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2023年中考语文一轮专项复习：综合性学习练习部编人教版九年级总复习2023中考语文一轮复习：综合性学习练习题1．学校正开展“二十四节气与我”的语文实践活动，请你参与并完成相关任务。
（1）阅读下边图画，按要求答题。
①这幅图画是描述“二十四节气”中的__________节气。
②这幅图画介绍了与这一节气相关的哪些内容？______________________________（2）《春韵》文学社决定在12月10日下午2点举办“二十四节气”知识讲座，并拟写了通知。
通知中有两处错误，请指出并提出修改意见。
通知同学们：校《春韵》文学社将在西报告厅举行“二十四节气”知识讲座，欢迎同学们积极参加。
12月8日《春韵》文学社修改意见：_____________________________________2．按要求完成任务互联网时代，互联网正在潜移默化地影响和改变着我们的生活、学习、工作。
如何了解、认识、使用互联网，成为我们每一个人必须面对和思考的问题。
（1）《低头族之歌》：“你沉默的刷屏，亿万个屏奴一样的人们，用你那囧囧的眼神，低头在那形形色色的伤痕……紧紧盯着小小的荧屏，不抬头看路边的风景……”这段歌曲中的“冏”字在字典上的意思是“光明”，后来因为其笔画构成的特点，成为了网络流行的表情符号和词汇，赋予了这个词新的内涵。
请根据语境，解释这个网络词语在歌词中的意思。
（2）70岁的爷爷最近一段时间经常头晕目眩，半边手臂麻木，看东西也模糊不淸。
经医院检查，他的颈椎明显变形，视力也下降得厉害。
医生详细询问了老人的生活习惯后，认为颈椎病和视力迅速下降都和过度使用手机有关。
请你帮爷爷想想办法，来改变他因依赖手机而导致身体状况不佳的现状。
至少写出两条。
（3）毛宁的《梦回繁华》是一篇自读课，老师安排学生借助网络自学。
你想通过网络完成哪些内容的学习？请写出两个。
3．综合性学习。
诚信既是立身之本，又是处世，教子、经商、治国之道，是社会主义核心价值观的重要内容。
高数部分:(配同济六版教材)第一章函数与极限(考研必考章节,其中求极限是本章最重要的内容,要掌握求极限的集中方法)第一节映射与函数(一般章节)一、集合(不用看)二、映射(不用看)三、函数(了解)注:P1--5 集合部分只需简单了解P5--7不用看P7--17 重点看一下函数的四大性态:单调、奇偶、周期、有界P17--20 不用看P21 习题1.11、2、3大题均不用做4大题只需做(3)(5)(7)(8)5--9 均做10大题只需做(4)(5)(6)11大题只需做(3)(4)(5)12大题只需做(2)(4)(6)13做14不用做 15、16重点做17--20应用题均不用做第二节数列的极限(一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求,可不看) 一、数列极限的定义(了解)二、收敛极限的性质(了解)P26--28 例1、2、3均不用证p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解P30 定理4不用看P30--31 习题1-21大题只需做(4)(6)(8)2--6均不用做第三节(一般章节)(标题不再写了对应同济六版教材标题一、(了解)二、(了解)P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可P35 例6 要会做例7 不用做P36--37 定理2、3证明不用看定理3?4”完全不用看p37习题1--31--4 均做5--12 均不用做第四节(重要)一、无穷小(重要)二、无穷大(了解)p40 例2不用做p41 定理2不用证p42习题1--41做2--5 不全做6 做7--8 不用做第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在)p43 定理1、2的证明要理解p44推论1、2、3的证明不用看p48 定理6的证明不用看p49 习题1--51题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14)2、3要做4、5重点做6不做第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明p50 准则1的证明要理解p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限)p53另一个重要极限的证明可以不用看p55--56柯西极限存在准则不用看p56习题1--71大题只做(1)(4)(6)2全做3不用做4全做,其中(2)(3)(5)重点做第七节(重要)p58--59 定理1、2的证明要理解p59 习题1--7 全做第八节(基本必考小题)p60--64 要重点看第八节基本必出考题p64 习题1--81、2、3、4、5要做其中4、5要重点做6--8不用做第九节(了解)p66--67 定理3、4的证明均不用看p69 习题1--91、2要做3大题只做(3)——(6)4大题只做(4)——(6)5、6均要重点做第十节(重要,不单独考大题,但考大题会用到)一、(重要)二、(重要)p72三、一致连续性(不用看)p74习题1--101、2、3、5要做,要会用5的结论。
初三英语总复习习题精练盘点(Units 1--4)Unit 1 Will people have robots?一、短语( 20 分)4. 爱上 _____________________5. 更差了 _______________________6. 去滑冰__________________7. 实现 _____________________ 8. 数百的 _______________________ 9. 厌烦_______________________10. 在电脑上 ____________________二、用所给词的适当形式填空。
