翻折问题解题技巧

翻折问题

立体几何在高中数学中是培养学生的空间想象能力的重要载体，其中翻折问题学生学习是一个难点，同时也是近年来高考的热点。翻折问题实质是图形由平面到立体变化中一些线、面之间发生了变化，因此本节内容从正三角形、正方形、矩形、梯形、五边形等图形进行翻折，以便学生能更清楚熟悉模型，同时还列举了翻折模型中的平行、垂直、线线角、线面角、二面角、长度等问题。

一．翻折问题的审题建议

1.过顶点作折线的垂线，如沿着折起，作，F于点并交BEAGBEBEABE 在翻折过程中，点A的轨迹是以AF为直径的圆，旋转一周所得的几何体ABE 是两个同底圆锥，母线分别是AB与AE。

2.弄清变与不变的量，如中的角、线段长度是不变的，BCDEABE与四边形 但在翻折过程中，等量是变化的。

AD、AC、AEDAFG、ABC、二．平行问题

例1．（2017春?让胡路区校级期中）在如图（1）的平面图形中，ABCD为正方形，CDP为等腰直角三角形，E、F、G分别是PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD如图（2）． 求证：在四棱锥P﹣ABCD中，AP∥平面EFG．

【分析】连接E、F，连接E、G，可得EF∥平面PAB．EG∥平面PAB．即可证平面PAB∥平面EFG

，PC分别为F，E中，PABCD，在四棱锥G、E，连接F、E【解答】证明：连接．

PD的中点，

∴EF∥CD．∵AB∥CD，∴EF∥AB．

∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB．

同理EG∥平面PAB．又EF∩EG=E，

∴平面PAB∥平面EFG．又AP?平面PAB，

∴AP∥平面EFG．

【点评】本题考查了空间线面平行的判定，属于中档题．

【变式训练1】（2017?闵行区校级模拟）如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，EF分别是AC和BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．

1 立体几何——翻折问题

1、（2012北京文）（本小题共14分）如图1，在RtABC中，90C，,DE分别为,ACAB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使1AFCD，如图2。

（Ⅰ）求证：//DE平面1ACB；

（Ⅱ）求证：1AFBE；

（Ⅲ）线段1AB上是否存在点Q，使1AC平面DEQ？说明理由。

2、如图（1）在正方形错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。分别是边错误！未找到引用源。的中点，沿错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。把这个正方形折成一个几何体如图(2),使错误！未找到引用源。三点重合于错误！未找到引用源。, 下面结论成立的是( )

A. 错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。

【答案】A

3、【2018届广东省东莞外国语学校高三第一次月考】如图5,矩形ABCD中, AB12,AD6, , E,F分别为CD,AB边上的点,且DE3,BF4,将BCE沿BE折起至PBE位置(如图6所示),连结AP,PF,其中PF25.

(Ⅰ) 求证: PFABED平面；

(Ⅱ) 在线段PA上是否存在点Q使得FQPBE平面?若存在,求出点Q的位置；若不存在,请说明理由.

(Ⅲ) 求点A到PBE平面的距离.

4、如图2，E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD的中点，G是EF上的一点，将△GAB、△GCD分别沿AB、CD翻图2图1FEBEDCBCDA1AF2 θDOCEBAEADCB折成△G1AB，△G2CD，并连结G1G2，使得平面G1AB⊥平面ABCD，G1G2∥AD，且G1G2

（Ⅰ）证明:平面G1AB⊥平面G1ADG2

第 1 页 共 20 页 人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案）

类型一 利用勾股定理解决三角形的折叠问题

1．如图 △ABC中 ∠ACB＝90° AC＝8 BC＝6 将△ADE沿DE翻折

使点A与点B重合 则CE的长为 ．

思路引领：设CE＝x 则AE＝BE＝8﹣x 在Rt△BCE中 由勾股定理可得62+x2＝（8﹣x）2 即可解得答案．

解：设CE＝x 则AE＝BE＝8﹣x

在Rt△BCE中 BC2+CE2＝BE2

∴62+x2＝（8﹣x）2

解得x=74

故答案为：74．

总结提升：本题考查直角三角形中的折叠问题 解题的关键是掌握折叠的性质 熟练应用勾股定理列方程解决问题．

2．（2021秋•介休市期中）如图所示 有一块直角三角形纸片 ∠C＝90° AC＝8cm BC＝6cm 将斜边AB翻折 使点B落在直角边AC的延长线上的点E处 折痕为AD 则CE的长为 cm．

思路引领：根据勾股定理可将斜边AB的长求出 根据折叠的性质知 AE＝AB 已知AC的长 可将CE的长求出．

解：在Rt△ABC中 第 2 页 共 20 页 ∵∠C＝90° AC＝8cm BC＝6cm

∴AB=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=10cm

根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10cm

∵AC＝8cm

∴CE＝AE﹣AC＝2cm

即CE的长为2cm

故答案为：2．

总结提升：此题考查翻折问题 将图形进行折叠后 两个图形全等 是解决折叠问题的突破口．

3．（2020秋•金台区校级期末）如图 在△ABC中 ∠ACB＝90° 点E F在边AB上 将边AC沿CE翻折 使点A落在AB上的点D处 再将边BC沿CF翻折 使点B落在CD的延长线上的点B′处

（1）求∠ECF的度数；

二次函数专题

——之体会翻折之美

投石问路：

已知函数342xxy

（1）试写出分段函数的解析式

（2）求出y随x增大而增大的自变量取值范围。

1.已知，二次函数cbxx2-y的图像过点A（1，0）和C（0，2）

（1） 求二次函数的表达式及对称轴

（2） 将二次函数cbxx2-y的图像在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折，图像其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G，点M（m，1y）在图像G上，且1y≥0，求m的取值范围。

OyX2.抛物线4222mmxxy与x轴交于A,B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为x=1.

（1） 求抛物线的表达式

（2） 若CD∥x轴，点D在点C的左侧，CD=21AB,求点D的坐标

（3） 在（2）的条件下，将抛物线在直线x=t右侧的部分沿直线x=t翻折后的图像记为G，若图像G与线段CD有公共点，请直接写出t的取值范围

OyXOyX3.在平面直角坐标系xoy中，抛物线cbxxyC21:经过点C（2，-3）,且与x轴的一个交点为B（3，0）

（4） 求抛物线1C的表达式

（5） D是抛物线1C与x轴的另一个交点，点E的坐标为（m，0），其中m＞0，△ADE的面积为421。

① 求m的值

② 将抛物线1C向上平移n个单位，得到抛物线2C ，若当0≤x≤m时，抛物线2C与x轴只有一个公共点，结合函数的图像，求n的取值范围。

OyXOyX课堂检测：

已知抛物线054:21＞aaxaxyC

（1） 当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及坐标轴

（2） ①试说明无论a为何值，抛物线1C一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标。

②将抛物线1C沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线2C，直接写出2C的解析式。

（3）若（2）中抛物线2C的顶点到x轴的距离为2，求a的值。