导数的综合应用练习题及答案
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导数应用练习题答案
1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值。
2(1)()23[1,1.5]fxxx； 21(2)()[2,2]1fxx；
(3)()3[0,3]fxxx； 2(4)()1[1,1]xfxe
解：2(1)()23[1,1.5]fxxx
该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41fxx，在开区间上可导，而且(1)0f，(1.5)0f，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)，
使()410f，解出14。
解：21(2)()[2,2]1fxx
该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)xfxx，在开区间上可导，而且1(2)5f，1(2)5f，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)，
使222()0(1)f，解出0。
解：(3)()3[0,3]fxxx
该函数在给定闭区间上连续，其导数为()323xfxxx，在开区间上可导，而且(0)0f，(3)0f，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)，
使()3023f，解出2。
解：2(4)()e1[1,1]xfx
该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()2exfxx，在开区间上可导，而且(1)e1f，(1)e1f，满足罗尔定理，至少有一点，使2()2e0f，解出0。
2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值。
3(1)()[0,](0)fxxaa； (2)()ln[1,2]fxx；
32(3)()52[1,0]fxxxx
解：3(1)()[0,](0)fxxaa 该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()3fxx，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(0,)a，使()(0)()(0)faffa，即3203(0)aa，解出3a。
解：(2)()ln[1,2]fxx
该函数在给定闭区间上连续，其导数为1()fxx，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(1,2)，使(2)(1)()(21)fff，即1ln2ln1(21)，解出1ln2。
解：32(3)()52[1,0]fxxxx
该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()3101fxxx，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(1,0)，使(0)(1)()(01)fff，
即22(9)(3101)(01)，解出5433。
3.不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)fxxxxx的导数有几个实根及根所在的范围。
答案：有三个根，分别在(1,2),(2,3),(3,4)
4证明：当1x时，恒等式222arctanarcsin1xxx成立
证：设22()2arctanarcsin1xFxxx
当1x时，()Fx连续，当1x时，()Fx可导
且22222222212(1)2222()01(1)1121()1xxxFxxxxxxx
即当1x时，()FxC，即()(1)242FxF
故当1x时，222arctanarcsin1xxx
5设()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f，证明在(0,1)内存在一点c，
使 ()2()()cfcfcfc．
证明：令2()(1)()Fxxfx，则()Fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且因(0)0f，则(0)0(1)FF
即()Fx在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在(0,1)c使()0Fc
又2()2(1)()(1)()Fxxfxxfx，即22(1)()(1)()0cfccfc
而(0,1)c，得()2()()cfcfcfc 6.已知函数()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)1,(1)0ff，证明在(0,1)内至少存在一点，使得()()ff．
证明：令()()Fxxfx，则()Fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0(1)FF
即()Fx在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在(0,1)使()0F
又()()()Fxfxxfx，即()()0ff，故()()ff．
7.证明不等式：2121sinsinxxxx
证明：设函数()sinfxx，，12,xxR，不妨设12xx，
该函数在区间12[,]xx上连续，在12(,)xx上可导，由拉格朗日中值定理有
2121()()()()fxfxfxx，12()xx即2121sinsincos()xxxx，
故2121sinsincos()xxxx，由于cos1，所以有2121sinsinxxxx
8.证明不等式：11()()(1,0)nnnnnbababnaabnab
证明：设函数()nfxx，在[,]ba上连续，在(,)ba内可导，满足拉格朗日定理条件，故
1()nnnabnab，其中0ba，因此111nnnba
有111()()()nnnnbabnabnaab
所以11()()nnnnnbababnaab
9.利用洛必达法则求下列极限：
0ee(1)limxxxx；
解：00eee+elimlim21xxxxxxx
1ln(2)lim1xxx；
解：111lnlimlim111xxxxx
3232132(3)lim1xxxxxx； 解：322322113236limlim1321xxxxxxxxxxx
2ln()2(4)limtanxxx；
解：2222221ln()cos2cos(sin)22limlimlimlim01tan1cos2xxxxxxxxxxxx
(5)lim(0,enaxxxan为正整数）
解：1!limlimlim0eeennaxaxnaxxxxxnxnaa
0(6)limln(0)mxxxm；
解：100001lnlimlnlimlimlim0mmmmxxxxxxxxxxmxm
011(7)lim()e1xxx；
解：0000011e1e1e11lim()limlimlimlime1(e1)e1eeee22xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
10(8)lim(1sin)xxx；
解：11sinsin00lim(1sin)lim(1sin)exxxxxxxx
sin0(9)limxxx；
解：212000001lnsinsinsinlimsinlnlimlimlimlimsin0coscossinsincos0limeeeeee1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
10.设函数ln(1)0()10kxxfxxx，若()fx在点0x处可导，求k与(0)f的值。
解：由于函数在0x处可导，因此函数在该点连续，由连续的概念有
00ln(1)limlim(0)1xxkxkxkfxx，即1k 按导数定义有
200000ln(1)111()(0)ln(1)111(0)limlimlimlimlim022(1)2xxxxxxfxfxxxxfxxxxx
11.设函数21cos0()0110e1xxxxfxkxxx，当k为何值时，()fx在点0x处连续。
解：函数连续定义，00lim()lim()(0)xxfxfxf，
00000011e1e1e11lim()lim()limlimlimlime1(e1)e1eeee22xxxxxxxxxxxxxxxxxfxxxxxx
2001cos1lim()lim2xxxfxx，而01(0)lim()2xfkfx；
即当12k时，函数()fx在0x点连续。
12.求下列函数的单调增减区间：
2(1)365yxx；
解：660yx，有驻点1x，
由于当1x时，0y，此时函数单调减少；
由于当1x时，0y，此时函数单调增加；
42(3)22yxx；
解：32444(1)yxxxx，令0y，有0,1,1xxx，
当1x时，0y，此时函数单调较少；当10x时，0y，此时函数单调增加；
当01x时，0y，此时函数单调较少；当1x时，0y，此时函数单调增加
2(3)1xyx；
解：22222(1)2(1)(1)xxxxxyxx，令0y，有0,2xx，此外有原函数知1x，
当2x时，0y，此时函数单调增加；当21x时，0y，此时函数单调减少；
当10x时，0y，此时函数单调减少；当0x时，0y，此时函数单调增加；
13.证明函数2ln(1)yxx单调增加。
