北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测卷(包含答案解析)

一、选择题

1．已知离心率为223的椭圆2211xymm的左､右顶点分别为A，B，点P为该椭圆上一点，且P在第一象限，直线AP与直线4x交于点C，直线BP与直线4x交于点D，若83CD，则直线AP的斜率为（ ）

A．16或120 B．121 C．16或121 D．13或120

2．若圆锥曲线C：221xmy的离心率为2，则m（ ）

A．33 B．33 C．13 D．13

3．设O为坐标原点，直线yb与双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线分别交于,AB两点，若OAB的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值是（ ）

A．16 B．8 C．4 D．2

4．已知椭圆C的方程为22221(0,0)xyabab，过右焦点F且倾斜角为4的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线2axc和AB于点P和M，若3||4||ABPM，则椭圆C的离心率为（ ）

A．325 B．223 C．63 D．22

5．P是椭圆221169xy上的点，1F、2F是椭圆的左、右焦点，设12PFPFk，则k的最大值与最小值之和是（ ）

A．16 B．9 C．7 D．25

6．已知O为坐标原点设1F，2F分别是双曲线2219xy的左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，过点1F作12FPF的角平分线的垂线，垂足为H，则OH（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．过原点O的直线交双曲线E：22221xyab（0,0ab）于A，C两点，A在第一象限，12,FF分别为E的左、右焦点，连接2AF交双曲线E右支于点B，若222,23OAOFCFBF，则双曲线E的离心率为（ ） A．2145 B．2134 C．365 D．535

8．已知双曲线221(0,0)xymnmn和椭圆22174xy有相同的焦点，则11mn的最小值为（ ）

A．12 B．32 C．43 D．9

9．设抛物线2:4Cyx的焦点为F，倾斜角为30的直线l过点F且与曲线C交于,AB两点，则AOB(O为坐标原点)的面积S=（ ）

A．4 B．2 C．42 D．2

10．点A、B分别为椭圆2214xy的左、右顶点，直线65xmy与椭圆相交于P、Q两点，记直线AP、BQ的斜率分别为1k、2k，则21221kk的最小值为（ ）

A．14 B．12 C．2 D．4

11．已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线与抛物线22(0)ypxp的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB的面积为3，则p（ ）

A．1 B．32 C．2 D．3

12．12,FF为双曲线2214xy的两个焦点，点P在双曲线上，且1290FPF，则12FPF△的面积是（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

二、填空题

13．直线l过抛物线28yx的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点到y轴的距离是2，则AB______.

14．已知双曲线22143xy的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若∠260AFB，则2AFB的内切圆半径为______.

15．已知双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点与抛物线24yx的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为32，那么双曲线的离心率为________ 16．椭圆2214924xy上一点P与椭圆的两个焦点12,FF的连线相互垂直，则12PFF△的面积为______．

17．已知点P为双曲线22221(0,0)xyabab右支上的一点，12,FF分别为双曲线的左､右焦点，I为12PFF△的内心，若1212IPFIPFIFFSSS△△△成立，则的值为__________.

18．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4Cxyxy被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.

给出下列三个结论：

①曲线C关于直线yx对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；

③存在一个以原点为中心、边长为2的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）.

其中，正确结论的序号是________.

19．已知12,FF是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，点P在双曲线上，且不与顶点重合，过2F作12FPF的平分线的垂线，垂足为A，若||2OAb，则该双曲线的渐近线方程为_____________.

20．已知圆22:4440Cxyxy，抛物线2:2(0)Eypxp过点C，其焦点为F，则直线CF被抛物线截得的弦长为________________．

三、解答题

21．已知双曲线22:145xyC的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴上方）．

（1）若3PFFQ，求直线l的方程；

（2）设直线,APBQ的斜率分别为12,kk，证明：12kk为定值．

22．已知1,0Fc是椭圆2222:10xyCabab的左焦点，离心率53e，2cab. （1）求椭圆C的方程；

（2）求过点1,1A且被A点平分的弦所在直线的方程.

23．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右顶点为A，上顶点B，离心率为32，且直线AB与圆224:5Oxy相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设p椭圆C上位于第三象限内的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，试问四边形ABNM的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

24．已知椭圆222:1(1)xCymm，点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为(2,0)．

（1）若3m，求PA的最大值与最小值；

（2）已知直线:5lyx，如果P到直线l的最小值为2，求m的值．

25．如图，椭圆1C：22221(0)xyabab的左右焦点分别为12,FF，离心率为32，过抛物线2C：24xby焦点F的直线交抛物线于,MN两点，当7||4MF时，M点在x轴上的射影为1F，连接,NOMO并延长分别交1C于,AB两点，连接AB，OMN与OAB的面积分别记为OMNS△，OABS，设OMNOABSS.

（1）求椭圆1C和抛物线2C的方程；

（2）设ON，OM所在直线的斜率为,OMONkk，求证OMONkk为定值；

（3）求的取值范围.

26．已知椭圆E：22154xy. （1）求与方程E焦点相同，且过62,2Q的椭圆方程C.

（2）若直线12yxm交椭圆C于11,Axy，22,Bxy两点，且1212340xxyy，试求AOB的面积.

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一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

由离心率求出9m，设00,pxy，则20202200119999PAPBxykkxx，设PAkk(103k)，则19PBkk，直线AP的方程为3ykx，则C的坐标4,7k，直线BP的方程为139yxk，则D坐标14,9k，从而可表示出CD，然后列方程可求出k的值

【详解】

由12213em，得9m.

设00,pxy，则20202200119999PAPBxykkxx.

设PAkk(103k)，则19PBkk，直线AP的方程为3ykx，则C的坐标4,7k.

直线BP的方程为139yxk，则D坐标14,9k.

所以18793CDkk，解得13k(舍去)或121.

故选：B.

【点睛】

此题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题 2．C

解析：C

【详解】

因为圆锥曲线C：221xmy的离心率为2，

所以，该曲线是双曲线，

2222111yxmyxm,

所以11()1213mm，

故选C.

3．C

解析：C

【分析】

由双曲线的渐近线方程可知2ABa，又OAB的面积为2得2ab，而双曲线C的焦距2222cab，结合基本不等式即可求焦距的最小值.

【详解】

由题意，渐近线方程为byxa，

∴,AB两点的坐标分别为(,),(,)abab，故2ABa，

∴1222OABSab，即2ab，

∴222242224cabaa当且仅当22a时等号成立.

故选：C

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

4．B

解析：B

【分析】

联立直线AB与椭圆方程，表示出弦长AB，求出中点M的横坐标，即可表示出PM的长，利用已知等量关系即可求出离心率. 【详解】

设1122,,,AxyBxy，易得直线AB的方程为yxc，

联立直线与椭圆方程22221yxcxyab，可得222222220abxacxacb，

则212222acxxab，2221222acbxxab，

222222222222224114acbacabABababab，

212222Mxxacxab，直线PM的斜率为1，

2222222211PMabPMxxcab，

3||4||ABPM，即222222242234abababcab，解得223cea.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为11Axy，，22Bxy，；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为1212,xxxx形式；

（5）代入韦达定理求解.

5．D

解析：D

【分析】

设,Pxy，根据标准方程求得271616kx，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论.

【详解】

因为椭圆方程为椭圆221169xy，所以4,7ac.

设,Pxy， 则22222127·771616kPFPFxyxyx,

又2016x.∴maxmin16,9kk.