折叠问题解题策略

折叠问题解题技巧

折叠问题解答技巧是一种将难以解决的问题分解为小步骤从而得出有效结果的策略。折叠法可以帮助你更快更好地解决问题，节省花费的时间。

一般来说，折叠问题解题技巧分为以下五个步骤：

1. 了解问题：确保明确理解问题，不要将自己的想法强加于问题。

2. 画出折叠图：通过画出折叠图能够对问题有更加清晰的认知和把握。

3. 填充折叠图：根据问题具体内容填充折叠图，以帮助梳理问题，让解题思路更加清晰。

4. 找出规律：从填充后的折叠图中通过观测找出问题解题的规律。

5. 对比总结：通过对比不同的折叠图找出优化方案等有助于解题的思路。

总之，折叠问题解题技巧是一种将复杂的问题分解成更小的问题，利用图形来理解、解决问题的有效方法。此种方法有助于梳理思路并把握重点，从而更快、更好地解决复杂问题。

周期问题的解题策略

在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现。我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题。

要解决这类问题，关键要抓住两点：

① 找出规律，找出周期。即多少个（次）又出现重复。

② 用总量除以周期，看余数，余几就是周期里的第几个，没有余数就是最后一个。

例1：有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7„„

（1）第2009个数是多少？

（2）这列数字中，“2”会出现多少次

（3）这2009个数相加的和是多少？

分析过程：仔细观察，这2009个数不是随意排列的，每六个数重复一次，按1、4、2、8、5、7一个循环依次不断重复出现排列的。周期找到了，接着用总量除以周期，把余数与周期对比，很容易解答问题。

（1） 2009÷6=334、、、5，即重复了334次，还余5个数，分别是1、4、2、8、5。所以第2009个数就是5

（2）（1、4、2、8、5、7）重复了334次，“2”也就出现了334次，再加上余下的五个数中，“2”又出现了一次，所以，数字“2”总共出现了335次 （3）我们把2009个数按每一组（1、4、2、8、5、7）这样分组，可以分成334组，还剩5个数，334组的数都相同，每组的和=1+4+2+8+5+7=27，那么这334组的总和是27×334=9018，再加上还余下的五个数，即为2009个数的总和了。

（1+4+2+8+5+7）×334+（1+4+2+8+5）=9018+20=9038

例2．求2×2×、、、×2（2008个2相乘）+ 3×3×、、、×3（2009个3相乘）的个位数字。

分析过程：要想求和的个位数字，关键是要求出每个加数的个位数字。

（1）先观察下2×2×、、、×2（2008个2相乘）个位数的特点，看是否有周期性，若有，则可根据周期问题的方法来解答

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第 1 页 共 7 页 立体几何中“折叠问题”的解题策略

[例题]如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥BC，BD∥DC，点E是BC边的中点，将∥ABD沿BD折起，使平面ABD∥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．

(1)求证：AB∥平面ADC；

(2)若AD＝1，二面角C­AB­D的平面角的正切值为6，求二面角B­AD­E的余弦值.

[解] (1)证明：因为平面ABD∥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，BD∥DC，DC∥平面BCD，

所以DC∥平面ABD.

因为AB∥平面ABD，所以DC∥AB.

又因为折叠前后均有AD∥AB，DC∩AD＝D，

所以AB∥平面ADC.

(2)由(1)知AB∥平面ADC，

所以二面角C­AB­D的平面角为∥CAD.

又DC∥平面ABD，AD∥平面ABD，

所以DC∥AD. 初高中数学学习资料的店

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第 2 页 共 7 页 依题意tan∥CAD＝CDAD＝6.

因为AD＝1，所以CD＝6.

设AB＝x(x＞0)，则BD＝x2＋1.

依题意∥ABD∥∥DCB，所以ABAD＝CDBD，

即x1＝6x2＋1，解得x＝2，

故AB＝2，BD＝3，BC＝BD2＋CD2＝3.

以D为坐标原点，射线DB，DC分别为x轴，y轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，

则D(0,0,0), B(3,0,0), C(0,6，0), E(23,26,0）,

A(33,0,36），

所以DE―→＝(23,26,0），DA―→＝(33,0,36）.

由(1)知平面BAD的一个法向量n＝(0,1,0)．

设平面ADE的法向量为m＝(x，y，z)，

由 m·DE―→＝0，m·DA―→＝0，得 32x＋62y＝0，33x＋63z＝0.

令x＝6，得y＝－3，z＝－3， 初高中数学学习资料的店

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一类折叠问题解决策略探析

作者：张俊忠

来源：《中学课程辅导·教师通讯》2019年第20期 龙源期刊网 龙源期刊网

【内容摘要】图形折叠是初中几何学习中常见的问题。解决此类问题主要利用轴对称的知识，通过全等三角形将线段和角的关系集中在一个直角三角形中，再利用直角三角形的有关知识帮助解决。

【关键词】折叠 轴对称 直角三角形

在初中几何的学习中，常常会碰到有关折叠的问题。这类问题，许多学生做起来，往往不知从哪里开始。要能够顺利解决这类问题，一方面需要有一定的空间想象能力，另一方面还应该能够熟练地应用轴对称的知识。具备了这两点，解决这类问题才会比较顺利，现举例说明。

例1：如图1，在正方形ABCD中，BC=2，把DC折叠到与AB重合，得到折痕MN，将点C折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ，连接PQ，求MP之长。

通过上述三题，我们可以总结出解决这类折叠问题的一般步骤是：（1）根据轴对称的性质，作适当的辅助线，构造全等三角形。（2）根据全等三角形，得到一些线段的关系。（3）充分利用题目的已知条件和已经求出的线段的长度，将它们集中在一个直角三角形中，根据勾股定理，求出某些线段的长度。（4）最后再利用这些结果解决问题。

【贵州省教育厅高等学校人文社会科學研究基地项目：数学史融入初中数学教育的实验研究-以贵阳市乌当二中为例。课题编号：2017jd101】

（作者单位：贵州师范学院数学与大数据学院）