折叠问题解题探究
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；. 折叠问题解题探究
问题的提出：折叠即产生对称，是初中数学重要知识之一。也是近几年中考的命题热点，是高频问题。而学生往往对折叠中隐含的不变量“不识庐山真面目”而忽视隐含的已知，致使解题陷入绝境，导致失分；或者问题复杂化，舍近取远，浪费时间。
问题1：如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D落在边BC上的F点处，你能得到什么结论？
（学生口答）
此图中，若AB=8cm，AD=10cm，求EC的长。
师：解决此问题依据是轴对称中确定不变量，采用方程思想，运用勾股定理、相似基本策略解决问题。
比较简单的折叠问题，不变量及隐含条件还比较直观，
易寻找判断。
问题2：如图，将矩形纸片ABCD（图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②）；（2）以过点E的直线为折痕纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图③）；（3）将纸片展平，求AFE的度数.
师：不变量的确定，寻求隐含条件可以降低问题难度，找到解决问题的突破口。
解决问题的依据：轴对称
解决问题的策略：寻求不变量、勾股定理、相似、中垂线、平行线性质
例： 在一张长方形ABCD纸片中， AB＝20cm． 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕的长．
(1) 如图1, 折痕为AE;
(2) 如图2, P，Q分别为AB，CD的中点，折痕为AE;
(3) 如图3, 若AD＝25cm, 折痕为EF．
(分析时一题多解，不同角度不同方法解题) A
B C D A
E E C C D D F
图① 图② 图③ .
；. 练习：
1． 如图①，将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A、B分别落在A’、B’处，线段FB’与AD交于点M．
(1)试判断△MEF的形状，并证明你的结论；
(2)如图②，将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在C’、D’处，且使MD’经过点F，试判断四边形MNFE的形状，并证明你的结论；
(3)当∠BFE＝_________度时，四边形MNFE是菱形．
2.如图，矩形纸片ABCD中，8cmAB，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若25cm4AF，则AD的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
3.把边长为4的正方形ABCD的顶点C折到AB的中点M，折痕EF的长为 .
课后问题再探索：折折叠叠中找巧门
1.将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（ ）
2.如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A．若四边形ADAE是菱形，则下列说法正确的是 （ ）
A． DE是△ABC的中位线 B． AA是BC边上的中线
C． AA是BC边上的高 D． AA是△ABC的角平分线
A． B． C． D． A B C E
F D
第2题图 A
(第1题图②) B C E
F D A’
B’ A
B C E
F D A’
B’
D’
C’ M M
N
(第1题图①)
F E
D
C B A
M
A
B C D
E
A .
；. 3.将一张纸第一次翻折，折痕为AB（如图1），第二次翻折，折痕为PQ（如图2），第三次翻折使PA与PQ重合，折痕为PC（如图3），第四次翻折使PB与PA重合，折痕为PD（如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则CPD∠的大小是（ ）
A．120
B．90
C．60
D．45
4.将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）。动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）。
（1）用含t的代数式表示OP，OQ；
（2）当t=1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；
（3）连结AC，将OPQ△沿PQ翻折，得到EPQ△，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．
图1 O P A x B D C
Q y
（第4题图） 图2 O P A x B C
Q y
E