(20 分)1. There ____________ (be) _______ (few) people ______ (use)cars in the future.2. He _______ (fall) off his bike and broke his leg.3. This time he did even ______ (bad).4. Would you like _____ (go) _________ (shop) with me ?5. Watching TV all day is so _____ (bore). I got _____ (bore) at watching TV .6. Our teacher makes us ____ (do) a lot of homework every day.三、单项选择( 30 分)( )1.--- ______ will your sister be back from Shanghai? --- In a week.A. How soonB. How longC. How oftenD. How far( )2. The English paper is very easy for the students because there are ______ new words in it.A. littleB. fewC. a littleD. a few( )3. The old man lives in the house ___ ,but he doesn 't feel ______ .A. lonely;lonelyB. alone; aloneC. alone; lonelyD. lonely; alone( )4. The girl is old enough to _______ herself.A. dressB. put onC. wearD. be in( )5. The young man said he did it just for ______ .A. funB. wishesC. interestD. thanks( )6. It 's careless _________ the same mistake again in your composition.A. for you to makeB. for you makingC. of you to makeD. of you making( )7. There are many children in the park. Some are singing and dancing,and ____ are flying kites.A. the othersB. othersC. otherD. another( )8. --- Joan ,you made the mistake again. --- Sorry, I ________ next time.A. don'tB. won'tC. am notD. haven 't( )9. There is little milk in the box, ______ ?A. be thereB. is thereC. isn't thereD. won 't there( )10. At the foot of the hill you could hear nothing but the _____ of the running water.A. shoutB. noiseC. voiceD. sound( )11. If there are ____ trees ,the air in our city will be ______ cleaner.A. less; moreB. more; moreC. much; moreD. more; much( )12. It _________ that everyone _____ to laugh.A. seems ; loveB. seem; loveC. seems; lovesD. seem; loves( )13. I have never seen ____________ bird before.A. so a beautifulB. such a beautifulC. so beautifulD. such beautiful( )14. Write ___________ and try not to make any mistakes.A. as carefully as possibleB. as careful as you canC. most carefulD. more careful ( )15. The police have theman who stole the bike.A. found out B looked for C. found D. looked at四、书面表达( 30 分)要求：表达清晰流畅，无语法书写错误，书写干净整洁，词数80 左右。
九年级英语总复习试题带答案英语是中考一门比较有难度的科目，想要考好英语，复习期间就得勤做试题练习题。
