Stolz定理的若干应用

苏州科技学院毕业论文

I Stolz定理的假设干应用

XXXX

(XXXXXX大学 XXXXXX专业XXX级XX班)

摘 要

极限思想是许多科学领域的重要思想之一．为了解决求极限的问题，本文介绍了计算极限的一种方法——Stolz定理，并对Stolz定理的结论进行了推广．

本文先表达有关Stolz定理的一些结论，然后通过实例说明Stolz定理及其推广的有关结论在极限求解中的应用．Stolz定理可以说是数列的L’Hospital法那么，它对求数列的极限很有用．Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可变得十分容易．Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz定理的数列情形、函数情形．

关键词 Stolz定理；数列；函数；极限

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II Some applications of Stolz theorems

ZHANG Ran

(Grade 2004 Class (2)

Information and Computing Science

College of Mathematics and Physics

University of Science and Technology of Suzhou)

Abstract

The limit thought is one of many scientific field important thoughts．In order to solve

asks the limit the question，this article introduced the computation limit's one method——Stolz theorem，and has popularized the conclusion of Stolz theorem．

This article first narrates related Stolz theorem some known conclusions，then in the limit

solution through the example explained the application of the Stolz theorem and its

popularized related conclusion．The Stolz theorem can be said to be sequence L'Hospital

principle，it is very useful to asks the sequence the limit．The Stolz theorem can be

popularized to the situation with the limit of function，some questions use the Stolz theorem to

become very easy．The Stolz theorem is important theorem to prove the limit existence of the

sequence and function．This article has given the Stolz theorem the situation of sequence and

the situation of function．

Keywords Stolz theorem; sequence; function; limit

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III 目 录

摘要 关键词………………………………………………………………………………Ⅰ

Abstract Keywords…………………………………………………………………………Ⅱ

1 引言 …………………………………………………………………………………… 1

2 序列形式的Stolz定理 ……………………………………………………………… 1

2.1 型Stolz公式……………………………………………………………………… 1

2.2 00型Stolz公式……………………………………………………………………… 3

2.3 序列形式的Stolz定理应用………………………………………………………… 4

3 函数形式的Stolz定理……………………………………………………………… 10

3.1 型Stolz公式 ……………………………………………………………………10

3.2 00型Stolz公式………………………………………………………………………13

3.3 函数形式的Stolz定理应用…………………………………………………………14

结论 ……………………………………………………………………………………… 18

致谢 ……………………………………………………………………………………… 19

参考文献 ………………………………………………………………………………… 20

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1 1 引言

极限论是数学分析的根底，极限问题是数学分析中困难问题之一．中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值．两问题有密切关系：假设求出了极限的值，自然极限的存在也被证明．反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了道路．

讲述极限论，通常先讲序列极限，然后讲函数极限．两类极限，有平行的理论，类似的方法，彼此有着深刻的内在联系．

极限思想是许多科学领域的重要思想之一．因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要．对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常局限，不仅计算量大，而且不一定能求出结果．为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法．本文介绍了计算极限的一种方法——Stolz定理，并对Stolz定理的结论进行了推广，讨论如何利用Stolz定理计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想．

本文先表达有关Stolz定理的一些结论，然后通过实例说明Stolz定理及其推广的有关结论在极限求解中的应用．Stolz定理可以说是数列的L’Hospital法那么，它对求数列的极限很有用．Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可变得十分容易．Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz定理的数列情形、函数情形．

2 序列形式的Stolz定理

2.1 型Stolz公式

定理2.1 (型Stolz公式) 设nx严格递增(即n有1nnxx)，且

nnxlim．假设axxyynnnnn11lim，那么axynnnlim(其中a为有限数，或)．

证 1°(a为有限数的情况)

因为nx严格递增，所以n，01nnxx．记

axxyynnnnn11． (1) 苏州科技学院毕业论文

2 按条件有0limnn，即0，0N，当Nn时，有2n．

由(1)得

.)()()( ))(())(( ))(())(( ))((1111111211211NnnnnNNNNnnnNNNNnnnnnnnnnnnnxxaxxxxyxxaxxayxxaxxayxxayy

两边同时除以nx，再同时减去a，得

.2 2 111nNNnNnnNNnnnnNNNnNNnnxaxyxxxxaxyxxxxxxaxyaxy

因为nnxlim，故NN1，使得1Nn时有2nNNxaxy．

于是22axynn．所以axynnnlim．

2°(a的情况)

因为11limnnnnnxxyy，所以对1M，0N，当Nn时，111nnnnxxyy，即

Nn时，011nnnnxxyy． (2)

且有 0lim11nnnnnyyxx．

所以当Nn时，ny严格递增．(2)式中令kNNn,,2,1 ，然后相加，可得

0NkNkxxyy．

令k，知ky，即nnylim．于是 ny严格递增，nnylim，且0lim11nnnnnyyxx．由1°的结论得0limlim11nnnnnnnnyyxxyx，故nnnxylim． 苏州科技学院毕业论文

3 3°(a的情况)

只要令nnzy即可转化为2°中的情况．

注 11limnnnnnxxyy，一般推不出nnnxylim．例如

 , , ,3 ,2 ,1nxn，,6 ,0 ,4 ,0 ,2 ,0222ny．

这时虽然11limnnnnnxxyy，但 ,6 ,0 ,4 ,0 ,2 ,0nnxy不趋向．

注 假设aannlim，在Stolz定理中设nxn，nnaaay21．因为

aaxxyynnnnnnn111limlim，所以anaaann21lim．因而Stolz定理是它的推广形式．

2.2 00型Stolz公式

定理2.2 (00型Stolz公式) 设n时0ny，nx严格↘0(严格单调下降趋向零)．假设axxyynnnnn11lim，那么axynnnlim(其中a为有限数，或)．

证 1°(a为有限数的情况)

因为n时0ny，nx严格↘0(严格单调下降趋向零)．所以

01nnyy，01nnxx．

按条件axxyynnnnn11lim，可知0，0N,当Nn时，有

axxyyannnn11．

即 ))(())((111nnnnnnxxayyxxa．

可得 ))(())((pnnpnnpnnxxayyxxa．