高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明教师用书文

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1 第六章 不等式、推理与证明

第一节不等关系与不等式

1．两个实数比较大小的依据

(1)a－b＞0⇔a＞b．

(2)a－b＝0⇔a＝b．

(3)a－b＜0⇔a＜b．

2．不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔b

(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；

(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；

a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；

a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；

(5)可乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a>b>0⇒na > nb(n∈N，n≥2)．

[小题体验]

1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空：

(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d；

(2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac________bd；

(3)a＞b＞0⇒3a________3b．

答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞

2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是__________．

答案：v≤40 km/h

3．若00，则b＋ca＋c与a＋cb＋c的大小关系为________． 精品

2 答案：b＋ca＋c>a＋cb＋c

1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b

2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．

[小题纠偏]

1．设a，b，c∈R，且a>b，则( )

A．ac>bc B．1a<1b

C．a2>b2 D． a3>b3

答案：D

2．若ab>0，且a>b，则1a与1b的大小关系是________．

答案：1a<1b

考点一 比较两个数式的大小基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．已知x∈R，m＝(x＋1)x2＋x2＋1，n＝x＋12(x2＋x＋1)，则m，n的大小关系为( )

A．m≥n B．m＞n

C．m≤n D．m＜n

答案：B

2．若a＝ln 22，b＝ln 33，则a____b(填“＞”或“＜”)．

解析：易知a，b都是正数，ba＝2ln 33ln 2＝log89＞1，所以b＞a．

答案：＜

3．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则S3a3与S5a5的大小关系为________．

解析：当q＝1时，S3a3＝3，S5a5＝5，所以S3a3＜S5a5．

当q＞0且q≠1时， 精品

3 S3a3－S5a5＝a1－q3a1q2－q－a1－q5a1q4－q

＝q2－q3－－q5q4－q＝－q－1q4＜0，

所以S3a3＜S5a5．

综上可知S3a3＜S5a5．

答案：S3a3＜S5a5

[谨记通法]

比较两实数(式)大小的2种常用方法

作差法 其基本步骤：作差，变形，判断符号，得出结论．用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法

作商法 判断商与1的大小关系，得出结论，要特别注意，当商与1的大小确定后，必须对商式分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤

考点二 不等式的性质重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

1．设a，b∈R则“(a－b)·a2<0”是“a

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A (a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．

2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )

A．ad＞bc B．ad＜bc

C．ac＞bd D．ac＜bd

解析：选B 法一：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，

所以1－d＞1－c＞0．

又a＞b＞0，所以a－d＞b－c，所以ad＜bc．故选B． 精品

4 法二： c＜d＜0⇒cd＞0c＜d＜0⇒ccd＜dcd＜0⇒

1d＜1c＜0⇒ －1d＞－1c＞0a＞b＞0⇒－ad＞－bc⇒ad＜bc．

法三：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，

则ac＝－1，bd＝－1，排除选项C、D；

又∵－32＜－23，排除A．故选B．

[由题悟法]

不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略

(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．

(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．

(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．

[即时应用]

1．(2016·河南六市第一次联考)若1a＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )

A．a2＜b2 B．ab＜b2

C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|

解析：选D ∵1a＜1b＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，∴选项A、B、C均正确，∵b＜a＜0，∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D项错误，故选D．

2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：

①若ac2＞bc2，则a＞b；

②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；

③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；

④若a＞b，则1a＞1b．

其中正确的有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选B ①由ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b，①正确；

②由不等式的同向可加性可知②正确；

③错误，当0＞c＞d时，不等式不成立． 精品

5 ④错误，令a＝－1，b＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B．

考点三 不等式性质的应用重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4．求f(－2)的取值范围．

解：由题意知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b．

f(－2)＝4a－2b．设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b．

则 m＋n＝4，m－n＝－2，解得 m＝1，n＝3.

∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．

∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10．

即f(－2)的取值范围为[5,10]．

[类题通法]

利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．

[即时应用]

1．若6＜a＜10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是( )

A．[9,18] B．(15,30)

C．[9,30] D．(9,30)

解析：选D ∵a2≤b≤2a，∴3a2≤a＋b≤3a，即3a2≤c≤3a．∵6＜a＜10，∴9＜c＜30．故选D．

2．已知－1

解析：∵－1

∴－3<－y<－2，

∴－4

由－1

得－3<3x<12,4<2y<6，

∴1<3x＋2y<18．

答案：(－4,2)

(1,18)

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是( ) 精品

6 A．A≤B B．A≥B

C．A＜B D．A＞B

解析：选B 由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B．

2．若a

A．1a－b>1a B．1a>1b

C．|a|>|b| D．a2>b2

解析：选A 取a＝－2，b＝－1，则1a－b>1a不成立．

3．若a，b都是实数，则“a－b＞0”是“a2－b2＞0”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A 由a－b＞0得a＞b≥0，

则a2＞b2⇒a2－b2＞0；

由a2－b2＞0得a2＞b2，可得a＞b≥0或a＜b≤0等，所以“a－b＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件，故选A．

4．(2017·资阳诊断)已知a，b∈R，下列命题正确的是( )

A．若a>b，则|a|>|b| B．若a>b，则1a<1b

C．若|a|>b，则a2>b2 D．若a>|b|，则a2>b2

解析：选D 当a＝1，b＝－2时，选项A、B、C均不正确；对于D项，a>|b|≥0，则a2>b2．

5．若角α，β满足－π2

A．－3π2，3π2 B．－3π2，0

C．0，3π2 D．－π2，0

解析：选B ∵－π2

∴－π<－β

又∵α

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )

A．MN

C．M＝N D．不确定

解析：选B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)