小编为大家推荐了相关试卷，希望可以帮助到大家!九年级英语总复习试题第I卷 (选择题, 共60分)一、单项选择(共15题，每题1分，计15分)1. _______ great time the children had in the park yesterday!A. WhatB. What aC. What anD. How2. I am looking forward to a holiday without homework andI can have _______ for my hobbies.A. some timeB. sometimeC. sometimesD. some times3. It’s generous _______ Jack to buy presents _______ all of us.A. for, forB. for, toC. of, forD. of, to4. —Shall I tell Sally about the story?—No, you _______. I’ve told her about it already.A. shouldn’tB. mustn’tC. can’tD. needn’t5. Betty is a new student in our class. We know _______ about her except her name.A. somethingB. anythingC. nothingD. everything6. Our Chinese teacher is very kind and friendly _______ he looks very serious.A. becauseB. thoughC. ifD. when7. Work harder, _______ you will get more grades in the coming exam.A. andB. soC. orD. but8. Thanks for _______ half a day helping clean my house, children.A. takingB. spendingC. costingD. paying9. —Mum, I got the best marks in the English test this time.—Well done, dear! I’m very _______ of you.A. afraidB. tiredC. proudD. full10. —Would you like chicken noodles or beef noodles?—_______ . I’d like tomato noodles.A. NoneB. BothC. EitherD. Neither11. —Why didn’t you play football with us yesterday afternoon?— Oh, I _______ my clothes at home at that time.A. was washingB. washedC. am washingD. has washed12. We call her bookworm. This sentence belongs to the sentence pattern (句型) _______.A. S+V+PB. S+V+DOC. S+V+IO+DOD. S+V+DO+OC13. — Alice, could you help me _______ the map of the world? We don’t need it any more.— With pleasure.A. put outB. put awayC. put onD. put up14. — Could you tell me _______?—Sorry. I don’t know. I did not attend the meeting.A. what did he say at the meetingB. what had he said at the meetingC. what he said at the meetingD. what he would say at the meeting15. —It’s sunny today. How about going out for a walk in the park?—__________! Let’s ask Jill to go together.A. Sounds greatB. Best wishesC. You’re rightD. That’s all right二、完形填空(共15题，每题1分，计15分)One afternoon, my son Adam asked me, “Are all people thesame even though they are different in color?”It was a serious question. I 16 for a while, and then said, “I’ll explain it sooner. Let’s go to a fruit shop. I have something interesting to show you.”At the fruit shop, we bought some apples in different 17 —red, green and yellow ones. After we got home, I told Adam, “It’s time to 18 your question now.” I put one apple of each kind colour on the table. Adam 19 carefully. He had a 20 look on his face.