第四章作业

第四章作业

第一题：已知系统零初始条件下的单位阶跃响应分别如下，分别求它们脉冲响应与传递函数。

（1）y(t)=1+e-t –e-2t

（2）y(t)=e-t -e-2t

解：由单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系，得单位脉冲响应为

（1）g(t)=δ(t)-e-t+2e-2t，对应的传递函数为12()112Gsss

（2）g(t)=-e-t+2e-2t，对应的传递函数为12()12Gsss

第二题：已知单位负反馈系统结构图如图所示。求

（1）K＝50时系统单位阶跃响应的超调量；(4.3%)

（2）K取何值才能使系统单位阶跃响应的超调量为 10% ；(K=71.6)

（3）K＝50时系统的单位斜坡响应与单位抛物线响应。

)10(ssK-)(sR)(sY

解：（1）闭环系统特征多项式50102ss，707.0,25n。代入2π1pe100%得到πpe100%4.3%。

（2）由2π1pe100%，得到21πln(/100)。

令cos得到πtanln(/100)。将p10%代入得到πarctan[]arctan1.3640.938ln(/100)。因此591.0。闭环系统特征多项式Kss102，KKn/5,。因此有591.0/5K，得到6.71K。

（3）斜坡响应22150()1050Yssss，反Laplace变换，便可得。

抛物线响应32150()1050Yssss，反Laplace变换，得可得。

第三题：某闭环系统如下图所示，控制器采用PI控制，in0.6,0.7,2T，试分析计算该系统是否为欠阻尼，并在单位阶跃信号下计算上升时间、峰值时间、超调量、调节时间。 ()Rs1/Tis()Ys2nn(2)ss1)(sE()Ds

解：由题可得，系统的闭环传递函数为

22inn32223232iniinn2.444203()20.61.682.442.842034203(2.32)(0.241.68i)(0.241.68i)TssssTsTsTsssssssssss

显然该系统存在主导极点，降阶为

24(53)2.88(0.61)()2.32(0.241.68i)(0.241.68i)+0.48+2.88sssssss

这是一个含有零点的二阶系统，显然是一个欠阻尼系统，且有n1.70,0.14。于是，在单位阶跃信号下的响应为

22.88(0.61)1()()()+0.48+2.88sYssRssss

反Laplace变换，得可得

0.240.24()1esin(1.681.43)2.83esin(1.68)ttyttt

为求上升时间，令()1yt，可得。

为求峰值时间、超调量，令()0yt，可得。

为调节时间，令0.240.240.242.83ee1.83e0.05ttt，可得。

第四题：已知如图系统的输入和扰动均为1(t) 。求

（1）系统输出的稳态误差。

（2）调整哪个环节可以使稳态误差为零？如何调整？(提示：在扰动之前串一个积分和比例积分试试)

21s)1(3ss()Ds)(sR)(sY

解：（1）系统输出为323)()2(3)(3)(23ssssNssRsY。输出稳态值为33/9)(lim)(0ssYys。稳态误差2)()(ryess。 （2）在扰动输入之前，即21s处，串联一个比例积分环节ss1.0就可以消除稳态误差。只增加纯积分环节不能保持系统稳定性。

第五题：摩擦非线性随动电机位置误差控制系统如下图，图中Kd为传动系数，Tem为机电时间常数。摩擦是一种典型的非线性环节，它表现为三种情形：一是静摩擦，二是动摩擦，三是库仑摩擦。静摩擦是阻碍静止物体产生运动趋势的阻力，一旦物体开始运动，静摩擦即消失，代之以动摩擦或库仑摩擦，动摩擦F0为常数，库仑摩擦为F0+bω。用相平面分析低速爬行效应产生的机理，给出降低或消除这种效应的策略。

()Fdem1KTs()rt1s()t()ft0kF0F0F1ke

解：令位置误差()()ertt，当误差0ekF时，电机处于静止状态；当0ekF时，电机开始转动，0。当0时，库伦摩擦力0fFb；当0，库伦摩擦力0fFb；0，电机处于静止状态，fe。

