是0ab

综上可得①baba

在baba中a用ba代替，可得bbaa，移项得baba，调换ba,的位置可得abab，因为baab，所以可得baba，取等条件是0ab。将b用b代替可得baba，取等条件是0ab。

综上可得②baba

结合①②绝对值三角不等式bababa得证

绝对值三角不等式经常用来解决形如cnxmxcnxmx,恒成立型的需要结合最值原理求解的问题

巩固练习

1、已知a和b是任意非零实数．

（1）求ababa22的最小值

（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立，求实数x的取值范围

2、已知，，，333scCsbBsaA求)()(cbaCBA的最大值

3、不等式aaxx3132对x都成立，求实数a的取值范围 4、已知函数54)(xxxf

（1）试求使等式12)(xxf成立时，x的取值范围

（2）若关于x的不等式axf＜)(的解集不是空集，求实数a的取值范围

5、已知函数),,11(12)(22Rcaxcaxxxf，记)(xf在1,1上的最大值为M，求证：若a＞1，则对于Rc，恒有M＞2

6、求证bbaababa111

１ 含绝对值的不等式解法

一. 预习知识

1、知识链接：

实数x的绝对值的定义是：

绝对值的意义是：x

归纳：.若a>0,则xa xa

若c>0,则baxc cbax

二. 典型例题

例1.解不等式：75x22

练习. 解不等式：92x2

２ 例2.解不等式：xx21

练习. 解不等式：1x1x2

例3.解不等式：123x2x

练习. 解不等式：64x1x

３ 三. 基础训练

1.不等式3x21的解集是

2.不等式63x1的解集是

3.已知不等式82ax的解集为5x3x则a

4.已知集合21xxA，11xxB则BA

5.解下列不等式

（1）138x3

（2）12x43

４ 归纳总结：

1．绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12||xx是指数轴上12,xx两点间的距离

2．当0c时，||axbcaxbc或axbc，

||axbccaxbc；

当0c时，||axbcxR，||axbcx．

3．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法（2）类比转化法（3）零点分段法（4）数形结合法

（5）两边平方法

解下列不等式：

（1）4|23|7x；

（2）|2||1|xx；

（3）|21||2|4xx．

绝对值不等式

一、绝对值三角不等式

1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

二、绝对值不等式的解法

1．含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a x>a或x<－a x≠0 R

2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .

3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型

不等式的解法

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．

二、绝对值不等式的解法

1．含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a x>a或x<－a x≠0

R

2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；

(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .

3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型

不等式的解法

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．

例1：解不等式x＋|2x－1|<3.

解：原不等式可化为 2x－1≥0， x＋(2x－1)<3或 2x－1<0，x－(2x－1)<3.解得12≤x<43或－2

含有绝对值的不等式案例

一、主题与背景

不等式是中职数学学习的重要内容之一。本节课是中职数学基础模块（人教版）第二章不等式第四节的第一课时。解含绝对值的不等式的基本思想是:去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式。含有绝对值不等式的学习，是在初中一元一次不等式的基础上进行的，是集合知识的应用和巩固，对培养学生分析问题、解决问题的能力、理解能力、培育思维的灵活性有很大的帮助，同时能使学生养成多角度认识事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。

本节体现了数形结合、等价转化、整体代换等重要的数学思想，对学生的数学核心素养的培养有重要作用。

二、情景再现

（一）创设情景，引入新课，提出问题

师：（拿出一包小吃，展示出来，观察它的质量）按商品质量规定，商店出售的标明50g这个袋装食品，其实际数与所标数相差不能超过5g，这包小吃的质量在哪个范围内呢？

生：45--55g

师：如何表达实际数与所标数的关系呢？实际数是多少我们不知道，所以可以设为xg,所标的数有50和5，怎样表示他们的关系呢？

生：50-x≤5,

生：x-50≤5；

师：咦!怎么得出两种关系了呢？ 生：如果实际数比50大，则用x-50≤5,如果实际数比50小，就用50-x≤5

师：很好！所以综合起来就是|x-50|≤5，像这种含有绝对值的不等式怎么解呢？这就是我们这节课要解决的问题。

（二）复习旧知，数形结合，分析问题

师：我们先来看|x|=5？x=?

生：5或-5

师：绝对值的几何意义是什么？

生：x的绝对值表示数x这个点到原点的距离。

师：|x|=5的几何意义是什么？并在数轴上表示出来。

生：x这个点到原点的距离是5个单位，表示在数轴上是5和-5。

师:很好！我们知道了|x|=5，那么如何解绝对值不等式|x|≤5呢？

生：（思考）

师：看我们画的数轴，根据绝对值的几何意义我们知道：到原点的距离为5的点是5和-5，那么到原点的距离比5小的是哪部分呢？到原点的距离比5大的又是哪部分呢？我叫一个同学在数轴上指出来。