“People are like apples. They come in all different colors, shapes and sizes. On the 21 , some of the apples may not even look as delicious as 22 .” While I was talking, Adam was23 each one carefully. Then, I took each of the apples and peeled(削皮) them, placing them back on the 24 , but in a different place.“Okay, Adam, tell me which is which.”He said, “I 25 tell. They all look the same now.”“Take a 26 of each one. See if that helps you decide 27 one is which.”He took big bites, and then a huge smile came across his face. “People are 28 like apples! They are all different, but once you take off the outside, they’re pretty much the 29 on the inside.”He totally 30 it. I didn’t need to say or do anything else.16. A. discussed B. waited C. answered D. thought17. A. colours B. tastes C. sizes D. shapes18. A. solve B. answer C. tell D. improve19. A. listened B. found C. smelled D. watched20. A. worried B. sad C. curious D. glad21. A. outside B. upside C. beside D. inside22. A. others B. the others C. the other D. another23. A. checking B. listening C. drawing D. picking24. A. sofa B. chair C. bedside table D. table25. A. mustn’t B. shouldn’t C. can’t D. needn’t26. A. feel B. touch C. bite D. look27. A. what B. which C. that D. who28. A. just B. always C. only D. never29. A. delicious B. kind C. different D. same30. A. made B. took C. got D. did三、阅读理解(本大题分A、B两部分，计40分)A. 阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
第九、十章随堂演练1．(2019·原创题)正在青藏高原旅行的王先生，发朋友圈说旅行中出现了呼吸急促等缺氧状况，原因可能是( )A．纬度降低 B．纬度增高 C．海拔降低 D．海拔升高2．(2019·云南模拟)青藏高原的自然特征是( )A．炎热多雨 B．温和湿润 C．干旱 D．高寒3．(2018·开封模拟)青藏地区发展河谷农业是因为河谷地带( )A．海拔低，气温高 B．日照时间长C．昼夜温差大D．气温低，作物生长期长(2018·临沂苍山一模)读“青藏地区略图”，完成4～5题。
4．青藏地区南部地热资源丰富的主要原因是( )A．处于板块交界处，地壳活跃B．降水少，气候干燥C．纬度低，太阳高度较大D．海拔高，光照强5．暑假中乘火车从临沂到拉萨旅游，出发前需要做的准备工作及理由，正确的是( )A．带上厚衣服——当地是全国夏季气温最低的地区B．了解当地风俗——观看蒙古族摔跤活动C．了解当地美食——葡萄干、手抓羊肉、过桥米线D．熟悉基督救的教义——尊重当地居民的宗教习俗(2018·聊城东昌府一模)经国务院批准，我国第十一个国家级综合试验区——“三江源国家生态保护综合试验区”建立，读三江源自然保护区分布图，完成6～7题。
6．关于三江源地区的叙述，正确的是( )A．是长江源区、黄河源区、雅鲁藏布江源区的总称B．位于青海省的南部C．雪山冰川融水是源区内唯一的补给水源D．该区人口稀少，生态环境恶化所带来的影响并不大7．建立三江源自然保护区是因为这里( )①是高海拔地区生物多样性最集中的地区②为人类提供了丰富的农副产品③具有丰富的矿产资源④是我国重要的水源涵养地A．①④ B．②④ C．③④ D．②③8．(2018·江西模拟)三江源指长江、黄河、澜沧江的源区，被誉为“中华水塔”。
读三江源示意图，今后，该地区应( )A．增加农田面积B．加强生态建设C．大力开发水能D．扩大牧场规模9．(2018·贵港平南一模)下列不属于海洋资源利用的是( )A．海滨旅游B．海洋石油开采C．远洋运输D．太阳能电车10．(2018·贺州模拟)在合理利用保护海洋生物资源的措施中，正确的一组是( )①加强近海域捕捞强度，控制发展滨海养殖业和远洋捕捞业②严格禁止近海捕捞③防止海洋污染④禁止过度捕捞海洋生物资源⑤实行伏季休渔的政策A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②⑤11．(2018·三明一模)第二条进藏铁路——川藏铁路建设项目已开工。
