Stolz定理及其应用

５０　数学教学研究　第３２卷第１期２０１３年１月　

Ｓｔｏｌｚ定理的推广及其在求极限中的应用　

韩　丽，周　军，王汝军　

（河西学院数学与统计学院，甘肃张掖７３４０００）　

摘要：Ｓｔｏｌｚ定理是解决不定式极限的重要工具，本文对其两种形式进行了推广研究，并将其应用　

于不定式极限．　

关键词：Ｓｔｏｌｚ定理；推广；不定式极限　

中图分类号：０１７１　

Ｓｔｏｌｚ定理是数学分析中处理赛型及　

型极限的重要工具．近年来，许多学者用不同　

的方法证明了Ｓｔｏｌｚ定理，并从不同方面做了　

推广，得到了一系列重要的研究成果，本文在　

已有文献的基础上，对Ｓｔｏｌｚ定理进行了证　

明，并对其作了进一步推广，最后举例说明如　

何利用Ｓｔｏｌｚ定理来解决不定式极限　

１　Ｓｔｏｌｚ定理　

定理１（塞型）设｛　｝单调递增，且　

＝＋Ｃｘ。，｛　）是任一数列，若ｌｉｍ　Ｉ二　一　？ｌ－Ｉ￣Ｏ０　ＬｔＩ＋１　，　

ｚ，则ｈｍ　一ｚ（其中ｚ为有限，＋∞或一。。）．　

证明　以ｚ有限数时的情形为例来证明　

该定理．　

由于ｌｉｍｘ　一十∞，不妨设　＞Ｏ，则有　

Ｖ￡＞Ｏ，ｊ　Ｎ＞Ｏ，Ｓ．ｔ．　

Ｉ一ｌｌ≤ｅ，ｖ　≥Ｎ．　１　”＋１　Ｘｎ　ｌ　即　Ｉ（　十１一　）－－ｌ（ｘ，Ｉ＋１一ｚ　）ｌ　

≤ｅ（　，ｌ＋１一ｚ　），Ｖ　≥Ｎ．　

从而　

ｌＹ　－－ＹＮ－－ｌ（ｘ　－－ＸＮ）ｆ　

≤ｅ（ｚ　－－，ＴＮ），Ｖ　≥Ｎ．　又　ｌ　Ｙ　－－ｌＸＮ　Ｉ－－￣（ｘ　－－ＸＮ）　

≤ｌＹ　－－ｌｘ　ｌ　

≤≤ＩＹＮ－－－ｌｘＮ　Ｉ＋￡（ｚ，　－ＸＮ），Ｖ咒≥Ｎ．　

不等式两边除以ｚ　得　

ｌ　Ｉ—ｅ　Ｘ—ｎ－—ＸＮ　

≤ｌ　一ｚｌ　

≤ｆ　ｆ＋ｅ￣—．Ｔ．ｎ－—ＸＮ，Ｖ　ｎ￣Ｎ．　

上式两边关于咒取上下极限，得　

一￡≤　一ｚＩ≤　一ｆ１　；磊ｌＩｚ”　Ｉ　ｌ　ｚ”　Ｉ

≤甄Ｉ兰　ｌ≤ｅ，Ｖ　≥Ｎ．　

由ｅ的任意性，得　

Ｉ　ｌ　｝　ｌ　０＝ｌｉｍＩ一ｚＩ一而ｌ　Ｙ＇－ＩＩ—ｏ，　Ｉ　

『Ｊ　Ｉ　ｔｔ－￣ｏｏｌｚ＂　Ｉ　

stolz定理逆命题成立条件

斯托兹定理，也被称为斯托茨-伽尔曼定理，是一种重要的概率论定理，它描述了在一组符合一定条件的独立随机变量的和或平均值上计算的方差的性质。它的逆命题成立指，如果当我们知道独立随机变量向量的均值和方差时，我们可以根据斯托茨-伽尔曼定理推导出它们是独立的。

斯托兹定理的逆命题成立条件

斯托兹定理是在大数定理的基础上研究样本统计量的方差的，它的逆命题成立条件也基于对随机变量的方差和协方差的基本理解，逆命题条件如下：

1.独立性

逆定理成立的第一个条件是独立性。斯托兹定理要求我们在进行样本统计时需要计算随机变量的和或平均值，而在逆定理中，这些变量必须是独立的。如果变量之间存在关联，那么推导它们独立的性质将变得更加困难。 2.均值已知

逆定理的第二个条件是所涉及的随机变量的均值已知。由于斯托兹定理的主要目的是计算独立随机变量的和或平均值的方差，因此我们需要知道它们的均值。没有这个前提条件，我们将无法应用斯托兹定理计算方差。

3.方差已知

除了均值之外，我们还需要知道所涉及的独立随机变量的方差。斯托兹定理本身就有一个与方差相关的公式，因此如果我们想利用逆定理，必须知道方差的值。如果方差未知，我们可以估计它们的方差，但这会对逆定理的应用产生一定的影响。

4.样本量齐全

斯托兹定理是基于大数定理，需要样本量越来越大才能快速收敛到最终结果，因此逆定理的条件之一是具有足够数量的样本。样本数量太小会导致方差估计不准确，从而使逆定理失效。

总结 斯托兹定理是应用广泛的概率论定理，其逆命题是在给定随机变量的均值和方差的情况下，推导它们是否独立的问题。在使用逆定理时需要满足四个条件：独立性、均值已知、方差已知和样本量齐全。只有在满足这些条件时，逆定理才是可用的。虽然确定这些条件可能需要对概率论和统计学有一定的理解，但合理应用逆定理仍然有助于我们更好地理解分析随机变量相关的数据。

stolz定理证明

Stolz定理是初等数学中的一个极为有用的定理，主要用来计算极限。其名字来源于德国数学家Stolz。本文将介绍Stolz定理的证明过程。

首先，我们需要明确Stolz定理的表述：设$\{a_n\}$和$\{b_n\}$是两个单调递增的正数数列，且$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$，则$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$。