为了研究速度跟踪性能，令()rtvt，v为常数，则ev。由0，得开关线为ev。将相平面分成两个区，如图2所示分别为0v和0v的情况。下面以0v正转为例进行分析。

eveeIII eeevIII

(a) 0v (b) 0v

图1 相平面

当ev时，0，此时系统的微分方程为

emdd0(1)()TKbKeF

将re带入方程，可得到

emdddd0(1)(1)TeKbeKeKbvKF

根据二阶系统标准形式220nnxx，可得到

demnKT，ddem12KbKT

由误差微分方程，得dd0ddem(1)(1)KbvKFKeKbedeedtT，于是有等倾线方程

dd0ddem(1)(1)KbvKFKeKbeeeTe 可得到奇点d0d(1),0KbvFK。考虑此时ev，所以0v。

当ev时，0，此时系统的微分方程为

emdddd0(1)(1)TeKbeKeKbvKF

同样可求奇点为d0d(1),0KbvFK。考虑此时ev，所以0v。

上述两种情况，仅讨论其中一种就可以了。下面针对0v的情况，在保证稳定的情况下，根据参数选择的不同，有以下三种形式的相平面的图。

eveed0d(1),0KbvFK eveed0d(1),0KbvFK eveed0d(1),0KbvFK

(a) (b) (c)

图2 参数不同时可能出现的相轨迹

若选取较小的，系统会有很大的振荡幅度，振荡频率也会比较大，则e和e会比较大，相轨迹在运行中会再次到达开关限ev，则会出现低速爬行现象。故可以增加，可避免出现低速爬行现象。这种方式是通过改变电机自身特性实现低速性能的优化，仅能在电机设计时考虑。

对于电机成品无法改变其自身特性。如果减小动摩擦0F、最大静摩擦0kF、黏性摩擦系数b，即在电机中加入润滑，也可改变电机性能，减小摩擦后电机避免了跟踪不平稳现象。

第六题：已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制系统的常规根轨迹。

12()(2)(420)KLsssss

解：根轨迹如图。步骤略。

第七题：已知开环传递函数绘制参数根轨迹。

25()(4)asLsss

解：闭环系统特征方程为

0)4(251)(1ssassG

解出a得到 -10-50510-8-6-4-202468Root LocusReal AxisImaginary Axissssa2542

变换为

12542sssa

实际上就是绘制254)(2*ssssG的常规根轨迹。

o1p2p5

系统有2条根轨迹分支，起始于极点1,2226pi，一条趋向零点01z，另一条趋向实轴负无穷。起始角满足相角条件

180)12(121k

可得到1p起始角为2.202)6arctan180(90。分离点满足方程21111pdpdd，解出5d。根轨迹如图。

第八题：已知单位反馈系统的开环传递函数为()(1)(2)KGssss，解决以下问题：

（1）指出根轨迹增益、确定根轨迹的分支数、实轴上的根轨迹区段、渐近线、分离点及相应开环增益、与虚轴的交点及相应开环增益，并在已给出坐标系与零极点分布的图中，绘制根轨迹图。

（2）确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环增益的范围。

（3）若K=0.5，系统在单位斜坡信号作用下的稳态误差是多少？

解：(1)K为根轨迹增益。

a.3n，有三条根轨迹分支，三条根轨迹均趋向于无穷远处；

b.实轴上的根轨迹区段为：,2，1,0；

c.渐近线：1213(21),33aak

d.分离点：111012ddd

解得 11.577d 20.432d

显然分离点为 0.432d，由幅值条件可求得分离点-0.5-1-1.5-20.511.5-0.5-1-2-1.50.511.52j1.414-j1.414K=6K=0.4d=-0.432处的K值：

120.38475dKddd

e.与虚轴的交点：闭环特征方程式为

32()320DssssK

令 23()30()20emRDjKIDj 解得 26K

f.绘制根轨迹图如图。

(2)从根轨迹图上可以看出稳定欠阻尼状态的根轨迹增益的范围为*0.384756K

(3)原系统为Ⅰ型系统，系统的静态速度误差系数计算为

00lim()lim0.25(1)(2)2vssKKKsGsssss

系统在单位斜坡信号作用下的稳态误差为14ssveK。