396经济联考数学考试内容简析一、396概述经济类综合能力考试是为高等院校和科研院所招收金融硕士、应用统汁硕士、税务硕士、国际商务硕士、保险硕士和资产评估硕士而设置的具有选拔性质的全国联考科口，其□的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读相关专业学位所必需的基本素质、一般能力和培养潜能，评价的标准是高等学校本科毕业生所能达到的及格或及格以上水平，以利于各高等院校和科研院所在专业上择优选拔，确保专业学位硕士研究主的招生质量。
联考内容包括数学、逻辑、写作三个部分。
其中数学部分难度和范圉较数学三来说减小了不少，考察的多是基础知识的应用。
虽然难度有所下降，但是数学在150分的总分当中仍有70分的分值，是复习的重点。
下面是2021年考试大纲中的数学部分：经济类联考综合能力考试中的数学基础部分主要考查学生经济分析中常用数学知识的基本方法和基本概念。
试题涉及的数学知识范围有：（一）微积分部分一元函数微分学，一元函数积分学；多元函数的偏导数、多元函数的极值。
（二）概率论部分分布和分布函数的概念；常见分布；期望和方差。
（三）线性代数部分线性方程组；向量的线性相关和线性无关；行列式和矩阵的基本运算。
二、内容分析从2011年到2021年的真题来看，高等数学、线性代数、概率论三部分分值比例在6： 2： 2左右，可见高等数学是相对的重点。
I.高等数学部分（一）微积分需掌握的大致内容1、掌握函数的运算和基本性质（单调性、奇偶性等）2、掌握极限定义并会计算极限（无穷小代换、洛必达法则）3、掌握导数定义，求导方法（包括高阶导数）4、会求函数的极值，拐点，会判断单调性、凹凸性5、掌握不定积分，定积分的定义、性质，会求不定积分、定积分6、掌握定积分的儿何意义及其儿何应用7、掌握微积分的经济应用8、掌握偏导数的运算，会求多元函数的极值（二）对应课本复习内容（同济第七版）（下文没有提及的可不看）第一章函数与极限本章是微积分的基础，因此必须打好基础。
财政总预算会计练习题习题一、练习财政总预算会计资产的帐务处理。
资料：某市财政局20××年度发生的部分经济业务如下：1．收到同级国库报来的“预算收入日报表”、“共享收入日报表”及其附表，列示：本级固定收入为59 000元，共享收入30 000元。
2．收到同级国库报来的“基金预算收入日报表”及其附表，列示当日收到基金预算收入为100 000元。
3．用基金预算结余120 000元购入年息5%的3年期国库券。
4．3年前用专用基金结余购买的国库券到期，本金为200 000元，利息为36 000元，款项已存入指定银行。
5．拨付市教育局当月经费150 000元，已收到国库预算拨款回单6．元月5日，收到国库报来“预算收入日报表”及其附表，列示上年12月份预算收入43万元，收回上年度某单位的非包干专项经费80 000元。
7．市卫生局向国外订购的医疗卫生设备集中到货，向市财政局紧急借款180 000元。
市财政局预算会计按照批准文件借给款项。
8．市机电局向市财政局申请临时借款50 000元，用于该局下属单位的技术改造项目，经批准予以借款。
9．市卫生局归还前借款12万元，款项已存入国库存款户。
10．将市卫生局借款余额6万元，转作当月卫生事业费。
11．借给所属甲县财政局临时用款31万元。
12．收到甲县财政局归还借款20万元，余款转作对该县的预算补助。
13．根据批准的文件，年终预拨98万元给市科委，作为下年度的科研经费。
14．按计划拨给市建行基本建设贷款资金850万元。
15．收到市建行缴回多余的基建资金18万元。
16．根据年终决算单，所属乙县财政局欠解的预算款50万元和应拨付乙县的专项补助款30万元，转作往来款项予以入帐。
要求：根据上述资料编制会计分录。
习题二、练习财政总预算会计负债的帐务处理。
资料：某市财政局20××年度发生的部分经济业务如下：1．收到性质不清的预算缴款35 000元，列作暂存款。
高等数学（数三）复习知识点及作业按照同济大学高等数学第六版制定10.2 重点二重积分的计算法（会利用直角坐标计算二重积分，会利用极坐标计算二重积分），习题10－2：1，2， 4，6，7，8，11，12，13，14，152.掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．3.了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．10.3 注：本节数学三不考10.4 注：本节数学三不考总复习题十： 2.3.4.5.6.第十一章曲线积分与曲面积分注：本章数学三不考第十二章无穷级数（时间1周，每天2-3小时）12.1 常数项级数的概念和性质（常数项级数的概念，收敛级数的基本性质）习题12－1：1-4注：P254 柯西审敛原理不考1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2．掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件.3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法.5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.12.2 常数项级数的审敛法（正项级数及其审敛法，交错级数及其审敛法，绝对收敛与条件收敛）习题12－2：1-5注：P265 绝对收敛级数的性质不考12.3 重点幂级数（幂级数及其收敛性，幂级数的运算）习题12－3：1.2.12.4 函数展开成幂级数习题12-4:1.2.3.4.5.6.7总习题十二：1-10。
九年级英语总复习题（第14套）(附答案）一、听力测试（25分）A）听下面十段对话，每段对话后有一小题。
每段对话读两遍。
（每小题1分）B）听下面两段对话和一段短文。
短文对话读两遍。
（每小题1分）C)听下面一遍短文，根据短文内容完成表格。
短文读两遍。