现在，我们开始证明Stolz定理。假设$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$，则对于任意给定的$\epsilon>0$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|\frac{a_n}{b_n}-L|<\epsilon$。又因为$\{a_n\}$和$\{b_n\}$都是单调递增的，所以对于任意正整数$m>n>N$，有

$$(a_m-a_n)(b_m-b_n)=(a_m-a_{m-1})(b_m-b_{m-1})+\cdots+(a_{n+1}-a_n)(b_{n+1}-b_n)\geq 0$$

我们对上式两边同时除以$(b_m-b_n)$得到

$$\frac{a_m-a_n}{b_m-b_n}\geq \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$$

由于$\{b_n\}$是单调递增的正数数列，所以$\frac{a_m-a_n}{b_m-b_n}\to L$，同时$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\to

L$，因此当$n\to \infty$时，$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\to L$。

于是我们有

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}-\frac{a_n}{b_n}}{\frac{1}{b_{n+1}}-\frac{1}{b_n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}/b_{n+1}-a_n/b_n}{(b_n-b_{n+1})/b_nb_{n+1}}=\frac{L-L}{L}$$ 因此，我们得到$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=0$。利用Stolz定理的前提条件，我们可得到

第３３卷第４期　２０１３年１Ｏ月　天津师范大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔｉａｎｊｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．３３　Ｎｏ．４　０ｃｔ．２０１３　文章编号：１６７１—１　１　１４（２０１３）０４—０００９—０４　Ｓｔｏｌｚ定理在一类特定型函数极限计算中的应用与推广　黄茉菊，王贵君　（天津师范大学数学科学学院，天津３００３８７）　摘要：利用Ｓｔｏｌｚ定理和夹逼定理计算一类特定型函数极限．在此基础上对函数形式进行推广，获得其几种一般形　式的结果．拓宽和丰富了Ｓｔｏｌｚ定理的应用范围．　关键词：函数极限；周期函数；夹逼定理；Ｓｔｏｌｚ定理　中图分类号：０１３　文献标志码：Ａ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｓｔｏｌｚ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｉｎ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｌｉｍｉｔｓ　ｆｏｒ　ａ　ｓｐｅｃｉｆｉｃ　ｔｙｐｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ＨＵＡＮＧ　Ｍｏｊｕ，ＷＡＮＧ　Ｇｕｉｊｕｎ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔｉａｎｊｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ　３００３８７，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｌｉｍｉｔｓ　ｆｏｒ　ａ　ｓｐｅｃｉｆｉｃ　ｔｙｐｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｓｔｏｌｚ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ａｎｄ　ｄｏｕｂｌｅ　ｓｉｄｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｏｎ　ｔｈｉｓ　ｂａｓｉｓ，ｔｈｅ　ｆｏｒｍ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ，ａｎｄ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ，ｔｈｕｓ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｓｔｏｌｚ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｉｓ　ｅｘｐａｎｄｅｄ　ａｎｄ　ｅｎｒｉｃｈｅｄ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｍｉｔ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；ｄｏｕｂｌｅ　ｓｉｄｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ；Ｓｔｏｌｚ　ｔｈｅｏｒｅｍ　Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则在函数极限计算中发挥着重要　作用，它不仅方便实用，而且对一些超越函数或复　杂函数的极限计算更有效．但Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则要求　函数满足一定条件，所以Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则并非万能．　文献【１］对一类Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则失效的特定型函数极　限给出解答和一些推广及猜想，其方法是利用正　（余）弦函数的周期性将分子的积分区间实施等距划　分，进而通过分部积分法直接计算或应用夹逼定理　进行处理．事实上，针对一般情况，这２种方法都会　随着参数值增大而使计算过程复杂而冗长，针对以　上缺陷，本研究利用Ｓｔｏｌｚ定理和夹逼定理处理这　类函数极限，得到了一般结果，并在此基础上，对　函数形式进行推广，获得其几种一般形式的结果．　，　文献［１】考虑极限ｌｉｍ　ｆ　ｔ　ｌ　ｃｏｓ　ｔ　１　ｄｔ／ｘｚ，简单计　十∞Ｊ　ｔｌ　算可知此时Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则失效，下面利用Ｓｔｏｌｚ定　理和夹逼定理进行处理．　显然Ｉ　ＣＯＳｔ　ｌ是周期为耵的非负连续函数，当　收稿日期：　基金项目：　第一作者：　通信作者：　充分大时，总存在　∈Ｎ，使得ｎ１Ｔ≤　＜（　＋１）１Ｔ　由积分单调性可得　≤堡　≤　，（，件１）盯　Ｊ　ｔＩ　ｃｏｓ　ｔ　Ｊ　０　ｎ２，．ｉｆ２　式（１）两端均为商式的数列．先考虑左端，令　Ａ　＝ｆ　￡Ｉｃ０ｓ￡Ｉｄｔ，Ｂ　＝（ｎ＋１）　竹　ｎ＝１，２，…　数列｛Ｂ　单调递增，ｌｉｍＢ　＝＋ｏｏ，由Ｓｔｏｌｚ定理可得　＝　：　专　精　，（ｎ＋ｌ　ｆ　Ｊ　ｃ０ｓ　ｆ　ｄ　蔫　（２）　由积分单调性，对于式（２）右端有　２０１２－－１２－－２０　国家自然科学基金资助项目（６０９７４１４４）　黄茉菊（１９９Ｏ一），女，硕士研究生．