数学：12.3.2《等边三角形》学案(人教版八年级上)
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12.3.2 等边三角形
【学习目标】
1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法.
2、掌握300角的直角三角形具有的性质.
【预习导学】
1、等边三角形的性质
（1）定义：等边三角形
都相等.
（2）①等边△ABC中，∠ =∠ =∠ = 0.
②等边三角形的三个内角都 ，并且每一角都等于 .
答案：（1）三条边 （2）①A B C ②相等 600
2、等边三角形的判定
（1）定义： 都相等的三角形为等边三角形.
（2）①在△ABC中， ∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．
②三个角都 的三角形是等边三角形.
答案：（1）三条边（2）①等边 相等
（3）①在△ABC中，AB=AC=2，∠A=600，则BC= .
②在△ABC中，AB=AC=2，∠B=600，则BC= .
③ 有一个角是600的 为等边三角形.
答案：（3）①2 ②2 ③等腰三角形
3、300角的直角三角形的性质
（1）在Rt△ABC 中， 如果 ∠BＣＡ＝ ９0° ， ∠A＝ 30 ° AB=4，则 BC= .
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等30°， 那么，它所对的 等于 .
答案：（1）2 （2）直角边 斜边的一半
【合作研讨】
探究一：等边三角形的性质 例1、（2009泸州中考）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
(1)求证：ABE≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数．
思路点拨：由等边三角形的性质，据SAS证全等，然后利用全等的性质求∠BFD的度数.
解析：
成功体验
1、（2009荆州中考）如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
解析：△BDC≌△AEC
证明：∵△ABC、△EDC均为等为三角形
∴ BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠ECD=60°
从而∠BCD=∠ACE
在△BDC和△AEC中，ECDCACEBCDACBC
△BDC≌△AEC（SAS）
探究二：等边三角形的判定
例2、如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F。△OEF是等边三角形吗？为什么？
思路点拨：据三个角都相等的三角形是等边三角形或者有一个角为600的等腰三角形为等边三角形判定.
成功体验
2、如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定形状
21EDCAB
答案：B
探究三：300角的直角三角形的性质
成功体验
3、已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．
证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）
∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60°
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）
∴BC=BDAB21（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴△BDC是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。
【当堂检测】（满分100分）
1、（20分）等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）.
A．60° B．90° C．120° D．150°
答案：C
2、（20分）
答案：C
3、（20分）△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．
答案：600
4、（20分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知，在ABC△中，ABAC，P是ABC△内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使QAPBAC，连结BQCP，，则BQCP．”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了ABQACP△≌△，从而证得BQCP．之后，他将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中其它条件不变，发现“BQCP”仍然成立，请你就图②给出证明．
证明：QAPBAC，
QAPPABPABBAC．
即QABPAC． 4分
在ABQ△和ACP△中，
.AQAPQABPACABAC，，
ABQACP△≌△． 8分
BQCP．
5、（选做题）（20分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE•都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②求证：CF=CH；
③判断△CFH•的形状并说明理由．
EDCABHF
①∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD．
又∵BC=AC，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD； ②证明△BCF≌△ACH；
③△CFH是等边三角形．
【课后作业】
1、如图，在等边ABC△中，DE，分别是ABAC，上的点，且ADCE，则BCDCBE（ ）度．
A．30， B。45 C.60 D无法确定
答案：C
2、如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
EDCABF
答案：A
9分
4、已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，
且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC= ．
答案：1200
5、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC•于点D，求证：•BC=3AD.
DCAB
解析：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴在Rt△ADC中CD=•2AD，•
∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD
6、（2009年中山）如图所示，ABC△是等边三角形， D点是AC的中点，延长BC到E，使CECD，
（1）用尺规作图的方法，过D点作DMBE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BMEM．
解析：（1）作图见下图，
（2）ABC△是等边三角形，D是AC的中点，
BD平分ABC（三线合一），
2ABCDBE．
CECD， A
C B D
E M CEDCDE．
又ACBCEDCDE，
2ACBE．
又ABCACB，
22DBCE，
DBCE，
BDDE．
又DMBE，
BMEM．