（每小题1分）听力材料二、单项选择（15分）请阅读下面各小题，从题中所给的A、B、C、D四个选项中可以填入空白的最佳选项，并将其填到答题卷的相应位置。
（每小题1分）( )26 .He is very kind, an d he’d like to help _____ people.A. richB. homelessC. happyD. clever( ) 27. We want to cheer _____ sick _____ kids in the hospital.A. upB. onC. forD. at( )28. What do you usually do _____ the evening after supper?A. onB. atC. ofD. in( )29. He has realized that he _____ his wallet in the shop.A. leftB. forgotC. borrowedD. sold( )30. Yesterday I was late _____ school because the traffic was heavy.A. onB. toC. toD. for( ) 31. English people _____ use Mr before a man’s first name.A. everB. neverC. oftenD. usually( ) 32. I don’t know hat happened _____ Zhang Hong the day before yesterday.A. atB. forC. aboutD. to( ) 33._____ the first day of new term, I see all my friends and teachers.A. InB. AtC. OnD. For( ) 34. I went to bed at eight t hirty, but they stayed _____ till twelve o’clock.A. awayB. inC. outD. up( )35. I have never seen _____ a car _____ this before.A. such, thatB. as, asC. so, asD. so, that( )36. He told me there was a good movie _____ TV the next week.A. onB. atC. inD. about( )37. Don’t mix English words _____ Chinese, please.A. andB. ofC. withD. in( ) 38. She has a very high _____, but she isn’t a soprano.A. soundB. noiseC. voiceD. speech( )39. Your spelling is terrible! Look at this word, _____.A. such asB. likeC. look likeD. for example( ) 40. Do you Egyptians use ____ same greeting as everyone else?A. aB. anC. theD. x三、完形填空（10分）A)请先阅读短文，掌握其大意。
总习题九1. 选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论: (1)设有空间闭区域Ω1={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤R 2, z ≥0},Ω2={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤R 2, x ≥0, y ≥0, z ≥0}, 则有________. (A )xdv xdv 214ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=; (B )ydv ydv 214ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=;(C )zdv zdv 214ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=; (D )xyzdv xyzdv 214ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=.解 (C ).提示: f (x , y , z )=x 是关于x 的奇函数, 它在关于yOz 平面对称的区域Ω1上的三重积分为零, 而在Ω2上的三重积分不为零, 所以(A )是错的. 类似地, (B )和(D )也是错的.f (x , y , z )=z 是关于x 和y 的偶函数, 它关于yOz 平面和zOx 面都对称的区域Ω1上的三重积分可以化为Ω1在第一卦部分Ω2上的三重积分的四倍.(2)设有平面闭区域D ={(x , y )|-a ≤x ≤a , x ≤y ≤a }, D 1={(x , y )|0≤x ≤a , x ≤y ≤a }, 则dxdy y x xy D)sin cos (+⎰⎰=________.(A )ydxdy x D sin cos 21⎰⎰; (B )xydxdy D 12⎰⎰; (C )ydxdy x D sin cos 41⎰⎰; (D )0.解 (A ).2. 