Stolz定理的推广及应用

编号：201231110123

本科毕业论文

题目：Stolz定理的推广及应用

院 系：数学科学系

姓 名：潘佳佳

学 号：0831110123

专 业：数学与应用数学

年 级：2008级

指导教师：沈林

职 称：讲师

完成日期：2012年5月

I

摘 要

Stolz定理是处理数列中不定式极限的有效方法,被称为数列中的L'Hospital法则.并且Stolz定理可以推广到函数的不定式极限,由此推广,可使Stolz定理和L'Hospital法则更加紧密的联系在一起.文章主要研究了Stolz定理的推广及其应用.首先,给出了Stolz定理,并且得到了推广的Stolz定理及其理论证明和一些常用结论;其次,运用推广定理证明了Stolz定理和L'Hospital法则,并通过一些具体的例子展现了推广定理在求解某些特殊形式的不定式极限时的优越性.

关键词:Stolz定理;不定式;极限;L'Hospital法则

Abstract

The problem of indetermined limit can be well solved by the Stolz theorem which is

often called the series of the L 'Hospital criteria. The Stolz theorem can be also extended to

the limit of function so that the Stolz theorem and the L 'Hospital criteria can be closely

related. The generalized forms of Stolz theorem and its applications are mainly studied.

Firstly, the Stolz theorem, it's popularized forms and methods which can be used to proof

popularized Stolz theorems are given; Then, the Stolz theorem and the L 'Hospital criteria

are proved by the popularized Stolz theorems. Some examples are taken to illustrate the use

of the popularized Stolz theorem.

Key words: Stolz theorem; indeterminate; limit; L'Hospital criteria

目 录

摘 要.................................................................. (I)

Abstract............................................................... (I)

1 引言................................................................. (1)

2 Stolz定理及其推广 ................................................... (2)

2.1 Stolz定理 ........................................................ (2)

2.2 推广的Stolz定理 ................................................. (5)

3 推广的Stolz定理的应用.............................................. (12)

3.1 证明Stolz定理 .................................................. (12)

3.2 证明L'Hospital法则 .............................................. (12)

3.3 应用举例........................................................ (13)

结束语................................................................ (16)

参考文献.............................................................. (17)

致谢.................................................................. (18)

1 1 引言

极限是研究函数、导数、积分、级数的基本工具,是数学分析的灵魂.极限问题是学习和教学中的困难问题之一,其中心问题有两个:一是证明极限的存在性,二是求极限的值.这两个问题有密切的关系,若求出了极限的值,自然极限的存在性也被证明了.反之,证明了极限的存在性,常常也就为计算极限铺平了道路.虽然求极限的方法有很多种,但是对某一形式的极限,有的方法用起来比较繁琐,有的方法用起来则比较简便,因此,灵活地选择求解方法对于简便而快速的求解极限问题十分重要.

不定式极限是极限问题当中的重要内容,处理函数极限中的不定式时,作用显赫的当属L'Hospital法则,而Stolz定理是处理数列极限中不定式的重要工具,常常被称为数列中的L'Hospital法则,对于离散形式的不定式极限问题的求解具有极大的优越性,并且Stolz定理能够推广到函数极限的情况,从而进一步扩大了其应用的范围.

由于Stolz定理的重要性及其应用的广泛性,大量的科研工作者对Stolz定理产生了浓厚的的兴趣.比如,文献[1]研究了Stolz定理及其推广定理的证明;文献[2]介绍了如何利用Stolz定理求解一些特殊的极限问题;文献[3]给出了Stolz定理的推广形式在不同极限问题上的应用.但是在一般的教材当中Stolz定理并没有给出,从而使许多经典极限的求解问题变得相当的困难.本文主要介绍推广的Stolz定理及其应用,并从推广定理出发推导出了几个常用的结论,通过一些具体的例子说明Stolz定理及其推广的有关结论在求特殊形式的极限时的优越性,以期对极限理论的学习和研究有所帮助.

2 2 Stolz定理及其推广

为了更好的研究Stolz定理的推广定理,下面先给出Stolz定理及其有关结论.

2.1 Stolz定理

Stolz定理是求数列极限中型不定式和00型不定式的有效方法,可以说是数列中的L'Hospital法则,下面给出该定理及其证明.

定理2.1[4]

型的Stolz定理

设数列nx严格递增且nnxlim，若lxxyynnnnn11lim，则有lxynnnlim（其中l为有限数,或）.

定理2.2 00型的Stolz定理

设数列nx严格递减且0limnnx,当n时,0ny,若lxxyynnnnn11lim,则

lxynnnlim（其中l为有限数,或）.

附注

1）定理2.1中并没有要求nnylim,ny可以是任意一个数列,从而使该定理的应用范围更加广泛.

2）Stolz定理中的l可以是有限实数或或,但不能是,即若

11limnnnnnxxyy,

不一定有

nnnxylim.

例如 若nxnynnn,)1(,虽然

1)12()1(limlim11nxxyynnnnnnn,

但

3 nnnnnxy)1(limlim.

3）Stolz定理的逆定理不成立.

例如 设n)1(na,令nnaaax21,nyn,则当n为偶数时0nnyx;当n为奇数时nyxnn1,

所以

,2,1,0limnyxnnn,

然而极限

nnnnnnnnnayyxx)1(limlimlim11

不存在.

下面给出Stolz定理的几个推论.

推论2.1 若将定理2.1中的条件“nx严格递增趋向于”换为“nx严格递减趋向于”,则定理的结论依然成立.

证明 若nx严格递减且nnxlim,则nx严格递增且)(limnnx,按照定理2.1,则有

nnnnnnxyxylimlim

）（11)(limnnnnnxxyy

11limnnnnnxxyy.

从而可得定理2.1对于这种情况也是成立的.

推论2.2[5] 设ny是实数列,若lyynnn)(lim1（l为有限数、或）,则lnynnlim.

推论2.3[6] 设实数列ny,如果)( 02nyynn,则0lim1nyynnn.

4 推论2.4 设数列ny收敛于l（有限或无限）,算术平均数列nyyyxnn21,则lxnnlim.

证明 令nayyybnnn,21,由定理2.1知,

）（1,limlimlimlim1111nnnnnnnnnnnnnnnnnaaybblyaabbabx,

所以

lxnnlim.

推论2.5 已知nnxy和是两个实数列,若nnnxylim为有限、或,当n时,

nxxx21且nx,又0nx,则nnnnnnxyxxxyyylimlim2121.

证明 取nnnnxxxbyyya2121,,则11,nnnnnnbbxaay,所以,由定理2.1有

112121limlimlimnnnnnnnnnnnbbaabaxxxyyy

nnnxylim.

在数列中,有许多不定式极限,若用传统的“N-”语言来证明,显得很繁琐,而应用Stolz定理来证明却很简单.下面将通过例子来说明Stolz定理在处理数列中不定式极限时的优越性.

例2.1 假设函数列,3,2),sin(sinsin,sinsin11nxxxxnn,若0sinx,证明

1sin3limxnnn.

证明 取定x,显然当x时,xnsin单调递减趋于零.由Stolz定理有