计算下列二重积分: (1)σyd x Dsin )1(+⎰⎰, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (1, 0), (1, 2)和(0, 1)的梯形闭区域;解 积分区域可表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x +1}, 于是⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+=++1110)]1cos(1)[1(sin )1(sin )1(dx x x ydy dx x yd x x Dσ2sin 22cos 1sin 1cos 23--++=.(2)σd y x D)(22-⎰⎰, 其中D ={(x , y )|0≤y ≤sin x , 0≤x ≤π};解⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-ππσ032sin 022022)sin 31sin ()()(dx x x x dy y x dx d y x xD9402-=π.(3)σd y x R D222--⎰⎰, 其中D 是圆周x 2+y 2=Rx 所围成的闭区域;解 在极坐标下积分区域D 可表示为 θρπθπcos 0 ,22R ≤≤≤≤-,于是θρρρσd d R d y x R DD22222-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----=-=22cos 02322cos 02222])(31[ππθθππθρρρρθd R d R d r R320332233)43(91)sin 1(32|)sin |1(3R d R d R -=-=-=⎰⎰-πθθθθπππ. (4)σd y x y D)963(2+-+⎰⎰, 其中D ={(x , y )|x 2+y 2≤R 2}.解 因为积分区域D 关于x 轴、y 轴对称, 所以 063==⎰⎰⎰⎰σσyd xd DD.2999R d d DDπσσ==⎰⎰⎰⎰.因为σσσd y x d x d y DDD)(212222+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 所以σπσd y x R d y x y DD)(219)963(2222++=+-+⎰⎰⎰⎰420220249219R R d d R R ππρρρθππ+=⋅+=⎰⎰.3. 交换下列二次积分的次序:(1)⎰⎰---)4(21440),(y ydx y x f dy ;解 积分区域为)}4(214 ,40|),{(-≤≤--≤≤=y x y y y x D , 并且D 又可表示为D ={(x , y )|-2≤x ≤0, 2x +4≤y ≤-x 2+4}, 所以⎰⎰⎰⎰+-+----=44202)4(214402),(),(x x y ydy y x f dx dx y x f dy .(2)⎰⎰⎰⎰-+yydx y x f dy dx y x f dy30312010),(),(;解 积分区域为D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤2y }⋃{(x , y )|1≤y ≤3, 0≤x ≤3-y }, 并且D 又可表示为}321 ,20|),{(x y x x y x D -≤≤≤≤=, 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=+x xyydy y x f dx dx y x f dy dx y x f dy 3212030312010),(),(),(.(3)⎰⎰-+21110),(x xdy y x f dx .解 积分区域为}11 ,10|),{(2x y x x y x D -+≤≤≤≤=, 并且D 又可表示为}20 ,21|),{(}0 ,10|),{(22y y x y y x y x y y x D -≤≤≤≤⋃≤≤≤≤=, 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰--++=2222021101110),(),(),(y y y x xdx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx .4. 证明:⎰⎰⎰---=ax a m y x a m adx x f e x a dx x f e dy 0)(0)(0)()()(.证明 积分区域为D ={(x , y )|0≤y ≤a , 0≤x ≤y }, 并且D 又可表示为D ={(x , y )|0≤x ≤a , x ≤y ≤a },所以 ⎰⎰⎰⎰⎰----==ax a m a xx a m a y x a m adx x f e x a dy x f e dx dx x f e dy 0)()(0)(0)()()()(.5. 把积分dxdy y x f D),(⎰⎰表为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D ={(x , y )|x 2≤y ≤1, -1≤x ≤1}.解 在极坐标下积分区域可表示为D =D 1+D 2+D 3, 其中 θθρπθsec tan 0 ,40 :1≤≤≤≤D ,θρπθπcsc 0 ,434 :2≤≤≤≤D ,θθρπθπsec tan 0 ,43 :3≤≤≤≤D , 所以⎰⎰⎰⎰=θθπρρθρθρθsec tan 0)sin ,cos (),(d f d dxdy y x f D⎰⎰+θππρρθρθρθcsc 0434)sin ,cos (d f d⎰⎰+θθππρρθρθρθsec tan 043)sin ,cos (d f d .6. 把积分dxdydz z y x f ),,(Ω⎰⎰⎰化为三次积分, 其中积分区域Ω是由曲面z =x 2+y 2, y =x2及平面y =1, z =0所围成的闭区域. 解 积分区域可表示为Ω: 0≤z ≤x 2+y 2, x 2≤y ≤1, -1≤x ≤1, 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-Ω=222111),,(),,(y x x dz z y x f dy dx dxdydz z y x f .7. 计算下列三重积分: (1)dxdydz z 2Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是两个球x 2+y 2+z 2≤R 2和x 2+y 2+z 2≤2Rz (R >0)的公共部分; 解 两球面的公共部分在xOy 面上的投影222)23(R y x ≤+,在柱面坐标下积分区域可表示为 2222 ,230 ,20 :ρρρπθ-≤≤--≤≤≤≤ΩR R z R R R ,所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ω=2222230202ρρπρρθR R R R dz z d d dxdydz z5230322232248059])()[(312R d R R R R πρρρρπ=----=⎰.(2)dv z y x z y x z 1)1ln(222222++++++Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域; 解 因为积分区域Ω关于xOy 面对称, 而被积函数为关于z 的奇函数,所以 01)1ln(222222=++++++Ω⎰⎰⎰dv z y x z y x z . (3)dv z y )(22+Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由xOy 面上曲线y 2=2x 绕x 轴旋转而成的曲面与平面x =5所围成的闭区域.解 曲线y 2=2x 绕x 轴旋转而成的曲面的方程为y 2+z 2=2x . 由曲面y 2+z 2=2x 和平面x =5所围成的闭区域Ω在yOz 面上的投影区域为 222)10( :≤+z y D yz , 在柱面坐标下此区域又可表示为 521 ,100 ,20 :2≤≤≤≤≤≤x D yz ρρπθ, 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=+Ω52121020222)(ρπρρρθdx d d dv z yπρρρπ3250)215(21023=-=⎰d .8. 求平面1=++cz b y a x 被三坐标面所割出的有限部分的面积. 解 平面的方程可写为y bc x a c c z --=, 所割部分在xOy 面上的投影区域为 }0 ,0 ,1|),{(≥≥≤+=y x by a x y x D , 于是 dxdy b c a c dxdy y z x z A DD2222221)()(1++=∂∂+∂∂+=⎰⎰⎰⎰222222221211b ca c ab dxdy bc a c D++=++=⎰⎰. 9. 在均匀的半径为R 的半圆形薄片的直径上, 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上, 问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？解 设所求矩形另一边的长度为H , 建立坐标系, 使半圆的直径在x 轴上, 圆心在原点. 不妨设密度为ρ=1g/cm 3.由对称性及已知条件可知0==y x , 即0=⎰⎰ydxdy D,从而 022=⎰⎰---x R HR R ydy dx ,即0])[(21223=--⎰-RR dx H x R , 亦即 031223=--RH R R , 从而 R H 32=. 因此, 接上去的均匀矩形薄片另一边的长度为R 32. 10. 求曲抛物线y =x 2及直线y =1所围成的均匀薄片(面密度为常数μ)对于直线y =-1的转动惯量.解 抛物线y =x 2及直线y =1所围成区域可表示为 D ={(x , y )|-1≤x ≤1, x 2≤y ≤1}, 所求转动惯量为 μμμμ105368])1(8[31)1()1(1132121122=+-=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰--dx x dy y dx dxdy y I xD. 11. 设在xOy 面上有一质量为M 的匀质半圆形薄片, 占有平面闭域D ={(x , y )|x 2+y 2≤R 2,y ≥0}, 过圆心O 垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点P , OP =a . 求半圆形薄片对质点P 的引力.解 设P 点的坐标为(0, 0, a ). 薄片的面密度为2221R M R M ππμ==.设所求引力为F =(F x , F y , F z ).由于薄片关于y 轴对称, 所以引力在x 轴上的分量F x =0, 而⎰⎰⎰⎰+=++=R Dy d a d G m d a y x ym G F 02/322202/3222)(sin )(ρρθρθμσμπ ⎰⎰⎰+=+=RRd a G m d a d Gm 02/322202/32220)(2)(sin ρρρμρρρθθμπ)(ln 422222R a R a R a R R GmM +-++=π,⎰⎰⎰⎰+-=++-=R Dz d a d Ga m d a y x a m G F 02/322202/3222)()(ρρρθμσμπ )1(2)(22202/3222Ra a R GmM d a Ga m R+--=+-=⎰ρρρμπ.。
